5.1 数与代数 知识清单

数与代数一、整数的范围整数包括自然数和负整数，或者说整数由正整数、零和负整数组成。1.自然数。自然数的意义:我们在数物体的时候，用来表示物体
个数的0，1，2，3，4，5，…叫作自然数.自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。“0”的含义:“0”表示一个物体也没有，在计数
中起占位作用，表示该数位上没有计数单位。2.正数。正数的定义:以前学过的8，16，200，…这样的数叫作正数。正数的写法和读法:正
数前面也可以加“+”号，例如:+8读作:正八。3.负数。负数的定义:像-1，-5，-132，…这样的数叫作负数。“-”叫负号。负数
的写法和读法:负数前面加“-”号，例如:-15读作:负十五。4.整数与自然数的联系及区别。自然数全是整数，整数不全是自然数，还包括
负整数。5.整数的大小比较:比较两个整数的大小，要看它们的位数，如果位数不同，那么位数多的数就大;如果位数相同，就从最高位比起，最
高位上的数大的就大，如果最高位上的数相同，就比较下一位上的数的大小，直到比出大小为止。6.因数与倍数。意义:整数a除以整数b，所得
的商是一个整数，而没有余数，我们就说a叫作b的倍数，b叫作a的因数。因数与倍数的特点:一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本
身;一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。7.奇数与偶数。意义:个位上的数是1，3，5，7，9的数叫作奇数;个位上的数是
2，4，6，8，0的数叫作偶数。奇数与偶数的特点:奇数都不能被2整除;偶数都能被2整除。8.质数与合数。意义:一个数的因数只有1和
它本身两个因数，这样的数，叫作质数，也叫作素数;一个数的因数如果除了1和它本身外，还含有其他的因数，这样的数叫作合数。质数与合数的
特点:一个质数有2个因数;一个合数有3个或3个以上的因数。分解质因数:一个合数可以用几个质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。(
分解质因数也可以用短除的方法)二、小数1.小数的意义。把整数“1”平均分成10份，100份，1000份……这样的1份或几份是十分之
几，百分之几，千分之几……可以用小数来表示。2.小数大小的比较。比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大;整
数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，直到比较出大小为止。3.数的改写与求近
似数。数的改写与省略这个数某一位后面的尾数改写近似数的方法:为了读写方便，常把较大的数简写成用“万”或“亿”作单位的数。例如:23
65500=236.55万(改写成用“万”作单位的数);有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的尾数，写成近似数。例如:2365
500≈237万(省略万位后面的尾数);有时还要求保留一位小数的近似数。例如:7.62983≈7.6(保留一位小数)。三、分数1.
分数的意义:把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。2.分数单位:把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的
分数，叫作分数单位。3.分数的分类。(1)真分数:分子比分母小的分数叫作真分数。(2)假分数:分子比分母大或者与分母相等的分数叫作
假分数。4.分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变，这叫作分数的基本性质。5.分数与除
法的关系:(1)分数的分子相当于除法中的被除数，分数的分母相当于除法中的除数，分数线相当于除法中的除号。(2)在除法中，除数不能为
0，在分数中分母也不能为0，除数、分母为0没有意义。6.约分:把一个分数化成同它相等，且分子、分母都比较小的分数的过程，叫作约分。
7.最简分数:分子、分母是互质数的分数叫作最简分数。8.通分:把异分母的分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。9.分数
大小的比较:分母相同的两个分数，分子大的分数大;分子相同的两个分数，分母小的分数大。10.把分数转化成小数:根据分数与除法的关系，
把分数转化为除法算式，然后计算，就可以得到小数。11.把小数转化成分数:原来有几位小数，就在1的后面写上几个0作分母，原来的小数去
掉小数点作分子，能化简的要化简成最简分数。12.分数的基本性质与小数的基本性质的关系。分数的基本性质与小数的基本性质是一致的。小数
的末尾添上“0”或者去掉“0”，就相当于把相应的分数的分子、分母同时扩大(或缩小)到原来的10倍(或)、100倍(或)、1000倍
(或)……四、百分数1.百分数的意义。(1)分母是100的分数叫作百分数。(2)表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作百分数。百分
数通分时，通常用分母的最小公倍数作公分母。如:0.03=分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)后，分数的大小不变。百分数通常不写
成分数的形式，而采用符号“%”来表示，叫作百分号。求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。分数又叫百分比或百分率。2.百分数应用
题知识点归纳:(1)求常见的百分率，如:达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等。(2)求一个数比另一个数多(或少)百分之几。实际
生活中，人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加或减少的幅度。求甲比乙多百分之几:(甲-乙)÷乙。求乙比
甲少百分之几:(甲-乙)÷甲。(3)求一个数的百分之几是多少。一个数(单位“1”)×百分率(4)已知一个数的百分之几是多少，求这个
数。基本公式:部分量÷百分率(5)折扣:几折就是十分之几也就是百分之几十。五、运算的意义(一)四则运算1.加法:把两个数合并成一个
数的运算叫作加法。在加法里，相加的数叫作加数，加得的数叫作和。加数是部分数，和是总数。2.减法:已知两个加数的和与其中的一个加数，
求另一个加数的运算叫作减法。在减法里，已知的和叫作被减数，已知的加数叫作减数，未知的加数叫作差。被减数是总数，减数和差分别是部分数
。3.乘法:求几个相同加数的和的简便运算叫作乘法。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫作因数。相同加数的和叫作积。在乘法里，0
和任何数相乘都得0。1和任何数相乘都等于任何数。4.除法:已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫作除法。在除法里，已
知的积叫作被除数，已知的一个因数叫作除数，所求的因数叫作商。乘法和除法互为逆运算。在除法里，0不能作除数。因为0和任何数相乘都得0
，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。(二)四则运算法则1.加减法的计算法则。(1)计算整数的加减法时，把相同数位对齐。(
2)计算小数的加减法时，把小数点对齐。(3)计算分数的加减法时，当分母相同时，分母不变，分子相加减。2.乘法的计算法则。(1)整数
乘法的计算法则。一位数乘一位数:用口诀计算。多位数乘一位数:用这个一位数依次去乘多位数每一位上的数，哪一位上乘得的积满几十，就向前
一位进几。多位数乘多位数:先用其中一个多位数每一位上的数分别去乘另一个多位数，用哪一位上的数去乘，乘得的数的末位就要和哪一位对齐。
然后把每次乘得的数相加。(2)小数乘法的计算法则:先按照整数乘法的计算法则计算出积，再看两个因数中共有几位小数，就从积的右边起向左
边数出几位，点上小数点。(3)分数乘法的计算法则:用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的要约分。3.除法的计算法则。(
1)整数除法的计算法则:从被除数的高位起，除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上。(2)小数除法的计算法则:除数是整数时，按整数除
法的计算法则计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。除数是小数时，先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移几位，被除数
的小数点也向右移几位(位数不够添“0”补足)，然后按照除数是整数的小数除法进行计算。(3)分数除法的计算法则:甲数除以乙数(0除外
)，等于甲数乘以乙数的倒数。4.估算的意义和方法。(1)估算的意义:依据实际问题的需要，按照取近似值的方法，粗略地口算出结果。(2
)加、减法的估算:用“四舍五入”法取近似值，估成几百或几百几十的数，口算和或差。(3)估算的用处。①计算前的估算:有利于人们对运算
结果有大致了解。②计算后的估算:有利于人们对运算结果进行检验。5.取近似值的方法。(1)“四舍五入”法。要保留到哪一位，就看那一位
的下一位上的数，下一位上是5或者比5大，就向前一位进1;如果是4，或者比4小，就舍去。(2)“进一”法。在取近似值的时候，把舍去的
部分去掉后，用所得的数加上1，这种取近似值的方法叫作“进一”法。例如:妈妈买3袋盐，每袋1.1元钱，带3元钱够吗？有26个苹果，每
个箱子装5个，需要多少个箱子？(3)“去尾”法。在取数的近似值时，把舍去的部分去掉后，所保留的数不变，这种取数的近似值的方法叫作“
去尾法”。例如:用3米长的布料做衣服，每件衣服需要1.2米，能做多少件衣服？(三)计算与运用1.四则混合运算的顺序。在没有括号的算
式里，如果只含有加减法或乘除法，要从左往右依次计算;如果既含有加减法，又含有乘除法，要先算乘除法，后算加减法。2.在有括号的算式里
，要先算括号里面的，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。(四)运算律1.加法交换律
:两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。2.加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数;或者先把后两个数相加，再
和第一个数相加，它们的和不变。3.乘法交换律:两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。4.乘法结合律:三个数相乘
，先把前两个数相乘，再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。5.乘法分配律:两个数的和与一个数相乘，
可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加。乘法分配律可以逆用:a×c+b×c=(a+b)×c。6.减法的性质。(1)从一个数里
连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c)。(2)a-b-c=a-(b+c)可以逆用:a
-(b+c)=a-b-c，如，15.6-(5.6+3.8)=15.6-5.6-3.8=10-3.8=6.2。7.除法的性质:(1)
一个数里连续除以几个数，可以用这个数除以所有除数的积，结果不变，即a÷b÷c=a÷(b×c)。如，32.5÷4÷2.5=32.5÷
(4×2.5)=32.5÷10=3.25;(2)a÷b÷c=a÷(b×c)可以逆用:a÷(b×c)=a÷b÷c。(五)式与方程1.
用字母表示数。用字母表示常见的数量关系、运算律和运算性质、几何形体的计算公式。(1)用字母表示数量关系。路程用s表示，速度用v表示
，时间用t表示，三者之间的关系:s=vt，v=，t=;总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系:a=bc，b=，c
=。(2)运算律和运算性质。加法交换律:a+b=b+a，加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)，乘法交换律:ab=ba，乘法结
合律:(ab)c=a(bc)，乘法分配律:(a+b)c=ac+bc，减法的性质:a-(b+c)=a-b-c。(3)表示几何形体的公
式。长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用C表示，面积用S表示，C=2(a+b)，S=ab。正方形的边长用a表示，周长用C表示，面
积用S表示，C=4a，S=a2。2.用字母表示数的写法:(1)数字和字母，字母和字母相乘时，乘号可以记作“·”，或者省略不写，数字
要写在字母的前面。　(2)当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。(3)将数值代入式子求值:把具体的数代入式子求值时，要注意书写
格式:先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。2.简易方程。(1)方程:含有未知数的
等式叫作方程。注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。(2)方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。六、列方程
解应用题1.列方程解应用题的意义。用方程式去解答应用题，求得应用题的未知量的方法。2.列方程解答应用题的步骤。(1)弄清题意，确定
未知数并用x表示;(2)找出题中的数量之间的等量关系;(3)列方程，解方程;(4)检查或验算，写出答案。3.列方程解应用题的方法。
(1)说出等量关系式;(2)设未知量为x;(3)根据等量关系式列出方程并求解;(4)检验，写答。4.小学范围内常用方程解的应用题:
(1)一般应用题;(2)和倍、差倍问题;(3)几何形体的周长、面积、体积的计算;(4)分数、百分数应用题;(5)比和比例应用题。七
、比和比例意义:比表示两个数相除;比例表示两个比相等的式子。比的性质:比的前项和比的后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
比例的基本性质:在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。八、正比例与反比例意义:两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如
果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系;两种相关联的量，一种量变化，另一种量也
随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。用字母表示正比例:=k(一定
);反比例:xy=k(一定)。九、常见的量(1)长度单位:千米(km)、米(m)、分米(dm)、厘米(cm)、毫米(mm)。1厘米
=10毫米　1分米=10厘米　1米=10分米　1米=100厘米　1千米=1000米(2)面积单位:平方厘米(cm2)、平方分米(d
m2)、平方米(m2)、平方千米(km2)、公顷。1平方米=100平方分米　1平方分米=100平方厘米　1公顷=10000平方米　
1平方千米=100公顷(3)体积单位:立方米(m3)、立方分米(dm3)、立方厘米(cm3)。1立方米=1000立方分米　1立方分
米=1000立方厘米(4)容积单位:升(L)、毫升(mL)。1升=1000毫升　1升=1立方分米　1毫升=1立方厘米(5)质量单位
:吨(t)、千克(kg)、克(g)。1吨=1000千克　1千克=1000克(6)时间单位:世纪、年、月、日、时、分、秒。1世纪=1
00年1年=365天(平年)　一年=366天(闰年)　一、三、五、七、八、十、十二月是大月，大月有31天;四、六、九、十一是小月，
小月有30天，平年2月有28天，闰年2月有29天。1天=24时　1时=60分　1分=60秒(7)货币单位:元、角、分。1元=10角
　1角=10分　1元=100分用字母表示为(a+b)×c=a×c+b×c。“0”还可以表示起点、分界点等。“0”是最小的自然数。“
+”号一般可以省略不写。数字越大的负数反而越小;“0”既不是正数，也不是负数。比较整数的方法根据整数的位数选择。因数和倍数是相互依
存的，不能单独存在。判断一个数是奇数还是偶数，就看这个数能否被2整除。1既不是质数，也不是合数。一位小数表示十分之几，两位小数表示
百分之几，三位小数表示千分之几……取近似数时，常用“四舍五入”法或“进一”法或“去尾”法把一个数某一位后面的尾数省略。只有把单位“
1”平均分才能用分数表示。用字母表示:a÷b=(b≠0)部分量÷百分率=一个数(单位“1”)加数+加数=和;一个加数=和-另一个加
数加法和减法互为逆运算。一个因数×一个因数=积一个因数=积÷另一个因数被除数÷除数=商　除数=被除数÷商　被除数=商×除数分母不同
时，要先通分，再相加减。多位数相乘，从个位乘起。如果小数的位数不够，要在前面添“0”补足。每次除后余下的数必须比除数小。计算小数除
法，先移动除数的小数点，变成除数是整数的除法再计算。例如:9873-3522≈9900-3500=6400在实际生活中，一般情况下
用“四舍五入”法取近似数，当计算所用材料时用“进一”法，当计算容纳物品的体积时用“去尾”法。加法和减法叫作一级运算，乘法和除法叫作
二级运算。用字母表示为a+b=b+a。用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c)。用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。如，
10-2.3-7.7=10-(2.3+7.7)=10-10=0。如，18.3÷(1.83×50)=18.3÷1.83÷50=10÷50=0.2。用字母表示数量关系、公式等更简单。通常情况下一个数量关系中的字母有规定。用字母表示运算律比用文字表达更直观。一般用a表示长，用b表示宽，用h表示高，用S表示面积，用V表示体积，用r表示半径，用d表示直径，用π表示圆周率。具备方程的条件:含有未知数，是等式，二者缺一不可。用方程解决问题和用算式解决问题的区别:用方程解决问题是根据等量关系，未知量用x表示，未知数参与列式;用算式解决问题是根据题目中的等量关系，用已知量求出未知量，未知量不参与列式。比表示两个数的关系，也可以用分数表示;比例表示两个比的关系，也可以写成分数的形式。判断两种量成什么比例，就看这两种量的比值一定还是积一定。每相邻的两个体积(容积)单位之间的进率是1000;每相邻的两个质量单位之间的进率是1000。一般年份除以4，没有余数的便是闰年;遇到整百年份要除以400没有余数才是闰年。