2022年湖南怀化中考数学试题及答案
一、选择题
1. 的相反数是（ ）
B. 2 C. D.
【答案】D
【详解】解：因为-+＝0，
所以-的相反数是．
故选：D．
2. 代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【详解】分母中含有字母的是，，，
∴分式有3个，
故选：B．
3. 2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学计数法表示为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解：10909=1.0909×104．
故选：D．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 相等的角是对顶角
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【答案】D
【详解】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；
B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意；
C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意；
D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意；
故选：D．
5. 下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】∵
∴ A错误
∵
∴ B错误
∵
∴C正确
∵
∴ D错误
故选：C．
6. 下列一元二次方程有实数解的是（ ）
A. 2x2﹣x+1＝0 B. x2﹣2x+2＝0 C. x2+3x﹣2＝0 D. x2+2＝0
【答案】C
【详解】A选项中，，故方程无实数根；
B选项中，，故方程无实数根；
C选项中，，故方程有两个不相等的实数根；
D选项中，，故方程无实数根；
故选C．
7. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
【答案】A
【详解】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）?180°=900°，
解得n=7，
∴这个多边形的边数是7，
故选：A．
8. 如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC=5，EC=2，则平移的距离是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【详解】因为沿BC方向平移，点E是点B移动后的对应点，
所以BE的长等于平移的距离，
由图像可知，点B、E、C在同一直线上，BC=5，EC=2，
所以BE=BC-ED=5-2=3,
故选 C．
9. 从下列一组数﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】∵数﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中，一共有6个数，
其中﹣2，﹣，﹣0.12，﹣为负数，有4个，
∴这个数是负数的概率为，
故答案选：B．
10. 如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】D
【详解】解：设，
∵BD⊥y轴
∴S△BCD==5
解得：
故选：D．
二、填空题
11. 计算﹣＝_____．
【答案】1
【详解】解：﹣=
故答案：1．
12. 因式分解：_____．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：
13. 已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b =______．
【答案】5
【详解】∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
∴，，
∴
故答案为：5．
14. 如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．
【答案】8
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线，
所以DE∥BC，
所以△ADE∽△ABC
∴
∵S△ADE=2，
∴S△ABC=8
故答案为：8．
15. 如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．
【答案】
【详解】解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，
∴AC=，
故答案为：．
16. 正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
则第27行的第21个数是______．
【答案】744
【详解】解：由图可知，
第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有3个数，
???????
第n行有n个数．
∴前n行共有1+2+3++n=个数．
∴前26行共有351个数，
∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．
∵这些数都是正偶数，
∴第372个数为372×2=744．
故答案为：744．
三、解答题
17. 计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．
【答案】2-
【分析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣
=1+-1+2-2
=2-．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键．
18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】根据解一元一次不等式组的方法步骤求解，然后在数轴上把解集表示出来即可．
【详解】解：
由得，
由得，
该不等式组的解集为，
在数轴上表示该不等式组的解集为：
【点睛】本题考查一元一次不等式组解法步骤及用数轴表示不等式组的解集，熟练掌握相关解法步骤是解决问题的关键．
19. 某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73，≈1.41）
【答案】不穿过，理由见解析
【分析】先作AD⊥BC，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°，设CD=x，可表示AD和BD，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD，与800米比较得出答案即可．
【详解】不穿过，理由如下：
过点A作AD⊥BC，交BC于点D，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°.
设CD=x，则BD=2.4-x，
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，
∴∠CAD=45°，
∴AD=CD=x．
在Rt△ABD中，，
即，
解得x=0.88，
可知AD=0.88千米=880米，
因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
20. 如图，点A，B，C，D在O上，＝．求证：
（1）AC＝BD；
（2）△ABEDCE．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；
（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似．
【小问1详解】
∵＝
∴＝
∴
∴BD=AC
【小问2详解】
B=∠C；AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
【点睛】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键．
21. 电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显菩提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
满意程度 频数（人） 频率 非常满意 50 0.5 满意 30 0.3 一般 a c 不满意 b 0.05 合计 100 1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；
（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．
【答案】（1）15；5；0.15
（2）54°（3）有理即可；见详解
【分析】（1）根据图表信息进行求解即可；
（2）根据满意度“一般”所占圆的的比例乘360°即可得α的度数；
（3）根据图表数据给出合理建议即可；
【小问1详解】
解：（人）；
（人）；
【小问2详解】
答：扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数为54°．
【小问3详解】
根据图表可以看出绝大多数还是相当满意的，所以我觉得我们可以多一些对细节的规划，在环境一块更加注重，做到尽善尽美，推出一些具备特色的服务项目，给到游客不一样的体验．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，圆心角的求解，解本题的关键在于需认真读题并正确计算出结果．
22. 如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP=NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
【答案】（1）见详解；
（2）0.5a．
【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可；
（2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．
小问1详解】
如下图所示，过点M作MQCN，
为等边三角形，MQCN，
，
则AM=AQ，且A=60°，
为等边三角形，则MQ=AM=CN，
又MQCN，
QMP=∠CNP，
在，
，
则MP=NP；
小问2详解】
为等边三角形，且MHAC，
AH=HQ，
又由（1）得，，
则PQ=PC，
PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
23. 去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．
（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？
（2）为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．
（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？
【答案】（1）每件雨衣元，每双雨鞋元
（2）
（3）最多可购买套
【分析】（1）根据题意，设每件雨衣元，每双雨鞋元，列分式方程求解即可；
（2）根据题意，按套装降价20%后得到每套元，根据费用=单价×套数即可得出结论；
（3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式，求解后根据实际意义取值即可．
【小问1详解】
解：设每件雨衣元，每双雨鞋元，则
，解得，
经检验，是原分式方程根，
，
答：每件雨衣元，每双雨鞋元；
【小问2详解】
解：根据题意，一套原价为元，下降20%后的现价为元，则
；
【小问3详解】
解：，
购买的套数在范围内，
即，解得，
答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买套．
【点睛】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键．
24. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PEBC于点E，作PFAB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式，
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线函数表达式为，直线BC的函数表达式为
（2）点P的坐标为 (,)，△PEF的周长为
（3）存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)
【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数即可求解析式；
（2）利用直线和抛物线的位置关系相切时对应的等腰直角三角形PEF周长最大，二次函数与一次函数联立方程，根的判别式，从而找出对应点P坐标，进而求出周长；
（3）根据平行四边形对角线性质和中点公式，把BC是否为对角线分情况进行分析，设出点G的横坐标，利用中点公式列方程计算即可求解．
【小问1详解】
解：将点A(-1,0)，B(3,0)代入，得：
，解得，
所以抛物线解析式为，C(0，3)
设直线BC的函数表达式，将B(3，0)，C(0，3)代入得：
，解得，
所以直线BC的函数表达式为
【小问2详解】
解：如图，设将直线BC平移到与抛物线相切时的解析式为，与抛物线联立得：
整理得
，解得，
将代入，解得，
将代入得，
即△PEF的周长为最大值时，点P的坐标为 (,)
将代入得，
则此时，
因为△PEF为等腰直角三角形，
则△PEF的周长最大为
【小问3详解】
答：存在．
已知B(3，0)，C(0，3)，设点(， )，N(1，n)，
当BC为平行四边形对角线时，根据中点公式得：，，则G点坐标为(2，3)；
当BC为平行四边形对角线时，同样利用中点坐标公式得：或，解得或则G点坐标为(-2，-5)或(4，-5)
故点G坐标为(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、直线与抛物线的位置关系、根的判别式，等腰直角三角形性质，平行四边形的性质，解题的关键（1）根据点的坐标利用待定系数求解析式；（2利用直线和抛物线的位置关系，巧妙利用判别式；（3）熟悉平行四边形对角线性质，结合中点公式分情况展开讨论．
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