专题08 函数初步知识一、单选题1．（2020·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5
，则点M的坐标为（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可．【详解】解：设点M的坐标为（x
，y），∵点M到x轴的距离为4，∴，∴，∵点M到y轴的距离为5，∴，∴，∵点M在第四象限内，∴x=5，y=-4，即点M的坐标为（5
，-4）．故选：D．【点睛】此题考查平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点等，其中要牢记第四象限内的点的坐标
符号特点为（+，-）．2．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在?ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在?AB
CD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积
记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（?） B．C． D．【答案】A【分析】分0≤x≤1，1 x≤3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G，∵∠A=60°，AE=AF=
x，∴AG=x，由勾股定理得FG=x，∴y=AE×FG=x2，图象是一段开口向上的抛物线；当1 ，∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，∴AH=，由勾股定理得DH=，∴y=(DF+AE)×DH=x-，图象是一
条线段；当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，同理求得EI=(3-x)，∴y=
AB×DH -CF×EI=-(3-x)2=-x2+x-，图象是一段开口向下的抛物线；观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．【
点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面
积公式以及一次函数和二次函数的图象．3．（2021·山东聊城·中考真题）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距
离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终
保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象
是（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．【
详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，∴DE=CF=
4，∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，∴PQ∥DE∥CF，∵A
D=5，∴,∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t，∵,∴，∴，因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；∵CD＝3，∴EF=CD
=3，∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则，因此当时，对应图像为，即为一条线段；∵∠ABC＝4
5°，∴BF=CF=4，∴AB=3+3+4=10，∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-x，同理可得
，Q2P2=P2B=10-x，，因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像；故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成
比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本
题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．4．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害
，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（?）A．海拔越高，大气压越大B．图中曲线是反比例函数
的图象C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系【答案】D【分析】根据图象中的数据回
答即可．【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)，∴2×80=160，4
×60=240，而160≠240，∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；C．∵图象经过点 (4，60)，∴海拔为4千米
时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；故选：D．【点睛】本
题考查了函数的图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．5．（2022·山东临沂·中考真题）甲、乙两车从城出发前往城，在整个行程中，
汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示．下列说法中不正确的是（?）A．甲车行驶到距城240km处
，被乙车追上B．A城与B城的距离是300kmC．乙车的平均速度是80krn/hD．甲车比乙车早到B城【答案】D【分析】根据函数图象
即可判断．【详解】由图象可知，A城与B城的距离是300km，故B选项正确；甲车的速度，，甲车行驶到距城240km处，被乙车追上，故
A选项正确；乙车的速度，故C选项正确；乙车比甲车先到达B城，故D选项不正确；故选：D．【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，准确
理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．6．（2021·山东德州·中考真题）小红同学在研究函数的图象时，发现有如下结论：①该函数有最
小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当时，随的增大而增大；④该函数图象关于轴对称；⑤直线与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的
个数为（?）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】利用函数的图象和函数的增减性的特征对每一个选项进行分析判断得出结论．
【详解】解：列表：1234545545画出函数图象如图，观察图象：①该函数有最小值，符合题意；②该函数图象与坐标轴无交点，符合题意
；③当时，随的增大而增大，不合题意；④该函数图象关于轴对称，符合题意；⑤令，整理得或，∵b2-4ac，∴两个方程均有两个不相等的实
数根，即共有四个根，且这四个根互不相等．∴直线与该函数图象有四个交点，不符合题意，综上，以上结论正确的有：①②④，故选：B．【点睛
】本题主要考查了函数的图象，函数的增减性，解题的关键是图象与x轴的交点，函数的极值充分利用函数的图象，利用数形结合的思想．7．（2
021·山东临沂·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时
间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（?）A．4860年B．648
0年C．8100年D．9720年【答案】C【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．【详解】解：由图可知：1620年时，镭
质量缩减为原来的，再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的，再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量
缩减为原来的，...，∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的，此时mg，故选C．【点睛】本题考查了
函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．8．（2020·山东淄博·中考真题）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→
C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（?）
A．12B．24C．36D．48【答案】D【详解】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的
高为8（即此时BP＝8），即可求解．【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高
为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，故选：D．【点评】本题是运动型综
合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义
，理解动点的完整运动过程．9．（2020·山东东营·中考真题）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点图2是点运动时线段的长度随时间
变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则的边的长度为（?）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据图象可知点P沿匀速运动到点C，
此时AC最长，CP在AB边上先变小后变大，从而可求出AB上的高，从图象可以看出点P运动到点B时CP=CB=13，可知△ABC是等腰
三角形，进而得出结论．【详解】由图象可知：点P在A上时，CP=AC=13，点P在AB上运动时，在图象上有最低点，即AB边上的高，为
12，点P与点B重合时，CP即 BC最长，为13，所以，△ABC是等腰三角形，∴AB的长=2× 故选：C【点睛】本题考查动点问题的
函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度．二、填空题10．（2022·山东烟台·中考真题）观察如图所示的象棋棋盘，若
“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 _____．【答案】（4，1）【
分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【详解】解：如图所示：“帅”所在的位置：（4，1），故答案为：（4，1）．【点睛
】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．11．（2021·山东潍坊·中考真题）在直角坐标系中，点A1从原点出发
，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1
），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 _______．【答案】2022【分析】终点在第四象限，寻
找序号与坐标之间的关系可求n的值．【详解】解：∵是第四象限的点，∴落在第四象限．∴在第四象限的点为∵∴故答案为：2022【点睛】本
题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．12．（2020·山东威海·中考真题）如图
①，某广场地面是用．．三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（
型）地砖记作，第二块（型）地时记作…若位置恰好为型地砖，则正整数，须满足的条是__________．【答案】m、n同为奇数或m、n
同为偶数【分析】几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条
件．【详解】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A
型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数，故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．【点睛】本题考查了坐标
表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．13．（2022·山东烟台·中考真题）如
图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设
BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 ___
__．【答案】【分析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，?BDEF的面积为3，则此时BF＝，AB＝2
BF，即可解决问题．【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），∴x＝4时，y＝0，∴BC＝4，作FH⊥BC于H，当B
D＝2时，?BDEF的面积为3，∵3＝2FH，∴FH＝，∵∠ABC＝60°，∴BF＝＝，∵DE∥AB，∴AB＝2BF＝，故答案为：
．【点睛】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．
14．（2021·山东德州·中考真题）小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离S（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图
象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米/分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟
离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为 ___．【答案】①④【分析】由图象可以直接得出前12分钟小
亮的平均速度，从而得出①正确；由图象可知从12分到19分小亮又返回学校，可以判断②错误；分别求出小亮第15分和第24分离家距离可以
判断③错误；求出小亮33分离家距离，可以判断④正确．【详解】解：由图象知，前12分中的平均速度为：（1800?960）÷12＝70
（米/分），故①正确；由图象知，小亮第19分中又返回学校，故②错误；小亮在返回学校时的速度为：（1800?960）÷（19?12）
＝840÷7＝120（米/分），∴第15分离家距离：960＋（15?12）×120＝1320，从21分到41分小亮的速度为：180
0÷（41?21）＝1800÷20＝90（米/分），∴第24分离家距离：1800?（24?21）×90＝1800?270＝1530
（米），∵1320≠1530，故③错误；小亮在33分离家距离：1800?（33?21）×90＝1800?1080＝720（米），故
④正确，故答案为：①④．【点睛】本题考查函数图像，关键是利用已知信息和图象所给的数据分析题意，依次解答．三、解答题15．（2022
·山东临沂·中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的
简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左
侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂
在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出y关于x的函数解
析式；若，求的取值范围．(2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为
，的长为，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．……0.250.5124………………【答案】(1)；(2)，表、图
见解析【分析】（1）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂解答即可；（2）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连
线的步骤解答．（1）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴重物×OA=秤砣×OB．∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5
kg，∴2x=0.5y，∴；∵4>0，∴y随x的增大而增大，∵当y=0时，x=0；当y=48时，x=12，∴．（2）解：∵阻力×阻
力臂=动力×动力臂，∴秤砣×OA=重物×OB．∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg，∴2×0.5=xy，∴；当x
=0.25时，；当x=0.5时，；当x=1时，；当x=2时，；当x=4时，；填表如下：……0.250.5124…………421……画
图如下：【点睛】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，以及列表、描点、连线画函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键．
16．（2021·山东枣庄·中考真题）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数的图象与性质进行探究．因为，即，所以
可以对比函数来探究．列表：（1）下表列出与的几组对应值，请写出，的值： ， ；…1234……124……230…描点：在平面直角坐标
系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（2）请把轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次
连接起来：（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当时，随的增大而 ；（填“增大”或“减小”）②函数的图象是由的图象向 平移 个单位而得到．③函数图象关于点 中心对称．（填点的坐标）?【答案】（1）5，；（2）见解析；（3）①增大；②上，1；③．【分析】（1）将和分别代入函数中，即可求出的值；（2）把轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来即可；（3）①根据函数的增减性即可得；②根据函数即可得；③函数的图象关于原点中心对称，再根据平移的性质即可得．【详解】解：（1）对于函数，当时，，即，当时，，即，故答案为：5，；（2）把轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来如下：（3）①当时，随的增大而增大，故答案为：增大；②因为函数，所以函数的图象是由的图象向上平移1个单位而得到，故答案为：上，1；③因为函数的图象关于原点中心对称，所以函数的图象关于点中心对称，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．学科网（北京）股份有限公司 |
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