2022年湖北省黄石市中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分在每小题给出的四个选顶中, 只有一项是符合题目要求的
1. 的绝对值是（ ）
2. 下面四幅图是我国一些博物绾的标志, 其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.温州博物馆 B.西藏博物馆 C.广东博物馆 D.湖北博物馆
3. 由 5 个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A C
5. 函数 的自变量 的取值范围是（ ）
且 B. 且 C. 且
6.我市某校开展“共创文明班，一起向未来”的古诗文诵比赛活动，有10位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前5位进入决赛。如果小王同学道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，他需要知道这10位同学成绩的（ ）
. 平均数 分数 中位数 .方差
7.如图, 正方形 的边长为 , 将正方形 绕原点 顺时针旋转 , 则点 的对 应点 的坐标为（ ）
A.
8. 如图, 在 中, 分别以 为圆心, 大于 长为半径作卯, 两弧分别相交于 , 两点, 作直线 , 分别交线段 于点 , 若 的周长为 , 则 的周长为（ ）
9.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形害割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长。再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率. 设圆的半径为 , 图 1 中圆内接正六边形的周长 , 则 . 再利用圆的内 接正十二边形来计算圆周率 则圆周率彴让（ ）
10.已知二次函数 的部分图象如图所示, 对称轴为直线 , 有以下结论:
① ，②若 为任意实数, 则有 ；③当图象经过点 (1,3) 时, 方程 的两根为 , 则 , 其中, 正确结论的个数是（ ）
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
二、填空题（本大题共 8小题, 第 11-14每小题 3分, 第 15-18 每小题 4 分, 共 28 分)
12. 分解因式: .
13. 据新华社 2022 年 1 月 26 日报道, 2021 年全年新增减税降费约 万元, 有力支持国民经济持续稳定恢复用科学计数法表示 万亿元, 可以表示为 .
14.如图, 圆中扇子对应的圆心角 与剩余圆心角 的比值为黄金比时, 扇子会显得更加美决, 若黄金比取 , 则 的度数是 .
15. 已知关于 的方程 的解为负数, 则 的取值范围是 .
16. 某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动: 已知无人机的飞行高度为 , 当无人机飞行至 处时, 观测放杆顶部的俯角为 , 继续飞行 到达 处, 测得旗杆顶部的俯角为 , 则旗杆的高度约为 .
(参考数据： , 结喿按四舍五入保留一位小数)
17如图，反比例函数 的图象经过矩形 对角线的交点 和点, , 点 在 轴上, 的面积为 6 , 则 .
18.如图, 等边 中, , 点 为高 上的一动点, 以 为边作等边 , 连接 , 则 , 的最小值为 .
三、解答题（本大题共 7小题, 共 62 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚)
19. (本小题 7 分) 先化简, 再求值: , 从 中选择合适的 的值代入求值.20. (本小题 8分) 如图, 在 和 中, , , 且点 在线段 上, 连 .
（1）求证: ;
（2）若 , 求 的度数.
21. (本小题 8 分) 某中学为了解学生每学期 “诵读经典”的情况, 在全校范围内随机抽 查了部分学生上一学期阅读量, 学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级, 绘制如下统计表：
请根据统计表中提供的信息, 解答下列问题:
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生; 表中
（2）求所抽查学生阅读量的人数和平均数.
(3) 样本数据中优秀等级学生有 4 久, 其中仅有 1 名男生.现从中任选派 2 名学生去参加读书分享会, 请用树状图法或列表法求所选 2 名同学中有男生的概率.
22. (本小题 8 分) 阅读材料, 解答问题:
材料1
为了解方程 , 如果找们把 看作一个整体, 然后设 , 则原方程可化为 , 经过运算, 原方程的解为 . 我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法.
材料2
已知实数 满足 , 且 , 显然 是方程 的两个不相等的实数根, 由韦达定理可知 .
根据上述材料，解决以下问题:
(1) 直接应用:
方程 的解为
(2) 间接应用:
已知实数 满足: 且 , 求 的值;
(3) 拓展应用:
已知实数 满足 : 且 , 求 的值.
22. (本小题 9 分) 某校为配合疫情防控需要, 每星期组织学生进行核酸抽样检测; 防疫部 门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况, 调查了某天上午学生进入操场的累计人数 (单位: 人)与时间 (单位: 分钟) 的变化情况, 叐现其变化规律符合函数关系式:
, 数据如下表.
(1)求a,b,c的值；
(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值(排队人数=累计人数一已检测人数)；
(3)在(2)的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
24. (本小题 10 分) 如图 是 直径, 是 上异于 的一点, 点 是 延长 线上一点, 连 , 且 .
(1) 求证：直线 是 的切线;
(2) 若 , 求 的值;
(3) 在 (2) 的条件下, 作 的平分线 交 于 , 交 于 , 伡 , 若 , 求 的值.
25. (本小题 12 分) 如图, 抛物线 与坐标轴分别交于 三点, 是第 一象限内抛物线上的一点且横坐标为 .
(1) 三点的坐标为 , , ;
(2) 连接 , 交线段 于点 ,
① 当 与 轴平行时, 求的值;
② 当 与 轴不平行时, 求 的最大值;
(3) 连接 , 是否存在点 , 使得 , 若存在, 求 的值, 若不存在, 请说明理由. 数学参考答案及评分细则
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D B C D C A D 第10题详解：
（1）∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=-1，即，∴b=2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；
（2）∵x=-1时，y有最小值，∴a-b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），即a-bt≤at2+b，（或将b=2a代入可得≥0）；所以②正确；
（3）∵图象经过点（1，3）时，代入解析式可得c=3-3a，方程ax2+bx+c-3=0可化为ax2+2ax-3a=0，消a可得的两根为，（或ax2+bx+c-3=0的几何意义为二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的一个交点为（1，3），∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），）代入可得，所以③正确．
综上所述，正确的个数是3.
二、填空题（11-14小题，每小题3分，15-18小题，每小题4分，其中第18题有两空，每空2分，共28分）
11. 3 12. 13. 14. 90°
15. <1且 16. 12.7 17. 8 18. 30°
第18题详解：
(1)≌得°；
(2)（“将军饮马”问题）
过点D作定直线CF的对称点G，连CG，∴为等边三角形，CF为DG的中垂线，FD=FG，∴,连接BG，
∴，又DG=DC=,为直角三角形，BC=10，CG=5，∴BG=.∴的最小值为.
另解：过点B作定直线CF的对称点H，.
三、解答题
19.解：原式=； ………………………………4分
∵且 ∴且 ∴； ……………………………6分
当时，原式=. ……………………………7分
（1）证明：∵，
∴，即. ……2分
在与中，，
∴≌（SAS）； …………………4分
由（1）≌得，又△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴=45°且∠AED=45°，在△ACE中∵∠EAC=60°且∠ACE=45°∴∠AEC=180°-60°-45°=75°，∴∠CED=. ……………………………8分
21.（1） 50 = 20 ，= 0.28 ，= 0.08 ；（每空0.5分） ……2分
（2）∵阅读量为4本的同学最多，有20人，∴众数为4 …………………3分
平均数为； …………………5分
记男生为A，女生为，，，列表如下：
A A A A A A A A
…………………7分
∴有表可知，在所选2名同学中共有12种选法，其中必有男生的选法有6种
∴所求概率为：. …………………8分
树状图法略.
22.（1），（每个结果0.5分，写出四个结果给2分）； ……2分
（2）∵∴或
①当时，令，，∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，∴，
此时； ………………4分
②当时，，
此时；
综上：=或 ………………5分
（3）令，，则，，∵n?0∴即
∴，是方程的两个不相等的实数根，∴ ……7分
故. ………………8分
23.（1）将（0,0），（1,150），（2,280）代入，得，
解之得，，； ……………3分
（2）设排队人数为w，由（1）知，
由题意可知，，
当0≤x≤8时，，=
∴时，排队人数的最大值是490人， ……………6分
当8＜x≤10时，，，∵随自变量的增大而减小，
∴440≤＜480，
由480＜490得，排队人数最大值是490人； ……………7分
（3）在（2）的条件下，全部学生完成核酸检测时间=640÷（4×5）=32（分钟）……8分
设从一开始增加n个检测点，则，解得，n为整数，
∴从一开始应该至少增加3个检测点. ……………9分
（1）连接OA，∵CD是⊙O直径，∴，∴，又，∴，又，∴,即,∴，又为半径，
∴直线AB是⊙O的切线； ……………3分
∵，，∴△BCA∽△BAD，∴ ……………4分
由知，令半径OC=OA=r，则BC=2r，OB=3r，在中，，在中，tan ∠ADC=，
∵，∴tan∠BAC=tan∠ADC=； ……………6分
（3）在（2）的条件下，=，∴， ……………7分
∴,又在中，，，
解得， ……………8分
∵AP平分∠CAD，∴，又,∴△CAP∽△EAD，
∴,∴. ……………9分
（1），， ； ……………3分
（2）①∵轴，，∴，，
又轴，∴； ……………5分
②过P作PQ//AB交BC于点Q，易求直线BC的解析式为， ……………6分
，易求，
∴ ………7分
∵PQ//AB，
∴，
∴当时，取最大值； ……………8分
另解：分别过P和A作y轴的平行线（“铅锤高”），交直线BC于两点，
仿以上解法即可求解.
（3）假设存在点P使得，即0
法一：过C作CF//x轴，∵，∴CP平分, 延长CP交x轴于点M，∴△CBM为等腰三角形，∵BC=5，∴BM=5，OM=8，，易求直线CM的解析式为，联立，
解得或x=0（舍），
∴存在点P满足题意，即. ……………12分
法二：过C作CF//x轴，∵，∴CP平分,
延长PQ//AB交BC于点Q，交y轴于点M，（由2可知）易求直线BC的解析式为，，
易求，
∴
∵PQ//AB，∴,CB=5,QM==,OB=3
∴CQ=
∵CF//PQ,,∴QC=QP,∴=
可得或m=0（舍）∴.
∴存在点P满足题意，即.
法三：过B作的角平分线BM,
由勾股定理或面积法易求BM所在直线的解析式为：，
即过C作CP//BM交抛物线于点P，∴,由得：,易求CP所在直线的解析式为：可得联立，解得，或x=0（舍）.
∴存在点P满足题意，即.
法四：过B作x轴的垂线交CP的延长线于点Q，交CF的延长线于点H,再利用角平分线定理可知：，HQ+BQ=BH=4，∴Q, 可得CQ所在直线的解析式为：可得联立，解得，或x=0（舍）.∴存在点P满足题意，即.
法五：利用P点到直线CF的距离=P点到直线CB的距离可求解.
法六：利用高中倍角公式求直线斜率求解可给分.
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