已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,CD=BC,DE⊥CE,DE=CE,连接AE,点M是AE的中点.(1)如图1,若点D在BC边 上,连接CM,当AB=4时,求CM的长;(2)如图2,若点D在△ABC的内部,连接BD,点N是BD中点,连接MN,NE,求证:MN ⊥AE;(3)如图3,将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转,使∠BCD=30°,连接BD,点N是BD中点,连接MN,探索的值并直接写 出结果.在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,点D是BC上一点,连接AD,过点A作AG⊥AD,在AG上取点F,连接DF.延长D A至E,使AE=AF,连接EG,DG,且GE=DF.(1)若AB=2,求BC的长;(2)如图1,当点G在AC上时,求证:BD=CG ;(3)如图2,当点G在AC的垂直平分线上时,直接写出的值.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.(1)如图1,若 点D关于直线AE的对称点为F,求证:△ADF∽△ABC;(2)如图2,在(1)的条件下,若α=45°,求证:DE2=BD2+CE2 ;(3)如图3,若α=45°,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.如图,在△ABC中,AD⊥ BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.(1)求证:△ACD∽△BFD;(2)当tan∠ABD=1,AC=3时, 求BF的长.已知正方形ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点,若点M在AB上,且满足△PBC∽△PAM,延长BP交AD于点N,连 结CM.(1)如图一,若点M在线段AB上,求证:AP⊥BN;AM=AN;(2)①如图二,在点P运动过程中,满足△PBC∽△PAM的 点M在AB的延长线上时,AP⊥BN和AM=AN是否成立?(不需说明理由)②是否存在满足条件的点P,使得PC=?请说明理由如图,将一 张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开,得到△ACD,再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置,若平移开始后点D ′未到达点B时,A′C′交CD于E,D′C′交CB于点F,连接EF,当四边形EDD′F为菱形时,试探究△A′DE的形状,并判断△A ′DE与△EFC′是否全等?请说明理由.如图1,在矩形ABCD中,BC>AB,∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F,点 O是BD的中点,直线OK∥AF,交AD于点K,交BC于点G.(1)求证:①△DOK≌△BOG;②AB+AK=BG;(2)若KD=K G,BC=4﹣.①求KD的长度;②如图2,点P是线段KD上的动点(不与点D、K重合),PM∥DG交KG于点M,PN∥KG交DG于点 N,设PD=m,当S△PMN=时,求m的值.已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,D C相交于点E,F,且∠EAF=60°.(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;(2)如 图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB= 15°时,求点F到BC的距离.我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图1,四边形ABC D中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;(2)如图2,点P是四边形ABC D内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形E FGH的形状,并证明你的猜想;(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的 形状.(不必证明)如图,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG.(1)请判断 四边形EBGD的形状,并说明理由;(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,点H是BD上的一个动点,求HG+HC的最小值. 如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于 点E,N,M,连接EO.(1)已知BD=,求正方形ABCD的边长;(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.如图,点O是△AB C内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.(1)求证:四边形DEFG是 平行四边形;[来源:学科网](2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.(1)如图1,在Rt△ABC中 ,∠ABC=90°,以点B为中心,把△ABC逆时针旋转90°,得到△A1BC1;再以点C为中心,把△ABC顺时针旋转90°,得到△ A2B1C,连接C1B1,则C1B1与BC的位置关系为 ;(2)如图2,当△ABC是锐角三角形,∠ABC=α(α≠60°)时,将△ ABC按照(1)中的方式旋转α,连接C1B1,探究C1B1与BC的位置关系,写出你的探究结论,并加以证明;(3)如图3,在图2的基 础上,连接B1B,若C1B1=BC,△C1BB1的面积为4,则△B1BC的面积为 .已知:点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直 线上的一个动点(点P不与点A、C重合),分别过点A、C向直线BP作垂线,垂足分别为点E、F,点O为AC的中点.(1)当点P与点O重 合时如图1,易证OE=OF(不需证明)(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当∠OFE=30°时,如图2、图3的位置,猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?请写出你对图2、图3的猜想,并选择一种情况给予证明. |
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