专题10 二次函数一、单选题1．（2022·山东淄博·中考真题）若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（?）
A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】先求得a=1，推出，原式化简得，利用偶次方的非负性，即可求解．【详解】解：∵二次函数的图
象经过P（1，3），∴，∴a=1，∴二次函数的解析式为，∵二次函数的图象经过Q（m，n），∴即，∴，∵，∴的最小值为1，故选：A．
【点睛】本题考查了配方法的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，非负数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解
题的关键．2．（2022·山东潍坊·中考真题）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（?）A．B．C．D．4【答案
】B【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值．【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共
点，∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，∴△=1-4c=0，解得：c=．故选：B．【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的
判别式的意义是解本题的关键．3．（2021·山东淄博·中考真题）已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是
（?）A．1B．C．2D．4【答案】C【分析】由题意易得点的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然后问题可求解．【详解
】解：假设点A在点B的左侧，∵二次函数的图象交轴于两点，∴令时，则有，解得：，∴，∴，∵图象上有且只有三点满足，∴点的纵坐标的绝对
值相等，如图所示：∵，∴点，∴；故选C．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．4．（202
2·山东菏泽·中考真题）如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开
始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（?）A．B．C．D．【答
案】B【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再
结合函数图象即可求解．【详解】过点C作CM⊥AB于N，，在等腰中，，，①当时，如图，，，，∴，y随x的增大而增大；②当时，如图，，
∴当时，y是一个定值为1；③当时，如图，，，,当x=3，y=1，当3 项的图象，故选：B．【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．5．（20
22·山东潍坊·中考真题）如图，在?ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在?ABCD的边上，从点A同时出发，分别
沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反
映y与x之间函数关系的图象是（?）B．C．D．【答案】A【分析】分0≤x≤1，1 式求解即可．【详解】解：当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G，∵∠A=60°，AE=AF=x，∴AG=x，由勾股定理得FG=x
，∴y=AE×FG=x2，图象是一段开口向上的抛物线；当1 =1，DF= x-1，∴AH=，由勾股定理得DH=，∴y=(DF+AE)×DH=x-，图象是一条线段；当2≤x≤3时，过点E作EI
⊥CD于点I，∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，同理求得EI=(3-x)，∴y= AB×DH -CF×EI=-(3-x
)2=-x2+x-，图象是一段开口向下的抛物线；观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求
动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．
6．（2021·山东青岛·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（?）A．B．
C．D．【答案】D【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与
y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】解：∵反比例函
数的图象在二、四象限，∴b＜0，A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数
图象应该过第一、二、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，B错误；C、∵
二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，C错误；D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交
y轴的负半轴，∴a＜0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数、反
比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．7．（2021·山东东营·
中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（?）A．B．C．D．【答案】C【分析】逐一分析四个选项，根据二次函
数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．【详解】A.
∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；B. ∵二次函数
图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；C.?∵二次函数图象开口向下
，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y
轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图
象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．8．（2021·山东聊城·中考真题）已知二次函数y＝ax2＋bx＋
c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（?）B．C．D．【答案】D【分析】先通过
二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项
．【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，可得：又由于当x=1时，因此一次函数的图像经过一
、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例
函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个
函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．9．（2020·山东青岛·中考真题）已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函
数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0
，b﹥0，c﹥0，由此可得出﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．【详解】由二次函数图象可知：a﹤0
，对称轴﹥0，∴a﹤0，b﹥0，由反比例函数图象知：c﹥0，∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项，只有B选
项符合一次函数的图象特征．故选：B·【点睛】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的
关系是解答的关键·10．（2020·山东菏泽·中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（?）A．B．C．D．
【答案】B【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过
的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b＜0，∴一次函数图
象应该过第一、三、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，∴a>0，b>0，∴一次函数图象应该过第一、二、三
象限，B正确；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a<0，b>0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；D、∵
二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．故选：B．【点睛】本题考查
了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．11．（2020·山东泰安·
中考真题）在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（?）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一次函数和二次函数的图
象和性质，分别判断a，b的符号，利用排除法即可解答．【详解】解：A、由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0
，b＜0，不符合题意；B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意；C、由一次函数图象可
知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意；D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞
0，b＜0，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．12．
（2022·山东济南·中考真题）抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持
不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（?）A．或B．C．D．【答案】D【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以
及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第
二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．【详解】抛物线解析式变形为：，即抛物
线对称轴为，当x=m-1时，有，当x=m+1时，有，设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点，即点A(m-1,1)与B(m+1
,1)关于抛物线对称轴对称，当x=0时，有，∴C点坐标为，当x=m时，有，∴抛物线顶点坐标为，∵直线l⊥y轴，∴直线l为，∵m-1
＜m+1，∴M点在N点左侧，此时分情况讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有，∴此
时不符合题意；第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，由图可知此时M、N点满足，∴此时不符合题意；第三种情况，当y轴在M、N点之间
时，如图， 或者 ，由图可知此时M、N点满足，∴此时符合题意；此时由图可知：，解得，综上所述：m的取值范围为：，故选：D．【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．13．（2021·山东济南·中考真题）新定义：在平面直角
坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限
变点的纵坐标的取值范围是（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，
据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围【详解】点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图
像即为图中虚线部分，如图，当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称，从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3，最小值是
当时，取得最小值，．故选D．【点睛】本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义
，画出函数图像是解题的关键．14．（2022·山东日照·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对
称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1 若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（?）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】由对称轴为即可判断①；根据点，（3，y
2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点（-1，0），得出a-b+c=0，对称轴，得出，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及
抛物线的对称性即可判断④．【详解】解：∵对称轴，∴b=-3a，∴3a+b=0，①正确；∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点（3
，y2）的距离，∴y1 故③错误；∵对称轴，∴点（0，c）的对称点为（3，c），∵开口向上，∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了
二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．15．（2022·山东烟台·中考真题）二次函数y＝ax
2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a
＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）A．①③B．②
④C．③④D．②③【答案】D【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称可知a＝b
，从而可判断答案．【详解】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝，∴b＝a
，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合题意．④由图象可
知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符
合题意．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型．
16．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是（?）A．B．C．D．
【答案】D【分析】图象开口向下，得a<0， 对称轴为直线，得b=2a，则b<0，图象经过，根据对称性可知，图象经过点，故c>0，当
x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0．【详解】解：∵图象开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线，∴b=2a，∴b
<0，故A不符合题意；根据对称性可知，图象经过，∴图象经过点，当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；∴c=-a-b，∴c>0
，故B不符合题意；将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性
，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．17．（2022·山东威海·中考真题）如图，二次函数y＝ax2+b
x（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是(?)A．b＞0B．a+b＞0C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）
的一个根D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0【答案】D【分析】根据二次函数的
图像和性质作出判断即可．【详解】解：根据图像知，当时，，故B选项结论正确，不符合题意，，，故A选项结论正确，不符合题意；由题可知二
次函数对称轴为，，，故B选项结论正确，不符合题意；根据图像可知是关于的方程的一个根，故选项结论正确，不符合题意，若点，在二次函数的
图像上，当时，，故D选项结论不正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解
题的关键．18．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x-2-101y0466下列结论不
正确的是（?）A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线C．抛物线与x轴的一个交点坐标为D．函数的最大值为【答案】C【分析】利用
待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可【详解】解：由题意得，解得，∴抛物线解析式为，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直
线，该函数的最大值为，故A、B、D说法正确，不符合题意；令，则，解得或，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说
法错误，符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．19．（2022·山东滨州·中
考真题）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（?）A．4B
．3C．2D．1【答案】B【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B，∴抛物线对应的一
元二次方程有两个不相等的实数根，即，故①正确；对称轴为，整理得4a＋b＝0，故②正确；由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，
x＜－2或x＞6，故③错误，由图像可知，当x＝1时，，故④正确．∴正确的有①②④，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质与一元二
次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．20．（2021·山东日照·中考真题）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：
①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．
2D．1【答案】B【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为
负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．【详解】解：①抛物线图象开
口向上，，对称轴在直线轴左侧，，同号，，抛物线与轴交点在轴下方，，，故①正确．②，当时，由图象可得，当时，，由图象可得，，即，故②
正确．③，，，点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，，故③错误．④抛物线的顶点坐标为，，，无实数根．故④正确，综上所述，①②④
正确，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系．21．（2021·山东滨州
·中考真题）对于二次函数，有以下结论：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线向
左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（?）A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】将题目中的函
数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数，∴该函数的
对称轴为直线x=6，函数图象开口向上，当5＜x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y随x的增大而增大，故①不符合题意；当x=6
时，y有最小值3，故②符合题意；当y=0时，无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意；图象是由抛物线向右平移6个单位长度，再向
上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意；故正确的是②，正确的个数是1，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几
何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．22．（2021·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的图象经过点，，与y
轴交于点C．下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④．其中正确的个数有（?）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分
析】①根据二次函数的图象经过A(-1，0)，B(3，0)，可得到对称轴，并将(-1，0)代入解析式得到b、c与a的关系，及a<0从
而判断；②由对称轴和函数的图像可以判断；③算出a和c的关系即可；④当x=1时，y最大=a+b+c即可判断；【详解】∵二次函数的图象
经过点A(-1，0)，B(3， 0)∴对称轴∴b =-2a，c = -3a∵二次函数的图象开口向下∴a < 0∴2a+b+c =
-3a >0，∴ac＜0故①错误；∵二次函数的图象开口向下，对称轴，∴当x >1时，y随x的增大而减小；故②错误；∵c = -3a
∴3a+c=0，故③正确；由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a)∵当x=1时，y最大=a+b+c，当x=m时，y=∴故④正确
；故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
23．（2021·山东枣庄·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点
，则；⑤（其中）．正确的结论有（?）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴
，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；
利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．【详解】解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，，抛物线的对称轴为，
，，则结论①正确；将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误；将代入得：，则结论②正确；抛物线的对称轴为，和时的函数值相等，即都为
，又当时，随的增大而减小，且，，则结论④错误；由函数图象可知，当时，取得最大值，最大值为，，，即，结论⑤正确；综上，正确的结论有①
②⑤，共3个，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．24．（2020·山东日照
·中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为
任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x
2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【分析】由图象可知a＜0，c＞
0，由对称轴得b=2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由x=-1时
，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2
），另一个交点为（1，-2），即x1=1，x2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．【详解】解：由图象可知：a＜0，c＞0， ，∴
b＝2a＜0，∴abc＞0，故①abc＜0错误；当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣
c正确；∵x＝﹣1时，y有最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，
故③错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1
|＜|x2|），∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数
y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），即x1＝1，x2＝﹣3，∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．
所以正确的是②④；故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向
上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号
时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．25．（2020·山东威海·中考真题）如图，抛物线交
轴于点，，交轴于点．若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是（?）A．二次函数的最大值为B．C．D．【答案】D【分析】根据抛物
线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．【详解】解：抛物线
y＝ax2＋bx＋c过点A（?4，0），对称轴为直线x＝?1，因此有：x＝?1＝?，即2a?b＝0，因此选项D符合题意；当x＝?1
时，y＝a?b＋c的值最大，选项A不符合题意；由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），当x＝1时，y＝a＋b＋
c＞0，因此选项B不符合题意；抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2?4ac＞0，故选项C不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二次
函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．26．（2020·山东东营·中考真题）如图，已知抛物线的
图象与轴交于两点，其对称轴与轴交于点其中两点的横坐标分别为和下列说法错误的是（?）A．B．C．D．当时，随的增大而减小【答案】B【
分析】根据开口方向、对称轴、与轴交点即可分别判断符号，进而判断A选项；由两点的横坐标分别为和可得两个方程，判断B选项；由当时判断C
选项；由二次函数对称轴及增减性判断D选项.【详解】∵开口向下，与轴交点在正半轴∴∵两点的横坐标分别为和∴∴∴，故A选项正确，B选项
错误∵两点的横坐标分别为和∴B点横坐标为3∴当时，故C选项正确∵当时，随的增大而减小∴当时，随的增大而减小，故D选项正确故选：B.
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，重点考查二次函数系数符号与图象的关系，熟记二次函数图象性质是解题的关键.27．（2020·山
东滨州·中考真题）对称轴为直线x＝1的抛物线（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞
4ac，③4a＋2b＋c＞0，④3a＋c＞0，⑤a＋b≤m(am＋b)（m为任意实数）， ⑥当x＜－1时，y随x的增大而增大，其中
结论正确的个数为（?）A．3B．4C．5D．6【答案】A【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，
然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∵-=1，∴b=-
2a＜0，∴abc＞0，故①错误；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故②正确；③当x=2时，y=4a+2b+c＜0，
故③错误；④当x=-1时，y=a-b+c=a-（-2a）+c＞0，∴3a+c＞0，故④正确；⑤当x=1时，y取到值最小，此时，y=
a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b）
，故⑤正确，⑥当x＜-1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2
+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．28．（2020·山东德州·中考真题）二次函数的部分图象如图所
示，则下列选项错误的是（ ）A．若，是图象上的两点，则B．C．方程有两个不相等的实数根D．当时，y随x的增大而减小【答案】D【分析
】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．【详解】由函数的图象可知，二次函数的对称
轴为则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，选项D错误由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等则当时，函数值为，则选
项A正确又当时，，即，选项B正确由函数的图象可知，二次函数的图象与x轴有两个交点则将二次函数的图象向上平移2个单位长度得到的二次函
数与x轴也有两个交点因此，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根即方程有两个不相等的实数根，选项C正确故选：D．【点睛】本题考查
了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系，掌握理解二次函数的图象与性质是解题关键．29．（2020·
山东枣庄·中考真题）如图，已知抛物线的对称轴为直线．给出下列结论：①；?②；?③；?④．其中，正确的结论有（?）A．1个B．2个C
．3个D．4个【答案】C【分析】根据开口方向及抛物线与ｙ轴交点的位置即可判断①；根据抛物线与ｘ轴交点的个数即可判断②；根据对称轴为
直线，即可判断③；根据抛物线的对称性，可知抛物线经过点（-1,0），即可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，则a＜0，∵抛物线交
于y轴的正半轴，则c＞0，∴ac＜0，故①正确；∵抛物线与ｘ轴有两个交点，∴，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线，则，即2a=-b，
∴2a+b=0，故③错误；∵抛物线经过点（3,0），且对称轴为直线，∴抛物线经过点（-1,0），则，故④正确；∴正确的有①②④，共
3个，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开
口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同
号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；?当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交
点，抛物线与y轴交于（0，c）．30．（2021·山东泰安·中考真题）将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物
线必定经过（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线的图象向右平移1个单位，
再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可.【详解】解：将抛物线化为顶点式，即：，将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下
平移2个单位，根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：，A选项代入，，不符合；B选项代入， ，符合；C选项代入， ，不符合；D
选项代入，，不符合；故选：B．【点睛】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右
减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键．二、多选题31．（2021·山东潍坊·中考真题）在直角
坐标系中,若三点A（1,﹣2）,B（2,﹣2）,C（2,0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a,b均为常数）的图象
上,则下列结论正确的是（?）．A．抛物线的对称轴是直线B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣,0）和（2,0）C．当t＞时,关于x的一元
二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根D．若P（m,n）和Q（m+4,h）都是抛物线上的点且n＜0,则 ．【答案】ACD
【分析】利用待定系数法将各点坐标两两组合代入,求得抛物线解析式为 ,再根据对称轴直线 求解即可得到A选项是正确答案,由抛物线解析式
为,令 ,求解即可得到抛物线与x轴的交点坐标（-1,0）和（2,0）,从而判断出B选项不正确,令关于x的一元二次方程 的根的判别式
当,解得 ,从而得到C选项正确,根据抛物线图象的性质由 ,推出 ,从而推出 ,得到D选项正确．【详解】当抛物线图象经过点A和点B时
,将A（1,-2）和B（2,-2）分别代入,得,解得 ,不符合题意,当抛物线图象经过点B和点C时,将B（2,-2）和C（2,0）分
别代入,得,此时无解,当抛物线图象经过点A和点C时,将A（1,-2）和C（2,0）分别代入得,解得,因此,抛物线经过点A和点C,其
解析式为,抛物线的对称轴为直线 ,故A选项正确,因为,所以 ,抛物线与x轴的交点坐标是（-1,0）和（2,0）,故B选项不正确,由
得,方程根的判别式 当 , 时, ,当时,即,解得 ,此时关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,故C选项正确,因为抛物线与x轴
交于点（-1,0）和（2,0）,且其图象开口向上,若P（m,n）和Q（m+4,h）都是抛物线上的点,且n<0,得 ,又得 , 所以
h＞0,故D选项正确．故选ACD．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点?根的判别式?二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，解题
的关键是利用数形结合思想，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标的解答方法．三、填空题32．（2022·山东枣庄·中考真题）小明在学
习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对
称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠
0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0
，其中正确的结论有 _____．（填序号，多选、少选、错选都不得分）【答案】①②③【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可
判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可以判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可以判断④；对称轴可得b＝
2a，由抛物线过点（1，0），可判断⑤．【详解】∵抛物线对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，①
正确；∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，②正确．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴另一个交
点为（﹣3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4
）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，∴y2＞y1＞y3，④错误．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴a+b+c＝0，∵＝﹣1
，∴b＝2a，∴3a+c＝0，⑤错误．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，
掌握二次函数与方程及不等式的关系．33．（2021·山东济宁·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下
面结论：①；②；③；④方程必有一个根大于且小于0．其中正确的是____（只填序号）．【答案】①②④．【分析】根据题意和函数图象，可
以判断各个小题中的结论是否成立．【详解】解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，则abc＜0，故①正确；∵-=1，∴b=-2a，∴
2a+b=0，故②正确；∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1，∴函数图象与x轴的另一个交
点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，∴y=a+2a+c＜0，∴3a+c＜0，故③错
误；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是
明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．34．（2021·山东菏泽·中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征
数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小
，其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②③．【分析】利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判
断后即可确定正确的答案．【详解】解：当时，把代入，可得特征数为∴，，，∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；当时，把代入
，可得特征数为∴，，，∴函数解析式为，当时，，函数图象过原点，故②正确；函数 当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；当时，函
数图像开口向下，对称轴为：∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；综上所述，正确的是①②
③，故答案是：①②③．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．35．
（2021·山东泰安·中考真题）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有
实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．【答案】②④【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可
．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即b=﹣2
a＞0∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴a﹣
b+c=0，故②正确；根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；由得，根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点，∴有实数根，故④
正确，综上，正确的为②④，故答案为：②④．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解
决问题是解答的关键．36．（2020·山东泰安·中考真题）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：02606下列结论：①；
②当时，函数最小值为；③若点，点在二次函数图象上，则；④方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是_____________
_____．（把所有正确结论的序号都填上）【答案】①③④【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断
①；由抛物线的性质可判断②；把点和点代入解析式求出y1、y2即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得
答案．【详解】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：，解得：，∴二次函数的解析式是，∴a=1＞0，故①正确
；当时，y有最小值，故②错误；若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；当y=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，
故④正确；综上，正确的结论是：①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质
以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．37．（2020·山东淄博
·中考真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠
一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是___
__个．【答案】210【详解】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求
出快递货车装载的货包数量最多的站．【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿
站发给该站的货包共（x﹣1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．根据题意，完成下表：服务驿站序
号在第x服务驿站启程时快递货车货包总数1n﹣12（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）32（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3
）43（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）54（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）……n0由上表可得y＝x（n﹣x）．当n
＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，当x＝14或15时，y取得最大值210．答：在整
个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活
中的应用，二次函数的最值在x＝﹣时取得．38．（2020·山东威海·中考真题）下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数
表达式为__________．……………………【答案】【分析】根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中的点(-1，0
)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案．【详解】解：根据表
中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点带入函数关系式，得：解得：，∴函数的表达
式为：．故答案为：．【点睛】本题考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、图像法，本题就是将列表法
转变为解析式法．39．（2020·山东青岛·中考真题）抛物线（为常数）与轴交点的个数是__________．【答案】2【分析】求出
?的值，根据?的值判断即可．【详解】解：∵?=4(k-1)2+8k=4k2+4>0，∴抛物线与轴有2个交点．故答案为：2．【点睛】
本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴的交点横坐标是一元二次方
程ax2+bx+c=0的根．当?=0时，二次函数与x轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当?>0时，二次函数与x轴有两个
交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当?<0时，二次函数与x轴没有交点，一元二次方程没有实数根．40．（2021·山东淄博·中
考真题）对于任意实数，抛物线与轴都有公共点．则的取值范围是_______．【答案】【分析】由题意易得，则有，然后设，由无论a取何值
时，抛物线与轴都有公共点可进行求解．【详解】解：由抛物线与轴都有公共点可得：，即，∴，设，则，要使对于任意实数，抛物线与轴都有公共
点，则需满足小于等于的最小值即可，∴，即的最小值为，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的综合是解题
的关键．四、解答题41．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2
)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等
腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【答案】(1)(2)（1，-2）(3)（-1，0）或（，-2）或（，2）【分析】（1）利
用待定系数法求解即可；（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（
2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况
讨论求解即可．（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，∴抛物线对
称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），?由轴对称的性
质可知CQ=EQ，∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，∴当A、Q、E三
点共线时，AQ+QE最小，设直线AE的解析式为，∴，∴，∴直线AE的解析式为，当时，，∴点Q的坐标为（1，-2）；（3）解： 如图
1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，∵△PBM是以PB为腰的
等腰直角三角形，∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，∴∠FMP=
∠EPB，∴△FMP≌△EPB（AAS），?∴PE=MF，BE=PF，设点P的坐标为（1，m），∴，∴，，∴点M的坐标为（1-m，
m-2），∵点M在抛物线上，∴，?∴，∴，解得或（舍去），∴点M的坐标为（-1，0）；同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可
以求得点M的坐标为（-1，0）；如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF
⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），同理可证△PEB≌△BFM（AAS），∴，∴点M的坐标为（3-m，-2），∵点M在抛物线上，
∴，∴，∴，解得或（舍去），∴点M的坐标为（，-2）；如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，同理可以求得点M的坐标为（
，2）；综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）．【点睛】本题主要考查了
待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．42
．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．(1)求抛物线的表达式；(2)将沿AC
所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；(3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的
坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）直接利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形
，再根据折叠的性质得出点B、C、D三点共线，继而通过证明，利用相似三角形的性质即可得出点D的坐标，根据四边形OADC的面积进行求解
即可；（3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，分别求解即可．（1）将，，代入抛物线，得，解得，所以，抛物线的
表达式为；（2）如图，过点D作DE⊥x轴于E，，∵，，，，，为直角三角形且，将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，此时，点
B、C、D三点共线，BC=DC，，，，，，，∴四边形OADC的面积；（3）当点P在x轴上方时，∵，∴轴，点P的纵坐标为4，即，解得
或0（舍去）；当点P在x轴下方时，设直线CP交x轴于F，∵，∴，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，，，∴设直线CF的解析式为，
即，解得，∴直线CF的解析式为，令，解得或0（舍去），当时，；综上，或．【点睛】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求二次
函数解析式，勾股定理的逆定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点并能够
灵活运用是解题的关键．43．（2022·山东济南·中考真题）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P
在抛物线上，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的
直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．【答案】(1)，
，t=3，(2)点(3)【分析】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；（2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，
，再根据，可求出m，即可求解；（3）作轴交于点，过点作轴于点，则，再根据，可得，，然后根据，可得，从而得到，在根据二次函数的性质，
即可求解．（1）解：∵在抛物线上，∴，∴，∴抛物线解析式为，当时，，∴，（舍），∴．∵在直线上，∴，∴，∴一次函数解析式为．（2）
解：如图，作轴于点，对于，令x=0，则y=-6，∴点C（0，-6），即OC=6，∵A（3，0），∴OA=3，∵点P的横坐标为m．∴
，∴，，∵∠CAP=90°，∴，∵，∴，∵∠AOC=∠AMP=90°，∴，∴，∴，即，∴（舍），，∴，∴点．（3）解：如图，作轴交
于点，过点作轴于点，∵，∴点，∴，∵PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠PNQ=∠OCB，∵∠PQN=∠BOC=90°，∴，∴，∵，，∴
，∴，，∵EN⊥y轴，∴EN∥x轴，∴，∴，即∴，∴，∴，∴当时，的最大值是．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次
函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．44．（2022·山东枣庄·中考真题）
如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交
线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OP
E面积最大时，求出P点坐标；(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求
h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？
若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3(2)P点坐标为
（，）(3)h的取值范围为3≤h≤4(4)存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）或（，）【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的
解析式；（2）过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可
得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标
，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△O
MP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+
c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴ ，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图1，过P作PGy轴，交OE
于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝
OA＝3，∴E（3，3），设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，3＝3k，解得k＝1，∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPGPG?AE3×（﹣m2+5m
﹣3）（m2﹣5m+3）（m）2，∵0，∴当m时，△OPE面积最大，此时m2﹣4m+3＝，∴P点坐标为（，）；（3）由y＝x2﹣4
x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h
）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE
内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，
且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝
PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴
OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m或，∵m＞2，不合题意，舍去，∴m，此时m2﹣4m+3
＝，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1或m2，∵＞2，不合题意，
舍去，∴m＝，此时m2﹣4m+3＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作
FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1或m2；∵＜2，不合题意，舍去，∴m
＝，此时m2﹣4m+3＝，P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，?同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m
或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二
次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是
解决问题的关键．45．（2022·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）
．(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；(3)在（1）的条件下，
抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问
是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x2+2
x+3；(2)证明见解析，；(3)存在，点的坐标是（1，4），．过程见解析【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3
m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；（2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值
，进而求得结果；（3）将S变形为：S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△A
OB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标
，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果．（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，∴m=
1，∴y=-x2+2x+3；（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，，∴无论m为何值，抛物线必过定点D
，点D的坐标是；（3）如图，连接OP，设点P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，∴，∴，∴PD的解析式为：y
＝，当x＝0时，y＝，∴点N的坐标是（0，），∴，∵S=S△PAM-S△BMN，∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形
AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，∵，当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，∴点B的坐标是（0，3），OB＝3
，，∴＝＝，∴当时，，当时，，∴点的坐标是（1，4）．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求函
数解析式、二次函数求最值、三角形的面积等知识，解决问题的关键是数形结合和变形S，转化为常见的面积计算．46．（2022·山东烟台·
中考真题）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为
B，对称轴为直线x＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的
最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？
若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝﹣x2﹣x+4(2)S最大＝，D（﹣，5）(3)存在，Q（
﹣2，）【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D
和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；（3）根据菱形性质可得PA＝P
C，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．（1）解：当x＝0时，y＝4，∴C （0，4），当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，∴A （﹣3，0），∵对称轴为直线x＝﹣1，∴B（1，0），∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）?（x+3），∴4＝﹣
3a，∴a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）?（x+3）＝﹣x2﹣x+4；（2）如图1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D
（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，∴S△ADC＝OA＝?（﹣m2﹣4m）＝﹣2
m2﹣6m，∵S△ABC＝＝＝8，∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，∴当m＝﹣时，S最大＝，当m＝﹣时，y＝﹣＝5，∴D
（﹣，5）；（3）设P（﹣1，n），∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴（
﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n＝，∴P（﹣1，），∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC∴xQ＝﹣3﹣（﹣1
）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，∴Q（﹣2，）．【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握
相关二次函数和菱形性质47．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数y=x2+mx+m2?3（m为常数，m>0）的图象经过点P
(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m2?3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．【答案】(1)m=1(2
)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析．【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2?3即可求得m的值；（2）首先求
出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2?3图象经过点P(2，4) ，∴4=4+2m+m2
?3，即m2+2m?3=0，解得：m1=1，m2=?3，又∵m>0，∴m=1；（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x?2，∵Δ=
b2?4ac=12+8=9>0，∴二次函数y=x2+x?2的图象与x轴有两个交点．【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元
二次方程的解法，得出△的值是解题关键．48．（2022·山东威海·中考真题）探索发现(1)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+b
x+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．①如图1，直线DC交直线x＝1于点
E，连接OE．求证：AD∥OE；②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为
点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；(2)通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你
的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点
为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），_______．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)猜想：作MN⊥x轴于
N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，证明见解析【分析】（1）①将点A和B点的坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，b的值，从
而得出抛物线的解析式，从而得出点D和点C坐标，进而求得E点坐标和AD的解析式，再求出OE的解析式，从而得出结论；②方法①求得GH的
解析式，进而得出结论；（2）作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，方法同①相同可推出结论．（1）解：（1）①由
题意得，，∴，∴y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴D（-1，4），C（0，3），设直线CD的解析式为：y=mx+n，∴，
∴，∴y=-x+3，∴当x=1时，y=-1+3=2，∴E（1，2），∴直线OE的解析式为：y=2x，设直线AD的解析式为y=cx+
d，∴，∴，∴y=2x+6，∴OE∥AD；②设直线PD的解析式为：y=ex+f，∴，∴，∴y=-3x+1，∴当x=1时，y=-3×
1+1=-2，∴H（1，-2），设直线GH的解析式为：y=gx+h，∴，∴，∴y=2x-4，∴AD∥HG；（2）猜想：作MN⊥x轴
于N，直线DM交直线x=1于Q，连接NQ，则QN∥AD，如图，证明如下：设M（m，-m2-2m+3），设直线DM的解析式为y=px
+q，∴，∴，∴y=-（m+1）x+（-m+3），∴当x=1时，y=-m-1-m+3=-2m+2，∴Q（1，-2m+2），设直线N
Q的解析式为：y=ix+j，∴，∴，∴y=2x-2m，∴QN∥AD．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数解析式，一次函
数图象性质等知识，解决问题的关键是掌握一次函数平移的性质．49．（2022·山东泰安·中考真题）若二次函数的图象经过点，，其对称轴
为直线，与x轴的另一交点为C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．①若点N在线段上，且
，求点M的坐标；②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）利用
待定系数解答，即可求解；（2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M
的坐标为，则点N的坐标为根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解．（1）解：二次函数的图象经
过点，．又抛物线经过点，对称轴为直线， 解得∶抛物线的表达式为．（2）解∶①设直线的表达式为．点A，B的坐标为，，∴， 解得∶ ，
直线的表达式为．根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称，．设点N的坐标为．轴，．∴．，解，得．点M的坐标；②连接与交与点E．设点M
的坐标为，则点N的坐标为四边形是正方形，，，．∵MN⊥x轴，轴．E的坐标为．．．∴P的坐标．点P在抛物线上，．解，得，．点P在第四
象限，舍去．即．点M坐标为．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性
质是解题的关键．50．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与
y轴相交于点C，连接．(1)求线段AC的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；(3)若点M为该抛物线上
的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根据解析式求出A，B，C的坐标，然后用勾
股定理求得AC的长；（2）求出对称轴为x=1，设P（1，t），用t表示出PA2和PC2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M（m,
m2-2m-3），分情况讨论，当，，分别列出等式求解即可．（1）与x轴交点：令y=0，解得，即A（-1，0），B（3，0），与y轴
交点：令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），∴AO=1,CO=3,∴;（2）抛物线的对称轴为：x=1，设P（1，t），∴，，∴
∴t=-1，∴P（1，-1）；（3）设点M（m,m2-2m-3），，，,①当时，，解得，（舍），，∴M（1，-4）；②当时，，解
得，，（舍），∴M（-2，5）；③当时，，解得，，∴M或；综上所述：满足条件的M为或或或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐
标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．51．（2021·山东德州·中考真题）小
刚在用描点法画抛物线：时，列出了下面的表格：0123436763(1)请根据表格中的信息，写出抛物线的一条性质： ；(2)求抛物线
的解析式；(3)将抛物线先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线；①若直线与两抛物线，共有两个公共点，求的取
值范围；②抛物线的顶点为A，与轴交点为点，（点在点左侧），点（不与点A重合）在第二象限内，且为上任意一点，过点作轴，垂足为，直线交
轴于点，连接，，求证：．【答案】(1)抛物线的顶点坐标为（答案不唯一）；(2)；(3)①；②见解析．【分析】（1）从图表中可以得到
函数的顶点坐标；（2）根据待定系数法求函数解析式即可；（3）①根据平移的规律到新的函数解析式，联立直线与抛物线得到一元二次方程，利
用根的判别式找出有一个交点时的b的取值即可；②利用抛物线解析式求出B、C点的坐标，在中，，再求出直线AP解析式，在中， ，所以，可
证明．（1）解：（1）表中的数据关于对称，该抛物线的顶点为．故答案为：抛物线的顶点坐标为（答案不唯一）；（2）解：由题意抛物线的解
析式为，将表中的三对对应值代入得：解得：抛物线的解析式为．（3）解：①由（1）知：抛物线的解析式为，将抛物线先向下平移3个单位长度
，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线的顶点为．抛物线的解析式为．由题意得：或， 或．即或．当时，方程有两个相等的实数根，或．解
得：或．直线与两抛物线，共有两个公共点，．②由题意画出图形如下：过点A作轴于点，抛物线的解析式为，令，则，解得：或．抛物线与轴交点
为点，（点在点左侧），，．．由①知：抛物线的顶点为．，，．在中，．点（不与点A重合）在第二象限内，且为上任意一点，设点，则，．轴，
．设直线的解析式为，则：，解得：直线的解析式为．令，则．．．在中， ．．【点睛】本题考查二次函数的综合题，要求掌握函数的图象性质，
会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用一次函数与抛物线结合建立一元二次方程，利用根的判别式判断交点情况．52．（2021
·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为（2，﹣），抛物线与轴的一个交点为A（4，0），点B（2，
），点C与点B关于y轴对称．（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（2）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形的形状并证明；（
3）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化；请探究的大小变化并填写表格①④处的内容；在当
S的值为②时，求点P的横坐标的值．直线的函数表达式取的一个特殊值满足条件的点的个数的可能取值范围① 64个③ ② 3个102个④
【答案】（1）点在该抛物线上；证明见解答；（2）四边形是菱形；（3）①；②；③；④．当=时，点P的横坐标为或1或．【分析】（1）运
用待定系数法，设抛物线解析式为，将代入，即可求得抛物线解析式，当时，，故点在该抛物线上；（2）根据，，，的纵坐标相等可判断轴，再由
，可判断四边形是平行四边形，再运用两点间距离公式求出，运用菱形的判定定理即可．（3）①设，将，坐标代入即可求出直线的函数表达式；②
当点在直线下方的抛物线上时，如图2，设，过点作轴交直线于点，则，根据满足条件的点有3个，可得在直线下方的抛物线上只有1个点，即的值
最大，再利用二次函数最值性质即可得出答案；③由满足条件的点有3个，结合②即可得出答案；④满足条件的点只有2个，而在直线上方的抛物线
上一定有2个点，满足，故在直线下方的抛物线上没有点，满足，结合②即可得出答案．【详解】解：（1）设抛物线解析式为，将代入，得：，解
得：，抛物线解析式为，点，与点关于轴对称，，，当时，，点在该抛物线上；（2）四边形是菱形．证明：，，，，轴，，，，，四边形是平行四
边形，，，四边形是菱形．（3）①设直线的函数表达式为，，，，，解得：，直线的函数表达式为；故答案为：；②当点在直线下方的抛物线上时
，如图2，设，过点作轴交直线于点，则，，满足条件的点有3个，在直线下方的抛物线上只有1个点，即的值最大，，当时，取得最大值，此时点
，故答案为：；当P点在直线AC上方时，∴，当=时，即：，解得：，综上所述：当=时，点P的横坐标为或1或．③由②知，当时，在直线下方
的抛物线上有2个点，满足，在直线上方的抛物线上一定有2个点，满足，满足条件的点有4个，符合题意．故答案为：；④满足条件的点只有2个
，而在直线上方的抛物线上一定有2个点，满足，在直线下方的抛物线上没有点，满足，由②知，当时，在直线下方的抛物线上没有点，满足，符合
题意．故答案为：．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，菱形的判定，利用二次函数求最
值等，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，表达出三角形面积是解题关键．53．（2021·
山东威海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；（2）若点，在抛物线上
，且，则m的取值范围是 ；（直接写出结果即可）（3）当时，函数y的最小值等于6，求m的值．【答案】(1)顶点A的坐标为；(2)；(
3)或【分析】(1)将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点A的坐标；(2)将，代入抛物线中求得和的值，然后再解不等式即可求解；(3
)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m的值．【详解】解：(
1)由题意可知：抛物线，∴顶点A的坐标为；(2)将代入中，得到，将代入中，得到，由已知条件知：，∴，整理得到：，解得：，故m的取值
范围是：；(3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为，分类讨论：①当，即时， 时二次函
数取得最小值为，又已知二次函数最小值为6，∴，解得或，又，故符合题意；②当，即时，时二次函数取得最小值为，又已知二次函数最小值为6
，∴，解得或，又，故或都不符合题意；③当，即时， 时二次函数取得最小值为，又已知二次函数最小值为6，∴，解得或，又，故符合题意；综
上所述，或．【点睛】本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练掌握二次函数的图形
及性质是解决本题的关键．54．（2021·山东济宁·中考真题）如图，直线分别交轴、轴于点A，B，过点A的抛物线与轴的另一交点为C，
与轴交于点，抛物线的对称轴交于E，连接交于点F．（1）求抛物线解析式；（2）求证：；（3）P为抛物线上的一动点，直线交于点M，是否
存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析
；（3）存在，点P 的横坐标为或±．【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后再利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AD的解析式
为y=-x+3，进而得到点E的坐标为（1，2），运用三角函数定义可得即∠OAB=∠OEG=90°即可证得结论；（3）先求出直线CD
解析式为y=3x+3，再根据以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似，分两种情况：①当△AOM ∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，
从而得出OM//CD，进而得出直线OM的解析式为y=3x，再结合抛物线的解析式即可确定点P的横坐标；②当△AMO∽△ACD时，利用
，求出AM，进而求得点M的坐标，求得直线AM的解析式，进而完成解答．【详解】解：（1）∵直线分别交轴、轴于点A，B∴A（3,0），
B（0，），∵抛物线经过A（3，0），D（0，3），∴，解得∴该抛物线的解析式为；（2）∵，∴抛物线的对称轴为直线x=1，设直线A
D的解析式为y=kx+a，将A（3，0），D（0，3）代入得： ，解得 ∴直线AD的解析式为y=-x+3，∴E（1，2），G（1，
0），∵∠EGO=90°， ∴ ∵OA=3，OB=，∠A0B=90°，∴ ∴∴∠OAB=∠OEG，∵∠OEG+∠EOG=90°，∴
∠OAB+∠EOG=90°，∴∠AFO=90°，∴OE⊥AB；（3）存在.∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴C（-1，
0），∴AC=3-（-1）=4，∵OA=OD=3，∠AOD=90°，∴，设直线CD解析式为y=mx+n，则：，解得 ∴直线CD解析
式为y=3x+3，①当△AOM∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，如图2所示，∴OM//CD，∴直线OM的解析式为y=3x，∵抛物线
的解析式为y=-x2+2x+3，∴3x=-x2+2x+3，解得：；②当△AMO∽△ACD时，如图3所示，∴∴，过点M作MG⊥x轴于
点G，则∠AGM=90°，∵∠OAD=45°，∴∴OG=OA-AG=3-2=1，∴M（1，2），设直线OM解析式为y=m1x，将M
（1，2）代入，得：m1=2，∴直线OM解析式为y=2x，∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3∴2x=-x2+2x+3，解得：x
=±．综上，点P的横坐标为或±．【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象和性质、待定系数法求函数解析式、三角函数定
义、相似三角形的判定和性质等知识点，考查知识点较多、综合性较强、难度较大，灵活运用待定系数法、相似三角形的判定和性质以及数形结合思
想成为解答本题的关键．55．（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与
y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2
）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长
交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．【答案】（1）；（2）或；（
3）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分
别求解即可；（3）根据S1＝AE×yM，2S2＝ON?xM，即可求解．【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1
，a），由点A、C、D的坐标得，AC＝，同理可得：AD＝，CD＝，①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；②当AC＝AD时，同理可得a
＝（舍去负值）；故点D的坐标为（1，1）或（1，）；（3）∵E（m，0），可设点M（m，﹣m2＋2m＋3），设直线BM的表达式为y
＝sx＋t，则，解得：，故直线BM的表达式为y＝﹣x＋，当x＝0时，y＝，故点N（0，），则ON＝；S1＝AE×yM＝×（m＋1）
×（﹣m2＋2m＋3），2S2＝ON?xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），解得m＝﹣2±（舍去负值），经检验m＝
﹣2是方程的根，故m＝﹣2．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2）
，要注意分类求解，避免遗漏．56．（2020·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2
OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设
点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，
E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）D(1，2)；（3）存在
，m＝1或【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x＝＝（2t﹣t），即可求解；（2）点D（m，﹣m2+m
+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，即可求解；（3）以点O，D，E为顶点的三角形与
△BOC相似，则或，即＝2或，即可求解．【详解】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0
），则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1，故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+
1）＝ax2+bx+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，
故点C（0，2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（
m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；（3）
存在，理由：点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则
或，即＝2或，即＝2或，解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），故m＝1或．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结
合的综合能力．会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．
57．（2020·山东东营·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，交轴于点(点在点左侧)，连接直线与轴交于点与上方的抛物线交于点与交
于点．（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】
（1），；（2）存在，当时，有最大值且最大值为，此时点的坐标为．【分析】（1）直接将代入求出a，即可确定抛物线解析式；然后令y=0
求得x的值，再结合已知即可确定A、B的坐标；（2）作轴，交于点，由平行线等分线段定理可得；再根据题意求出D点坐标和CD的长，可得；
然后再根据B、C的坐标求出直线BC的解析式；再设，则，运用两点间距离公式求得EG，然后再代入，根据二次函数的性质即可说明【详解】解
：把代入，即，解得∴抛物线的解析式为令可得:∴；存在，如图，由题意，点在轴的右侧，作轴，交于点直线与轴交于点∴，设所在直线的解析式
为，将代入上述解析式得：解得:的解析式为设则，其中.∴抛物线开口方向朝下∴当时，有最大值，最大值为.将t=2代入=-2+3+2=3
∴点的坐标为．【点睛】本题主要考查了求一次函数和二次函数解析式、平行线等分线段定理以及运用二次函数的性质求最值，掌握平行线等分线段
定理是解答本题的关键．58．（2020·山东滨州·中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其
对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点
P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，
并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．【答案】（1）；（2）见解析；（3），【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以
假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出a即可．（2）由题意P（m，），求出d2，PF2（用m表示）即可解决
问题．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，推出DQ
+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．【详解】解：（1）设抛物线的函数解析式为由题意,抛物线的顶点为
又抛物线与轴交于点抛物线的函数解析式为（2）证明：∵P（m，n），∴，∴P（m，），∴，∵F（2，1），∴，∵，，∴d2=PF2，
∴PF=d．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，∴D
Q+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，∵QF=QH，∴DQ+DF=DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH
的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ+QH的最小值为6，∴△DFQ的周长的最小值为，此时Q（4，-）．【点睛】本题
属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题
．59．（2020·山东临沂·中考真题）已知抛物线．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）
设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）当a＞0时，；当a＜0时，或．【分析】（1）将二次函数化为顶
点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到的值，进而得到其解析式
；（3）根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围．【详解】（1）∵，∴，∴其对
称轴为：．（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：，∵抛物线顶点在轴上，∴，解得：或，当时，其解析式为：，当时，其解析式为：，综上，二
次函数解析式为：或．（3）由（1）知，抛物线的对称轴为，∴关于的对称点为，当a＞0时，若，则-1＜m＜3；当a＜0时，若，则m＜-
1或m＞3.【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键
．60．（2020·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作
轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作，垂足为点N．设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段PN
的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角
形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2），当时，PN有最大值，最大值为．?（3）
满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，．【分析】（1）将点A、B的坐标代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得点C坐标，利用待定系数
法求得直线BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=A
Q，分别求解即可．【详解】解：（1）将，代入，得，解之，得．所以，抛物线的表达式为．?（2）由，得．将点、代入，得，解之，得．所以
，直线BC的表达式为：． 由，得，．∴∵，∴．∴．∴． ．∵∴当时，PN有最大值，最大值为．?（3）存在，理由如下：由点，，知．①
当时，过Q作轴于点E，易得，由，得，（舍）此时，点；?②当时，则．在中，由勾股定理，得．解之，得或（舍）此时，点；?③当时，由，得
（舍）．综上知所述，可知满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，．【点睛】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，
找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．61．（2022·山东威海·
中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m
宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．【答案】288m2【分析】设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边
长为m，设鸡场面积为ym2，根据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可．【详解】解：设与墙平行的一边为
xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2，根据题意，得，∴当x=24时，y有最大值为288，∴鸡场面积的最大值
为288m2．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式．62．（2021·山东德州·中考真题）某公
司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的成本（万元）与产品数量（件之间具有函数关系，城生产产品的每件成本为60万元．(
1)当城生产多少件产品时，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？(2)从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和3万元件
；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和2万元件．地需要90件，地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使，两城运费的和最
小？【答案】(1)A城生产20件，最小值是5700万元；(2)从城把该产品运往地的产品数量为20件，则从城把该产品运往地的产品数量
为0件；从城把该产品运往地的产品数量为70件，则从城把该产品运往地的产品数量为10件时，可使，两城运费的和最小．【分析】（1）设A
，两城生产这批产品的总成本的和为（万元），则W等于A城生产产品的总成本加上B城生产产品的总成本，由此可列出W关于x的二次函数，将其
写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，分别用含n的式子表示出从A城把该产品运往D
地的产品数量、从B城把该产品运往C地的产品数量及从B城把该产品运往D地的产品数量，再列不等式组求得n的取值范围，然后用含n的式子表
示出A，B两城总运费之和P，根据一次函数的性质可得答案．(1)解：设A，两城生产这批产品的总成本的和为（万元），则，∴当时，取得最
小值，最小值为5700万元，∴城生产20件，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元；(2)设从A城把该产品运往地的产
品数量为件，则从城把该产品运往地的产品数量为件，从城把该产品运往地的产品数量为件，则从城把该产品运往地的产品数量为件，运费的和为（
万元），由题意得：，解得，，根据一次函数的性质可得：P随n增大而减小，∴当时，取得最小值，最小值为110，∴从城把该产品运往地的产
品数量为20件，则从城把该产品运往地的产品数量为0件；从城把该产品运往地的产品数量为70件，则从城把该产品运往地的产品数量为10件
时，可使A、两城运费的和最小．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系并熟练掌握一次
函数和二次函数的性质．63．（2021·山东青岛·中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相
关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在
1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系
如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出与之间的函数关系式；（2）求出与
之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？【答案】（1）；（2）；（3）70米【分析
】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）用待定系数法求函数解析式即可；（3）当1＜x≤6时小钢球在无
人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．【详解】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b''，∵函数图象过点（0，30）和（1，35），则，解得，∴y1与x之间的函数关系式为．（2）∵时，，∵的图象是过原点的抛物线，∴设，∴点，在抛物线上．∴，即，解得，∴．答：与的函数关系式为．（3）设小钢球和无人机的高度差为米，由得或.①时，，∵，∴抛物线开口向下，又∵，∴当时，的最大值为；②时，，∵，∴拋物线开口向上，又∵对称轴是直线，∴当时，随的增大而增大，∵，∴当时，的最大值为70．∵，∴高度差的最大值为70米．答：高度差的最大值为70米．【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．64．（2020·山东日照·中考真题）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）见解析；（2），见解析．【分析】（1）由题意易得AM＝2ME，故可直接得证；（2）由（1）及题意得2AB+GH+3BC＝100，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2即可得出函数关系式．【详解】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，∴ME＝BE，AM＝GH．∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMDND＝2S矩形MEFN，∴AM＝2ME，∴AE＝3BE；（2）∵篱笆总长为100m，∴2AB+GH+3BC＝100，即，∴设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，则，∵，∴，解得，∴．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列出函数关系式即可．65．（2020·山东青岛·中考真题）某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式；（2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）500（3）n=620时，w最大=19200元【分析】（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E的坐标，代入即可求解；（2）根据N点与M点的横坐标相同，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，故可求解；（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）由题可知D（2,0），E（0,1）代入到得解得∴抛物线的函数表达式为；（2）由题意可知N点与M点的横坐标相同，把x=1代入，得y=∴N（1，）∴MN=m，∴S四边形FGMN=GM×MN=2×=，则一扇窗户的价格为×50=75元因此每个B型活动板的成本为425+75=500元；（3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）2+20000,∵一个月最多生产160个，∴100+20×≤160解得n≥620∵-2＜0∴n≥620时，w随n的增大而减小∴当n=620时，w最大=19200元．【点睛】此题主要考查二次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．66．（2022·山东潍坊·中考真题）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．[观察发现]请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．[思考交流]小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．[概括表达]小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．【答案】[观察发现]，图象见解析；[思考交流] 小莹的说法正确，小亮的说法不正确，见解析；[概括表达] 探究过程见解析．【分析】[观察发现] 由题意写出一个符合条件的函数解析式，然后再画出函数的大致图象即可；[思考交流] 由题意可知抛物线的图象一定在x轴的下方，a＜0，然后根据对称轴公式可得抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴；[概括表达] 由题意可知a?b＋c＝?1且a＜0，①当对称轴在y轴右侧时，即b＞0，此时顶点在x轴上或在x轴下方，≤4ac，可得c≤0，由2ac≤，可得，解得b≤；②当对称轴在y轴左侧或y轴上时，b≤0，只需保证与y轴交点在x轴上或在x轴下方，此时 c≤0．【详解】解：[观察发现]由题意得，这个二次函数可以是：（答案不唯一）；画出函数图象如图：[思考交流]∵二次函数的图象不经过第一象限，∴抛物线的图象一定在x轴的下方，a＜0，∴小莹的说法正确；∵抛物线的对称轴为x＝，∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴，∴小亮的说法不正确；[概括表达]∵抛物线经过点（?1，?1），且不经过第一象限，∴a?b＋c＝?1，且a＜0，①当对称轴在y轴右侧时，即b＞0，此时顶点在x轴上或在x轴下方，∴Δ＝≤0，即≤4ac，∴ac≥0，∵a＜0，∴c≤0，∵2ac≤，∴4ac≤，∴，当时，有，解得：，当时，有，不成立，∴b≤；②当对称轴在y轴左侧或y轴上时，b≤0，此时只需保证与y轴交点在x轴上或在x轴下方，∴c≤0；综上所述：a＜0，b≤，c≤0，且a?b＋c＝?1．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合题意，画出函数图象是解题的关键．学科网（北京）股份有限公司 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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