第四章 因式分解
章末复习
【知识与技能】
掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，及在实数范围内分解因式的运用，培养学生简便运算和应用因式分解解决数学问题的能力.
【过程与方法】
通过寻求乘法公式与因式分解的关系，理解因式分解的含义.
【情感态度】
通过因式分解的学习，体会整体数学思想和转化的数学思想.
【教学重点】
熟练运用各种方法来进行因式分解.
【教学难点】
因式分解各种方法的综合运用，利用因式分解解决数学问题.
一.知识结构
【教学说明】
引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系
二、释疑解惑，加深理解
1.因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2.提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
3.公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
【教学说明】
(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算;
(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.
三、典例精析，复习新知
1.下列变形是否是因式分解？为什么，
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；
(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
【解析】
(1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其正确性.
(2)不是因式分解，不满足因式分解的含义;
(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等;
(4)不是因式分解，是整式乘法.
2.下列变形是否正确？为什么？
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；
(3)x2-2x-1=(x-1)2.
【解析】
(1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.
(2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解.
(3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解.
3.用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)ax-ay； (2)6xyz-3xz2；
(3)-x3z+x4y； (4)36aby-12abx+6ab；
(5)3x(a-b)+2y(b-a)； (6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).
【解析】
(1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把b-a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.
解：(1)ax-ay=a(x-y); (2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z);
(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy); (4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1);
(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y);
(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)
=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)
=(m-x)(m-y)(x-m)
=-(m-x)2(m-y).
4.用公式法分解因式.
(1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4；(3)1-10x+25x2；
(4)(m+n)2-6(m+n)+9;（5）4x2-9.
解：(1) m2+2m+1=(m+1)2; (2) 9x2-12x+4=(3x-2)2;
(3) 1-10x+25x2=(1-5x)2;
(4) (m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2;
(5) 4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
5.分解因式.
(1)x3-2x2+x；(2)(a+b)2-4a2；(3)x4-81x2y2；
(4)x2(x-y)+y2(y-x)；(5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.
解：
(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2;
(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a);
(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y);
(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2;
(5)( a+b+c)2-(a-b-c)2=［(a+b+c)+(a-b-c)］［(a+b+c)-(a-b-c)］
=2a·(2b+2c)=4a(b+c).
【教学说明】
基础习题的练习，增强学生对于上面知识点的理解，也有利于学生发现自己的学习漏洞，及时弥补，同时也为本节课做了一个很好的知识铺垫.
四、复习训练，巩固提高
1.若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=_______.
分析： 完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
解析：∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2，
∴kxy=±2·3x·6y=±36xy. ∴k=±36.
2.利用因式分解计算下列各题.
(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；
(2)20022-4006×2002+20032；
(3)5652×11-4352×11；(4)(5)2-(2)2.
解：(1)原式=1999；(2)原式=1；
(3)原式=1430000； (4)原式=28.
3. 计算
4.解方程组
分析：本题是一个二元二次方程组，就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x2-4y2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5，再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中，即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出.
解：由①得(x+2y)(x-2y)=5，③把②代入③中得x+2y=5，④
∴原方程组化为
②+④得2x=6，∴x=3.
②-④得4y=4，∴y=1.
∴原方程组的解为
5.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
解：x3y-2x2y2+xy3=xy(x2-2xy+y2)=xy(x-y)2.
当x-y=1，xy=2时，原式=2×12=2.6.已知x-y=2，x2-y2=6，求x与y的值.
解：∵x2-y2=6,∴(x+y)(x-y)=6.
又∵x-y=2，①
∴x+y=3.②.
7.求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.
证明：设这四个连续自然数依次为n，n+1，n+2，n+3，则
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2
∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数.
【教学说明】
这些训练题有一定的难度，应对学生分层教学.
五、师生互动，课堂小结
解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因式后，在考虑能否用公式法，最后，直到每一个因式都不能再分解为止.
布置作业:教材“复习题”中第1、3、4、7、9题.
（1）对象：因式分解是把一个多项式进行恒等变形；
（2）方向：因式分解与整式的乘法是互逆的过程，具有方向性；
（3）目标：是要把一个多项式化成几个整式的乘积；
（4）最终：把一个多项式分解到不能再分解为止．第五章分式与分式方程
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