中国数学教育·高中版 2019年第10期（总第202期）
一、问题的提出
教学中经常遇到这样一个命题：指数函数y=a
x
（a>0,a≠ 1）和对数函数y=log
a
x（a>0,a≠ 1）的图象的
交点必在直线y=x上.
很多教师用举反例的方式说明这个命题是假命
题. 最常用的一个反例是：指数函数y=
( )
1
16
x
和对数函
数y=log
1
16
x互为反函数，点
( )
1
2
,
1
4
和
( )
1
4
,
1
2
同时在两个
函数的图象上，但不在直线y=x上.
如果把这个命题再进一步抽象为更一般的数学问
题：指数函数y=a
x
（a>0,a≠ 1）和对数函数y=log
a
x
（a>0,a≠ 1）的图象有几个交点？那么，这个问题的
“数学味”就更浓了，当然问题的难度也大了许多，多
数教师对相关的结论和求解过程都不甚了解.
实际上，对于这个问题，有以下的结论.
指数函数y=a
x
（a>0,a≠ 1）的图象与对数函数
y=log
a
x（a>0,a≠ 1）的图象：
（1）当a> e
e
时，没有交点；
（2）当a= e
e
时，有一个交点，且在直线
y=x
上，
此时
y=a
x
和
y=log
a
x
的图象同时与直线
y=x
相切于该交
点；
（3）当1
e
时，有两个交点，且都在直线
y=x
上；
（4）当e
-e
≤a< 1时，有一个交点，且在直线
y=x
上；
（5）当0
-e
时，有三个交点，其中有一个交
点在直线
y=x
上，另外两个交点关于直线
y=x
对称.
其中，
e
为自然对数的底数， e
e
≈ 1.444 67，
e
-e
≈ 0.065 99.
因为这个问题有非常好的教学意义，既可以满足
学生的好奇心和求知欲，又可以很好地加深学生对有
关概念的理解，所以一直有许多教师在尝试对这一问
题进行完整的求解. 例如，文［1］～文［6］都是对这一
问题的研究.
如果从适合高中教学的角度来看，这些文章都有
一个缺陷，就是在一些关键步骤上都使用了极限语言
或图象的凹凸性特征进行证明（或说明），超出了高中
的知识范围.
针对这一问题，笔者分别通过知网和百度进行了
多方搜索，尚未发现有完全使用高中知识的完整解
法. 为了更好地服务教学，本文针对这一问题，给出
一种不超出高中数学知识范围的证明（求解）方法，
供大家在教学中参考.
收稿日期：2019-06-29
作者简介：祝广文（1968—），男，中学高级教师，主要从事高中数学教学、高中教学管理和教育信息化应用研究．
介绍一种不超纲的证法
——再谈指数函数与对数函数图象的交点个数
祝广文
（山东省威海市教育教学研究中心）
摘 要：对同底数的指数函数与对数函数的图象交点的个数问题，给出了限于高中数学知识的证
明方法．
关键词：指数函数；对数函数；图象；交点；零点
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中国数学教育·高中版 2019年第10期（总第202期）
二、求解过程
1. 当
a>1
时的情况
（1）转化为相对简单的问题.
首先，证明以下引理.
引理：当
a>1
时，函数
y=a
x
和
y=log
a
x
的图象不可
能有不在直线
y=x
上的公共点.
证明：当
a>1
时，假设函数
y=a
x
和
y=log
a
x
的图象
有不在直线
y=x
上的公共点P( )m,n ，
m>0
，
n>0
，且
m≠n
. 不妨假设
m>n
.
由
y=a
x
是增函数，得a
m
>a
n
.
因为点P( )m,n 是公共点，
所以a
m
=n，
log
a
m=n
.
由
log
a
m=n
，得a
n
=m.
由a
m
=n，a
n
=m，a
m
>a
n
，得
n>m
.
与假设
m>n
矛盾.
所以引理得证.
根据上述引理可知，当
a>1
时，函数
y=a
x
和
y=log
a
x
的图象的公共点就是函数
y=a
x
的图象与直线
y=x
的公共点，当然也是函数
y=log
a
x
的图象与直线
y=x
的公共点. 因此，当
a>1
时，函数
y=a
x
和
y=log
a
x
的
图象的公共点的个数问题，等价于函数
y=a
x
的图象与
直线
y=x
的公共点的个数问题. 事实上，这个引理可以
很容易地推广到两个互为反函数的递增函数的情形.
（2）函数
y=a
x
的图象与直线
y=x
的公共点的个数.
设函数
f( )x =a
x
-x
，其中
a>1
.
下面判断该函数的零点的个数.
由
f( )x =a
x
-x
，得
f′( )x =a
x
lna-1
.
令
f′( )x =0
，得
x=log
a
log
a
e
.
当x∈
( )0,log
a
log
a
e 时，
f′( )x <0
；
当
x∈( )log
a
log
a
e,+∞ 时，
f′( )x >0
.
所 以
f( )x ≥f( )x
min
=f( )log
a
log
a
e =log
a
e-log
a
log
a
e=log
a
( )e lna
.
当a> e
e
时，
e lna>1
，
log
a
( )e lna >0
，
所以
f( )x =a
x
-x>0
.
此时有a
x
>x，即函数
y=a
x
的图象与直线
y=x
无交
点.
当a= e
e
时，同理有
f( )x
min
=a
x
-x=0
.
此时由a
x
=x，得函数
y=a
x
的图象与直线
y=x
有一
个公共点，易知此时两个函数的图象相切.
当1
e
时，
f( )x
min
=f( )log
a
log
a
e =log
a
( )e lna <0
.
接下来证明此时
f( )x =a
x
-x
在
( )0,log
a
log
a
e 和
( )log
a
log
a
e,+∞ 内各有一个零点.
因为
f( )0 =1>0
，且f
( )log
a
log
a
e <0，
由零点存在定理，知函数
f( )x
在
( )0,log
a
log
a
e 内
有一个零点.
令x
0
=( )log
a
e
2
，则f
( )x
0
=e
log
a
e
-( )log
a
e
2
.
由常见的放缩法e
x
>x
2
（证明略），易知f
( )x
0
>0.
下面证明x
0
∈ ( )log
a
log
a
e,+∞ .
直接证明
( )log
a
e
2
>log
a
log
a
e并不是很困难，读者可
以自行一试. 这里，我们介绍一个更简单的等价处理
方法.
事实上，只需要证明
( )log
a
e
2
>e就可以了. 这是因
为显然
f( )e =a
e
-e<
( )
e
e
e
-e=0
，若
( )log
a
e
2
>e，则
f( )x
在
( )e,+∞
内有一个零点. 再根据已知的
f( )x
的单
调性，可知必有x
0
∈ ( )log
a
log
a
e,+∞ .
而要证明
( )log
a
e
2
>e是非常容易的. 因为1
e
，
所 以
0
1
e
，
( )log
a
e
2
>e
2
>e. 所 以
f( )x
在
( )log
a
log
a
e,+∞ 有一个零点.
所以，当1
e
时，函数
f( )x =a
x
-x
共有两个零
点，即函数
y=a
x
的图象与直线
y=x
共有两个交点.
2. 当
0
时的情况
设函数
f( )x =a
x
-log
a
x
，其中
0
.
求导，得
f′( )x =
1-xa
x
( )lna
2
-xlna
.
设
g( )x =1-xa
x
( )lna
2
，
则
g′( )x =-a
x
( )lna
2
( )1+xlna
.
令
g′( )x =0
，解得
x=-log
a
e
.
易知
g( )x =1-xa
x
( )lna
2
在
( )0,-log
a
e 内单调递减，
在
( )-log
a
e,+∞ 内单调递增.
所以
g( )x
min
=g( )-log
a
e =1+
lna
e
.
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中国数学教育·高中版 2019年第10期（总第202期）
当
g( )x
min
≥ 0
时，有
g( )x
min
=1+
lna
e
≥ 0
.
解得e
-e
≤a< 1.
所以
f′( )x ≥ 0
.
所以
f( )x =a
x
-log
a
x
是单调递增函数.
因为
f( )a =a
a
-1<0
，
f( )1 =a>0
，
所以函数
f( )x =a
x
-log
a
x
有一个零点，即此时函数
y=a
x
与
y=log
a
x
的图象有一个交点.
当
g( )x
min
<0
时，有
g( )x
min
=1+
lna
e
<0
.
解得0
-e
.
因为
g( )0 =1>0
，
所以函数
g( )x
在
( )0,-log
a
e 内有一个零点.
在
( )-log
a
e,+∞ 内取x=1，则
g( )1 =1-a( )lna
2
.
令
h( )a =a( )lna
2
，易知
h′( )a =lna( )lna+2
.
由0
-e
，知
lna<-e<0
，
lna+2<-e+2<0
.
所以
h′( )a >0
.
所以
h( )a
单调递增，且
h( )a
-e
=e
2-e
<1
.
所以
g( )1 >0
.
所以
g( )x
在
( )-log
a
e,+∞ 内也存在一个零点.
所以函数
f′( )x
在
( )0,+∞
内共有两个零点，不妨
设为x
1
，x
2
，且x
1
2
.
当0
1
和x>x
2
时，
f′( )x >0
；
当x
1
2
时，
f′( )x <0
.
所以函数
f( )x
有一个极大值f
( )x
1
和一个极小值
f( )x
2
.
下面证明f
( )x
1
>0，且f( )x
2
<0.
设函数
y=a
x
与直线
y=x
的交点为
( )x
3
,x
3
（因为
a<1
，易知交点存在），
所以x
3
是函数
y=a
x
-x
的一个零点，也是函数
f( )x =a
x
-log
a
x的一个零点.
所以有a
x
3
=x
3
，lna=
lnx
3
x
3
.
因为y=a
x
-x（0
-e
）为减函数，且a
1
e
<
1
e
，
所以x
3
<
1
e
.
所以f′( )x
3
=
1-x
3
a
x
3
( )lna
2
-x
3
lna
=
1-( )lnx
3
2
-x
3
lna
<0.
所以x
3
落在函数f( )x 的单调递减区间( )x
1
,x
2
内，
x
1
3
2
，且f( )x
3
=0.
所以f( )x
1
>0，且f( )x
2
<0.
又因为f( )1 =a>0=f( )x
3
，且x
3
<1，
根据函数f( )x 的单调性和零点存在定理，可知
f( )x 在( )x
3
,1 内有一个零点，也是( )x
3
,+∞ 内的唯一零
点.
同理，f( )a =a
a
-1<0=f( )x
3
，且x
3
=a
x
3
>a.
所以f( )x在( )a,x
3
内有一个零点，也是( )0,x
3
内的唯一
零点.
所以，当0
-e
时，函数f( )x =a
x
-log
a
x共有三
个零点，即函数y=a
x
与y=log
a
x的图象共有三个交点，
其中一个交点在直线y=x上，另两个交点关于直线y=x
对称.
参考文献：
［1］刘志江. 同底数的指数函数和对数函数图象位
置关系探究［J］. 中学数学（高中），2018（5）：
76-78.
［2］李惟峰. 对指数函数、对数函数、幂函数交点
问题的探究［J］. 中学教研（数学），2008（1）：
30-31.
［3］刘志. 指数函数和对数函数的图象交点个数［J］.
高等数学研究，2012，15（5）：43-45.
［4］高明. 指数函数
y=a
x
与对数函数
y=log
a
x
的研
究［J］. 数学学习与研究，2009（12）：96-99.
［5］高焕江. 指数函数与对数函数图象的两类交
点［J］. 红河学院学报，2010，8（2）：36-39.
［6］黄俊明. 关于指数函数与对数函数图象的交
点个数问题［J］. 凯里学院学报，2007，25（6）：
7-8.
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