《數理精藴》之正立方體內接正多面體上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：本
文主要談及《數理精藴》之正立方體之內接正多面體。其要點為若已知正多面體之形成法，求其邊長則非難事。關鍵詞：正四面體 八面體 十
二面體 二十面體本文數學題取材自《御製數理精藴?下編?卷二十九?體部七》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“各等面體互容”。本文主要談
及六等面體﹝正立方體﹞之內接正多面體。其要點為若知正多面體之形成法，求其邊長則非難事，可參閱以下之例。〈第一題〉設如正方體每邊一尺
二寸，求：內容四面體之每一邊幾何？解：以下為《數理精藴》之正立方體內接正四面體圖：若甲乙丙丁﹝以對角線之平面表一立體﹞為一正立方體
，內容之四面體之六棱剛好為六平面之對角線，各對角線均等長，即甲己、己戊、戊甲、甲丁、丁戊、丁己，此正四面體乃為丁甲戊己。顯然四面體
之六棱長 = √ (1.22 + 1.22) = √ 2.88 = 1.697056275﹝尺﹞。附帶一提四面體之體積 = ×
x2 × x = x3，若 x 為其一邊。本題四面體之體積 = × (√ 2.88)3 = × 2.88√ 2.88 = 0.
576﹝立方尺﹞。以下為其一般情況：若正立方體一邊長 a，則其內容之四面體之一邊長為 (√ 2)a。《數理精藴》之算法曰：法以正方
體每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸 (1.44 平方尺)，倍之得二尺八十八寸 (2.88 平方尺)，開平方得一尺六寸九分七釐零五絲六
忽二微有餘 (√ 2.88 = 1.697056275﹝尺﹞)，即正方體內容四面體之每一邊也。如圖﹝見上圖﹞甲乙丙丁正方體內容丁甲
戊己四面體，以四面體之六稜切於正方體之六面，則四面體之每一邊即為正方體之每一面之對角斜線，故用方邊求斜弦之法，以一邊自乗倍之開平方
即得內容四面體之每一邊也。以下為《數理精藴》之原文：如有四面體之一邊，求外切正方體之一邊，則用斜弦求方邊法，以四面體之一邊自乗，折
半開平方，即得外切正方體之每一邊也。若 x 為四面體之其一邊，則 (√ 2)a = x。依以上引文之算法：2a2 = x2a2 =
?x2a = x。〈第二題〉設如正方體每邊一尺二寸，求：內容八面體之每一邊幾何？解：甲乙丙丁﹝仍以對角線之平面表一立體﹞為一正立
方體，內容之正八面體為戊己庚辛壬癸，如下圖所示：以下為平面圖：壬戊丙丁辛己甲乙癸先求正立方體每面之中點戊、己、庚、辛、壬、癸，每一
點以直線連相鄰之點即可得一正八面體。從以上兩圖可知，若正立方體每邊長為a，則正八面體一邊之長：癸辛 = √ [(?a)2 + (?
a)2] = √ (?a2) = √ (?) a = a。若 a = 1.2，則 a = × 1.2 = 0.848528137
﹝尺﹞。《數理精藴》之算法曰：法以正方體每邊一尺二寸，自乗得一尺四十四寸 (1.44 平方尺)，折半得七十二寸 (72 平方寸)，
開平方得八寸四分八釐五豪二絲八忽一微有餘 (√72 = 8.485281374寸)，即正方體內容八面體之每一邊也。如圖甲乙丙丁正方
體內容戊己庚辛壬癸八面體，以八面體之六角切於正方體之六面，則正方體之每一邊即與內容八面體之對角斜線等，甲乙與戊庚等，故用斜弦求方邊
之法，以一邊自乗折半開平方即得內容八面體之每一邊也。如有八面體之一邊，求外切正方體之一邊，則用方邊求斜弦法，以八面體之一邊自乗，加
倍開平方即得外切正方體之每一邊也。若八面體之一邊為 x，則 x = √ (?) a。依以上引文之算法：x2 = ? a22x2 =
a2a = x√ 2。以下為《數理精藴》之原文：〈第三題〉設如正方體每邊一尺二寸，求：內容十二面體之每一邊幾何？解：以下為一正立
方體，內容之正十二面體如下圖所示：寅《數理精藴》之算法曰：法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率，小分三八一九六六○一為二率
，今所設之正方體每邊一尺二寸為三率，求得四率四寸五分八釐三豪五絲九忽二微有餘，即正方體內容十二面體之每一邊也。先列出比例四率如下：
一率：100000000，二率：小分1 – = = 0.381966011，取 38196601。以下為《數理精藴》之“理分中
末線”：大分小分6180339938196601ACB100000000全分以下為現代之“黃金比例”﹝即“理分中末線”﹞：大分小分
ACB1全分注意 = 0. 61803399 及 = 0.38196601。三率：1.2 尺。四率：正方體內容十二面體之每一邊
。依比例四率得 一率：二率 = 三率：四率即一率 × 四率 = 二率 × 三率四率 = × 38196601.1 × 1.2=
0.458359213﹝尺﹞。正方體內容十二面體之每一邊0.458359213尺。以下為一般情況：若一正立方體一邊長為 a，則其內
接正十二面體之每一邊長為 a。若 a = 1.2，a = × 1.2 = 0.458359213﹝尺﹞。以下為《數理精藴》之重要
說明﹝見前頁之圖﹞：如圖甲乙丙丁正方體內容戊己庚辛壬癸十二面體，以十二面體之六稜切於正方體之六面，則方正體之每邊與十二面體之兩邊相
對之線等﹝即十二面體中心至每邊正中之斜線之倍﹞，而正方體之每邊之半即為十二面體中心至每邊正中之斜線。以上引文指十二面體有六稜﹝三組
平行邊﹞緊貼於正方體之六面，其距離為正立方體之一邊。試將十二面體之正中截之，則成十等邊之面形，而其所截之處皆正當每邊之一半，故其所
截之子丑等線亦為戊己兩角相對斜線之一半，而為十等邊形之一邊，其子寅外切圜之半徑為中心至每邊正中之斜線，即正方體每邊之一半，子寅即如
理分中末線之全分，子丑即如理分中末線之大分，而戊子每邊之半即如理分中末線之小分﹝見球內容十二面體法﹞，故全分與小分之比同於今所設之
正方體每邊之半與內容十二面體每邊之半之比，即同於今所設之正方體之一邊與內容十二面體之一邊之比也。如有十二面體之一邊，求外切正方體之
一邊，則以十二面體之一邊為理分中末線之小分比例，得全分即外切正方體之每一邊也。以上引文末段意指若一正十二面體之每一邊長為 x，其外
接正立方體一邊長為 a，則 x = aa = = = 。以下為《數理精藴》之原文：〈第四題〉設如正方體每邊一尺二寸，求：內容
二十面體之每一邊幾何？解：以下為《數理精藴》正立方體內接正二十面體圖：以下為本題之比例要點：正方體之毎一邊：內容二十面體之每一邊
= 戊庚：庚子 = 1：。《數理精藴》之算法曰：法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率，大分六一八○三三九九為二率，今所設之
正方體每邊一尺二寸為三率，求得四率七寸四分一釐六豪四絲零七微有餘，即正方體內容二十面體之每一邊也。先列出比例四率如下：一率：100
000000二率：大分 = 0. 61803399，取 61803399﹝大分之定義見前﹞三率：正方體每邊1.2 尺四率：正方體
內容二十面體之每一邊。依比例四率得 一率：二率 = 三率：四率即一率 × 四率 = 二率 × 三率四率 = × 61803399
× 1.2= 0.741640786﹝尺﹞。正方體內容二十面體之每一邊0.741640786尺。以下為一般情況：若一正立方體一邊
長為 a，則其內接正二十面體之每一邊長為 a。若 a = 1.2，則 a = 0.741640786﹝尺﹞。《數理精藴》解釋曰：如
圖﹝見上兩圖﹞甲乙丙丁正方體，內容戊己庚辛壬癸二十面體，以二十面體之六稜切於正方體之六面，則正方體之每邊與二十面體之兩邊相對之線等
，即二十面體戊庚兩角相對之斜線。試自二十面體之戊庚二角類對角平截之，則所截之面成戊己庚子丑五等邊之面形，戊庚兩角相對斜線即如理分中
末線之全分，庚子與己庚等一邊即如理分中末線之大分﹝見球內容二十面體法﹞，故全分與大分之比即同於今所設之正方體之毎一邊與內容二十面體
之每一邊之比也。上文意指二十面體之六稜﹝三組平行邊﹞緊貼於正方體之六面，正立方體之每邊長與二十面體之兩邊相對之線長等，即二十面體戊
庚兩角相對之斜線。從戊己庚子丑五等邊形可知，己丑、戊庚、戊子乃五等邊形之最闊部份，所以正立方體之一邊必等於二十面體之兩邊相對之線，正立方體之一邊大於或小於二十面體之兩邊相對之線則不適合。《數理精藴》又曰：如有二十面體之一邊，求外切正方體之一邊。則以二十面體之一邊為理分中末線之大分，比例得全分，即外切正方體之每一邊也。以上引文末段意指若一正二十面體之每一邊長為 x，其外接正立方體一邊長為 a，則 x = aa = = = 。以下為《數理精藴》之原文：(1) |
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