专题22 锐角三角函数一、单选题1．（2022·山东济南·中考真题）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得
最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（?）
（精确到1m．参考数据：，，，）A．28mB．34mC．37mD．46m【答案】C【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出，在R
t△ABC中，解直角三角形可求出AB．【详解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，∴，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴，
解得：m，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．2．（2021·山东德州·中考真题）
某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（ ）（参考数据：，）A．6米
B．3米C．2米D．1米【答案】D【分析】根据正弦三角函数的定义先求出楼梯的高度，然后因为楼梯的高度不变，再根据正弦三角函数的定义
求出调整后楼梯的长度，则可调整后的楼梯的长度变化．【详解】由题意得：sin37°=，∴h=5×=3，∴调整后的楼梯长==6，∴调整
后的楼梯会加长：6-5=1m．故答案为：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度坡角问题，掌握坡角的概念，熟记三角函数的定
义是解题的关键．3．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机
对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之
间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（?）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=3
5°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA
=135m，AB=40m，∴，∴，，∴；故选C．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．4．（202
1·山东日照·中考真题）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点
处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是
（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】过作于，于，得到，，设，，根据勾股定理得到，求得，，，于是得到结论．【详解】解：过作于，
于，，，斜坡的斜面坡度，，设，，，，，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡角
坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．5．（2020·山东济南·中考真题）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲
区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF
BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（?）（参考数据：sin43°≈0.7，tan
43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6mB．2.8mC．3.4mD．4.5m【答案】B【分析】首先
证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．【详解】∵FD⊥AB
，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，∴AC＝AB?sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝
1.12（m），在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，∴tan∠PEB＝≈0.4，∴DE≈＝2.8（m），故选：
B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．6．（2021·山东滨州·中考真题）
如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（?）A．B．C．D．【答案】A【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和
勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到co
s∠ABC的值．【详解】解：连接AD，如右图所示，∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD==8，∴
cos∠ADC==，∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值为，故选：A．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角
函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cos∠ADC的值，利用数形结合的思想解答．7．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在中，是
斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为5，则的值为（?）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意易得，设，则有，则有，，然后可得，
过点C作CH⊥AB于点H，进而根据三角函数及勾股定理可求解问题．【详解】解：∵，，∴，∴，∵是斜边上的中线，∴，设，则有，∵，∴由
勾股定理可得，∵的面积为5，∴，∵，∴，即，化简得：，解得：或，当时，则AC=2，与题意矛盾，舍去；∴当时，即，过点C作CH⊥AB
于点H，如图所示：∴，，，∴，，∴，∴，∴；故选A．【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函
数、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．8．（2020·山东烟台·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形
沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】先根据
矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则
DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求
解．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F
处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt
△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴DE＝EF＝3﹣x＝，∴tan∠DAE＝，故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．9
．（2020·山东聊城·中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（?
）．A．B．C．D．【答案】D【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．【详解】解
：如图，过点A作于点D，则，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．10．
（2021·山东东营·中考真题）如图，在中，，，，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（?）A．B．C．D．【答案】D
【分析】根据正切函数的定义，可得，根据计算器的应用，可得答案．【详解】解：由，得：，故选：D．【点睛】本题主要考查了计算器，利用锐
角三角函数、计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键．11．（2020·山东淄博·中考真题）已知sinA＝0.9816，运用科学计算
器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（?）A．B．C．D．【答案】D【详解】根据计算器求锐角的方法即可得结论．【解答】解
：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2n
dF．故选：D．【点评】本题考查了计算器﹣三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．12．（2021·山东泰安·中考真题）如图，四
边形是的内接四边形，，，，，则的长为（?）A．B．C．D．2【答案】C【分析】如图，延长AD，BC，二线交于点E，可求得∠E=30
°，在Rt△CDE中，利用tan30°计算DE，在Rt△ABE中，利用sin30°计算AE，根据AD=AE-DE求解即可；【详解】
如图，延长AD，BC，二线交于点E，∵∠B=90°，∠BCD=120°，∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°，∴∠ADC
=∠EDC= 90°，在Rt△CDE中，tan30°=，∴DE==，在Rt△ABE中，sin30°=，∴AB==4，∴AD=AE-
DE=,故选C【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补，特殊角的三角函数值，延长构造直角三角形，灵活运用直角三角形特殊角的三角函数
值计算是解题的关键．13．（2021·山东泰安·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E
和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（?）A．50°B．48°C．45°D．36°【答案】B【分析】连接AD，由切线性质可得∠A
DB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE
=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数．【详解】解：连接AD，则AD=AG=3，∵BC与圆A相切于点D
，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，∴∠BAD=60°，∵∠CDE=18°，∴∠AD
E=90°﹣18°=72°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=72°，∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，∴∠GAC=36
°+60°=96°，∴∠GFE=∠GAC=48°，故选：B．【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内
角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键．14．（2020·山东
日照·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE＝9，则阴影部分的面积为（ ）A．6π
﹣B．12π﹣9C．3π﹣D．9【答案】A【分析】根据垂径定理得出CE=DE=CD＝3，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关
系得出∠EOD=60°，进而结合扇形面积求出答案．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，∴CE＝DE＝
CD＝3．设⊙O的半径为r，在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2，即，解得，r＝6，∴OE＝3，∴cos∠BOD＝，∴∠EOD
＝60°，∴，，根据圆的对称性可得：∴，故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得
出∠EOD=60°是解题关键．15．（2020·山东泰安·中考真题）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪
成两个全等的梯形，若，则的长为（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】过点F作，AG=2，，可得BG=FM=2，令AF=x，根据，
根据正切值可得EM的长，加起来等于BC即可得到结果．【详解】如图所示，过点F作交BC于点M，∵，，AG=2，∴BG=FM=2，AF
=GM，令AF=x，∵两个梯形全等，∴AF=GM=EC=x，又∵，∴，∴，又∵BC=6，∴，∴．故答案选D．【点睛】本题主要考查了
利用特殊角的三角函数值及三角函数的意义进行求解，准确根据全等图形的性质判断边角是解题的关键．二、多选题16．（2021·山东潍坊·
中考真题）如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象上的动点，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，当⊙A与两坐标轴同
时相切时，tan∠ABO的值可能为_______．A．3B．C．5D．【答案】BD【分析】根据“⊙A与两坐标轴同时相切”分为⊙A在
第二象限，第四象限两种情况进行解答．【详解】解：如图，当⊙A在第二象限，与两坐标轴同时相切时，在Rt△ABM中，AM＝1＝OM，B
M＝BO﹣OM＝4﹣1＝3，∴tan∠ABO；当⊙A在第四象限，与两坐标轴同时相切时，在Rt△ABM中，AM＝1＝OM，BM＝BO
+OM＝4+1＝5，∴tan∠ABO；故答案为：B或D．【点睛】本题考查切线的性质和判定，解直角三角形，根据不同情况画出相应的图形
，利用直角三角形的边角关系求出答案是解决问题的前提．三、填空题17．（2022·山东济宁·中考真题）如图，点A，C，D，B在⊙O上
，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，则AD的长是___________．【答案】【分析】如图，连接，设交
于点，根据题意可得是的直径，，设，证明，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出，根据，勾股定理求得，根据即可求解．【详解】
解：如图，连接，设交于点，∵∠ACB＝90°∴是的直径，， tan∠CBD＝，，在中， ，，，，设则， AC＝BC，，， 中，，，
， ,又，，，，，，，，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查了90°圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三
角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．18．（2021·山东济宁·中考真题）如图，中，，，，点O为的中点，以O为圆
心，以为半径作半圆，交于点D，则图中阴影部分的面积是____．【答案】【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、的度数
，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积减去的面积和扇形的面积，从而可以解答本题．【详解】解：连接OD，过点D作于E，在中，∴，，
∴，∴，∵，∴，∴阴影部分的面积是：，故答案为：．【点睛】本题主要考查扇形面积的计算、勾股定理、特殊角锐角三角函数值，解答本题的关
键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．（2020·山东青岛·中考真题）如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与，相切于
点，．已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】【分析】连接OM、ON、OA，易证得∠MON=60o，即
∠MOE+∠NOF=120o，，再由弧长公式求得半径OM，然后证得Rt△AMO≌Rt△ANO，即∠AOM=30o，进而解得AM，则
可得，代入相关数值即可解得阴影面积·【详解】如图，连接OM、ON、OA，设半圆分别交BC于点E，F，则OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠
AMO=∠ANO=90o，∵∠BAC=120o，∴∠MON=60o，∵的长为，∴，∴OM=3，∵在Rt△AMO和Rt△ANO中，，
∴Rt△AMO≌Rt△ANO(HL)，∴∠AOM=∠AON=∠MON=30o，∴AM=OM·tan30o=，∴，∵∠MON=60o
，∴∠MOE+∠NOF=120o，∴，∴图中阴影面积为==，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质定理、弧长公式、HL定理、锐角
的三角函数定义、扇形面积的计算等知识，解答的关键是熟练掌握基本图形的性质，会根据图形和公式进行推理、计算．20．（2020·山东泰
安·中考真题）如图，点O是半圆圆心，是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，过点D作于点C，则阴影部分的面积是________．【答案
】【分析】求出半圆半径、OC、CD长，根据AD∥BO，得到 ，根据即可求解 ．【详解】解：连接OA，∵，OA=OB，∴△OAB是等
边三角形，∴OA=AB=8，∠AOB=60°∵AD∥BO，∴∠DAO=∠AOB=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠
AOD=60°，∴∠DOE=60°，∴在Rt△OCD中，， ∵AD∥BO，∴ ，∴ ．故答案为：【点睛】本题考查了不规则图形面积的
求法，解题的关键是根据根据AD∥BO，得到 ，从而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差．21．（2020·山东菏泽·中考真题）
如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为_______．【答案】【分析】连接OD，先求出等边三角形OA
B的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．【详解】解：如图，连接OD，∵AB是切线，则OD⊥AB，在菱形中，∴，∴△AO
B是等边三角形，∴∠AOB=∠A=60°，∴OD=，∴，∴扇形的面积为：，∴阴影部分的面积为：；故答案为：．【点睛】本题考查了求不
规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积．22．（202
2·山东泰安·中考真题）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长
度为______（结果精确到）．【答案】4.4m##4.4米【分析】根据题意可得AD∥CP，从而得到∠ADB=30°，利用锐角三角
函数可得，从而得到BC=AF+CF-AB=2.54m，即可求解．【详解】解：根据题意得：AD∥CP，∵∠DPC=30°，∴∠ADB
=30°，∵，∴，∵AF=2m，CF=1m，∴BC=AF+CF-AB=2.54m，∴，即的长度为4.4m．故答案为：4.4m.【点
睛】本题主要考查了解直角三角形、平行线的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．23．（2021·山东烟台·中考真题）数学兴趣小组
利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的
高度约为______________米．（结果精确到1米，参考数据：，）【答案】14．【分析】利用无人机所在水平线与旗杆所在竖直线
所成的直角三角形，求出BC，再用40去减即可．【详解】解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为CD，无人机为点A
，由题意可知，AB=45米，∠BAC=30°，BD=40米，（米），（米）；故答案为：14．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，
解题关键是熟练运用解直角三角形的知识，准确进行计算．24．（2020·山东泰安·中考真题）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上
面是一块平地．，斜坡长，斜坡的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过5
0°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移________时，才能确保山体不滑坡．（取）【答案】10
【分析】如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，根据AB及AB的坡比，计算出BE和AE的
长度，再根据∠HAF=50°，得出AF的值即可解答．【详解】解：如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作H
F⊥AD于点F，∵AB=26，斜坡的坡比为12∶5，则设BE=12a，AE=5a，∴，解得：a=2，∴BE=24，AE=10，∴H
F=BE=24，∵∠HAF=50°，则，解得：AF=20，∴BH=EF=20-10=10，故坡顶B沿至少向右移10时，才能确保山体
不滑坡，故答案为：10．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键
．25．（2020·山东济宁·中考真题）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1
：,则斜坡AB的长是__________米．【答案】【分析】首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=
45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．【详解】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，∵斜面坡度为1：，∴tan∠ABF=，∴∠
ABF=30°，∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，∴∠HPB=30°，∠APB=45°，∴∠HB
P=60°，∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，∴PB=AB，∵PH=30m，sin60°=，解得：PB=，故AB=m，故答案为
：.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．26．（2020·山东枣庄·中考真题）如图，人字梯，的
长都为2米.当时，人字梯顶端高地面的高度是____米（结果精确到.参考依据：，，）【答案】1.5.【分析】在中，根据锐角三角函数正
弦定义即可求得答案.【详解】在中，∵，，∴，∴.故答案为1.5.【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定
义，本题属于基础题型．27．（2022·山东滨州·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=__
____.【答案】【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【详解】解：如图所
示：∵∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB==13，∴sinA=． 故答案为：．【点睛】在直角三角形中求正弦函数值是本题的考
点，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．28．（2020·山东济南·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，
将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB''上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则
tan＝_____．【答案】【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量
代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝1
0﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（1
0﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′E
F，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝
164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+
173＝125，解得，x＝4或6，当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，∴CE
＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B''AC′＝=
．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．29．（2020·山东潍
坊·中考真题）如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则_______
．【答案】【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE，BC=AD=8，证得Rt△EGFRt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的
长，即可求解．【详解】矩形中，GC=4，CE =3，∠C=90，∴GE=，根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=
3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90，∴BG=GF=GC=4，∴BC=AD=8，∵∠AGB+∠AGF
+∠EGC+∠EGF=180，∴∠AGE=90，∴Rt△EGFRt△EAG，∴，即，∴，∴DE=，∴，故答案为：．【点睛】本考查了
折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度
是本题的关键．30．（2020·山东滨州·中考真题）如图，是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与相交于点M，则
sin∠MFG的值为________．【答案】【分析】如图（见解析），先根据正方形内切圆的性质得出圆心O的位置，再根据正方形的性质
、圆的切线的性质可得，，从而可得四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形，又根据矩形的性质可得，，设正方形ABCD的边长为，从而可得
，，然后在中，根据正弦三角函数的定义可得，最后根据圆周角定理可得，由此即可得出答案．【详解】如图，连接EG、HF由正方形内切圆的性
质得：EG与HF的交点即为圆心O四边形ABCD是正方形由圆的切线的性质得：四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形，设正方形ABCD
的边长为，则的半径为在中，由圆周角定理得：则故答案为：．【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、正弦三角函数、正方形的
性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．31．（2020·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，点为边的中点，连接，若，
，则的值为______．【答案】【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DC=DB，∠DCB=∠B，根据锐角三角函数的定
义即可求解．【详解】∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，点D是AB边的中点，∴DC=DB，∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，
∴，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的
一半和三角函数的定义是解题的关键．四、解答题32．（2022·山东淄博·中考真题）如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着
一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高
度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.156
0.1580.2760.287问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理
由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）【答案】能，综合楼的高度约是37.00米．【分析】在Rt△AEG中，利用正切函数求得A
G的长，在Rt△ACH中，利用正切函数求得CH的长，据此求解即可得到综合楼的高度．【详解】解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度
，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：·由题意知，EG= BF= 40米，EF= BG= 12.88米
，∠HAE= 16°= ∠AEG= 16°，∠CAH =9°，在Rt△AEG中， tan ∠AEG=，∴tan 16°=，即0.2
87≈，∴AG = 40×0.287=11.48（米），∴AB = AG+BG=11.48+12.88= 24.36（米），∴HD
= AB =24.36米，在Rt△ACH中，AH =BD= BF＋FD=80米，tan∠CAH =，∴tan 9°= ，即0.15
8≈，∴CH =80×0.158= 12.64（米），∴CD=CH＋HD = 12.64＋24.36= 37.00（米），则综合楼
的高度约是37.00米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角和俯角定义．33．（2022·
山东东营·中考真题）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔垂直于桥面于点B，其中两
条斜拉索与桥面的夹角分别为和，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：）【答案】主塔的高度约为78m．
【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定义求出，然后根据∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解决问题．【详解】解：∵AB
⊥BC，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABD中，，在Rt△ABC中，∠C＝45°，∴AB＝BC，∴，∴m，∴AB＝BC＝m，答：主塔
的高度约为78m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键．34．（2022·山东菏泽·中考真题）荷泽
某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面
为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：）【答案】约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦
的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．【详解】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°，则AC
=AB?sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米），BC=AB?cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米），在Rt△ADC中，∠
ADC=30°，则CD=≈8.30（米），∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米），答：BD的长约为1.9米．【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．35．（2022·山东枣庄·中考真题）为传承运河
文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他
们完成下面的实践报告．测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告活动课题测量台儿庄古城城门楼高度活动目的运用三角函数知识解决实际问题活动工
具测角仪、皮尺等测量工具方案示意图测量步骤如图②（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；（2）前进了10米到达A
处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．参考数据
sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5
．计算城门楼PO的高度（结果保留整数）【答案】台儿庄古城城门楼的高度约为17米【分析】设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，在Rt
△AOP中，利用锐角三角函数可得OP≈1.5OA＝1.5x米，在Rt△BOP中，利用锐角三角函数可得OP≈0.8OB＝0.8（x+
10）米，然后列出方程，即可求解．【详解】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56
°≈1.5，∴OP≈1.5OA＝1.5x米，在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，∴OP≈0.8OB＝0.8（
x+10）米，∴1.5x＝0.8（x+10），解得：x＝，∴OP≈1.5x＝1.5×≈17米，答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米
．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意 ，准确构造直角三角形是解题的关键．36．（2022·山东聊城·中考真题）
我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的
高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的
顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的
高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）【答案】古槐的高度约为13米【分析】过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N
，在Rt△AME中，根据锐角三角函数求出AM=12米，进而求出CN=8米，再在Rt△ENC中，根据锐角三角函数求出EN=32.08
米，即可求出答案．【详解】解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，由题意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH，在中，
∠EAM=26.6°，∴，∴米，∴BH=AM=12米，∵BD=20，∴DH=BDBH=8米，∴CN=8米，在中，∠ECN=76°，
∴，∴米，∴（米），即古槐的高度约为13米．【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用——仰角俯角问题，作出辅助线构造出直角三角形是解
本题的关键．37．（2022·山东烟台·中考真题）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶
，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道
遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）（参考数据表）计算器按键顺序计算结果（已精确到0.001）11.3100
.00314.7440.005【答案】不得小于11度【分析】根据题意可得DF＝AB＝0.15米，然后根据斜坡AC的坡比为1：2，可
求出BC，CD的长，从而求出EB的长，最后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：如图：由题意得：D
F＝AB＝0.15（米），∵斜坡AC的坡比为1：2，∴＝，＝，∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），∵ED＝2
.55米，∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），在Rt△AEB中，tan∠AEB＝＝＝，查表可得，∠
AEB≈11.310°≈11°，∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于11度．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡
角问题，熟练掌握坡比是解题的关键．38．（2022·山东青岛·中考真题）如图，为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·
绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东的点C处，观光船到滨海大道的距离为200米．当小宇沿滨海大道
向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（
参考数据：，，，，，）【答案】观光船从C处航行到D处的距离为米【分析】过点C作于点F，根据题意利用正切函数可得，由矩形的判定和性质
得出，结合图形利用锐角三角函数解三角形即可．【详解】解：过点C作于点F，由题意得，，在中，，∵∴∴∵∴四边形为矩形∴．在中，∵∴答
：观光船从C处航行到D处的距离为米．【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，找准各角之间的关系，利用锐角三角函数解三角形是解
题关键．39．（2022·山东临沂·中考真题）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计，某学习小组利用课余时间
测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：活动内容测量主塔顶端到桥面的距离成员组长：×××?组员：××××××××××××测量工具
测角仪，皮尺等测量示意图说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，点A、C，D，B在同一条直线上，，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称
测量数据的大小28°AC的长度84mCD的长度12m请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参考数据：，，）．【答案】主塔
顶端E到AB的距离约为47.7m【分析】延长EF交AB于M，由题意可得，可得AM的长度，再根据解直角三角形即可．【详解】延长EF交
AB于M，，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称，，，，，，，答：主塔顶端E到AB的距离约为47.7m．【点睛】本题考查了解直角
三角形的应用，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键．40．（2022·山东威海·中考真题）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”
知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22
°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan2
2°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈．【答案】约为17.1m【分析】过点M作MN⊥AB，利用正切函数得出AN≈，
BN≈，结合图形得出，然后求解即可．【详解】解：过点M作MN⊥AB，根据题意可得：，∴AN≈，∴BN≈∵AN+BN=AB=50，∴
，解得：MN=(m)，∴河流的宽度约为17.1m．【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解决实际问题，理解题意，结合图形进行求解是解
题关键．41．（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中
观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试
求大楼的高度．（参考数据：，，，，，）【答案】96米【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形
，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．【详解】
延长交于点，过点作，交于点，由题意得，，∴四边形为矩形，∴，.在中，，∴，，∴，，∴，∴.在中，，∴，∴，∴，∴.答：大楼的高度约
为96米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键
．42．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处
沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度．（
结果用v表示．参考数据：≈1.4，≈1.7）【答案】1.4v【分析】过点C作AM的垂线，构造直角三角形，可得△ACD是含有30°角
的直角三角形，△BCD是含有45°角的直角三角形，设辅助未知数，表示AC，BC，再根据时间相等即可求出甲船的速度．【详解】解：过点
C作CD⊥AM，垂足为D，由题意得，∠CAM=75°-45°=30°，∠CBD=75°-30°=45°，设CD=a，则BD=a，B
C=a，AC=2CD=2a，∵两船同时到达C处海岛，∴t甲=t乙，即，∴，∴V甲=≈1.4v．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握
直角三角形的边角关系是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．43．（2021·山东威海·中考真题）在一次测量物体高
度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰
角为，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等
，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，，，）【答案】路灯的高度为13.4m．【分析】延长AC交PQ于点E，交MN
于点F，由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，A
E=BQ=EF=QN，设路灯的高度为xm，则MN=PQ= xm，MF=PE=x-1.2；在Rt△AFM中求得，即可得；在Rt△CE
P中，可得，由此即可求得路灯的高度为13.4m．【详解】延长AC交PQ于点E，交MN于点F，由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1
.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN，设路灯的高度为xm，则M
N=PQ= xm，MF=PE=x-1.2，在Rt△AFM中，∠MAF=10°，MF= x-1.2，，∴，∴，∴；∴CE=AE-AC
= -10，在Rt△CEP中，∠PCE=27°，CE= -10，，∴，解得x≈13.4，∴路灯的高度为13.4m．答：路灯的高度为
13.4m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，熟练运用三角函数解直角三角形是解决问题的关键．44．（2021·
山东聊城·中考真题）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念
碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知
人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，c
os37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】42
0米【分析】过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F．由三角函数可求，．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF＝140
,在Rt△ADF中，利用三角函数可求DF＝AF·tan65°≈299.60.,可求BC＝BE＋CE≈420（米）．【详解】解∶过D
点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F．由题意得，＝37°．在R△CDE中∵，，．，．∴四边形 BEDF 是矩形，∴BE
＝DF，BF＝DE＝160，∴AF＝AB－BF＝300－160＝140.在Rt△ADF中，，∴DF＝AF·tan65°≈140×2
.14＝299.60.∴BC＝BE＋CE＝299.60＋120≈420（米）．所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米
．【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解题关键．45．（2021·山东菏泽·
中考真题）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于处的济南舰突然发现北偏西方向上的处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海
里处的西安舰，西安舰测得处位于其北偏西方向上，请问此时两舰距处的距离分别是多少？【答案】A舰距离为200海里, B舰距离为200海
里,【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，根据题意，得∠CAD=60°，∠CBA=∠ACB=30°，解Rt△ADC和R
t△BDC即可.【详解】如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，根据题意，得∠CAD=60°，∠CBA=30°，∵∠CAD
=∠CBA+∠ACB∠CBA=∠ACB=30°，∴AB=AC=200（海里），在Rt△ADC中，CD=ACsin60°=200×=
100，在Rt△BDC中，BC=CD÷sin30°=200（海里）.【点睛】本题考查了方位角，解直角三角形的应用，正确理解方位角的
意义，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．46．（2021·山东枣庄·中考真题）年月日，为我国载人空间站工程研制的长征五号
运较火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面处发射、当火箭到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为．3秒后，火箭直线上升到达点处，此时
地面处的雷达站测得处的仰角为．已知两处相距米，求火箭从到处的平均速度（结果精确到米，参考数据：）【答案】火箭从A到B处的平均速度为
335米/秒．【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=40
00，可得AO=2000，DO=2000，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，可得BO=OC，即可得2000+3x=2000-46
0，进而解得x的值．【详解】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°
，AD=4000，∴AO=2000，∴DO=2000，∵CD=460，∴OC=OD-CD=2000-460，在Rt△BOC中，∠B
CO=45°，∴BO=OC，∵OB=OA+AB=2000+3x，∴2000+3x=2000-460，解得x≈335（米/秒）．答：
火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．47
．（2020·山东烟台·中考真题）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测
温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警
，从而有效阻隔病原体．（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：测量对象男
性（18～60岁）女性（18～55岁）抽样人数（人）20005000200002000500020000平均身高（厘米）17317
5176164165164根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 厘米，女性应采用 厘米；（2）如
图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两
臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米
处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．（参考数据表）计算器按键顺序计算结果（近似值）计算器按键顺序计算结果（近似值）0.178.7
0.284.31.75.73.511.3【答案】（1）176，164；（2）157.4°【分析】（1）根据样本平均数即可解决问题；
（2）根据等腰三角形的性质得出FC，由题意得到AF，即可求出tan∠FAC，根据表格即可得出∠FAC，即可得出答案．【详解】解：（
1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米，故答案为：176，164；（2）如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴
BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，由题意AF＝10cm，∴tan∠FAC＝＝＝5，∴∠FAC＝78.7°，∴∠BAC＝2∠
FAC＝157.4°，答：两臂杆的夹角为157.4°．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，样本平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．48．（2020·山东威海·中考真题）居家学习期间，小睛同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图，
她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为，底部的俯角为：又用绳子测得测角仪距地面的高度为．求该大楼的高度（结果精确到）（参考数据：
，，） 【答案】该大楼的高度约为72.1m．【分析】作AH⊥CD于H，则四边形ABDH是矩形，得出HD＝AB＝31.6m，由三角函
数定义求出AH≈40.51（m），证出CH＝AH＝40.51m，进而得出答案．【详解】解：作AH⊥CD于H，如图：则四边形ABDH
是矩形，∴HD＝AB＝31.6m，在Rt△ADH中，∠HAD＝38°，tan∠HAD＝，∴AH＝≈40.51（m），在Rt△ACH
中，∠CAH＝45°，∴CH＝AH＝40.51m，∴CD＝CH＋HD＝40.51＋31.6≈72.1（m），答：该大楼的高度约为7
2.1m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用?仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用
三角函数的知识求解．49．（2020·山东青岛·中考真题）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头，．某海岛上的观测塔距离海
岸5海里，在处测得位于南偏西方向．一艘渔船从出发，沿正北方向航行至处，此时在处测得位于南偏东方向，求此时观测塔与渔船之间的距离（结
果精确到0.1海里）．（参考数据:，，，，，）【答案】4.3海里【分析】过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，由正切函数与正弦函
数的定义，以及矩形的性质，即可求解．【详解】过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，则四边形CDEF是矩形，∵∠BAE=22°，A
E=5（海里），∴BE=AE?tan22°=5×=2（海里），∵DE=BD-BE=6-2=4（海里），∵四边形CDEF是矩形，∴C
F=DE=4（海里），∴AC=CF÷sin67°=4÷≈4.3（海里）．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三
角函数的定义，是解题的关键．50．（2020·山东潍坊·中考真题）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图
，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和
45°，求桥的长度．【答案】【分析】过C地点作交AB于D点，根据桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得，，利用特殊角懂得
三角函数求解即可．【详解】解：如图示：过C地点作交AB于D点，则有：，，∴，，∴．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的运算，熟悉特
殊角的三角函数值是解题的关键．51．（2020·山东临沂·中考真题）如图．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所
成的角一般要满足，现有一架长的梯子．（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？（2）当梯子底端距离墙面时
，等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：，，，，，）【答案】(1)5.3m；（2）56.
4°，不能【分析】（1）若使AC最长，且在安全使用的范围内，则∠ABC的度数最大，即∠ABC=75°；可通过解直角三角形求出此时A
C的长．（2）当BC=2.2m时，可在Rt△BAC中，求出∠ABC的余弦值，进而可得出∠ABC的度数，然后判断这个角度是否在安全使
用的范围内即可．【详解】解：（1）当∠ABC=75°时，梯子能安全使用且它的顶端最高；在Rt△ABC中，有sin∠ABC= ∴AC
=AB?sin∠ABC=5.5×sin75°≈5.3；答：安全使用这个梯子时，梯子的顶端距离地面的最大高度AC约为5.3m（2）在
Rt△ABC中，有cos∠ABC===0.4由题目给的参考数据，可知∠ABC=56.4°∵56.4°＜60°，不在安全角度内；∴这
时人不能安全使用这个梯子，答：人不能够安全使用这个梯子．【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握并能灵活运用各锐角三角
函数是解答此类题的关键．52．（2020·山东德州·中考真题）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测
楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．【答案】这栋楼高为40米【解析】过点B作交于点E，解，求出AD，即可求出BE，解中，求出C
D，问题得解．【详解】解：过点B作交于点E，由题意知，．在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴（米）．答：这栋楼高为40米．【分析】本
题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，应用已知条件解直角三角形．53．（2020·山东聊城·
中考真题）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼的高度进行测量．先测得居民楼与之间的距离为，后站在点处测
得居民楼的顶端的仰角为，居民楼的顶端的仰角为，已知居民楼的高度为，小莹的观测点距地面．求居民楼的高度（精确到）．（参考数据：，，）
【答案】居民楼的高度约为．【分析】过点作交于点，交于点，通过解得到线段NF的长度，进而得到线段NE的长度，再解得到BE的长度，即可
解决．【详解】解：过点作交于点，交于点．则，，．∵，．则． 在中，∵，∴．?∴．在中，∵，∴．?∴．答：居民楼的高度约为．【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．54．（2022·山东菏泽
·中考真题）如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．(1)求证：
直线HG是的切线；(2)若，求CG的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得，再利用
平行线的性质即可证明；（2）先通过平行线的性质得出，设，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和
性质分别求出BC，BG的长度，即可求解．（1）连接OD，，，∵D是AC的中点，AB为直径，，，直线HG是的切线；（2）由（1）得，
∴， ，，设，，，在中，，，解得，∴，∵D是AC的中点，AB为直径，，，，，即，，．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性
质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．55．（2022·山东济南·中考真题）已
知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，
过点B作BF⊥CE，垂足为F．(1)求证：CA＝CD；(2)若AB＝12，求线段BF的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）
连接，欲证明CA＝CD，只要证明即可．（2）因为为直径，所以，可得出三角形CBF为等腰直角三角形，即可求出BF，由此即可解决问题．
（1）证明：连接∵与相切于点，∴，∴，∵，∴，∵所对的圆周角为，圆心角为，∴，∴，∴．（2）∵为直径，∴，在中，，，∴，∵平分，∴
，∵，∴，∴．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会条件常用辅助线
，属于中考常考题型．56．（2022·山东潍坊·中考真题）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则
泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线交于P，
Q两点，与直线交于B，C两点，恰有，连接．(1)求证：为的切线；(2)筒车的半径为，．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车
在水面下的最大深度（精确到，参考值：）．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）连接 并延长交 于，根据为的直径可以得到 ，
继而得到 ，根据可证，可以得到，利用等量代换即可证明为的切线；（2）根据，解出 ，根据 为的直径得到 ，进而得出，，又根据 得出，
故可得到 ，过作交于，交PQ于E，于是在等腰中，根据锐角三角函数求出长，进而求出最大深度．（1）证明：连接 并延长交 于，连接BM
，为的直径，，，，，又∵∠D=∠D，，， 又，，，为的切线；（2）解：如图所示，，，， 是的直径，， ， ， ，，，，?， ，过作
交于，交PQ于E，为等腰直角三角形，，，．【点睛】本题主要考查圆的切线的判断，等腰三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，锐角
三角函数，掌握公式定理并且灵活应用是解题的关键．57．（2022·山东临沂·中考真题）如图，AB是的切线，B为切点，直线AO交于C
，D两点，连接BC，BD，过圆心О作BC的平行线，分别交AB的延长线、及BD于点E，F，G．(1)求证：；(2)若F是OE的中点，
的半径为3，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OB，由切线的性质和圆周角定理可得，继而证明，再由平行线
的性质，等腰三角形的性质得，，再利用三角形的内角和进行证明即可；（2）由题意得，由可得，继而可证明，，利用勾股定理可得的长度，根据
阴影部分的面积，利用扇形面积公式即可求解．(1)连接OB， AB是的切线，CD为直径，，，即，，，，，，在和中，，；(2) F是O
E的中点，的半径为3，，，在中，，，，，，，，，，由勾股定理得，阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的
性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，勾股定理，扇形面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键．58．（2022·山
东威海·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．(1)若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠A
DE；(2)若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据圆内接四边形外角等于内对角，
得到∠ABC＝∠ADE，根据等腰三角形性质，得到∠ABC＝∠ACB，结合圆周角定理，∠ADB＝∠ACB，推理即可．（2）作直径BF
，连接FC，根据sin∠BAC= sin∠BFC计算即可．（1）∵圆内接四边形外角等于内对角，四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠
ABC＝∠ADE，∵AB=AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ADE．（2）如图，作直径BF，连接FC
，则∠BCF=90°，∵圆的半径为2，BC=3，∴BF=4，BC=3，∠BAC= ∠BFC，∴sin∠BAC= sin∠BFC=．
【点睛】本题考查了圆的内接四边形性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角函数，熟练掌握圆的内接四边形性质，圆周角定理，三角函数是解
题的关键．59．（2021·山东济南·中考真题）已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点，，连接，．（1）求证：
；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根
据圆周角定理可得，等量代换即可得证；（2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求
得，进而即可求得圆的半径．【详解】（1）连接，如图，是的切线，，，，，，，．（2）连接是的直径，，，，，，，，，．即的半径为．【点
睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题意添加辅助线是解题的关键．60．（2021
·山东威海·中考真题）如图，AB是直径，弦，垂足为点E．弦BF交CD于点G，点P在CD延长线上，且．（1）求证：PF为切线；（2）
若，，，求PF的长．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）连接OF，根据等腰三角形的性质可得∠PFG=∠PGF，∠OBF=∠
OFB，再证明∠OFB+∠PFG=90°，即可得∠PFO=90°，由此证得PF为切线；（2）连接AF，过点P作于点N，由AB是直径
，可得∠AFB=90°，在Rt△ABF中求得AF=12，再由，可得，求得EG=6；在Rt△BEG中求得 BG=10；再根据等腰三角
形性质可得FN=NG=3，再证明△PNF△BEG，根据相似三角形的性质即可求得PF=5．【详解】（1）连接OF，∵，∴∠PFG=∠
PGF，∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵，∴∠GEB=90°，∴∠ABF+∠EGB=90°，∵∠EGB=∠PGF，∴∠OFB
+∠PFG=90°，∴∠PFO=90°，∴PF为切线；（2）连接AF，过点P作于点N，∵AB是直径，∴∠AFB=90°，∵OB=1
0，∴AB=20，在Rt△ABF中，AB=20，，∴AF=12，∵，∴，∴EG=6，在Rt△BEG中，，EG=6，∴BG=10，∴
FG=FB-BG=16-10=6，∵，，∴FN=NG=3，∠PNF=90°，∵∠PFG=∠PGF=∠EGB，∠PNF=∠GEB=9
0°，∴△PNF△BEG，∴，∴，∴PF=5．【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、三角函数及相似三角形的判定与性质
，熟练运用相关知识是解决问题的关键．61．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，为弦延长线上一
点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为8，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OE，证明OE⊥EF即可；（2）由证得，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE，如图，∵OA=
OE∴∠OAE=∠OEA．∵EF=PF，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF，∴∠APH=∠EPF，∴∠AEF=∠APH．∵C
D⊥AB，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE⊥EF．∵OE是的
半径∴EF是圆的切线，（2）∵CD⊥AB∴是直角三角形∵∴ 设，则 由勾股定理得， 由（1）得，是直角三角形∴ ∴，即∵ ∴解得，
【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．62．（2020·山东烟台·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）证明：连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠BAC＝30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE，∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∴∠OBC＝30°+60°＝90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，∴OH＝BC＝2，∴OA＝＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，∴的长度＝＝．【点睛】本题考查了切线的判定，锐角三角函数，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．63．（2020·山东东营·中考真题）如图，在中，以为直径的交于点弦交于点且．（1）求证：是的切线；（2）求的直径的长度．【答案】（1）见解析；（2）的直径的长度为【分析】(1)先用勾股定理的逆定理证明△AEM为直角三角形，且∠AEM=90°，再根据MN∥BC即可证明∠ABC=90°进而求解；(2)连接BM，由AB是直径得到∠AMB=90°，再分别在Rt△AMB和Rt△AEM中使用∠A的余弦即可求解．【详解】解：(1)，，为的直径，是的切线．(2)如图，连接为的直径，又，即，，∴的直径的长度为．故答案为：．【点睛】本题考查了圆中切线的证明，圆周角定理，直角三角形中锐角的三角函数的求法，熟练掌握切线的性质和判定及锐角三角函数的定义是解决此类题的关键．64．（2020·山东枣庄·中考真题）如图，在中，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且．（1）求证：BF是的切线；（2）若的直径为4，，求．【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°；（2）过点C作于点H，求得AC、BF的长度，证出，根据相似三角形的性质求得CH、HF的长度，根据求得BH的长度，代入求解即可．【详解】（1）（1）证明：如图，连接AE．∵AB是的直径，∴，．∵，∴．∵，∴．∴，即．∵AB是的直径，∴直线BF是的切线． （2）解：过点C作于点H．∵，的直径为4，∴．∵，，∴．?∵，，∴．∴，即．∴，． ∴．∴．【点睛】本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点．65．（2022·山东济宁·中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．∵，∴，∴(1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．【答案】(1)，证明见解析(2)米【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE = csinB，AE= bsin∠BCA，CD= asinB，CD = bsin∠BAC，从而得出结论；解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可．（1）（拓展探究）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E．在RtΔABE中，，同理：，． ．．．．（2）（解答问题）解：在ΔABC中，∴解得：答：点A到点B的距离为m．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键．学科网（北京）股份有限公司 |
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