专题24 统计一、单选题1．（2022·山东菏泽·中考真题）射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示，则下列结论错误的是（?）A．平均数是
9环B．中位数是9环C．众数是9环D．方差是0.8【答案】D【分析】分别求出平均数，中位数，众数以及方差即可求解【详解】解：根据题
意得：10次射击成绩从小到大排列为8.4，8.6，8.8，9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，A、平均数是环，故本选项正确
，不符合题意；B、中位数是环，故本选项正确，不符合题意；C、9出现的次数最多，则众数是9环，故本选项正确，不符合题意；D、方差是
，故本选项错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数以及方差，解答本题的关键是掌握相关统计量的求法
．2．（2022·山东济宁·中考真题）某班级开展“共建书香校园”读书活动．统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出如
图所示的折线统计图．则下列说法正确的是（?）A．从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降B．从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值
比最小值多45C．每月阅读课外书本数的众数是45D．每月阅读课外书本数的中位数是58【答案】D【分析】根据折线统计图的变化趋势即可
判断A，根据折线统计图中的数据以及众数的定义，中位数的定义即可判断B，C，D选项．【详解】A.从2月到6月，阅读课外书的本数有增有
降，故该选项不正确，不符合题意；B.从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值为78比最小值28多50，故该选项不正确，不符合题意；
C. 每月阅读课外书本数的众数是58，故该选项不正确，不符合题意；D.这组数据为： 28，33，45，58，58，72，78，则每
月阅读课外书本数的中位数是58，故该选项正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查了折线统计图，求极差，求中位数，从统计图获取信息是解
题的关键．3．（2022·山东聊城·中考真题）“俭以养德”是中华民族的优秀传统，时代中学为了对全校学生零花钱的使用进行正确引导，随
机抽取50名学生，对他们一周的零花钱数额进行了统计，并根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图，如图所示：组别零花钱数额/
元频数一二12三15四五5关于这次调查，下列说法正确的是（?）A．总体为50名学生一周的零花钱数额B．五组对应扇形的圆心角度数为3
6°C．在这次调查中，四组的频数为6D．若该校共有学生1500人，则估计该校零花钱数额不超过20元的人数约为1200人【答案】B【
分析】选项A根据“总体”的定义判定即可；选项B用360°乘“五组”所占的百分比即可求出对应的扇形圆心角的度数；选项C根据“频率=频
数总数”可得答案；选项D利用样本估计总体即可．【详解】解：总体为全校学生一周的零花钱数额，故选项A不合题意；五组对应扇形的圆心角度
数为：，故选项B符合题意；在这次调查中，四组的频数为：50×16%=8，故选项C不合题意；若该校共有学生1500人，则估计该校零花
钱数额不超过20元的人数约为：（人），故选项D不合题意，故选：B．【点睛】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综台运用． 读懂统计
图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．4．（2022·山东泰安·中考真题）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根
据此统计图，下列结论中错误的是（?）A．最高成绩是9.4环B．平均成绩是9环C．这组成绩的众数是9环D．这组成绩的方差是8.7【答
案】D【分析】根据统计图即可判断选项A，根据统计图可求出平均成绩，即可判断选项B，根据统计图即可判断选项C，根据所给数据进行计算即
可判断选项D．【详解】解：A、由统计图得，最高成绩是9.4环，选项说法正确，不符合题意；B、平均成绩：，选项说法正确，符合题意；C
、由统计图得，9出现了3次，出现的次数最多，选项说法正确，不符合题意；D、方差：，选项说法错误，符合题意；故选D．【点睛】本题考查
了平均数，众数，方差，解题的关键是理解题意掌握平均数，众数和方差的计算方法．5．（2021·山东潍坊·中考真题）如图为2021年第
一季度中国工程机械出口额TOP10国家的相关数据（同比增速是指相对于2020年第一季度出口额的增长率），下列说法正确的是（?）A．
对10个国家出口额的中位数是26201万美元B．对印度尼西亚的出口额比去年同期减少C．去年同期对日本的出口额小于对俄罗斯联邦的出口
额D．出口额同比增速中，对美国的增速最快【答案】A【分析】A、根据中位数的定义判断即可；B、根据折线图即可判断出对印度尼西亚的出口
额的增速；C、分别求出去年同期对日本和俄罗斯联邦的出口额即可判断；D、根据折线图即可判断．【详解】解：A、将这组数据按从小到大的顺
序排列为：19677，19791，21126，24268，25855，26547，29285，35581，39513，67366，
位于中间的两个数分别是25855，26547，所以中位数是，选项正确，符合题意；B、根据折线图可知，对印度尼西亚的出口额比去年同期
增长，选项说法错误，不符合题意；C、去年同期对日本的出口额为:，对俄罗斯联邦的出口额为：，选项错误，不符合题意 ；D、根据折线图可
知，出口额同比增速中，对越南的增速最快，选项错误，不符合题意.故选：A．【点睛】此题考查了中位数的概念和折线统计图和柱状图，解题的
关键是正确分析出图中的数据．6．（2021·山东聊城·中考真题）为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动
，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：废旧电池数/节45678人数/人9111154请根据学生收集到的废旧电池
数，判断下列说法正确的是（?）A．样本为40名学生B．众数是11节C．中位数是6节D．平均数是5.6节【答案】D【分析】根据样本定
义可判定A，利用众数定义可判定B，利用中位数定义可判定C，利用加权平均数计算可判定D即可．【详解】解：A. 随机抽取40名学生对收
集废旧电池的数量是样本，故选项A样本为40名学生不正确；B. 根据众数定义重复出现次数最多的数据是5节或6节，故选项B众数是11节
不正确，C. 根据中位数定义样本容量为40，中位数位于两个位置数据的平均数，第20位、第21位两个数据为5节与6节的平均数节，故选
项C中位数是6节不正确；D. 根据样本平均数节故选项D平均数是5.6节正确．故选择：D．【点睛】本题考查样本，众数，中位数，平均数
，熟练掌握样本，众数，中位数，平均数是解题关键．7．（2021·山东泰安·中考真题）为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项
管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数
，中位数分别为（?）A．7 h；7 hB．8 h；7.5 hC．7 h ；7.5 hD．8 h；8 h【答案】C【分析】根据众数的
定义及所给频数分布直方图可知，睡眠时间为7小时的人数最多，根据中位数的定义，把睡眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间
的平均数是中位数，从而可得结果．【详解】由频数分布直方图知，睡眠时间为7小时的人数最多，从而众数为7h；把睡眠时间按从小到大排列，
第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数，而第25位学生的睡眠时间为7h，第26位学生的睡眠时间为8h，其平均数为7.5h，故
选：C．【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数和中位数，读懂频数分布直方图，掌握众数和中位数的定义是解决本题的关键．8．（2020
·山东济南·中考真题）某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正
确的是（ ）A．每月阅读课外书本数的众数是45B．每月阅读课外书本数的中位数是58C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降D．从
1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45【答案】B【分析】从折线图中获取信息，结合中位数、众数的定义及极差的定义可得答案
．【详解】解：因为58出现了两次，其他数据都出现了一次，所以每月阅读课外书本数的众数是58，故选项A错误；每月阅读课外书本数从小到
大的顺序为：28、33、45、58、58、72、78，最中间的数字为58，所以该组数据的中位数为58，故选项B正确；从折线图可以看
出，从2月到4月阅读课外书的本数下降，4月到5月阅读课外书的本数上升，故选项C错误；从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值78比最
小值多28多50，故选项D错误．故选：B．【点睛】本题考查的是折线统计图及从折线统计图中获取信息，同时考查众数与中位数，极差，掌握
以上知识是解题的关键．9．（2020·山东日照·中考真题）下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）A．调查全国初中学生视力情况B．
了解某班同学“三级跳远”的成绩情况C．调查某品牌汽车的抗撞击情况D．调查2019年央视“主持人大赛”节目的收视率【答案】B【分析】
根据全面调查和抽样调查的适用条件即可求解．【详解】解：对于调查方式，适宜于全面调查的常见存在形式有：范围小或准确性要求高的调查，A
．调查全国初中学生视力情况没必要用全面调查，只需抽样调查即可，B．了解某班同学“三级跳远”的成绩情况，因调查范围小且需要具体到某个
人，适宜全面调查，C．调查某品牌汽车的抗撞击情况，此调查兼破坏性，显然不能适宜全面调查，D．调查2019年央视“主持人大赛”节目的
收视率，因调查受众广范围大，故不适宜全面调查，故选：B．【点睛】本题考查全面调查和抽样调查的适用条件，解题关键是要知道这个适用条件
．10．（2020·山东威海·中考真题）为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初二级部学生进行了问卷调查，其中
一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如下，由图中信息可知，下列结论错误的
是（?）A．本次调查的样本容量是B．选“责任”的有人C．扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为D．选“感恩”的人数最多【答案
】C【分析】根据条形统计图与扇形统计图中的相关数据进行计算并逐一判断即可得解．【详解】A.由统计图可知“奉献”对应的人数是108人
，所占比为18%，则调查的样本容量是，故A选项正确；B.根据扇形统计图可知“责任”所对的圆心角是，则所对人数为人，故B选项正确；C
.根据条形统计图可知“生命”所对的人数为132人，则所对的圆心角是，故C选项错误；D.根据“敬畏”占比为16%，则对应人数为人，则
“感恩”的人数为人，人数最多，故D选项正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了通过条形统计图与扇形统计图之间各部分数量与占比的关系对
总体，未知部分对应数量以及对应圆心角的求解，数量掌握相关计算方法是解决本题的关键．11．（2022·山东淄博·中考真题）小红在“养
成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示
：人数3485课外书数量（本）12131518则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（?）A．13，15B．14，15C．13，18
D．15，15【答案】D【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．【详解】解：中位数为第10个和第11个的平均数，众数为15．故
选：D．【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念．12．（2022·山东滨州·中考真题）今年我国
小麦大丰收，农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦，测得其麦穗长（单位：cm）分别为8，8，6，7，9，9，7，8，10，8，那
么这一组数据的方差为（?）A．1.5B．1.4C．1.3D．1.2【答案】D【分析】根据方差的计算方法求解即可．【详解】解：这组数
据的平均数为：，方差，故选：D．【点睛】本题考查了方差的计算方法，熟练掌握求方差的公式是解题的关键．13．（2021·山东德州·中
考真题）八年级二班在一次体重测量中，小明体重54.5kg，低于全班半数学生的体重，分析得到结论所用的统计量是（ ）A．中位数B．
众数C．平均数D．方差【答案】A【分析】根据中位数的意义求解可得．【详解】解：八年级二班在一次体重排列后，最中间一个数或最中间两个
体重数的平均数是这组体重数的中位数，半数学生的体重位于中位数或中位数以下，小明低于全班半数学生的体重所用的统计量是中位数，故选：A
．【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是熟练掌握并区分中位数、众数、平均数及方差的含义．14．（2021·山东日照·中考真题）
袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实
验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为，．为保证产量稳定，
适合推广的品种为（ ）A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定【答案】A【分析】根据方差的意义求解即可．【详解】解：，，，为保证产
量稳定，适合推广的品种为甲，故选：A．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平
均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．15．
（2021·山东淄博·中考真题）小明收集整理了本校八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩（每人投篮10次），并绘制了折线统计图，如
图所示．那么这次比赛成绩的中位数、众数分别是（ ）A．6，7B．7，7C．5，8D．7，8【答案】B【分析】根据折线统计图及结合中
位数、众数可直接进行求解．【详解】解：由折线统计图可得：投篮成绩为3的有2人，投篮成绩为5的有4人，投篮成绩为6的有3人，投篮成绩
为7的有6人，投篮成绩为8的有3人，投篮成绩为9的有2人；∴这次比赛成绩的中位数为第10和第11位同学的平均成绩，即为（7+7）÷
2=7；众数为出现次数最多的，即为7；故选B．【点睛】本题主要考查折线统计图、中位数及众数，解题的关键在于由折线统计图得出数据，然
后进行求解即可．16．（2021·山东威海·中考真题）某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡时间，统计结果如表
：时间/小时78910人数69114这些学生睡眠时间的众数、中位数是（?）A．众数是11，中位数是8.5B．众数是9，中位数是8.
5C．众数是9，中位数是9D．众数是10，中位数是9【答案】B【分析】根据众数和中位数的定义，即可求解．【详解】解：睡眠时间为9小
时的人数最多，学生睡眠时间的众数是9小时，一共有30个学生，睡眠时间从小到大排序后，第15、16个数据分别是：8，9，即：中位数为
8.5．故选B．【点睛】本题主要考查中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义，是解题的关键．17．（2021·山东菏泽·中考真题）
在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：成绩（次）1211109
人数（名）1342关于这组数据的结论不正确的是（?）A．中位数是10.5B．平均数是10.3C．众数是10D．方差是0.81【答案
】A【分析】先将数据按照从小到大排列，再依次按照中位数的定义、平均数计算公式、众数定义、方差计算公式依次进行判断即可．【详解】解：
将该组数据从小到大排列依次为：9，9，10，10，10，10，11，11，11，12；位于最中间的两个数是10，10，它们的平均数
是10，所以该组数据中位数是10，故A选项符合题意；该组数据平均数为：，故B选项不符合题意；该组数据10出现次数最多，因此众数是1
0，故C选项不符合题意；该组数据方差为：，故D选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了中位数和众数的定义以及方差和平均数的计算
公式，解决本题的关键是牢记相关概念与公式等，本题的易错点是容易将表格中的数据混淆，同时计算容易出现错误，因此需要学生有一定的计算能
力．18．（2021·山东枣庄·中考真题）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛
学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：一分钟跳绳个数（个）141144145146学生人数（名）5212则关于这组数据的结论正确
的是（ ）A．平均数是144B．众数是141C．中位数是144.5D．方差是5.4【答案】B【分析】根据平均数，众数，中位数，方差
的性质分别计算出结果，然后判判断即可．【详解】解：根据题目给出的数据，可得：平均数为：，故A选项错误；众数是：141，故B选项正确
；中位数是：，故C选项错误；方差是：，故D选项错误；故选：B．【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的性质和计算，熟悉相关
性质是解题的关键．19．（2020·山东烟台·中考真题）如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（?）A．众数改变，
方差改变B．众数不变，平均数改变C．中位数改变，方差不变D．中位数不变，平均数不变【答案】C【分析】由每个数都减去5，那么所得的一
组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，据此可得答案．【详解】解：如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据
的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，故选：C．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数和平均数的定义．2
0．（2020·山东淄博·中考真题）李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学
生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（
?）A．4，5B．5，4C．5，5D．5，6【答案】C【详解】根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可．【解答】解：这组数据4
，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，
因此中位数是5．故选：C．【点评】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前提，掌握计算方法是解决
问题的关键．21．（2020·山东滨州·中考真题）已知一组数据5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：①平均数是5，②中位数是
4，③众数是4，④方差是4.4，其中正确的个数为（?）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】先把数据由小到大排列为3，4，4，
5，9，然后根据算术平均数、中位数和众数的定义得到数据的平均数，中位数和众数，再根据方差公式计算数据的方差，然后利用计算结果对各选
项进行判断．【详解】解：数据由小到大排列为3，4，4，5，9，它的平均数为=5，数据的中位数为4，众数为4，数据的方差=[（3-5
）2+（4-5）2+（4-5）2+（5-5）2+（9-5）2]=4.4．所以①②③④都正确．故选：D．【点睛】本题考查了方差：一组
数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，也考查了平均数，中位数和众数的定义．22．（2020·山东泰安·
中考真题）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下
表：册数/册12345人数/人25742根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（?）A．3，3B．3，7C．
2，7D．7，3【答案】A【分析】由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第10和1
1个所对应册数的平均数即可求得结果；【详解】由表中数据可得，人数基数最大的7人所应的册数是3，所以众数是3．将数据从小到大排序后，
第10和第11个数据均为3，所以中位数为：，故选：A．【点睛】本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关
键．23．（2020·山东临沂·中考真题）下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图，比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是（?）A．
甲平均分高，成绩稳定B．甲平均分高，成绩不稳定C．乙平均分高，成绩稳定D．乙平均分高，成绩不稳定【答案】D【详解】解：∴乙的平均数
较高;乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定;故选: D.24．（2020·山东济宁·中考真题）下表中记录了甲、乙、
丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩(单位:cm）的平均数和方差．要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛,最合适的运动员是（?
）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【详解】解：∵乙和丁的平均数最小
，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵丙的方差最小，即成绩比较稳定，∴选择丙参赛；故选：C．【点睛】此题考查了平均数和方差，方差是用来
衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中
，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．25．（2020·山东德州·中考真题）为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班
学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：一周做饭次数45678人数7612105那么一周内该班学生的平均做饭次数为（?）A．4
B．5C．6D．7【答案】C【分析】根据平均数的计算方法计算即可．【详解】解：==6，故选：C．【点睛】本题考查了平均数的计算，掌
握计算方法是解题关键．26．（2020·山东聊城·中考真题）为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同
年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（?）成绩/分84889296100人数/人249105A．
92分，96分B．94分，96分C．96分，96分D．96分，100分【答案】B【分析】根据中位数的定义和众数的定义分别求解即可．
【详解】解：由统计表得共有30个数据，第15、16个数据分别是92,96，∴中位数是 ；由统计表得数据96出现的次数最多，∴众数为
96．故选：B【点睛】本题考查了求一组数据的中位数和众数．中位数是将一组数据由小到大（由大到小）排序后，位于中间位置的数据，当有偶
数个数据时，取中间两数的平均数；众数是一组数据出现次数最多的数．二、多选题27．（2022·山东潍坊·中考真题）小莹所在班级10名
同学的身高数据如表所示．编号12345678910身高（）165158168162174168162165168170下列统计量中
，能够描述这组数据集中趋势的是（?）A．平均数B．方差C．众数D．中位数【答案】ACD【分析】根据平均数、众数、中位数的定义即可得
出答案．【详解】解：平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，∴能够描述这组数据集中趋势的是平均数、众数、中位数．故选：AC
D．【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数、方差，本题属于基础题．三、填空题28．（2022·山东东营·中考真题）为了落实“双减”
政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是___________
_分钟．作业时长（单位：分钟）5060708090人数（单位：人）14622【答案】70【分析】根据众数的定义，人数最多的即为这组
数据的众数．【详解】解：由表可知：∵6＞4＞2＞2＞1，∴这组数据的众数是70分钟．故答案为：70．【点睛】本题考查了众数的定义，
掌握众数的定义是本题关键．29．（2022·山东青岛·中考真题）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容
、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分
．【答案】8.3【分析】按三项得分的比例列代数式再计算即可．【详解】解：由题意得： 故答案为：【点睛】本题考查的是加权平均数的含义
，掌握“求解加权平均数的方法”是解本题的关键．30．（2022·山东威海·中考真题）某小组6名学生的平均身高为acm，规定超过ac
m的部分记为正数，不足acm的部分记为负数，他们的身高与平均身高的差值情况记录如下表：学生序号123456身高差值（cm）+2x+
3﹣1﹣4﹣1据此判断，2号学生的身高为 _____cm．【答案】##【分析】根据题意身高差值和为0，即可求解．【详解】解：∵平均
身高为acm，规定超过acm的部分记为正数，不足acm的部分记为负数，∴．解得2号学生的身高为．故答案为：【点睛】本题考查了根据平
均数求未知，理解题意是解题的关键．31．（2021·山东青岛·中考真题）已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方
差分别为、，则___．（填“”、“”、“”）【答案】＞【分析】先计算两组数据的平均数，再计算它们的方差，即可得出答案．【详解】解：
甲射击的成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10，乙射击的成绩为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，则甲= ×（6
+7×3+8×2+9×3+10）=8，乙=×（6+7×2+8×4+9×2+10）=8，∴S甲2=×[（6-8）2+3×（7-8）2
+2×（8-8）2+3×（9-8）2+（10-8）2]=×[4+3+3+4]=1.4；S乙2=×[（6-8）2+2×（7-8）2+
4×（8-8）2+2×（9-8）2+（10-8）2]=×[4+2+2+4]=1.2；∵1.4＞1.2，∴S甲2＞S乙2，故答案为：
＞．【点睛】题主要考查了平均数及方差的知识．方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1-）
2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．32．（2021·山东滨州·中
考真题）某芭蕾舞团新进一批女演员，她们的身高及其对应人数情况如表所示：身高（cm）163164165166168人数12311那么
，这批女演员身高的方差为____________．【答案】2cm2【分析】根据表格中的数据，可以先求出平均数，然后根据方差的计算方
法代入数据计算即可．【详解】解：，，故答案为：2cm2．【点睛】本题考查方差，解答本题的关键是求出数据的平均数，明确方差的计算方法
．33．（2021·山东济宁·中考真题）已知一组数据0，1，，3，6的平均数是，则关于的函数解析式是____．【答案】【分析】根据
平均数的公式直接列式即可得到函数解析式．【详解】解：根据题意得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查平均数的概念，熟练掌握平均数的公
式是解决本题的关键．34．（2021·山东东营·中考真题）如图所示是某校初中数学兴趣小组年龄结构条形统计图，该小组年龄最小为11岁
，最大为15岁，根据统计图所提供的数据，该小组组员年龄的中位数为________岁．【答案】13【分析】直接根据中位数定义求解即可
．【详解】解：根据题意排列得：11，11，12，12，12，13，13，13，13，13，14，14，14，14，15，15，15
，15，个数为偶数，中间的两个数为：13，13，∴中位数为13，故答案为：13【点睛】本题主要考查中位数的定义，将一组数据按照从小
到大(或从大到小)的顺序排列，如果这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两
个数据的平均数就是这组数据的中位数．35．（2021·山东临沂·中考真题）某学校八年级（2）班有20名学生参加学校举行的“学党史、
看红书”知识竞赛，成绩统计如图．这个班参赛学生的平均成绩是___．【答案】95.5【分析】利用加权平均数的定义计算即可．【详解】解
：由题意可得：=95.5，故答案为：95.5．【点睛】本题考查了加权平均数的求法，解题的关键是结合统计图，掌握运算法则．36．（2
020·山东青岛·中考真题）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试．测试成
绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2:1:3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么________
__将被录用（填甲或乙）应聘者项目甲乙学历98经验76工作态度57【答案】乙【分析】直接根据加权平均数比较即可．【详解】解：甲得分
：乙得分：∵>故答案为：乙．【点睛】此题主要考查加权平均数，正确理解加权平均数的概念是解题关键．37．（2020·山东东营·中考真
题）某校女子排球队队员的年龄分布如下表：年龄131415人数474则该校女子排球队队员的平均年龄是 岁．【答案】14．【详解】平均
数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，因此，该校女子排球队队员的平均年龄是（岁）．故答案为：14．四、解答题38．（20
22·山东淄博·中考真题）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提
升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且
只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：(1)共有 名学生参与
了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；(2)补全调查结果条形统计图；(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本
课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．【答案】(1)120，99(2)见解析(3)【分析】（1）
由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，
即可解决问题；（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．（1
）解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名），则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，故答案为：120，99；（2）解：条形统
计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名），则选修“园艺”的学生人数为：（名），补全条形统计图如下：（3）解：把“礼仪”“陶艺”“园
艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，画树状图如下：共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的
结果有5种，小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．39．（2022·山
东济南·中考真题）某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和
分析，部分信息如下：a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，，，，，）b：七年级抽取成绩在7这一组的是：70，72
，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：
年级平均数中位数七年级76.5m八年级78.279请结合以上信息完成下列问题：(1)七年级抽取成绩在的人数是_______，并补全
频数分布直方图；(2)表中m的值为______；(3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______（填“甲”或“乙
”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；(4)七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．【答案】(1
)38，理由见解析(2)77(3)甲(4)七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人【分析】（1）根据题意及频数分布直方图即可得出结
果；（2）根据中位数的计算方法求解即可；（3）由七八年级中位数与甲乙学生成绩的比较即可得出结果；（4）用总人数乘以七年级竞赛成绩9
0分及以上的学生人数占总的人数的比例求解即可．（1）解：由题意可得：70≤x<80这组的数据有16人，∴七年级抽取成绩在60≤x<
90的人数是：12+16+10=38人，故答案为：38；补全频数分布直方图如图所示；（2）解：∵4+12=16<25，4+12+1
6>25，∴七年级中位数在70≤x<80这组数据中，∴第25、26的数据分别为77，77，∴m=，故答案为：77；（3）解：∵七年
级学生的中位数为77<78，八年级学生的中位数为79>78，∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前，故答案为：甲；（4）解：（人）
答：七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人．【点睛】题目主要考查统计的相关应用，包括频数分布直方图及用部分估计总体、中位数的求法
等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．40．（2022·山东枣庄·中考真题）每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解
本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动．一、确定调查对象(1)有以下三种调查方案：方案一：从七年级抽取14
0名学生，进行视力状况调查；方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查；方案三：从全校1600名学生中随机抽
取600名学生，进行视力状况调查．其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是______；二、收集整理数据按照国家视力健康标准，学生
视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图．抽取的学生视力状况统计
表类别ABCD视力视力≥5.04.94.6≤视力≤4.8视力≤4.5健康状况视力正常轻度视力不良中度视力不良重度视力不良人数160
mn56三、分析数据，解答问题(2)调查视力数据的中位数所在类别为______类；(3)该校共有学生1600人，请估算该校学生中，
中度视力不良和重度视力不良的总人数；(4)为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议．【答案】(1)方案三(2
)(3)该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数约为704人(4)该校学生近视程度为中度及以上占，说明该校学生近视程度较为严
重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控（答案不唯一）【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性即可得；（2）根据类和类的
占比，以及中位数的定义即可得；（3）利用1600乘以类与类所占的百分比之和即可得；（4）根据类与类所占的百分比为，说明该校学生近视
程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控即可．（1）解：由抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三：从全校1600名
学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查，作为样本进行调查分析，是最符合题意的．故答案为：方案三．（2）解：因为类的占比为，类
和类的占比之和为，所以调查视力数据的中位数所在类别为类，故答案为：．（3）解：（人），答：该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的
总人数约为704人．（4）解：该校学生近视程度为中度及以上占比为，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的
管控（答案不唯一）．【点睛】本题考查了抽样调查、中位数、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．41．（2022·
山东烟台·中考真题）2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外
各1小时体育活动时间．某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机对本校100名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时
间分A，B，C，D四组整理如下：组别体育活动时间/分钟人数A0≤x＜3010B30≤x＜6020C60≤x＜9060Dx≥9010
根据以上信息解答下列问题：(1)制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比；(2)小明记录了自己一周内每天的校外体育活
动时间，制作了如下折线统计图．请计算小明本周内平均每天的校外体育活动时间；(3)若该校共有1400名学生，请估计该校每天校外体育活
动时间不少于1小时的学生人数．【答案】(1)见解析(2)64分钟(3)980名【分析】（1）用扇形统计图表示各组人数占所调查人数的
百分比；（2）根据平均数的计算方法进行计算即可；（3）样本估计总体，求出样本中每天校外体育活动时间不少于1小时的学生所占的百分比即
可．(1)解：由于各组人数占所调查人数的百分比，因此可以采用扇形统计图；(2)解：＝64（分），答：小明本周内平均每天的校外体育活
动时间为64分钟；(3)1400×＝980（名），答：该校1400名学生中，每天校外体育活动时间不少于1小时的大约有980名．【点
睛】本题考查统计图的选择，频数分布表以及平均数，掌握各种统计图的特点以及加权平均数的计算方法是正确解答的前提．42．（2022·山
东聊城·中考真题）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定
了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示：众数中位数方差八年级竞赛成绩781.88九年级竞赛成绩a8b(1)你能用成绩的平
均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明；(2)请根据图表中的信息，回答下列问题．①表中的______，______；②现要给
成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？(3)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8
分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？【答案】(1)无法判断，计算见解析(2)①8，1.56；②给九年级颁奖(3)九年级获奖率高【分析
】(1)分别求出两个年级的平均数即可；(2)①分别根据众数和方差的定义解答即可；②根据两个年级众数和方差解答即可；(3)根据题意列
式计算即可．（1）解：无法判断，计算如下：由题意得：八年级成绩的平均数是：（6×7+7×15+8×10+9×7+10×11）÷50
=8（分），九年级成绩的平均数是：（6×8+7×9+8×14+9×13+10×6）÷50=8（分），故用平均数无法判定哪个年级的成
绩比较好；（2）解：①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数a=8分；九年级竞赛成绩的方差为：，故答案为：8；1.56；②如果
从众数角度看，八年级的众数为7分，九年级的众数为8分，所以应该给九年级颁奖；如果从方差角度看，八年级的方差为1．88，九年级的方差
为1．56，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖，故如果分别从众数和方差两个角度来分析，应该给九
年级颁奖；（3）解：八年级的获奖率为：（10+7+11）÷50=56%，九年级的获奖率为：（14+13+6）÷50=66%，∵66
%>56%，∴九年级的获奖率高．【点睛】本题主要考查了中位数、众数、方差以及加权平均数，掌握各个概念和计算方法是解题的关键．43．
（2022·山东潍坊·中考真题）2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测．【学科测试】每名学生从3
套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率．样本学生语文测试成绩（满分
100分）如下表：样本学生成绩平均数方差中位数众数甲校5066666678808182839474.6141.04a66乙校646
5697476767681828374.640.8476b表中___________；___________．请从平均数、方差、中
位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩．【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调
查结果把样本学生分为3组，制成频数直方图，如图所示．A组：；B组：；C组：．请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限
与下限的中间值近似表示该组的平均数）．【监测反思】①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性；
②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？【答案】学科测
试：小亮、小莹作答相同试卷的概率为；，；评判见解析；问卷调查：甲校样本学生阅读课外书的平均数为32本，乙校样本学生阅读课外书的平均
数量为30本；监测反思：①答案见解析；②不可行，原因见解析【分析】学科测试：用列表法求解小亮、小莹作答相同试卷的概率即可；根据中位
数和众数的定义求a和b的值；根据平均数、方差、中位数、众数分别分析即可；问卷调查：根据平均数的定义求解即可；监测反思：①根据表格中
的数据和频数分布直方图分析语文测试成绩与课外阅读量的相关性；②统计调查要考虑总体的大小来确定样本容量的大小．【详解】学科测试：设3
套不用的试卷分别为1、2、3，列表如下：1231（1,2）（2,1）（3,1）2（1,2）（2,2）（3,2）3（1,3）（2,3
）（3,3）一共有9种情况，而满足题意的有三种情况，∴小亮、小莹作答相同试卷的概率为，由表可得甲校的中位数，乙校的众数；从平均数看
两校的成绩一样；从方差看乙校的成绩比较均衡；从中位数看甲校的成绩好于乙校；从众数看乙校的成绩好于甲校；问卷调查：根据频数分布直方图
可得，甲校样本学生阅读课外书的平均数量为（本），乙校样本学生阅读课外书的平均数量为（本）；监测反思：①从语文测试成绩来看：甲乙平均
数一样大，乙校样本学生成绩比较稳定，甲校的中位数比乙校高，但从众数来看乙校成绩要好一些；从课外阅读量来看：虽然甲校学生阅读课外书的
平均数较大，但整体来看，三个组的人数差别较大，没有乙校的平稳；综上来说，课外阅读量越大，语文成绩就会好一些，所以要尽可能的增加课外
阅读量；②甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平，因为W市的抽样方
法是各校抽取了10人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太多，评估出来的数据不够精确，所以不能用这10个人的成绩来评估全校2000
多人的成绩．【点睛】本题考查了频数分布直方图和数据统计表，统计调查，以及列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于能结合频数分布直
方图和数据统计表分析学生的成绩．44．（2022·山东青岛·中考真题）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣是最好
的老师，阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐……各种兴趣爱好是打并创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查
活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长．对这项调查结果使用画“正
”字的方法进行初步统计，得到下表：学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表组别时长t（单位：h）人数累计人数第一组正正正正正正30第
二组正正正正正正正正正正正正60第三组正正正正正正正正正正正正正正70第四组正正正正正正正正40根据以上信息，解答下列问题：(1)
补全频数直方图；(2)这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第__________组；(3)若将上述调查结果绘制成扇形
统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为__________，对应的扇形圆心角的度数为__________；(4)学校倡议
学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？【答案】(1)图见解析(2)三(3
)30%，108(4)330人【分析】（1）根据频数分布表补全图形即可；（2）根据中位数的定义，中间的一个数或两个数的平均数求出中
位数；（3）根据百分比=该组频数÷总数，圆心角百分比，即可得出答案；（4）用2200乘以第一组所占百分比即可得出答案．（1）解：学
生每周自主发展兴趣爱好时长频数直方图：（2）∵总人数为200人，∴中位数落在第100、101个学生每周自主发展兴趣爱好的时长的平均
数，又∵30+60=90＜100，30+60+70=160＞101，∴中位数落在第三组，故答案为：三；（3）第二组的学生人数占调查
总人数的百分比为： 第二组的学生人数对应的扇形圆心角的度数为：故答案为：30%，108；（4）估计该校需要增加自主发展兴趣爱好时间
的人数为：（人）答：估计该校有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间．【点睛】本题考查频数及频率的应用，熟练掌握频数及频率的意义及应
用、频数分布直方图的画法及一定的数据分析方法是解题关键．45．（2022·山东临沂·中考真题）省农科院为某县选育小麦种子，为了解种
子的产量及产量的稳定性，在该县的10个乡镇中，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小麦，得到其亩产量数据如下（单
位：kg）：甲种小麦：804?818?802?816?806?811?818?811?803?819乙种小麦：804?811?80
6?810?802?812?814?804?807?809画以上甲种小麦数据的频数直方图，甲乙两种小麦数据的折线图，得到图1，图2
．(1)图1中，___________，___________；(2)根据图1，若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）
落在（?）内的可能性最大；A．?B．C．?D．(3)观察图2，从小麦的产量或产量的稳定性的角度，你认为农科院应推荐种植哪种小麦？简
述理由．【答案】(1)2，3(2)C(3)甲产量较高，但稳定性差，乙产量低，所以从产量角度选择甲，从稳定性角度选乙【分析】（1）整
理数据可得800至805的有3个，810至815的有3个，从而可得答案；（2）计算甲种小麦亩产的平均数，从而可得答案；（3）分别计
算甲乙两种小麦产量的平均数，再从折线统计图上观察其产量的稳定性，从而可得答案．（1）解：根据整理数据可得： 故答案为：2，3（2）
解： ∴该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）落在C表示的范围内．故选：C．（3）解：从产量上来看，由（2）得：甲小麦：
而乙： 甲种小麦的亩产量要高于乙种小麦的亩产量，此时可推荐种植甲，从折线图可得，甲种小麦的稳定性比乙种小麦的稳定性要差一些，此时
可推荐种植乙．【点睛】本题考查的是频数分布直方图，折线统计图，平均数的含义，方差的含义，从折线统计图与频数直方图中获取相关的信息是
解本题的关键．46．（2022·山东威海·中考真题）某学校开展“家国情?诵经典”读书活动．为了解学生的参与程度，从全校学生中随机抽
取200人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据（m/分钟）．将收集的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下统
计图表（尚不完整）：平均每天阅读时间统计表等级人数（频数）A（10≤m＜20）5B（20≤m＜30）10C（30≤m＜40）xD（
40≤m＜50）80E（50≤m≤60）y请根据图表中的信息，解答下列问题：(1)求x的值；(2)这组数据的中位数所在的等级是
；(3)学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”予以表扬．若全校学生以1800人计算，估计受表扬的学生人数．【
答案】(1)40(2)D等级(3)585人【分析】(1)根据样本容量=频数÷所占百分数，合理选择计算即可．(2)根据中位数的定义计
算即可．(3)利用样本估计总体的思想计算即可．（1）∵200×20=40(人)，∴x=40．（2）∵y=200-5-10-40-8
0=65，根据题意，中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在D等级，第101个数据在D等级，它们的平均数也
在D等级，故答案为：D等级．（3）∵y=200-5-10-40-80=65，∴（人），答：受表扬的学生人数585人．【点睛】本题考
查了条形统计图、扇形统计图，样本估计总体的思想，中位数，熟练掌握统计图的意义，中位数的计算是解题的关键．47．（2021·山东青岛
·中考真题）在中国共产党成立一百周年之际，某校举行了以“童心向党”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低
于60分，现从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图
．其中“”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100.竞赛成绩分组统计表组别竞赛成绩分组频数平均
分186527538841095请根据以上信息，解答下列问题：（1）__________；（2）“”这组数据的众数是_______
___分；（3）随机抽取的这名学生竞赛成绩的平均分是___________分；（4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，
请你估计全校1200名学生中获奖的人数．【答案】（1）12；（2）96；（3）82.6；（4）120人【分析】（1）先由1组的信息
求解总人数，再利用总人数乘以，可得的值；（2）由这一组出现次数最多的是：分，从而可得答案；（3）先求解的值，再求解50人的总得分，
再除以总人数即可得到答案；（4）由1200乘以96分及96分以上的学生的占比即可得到答案.【详解】解：（1）由扇形图可得：1组频数
为8人，占比 所以总人数为：人，由2组占 所以：，故答案为：12（2）由这一组的数据为：90，92，93，95，95，96，96，
96，97，100.出现次数最多的是：分，所以这一组的众数为：分，故答案为：96（3）由扇形图可得：3组占： 所以人，所以随机抽取
的这50名学生竞赛成绩的平均分：分，故答案为： （4）由4组成绩可得96分及96分以上的学生有5人，所以全校1200名学生中获奖的
人数为：人.【点睛】本题考查的是从扇形图与频数分布表中获取信息，频数与频率，利用样本估计总体，众数的含义，加权平均数的计算，熟悉扇
形图与频数分布表之间的关联关系是解题的关键.48．（2021·山东德州·中考真题）国家航天局消息：北京时间2021年5月15日，我
国首次火星着陆任务宣告成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注
、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：（1）此次调查中接受调查的人数为 人；（2）补
全条形统计图；（3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为 ；（4）该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”
及“非常关注”航天科技的人数共多少人？【答案】（1）50；（2）见解析；（3）43.2°；（4）该校“关注”，“比较关注”及“非常
关注”航天科技的人数共有828人【分析】（1）从统计图中可以得到不关注、关注、比较关注的共有34人，占调查人数的68%，可求出调查
人数；（2）接受调查的人数乘以非常关注的百分比即可得到非常关注的人数，即可补全统计图；（3）360°乘以关注”的比例即可得到“关注
”对应扇形的圆心角度数；（4）样本估计总体，样本中“关注”，“比较关注”及“非常关注”的占比68%，乘以该校人数900人即可求解．
【详解】解：（1）不关注、关注、比较关注的共有4+6+24＝34（人），占调查人数的1﹣32%＝68%，∴此次调查中接受调查的人数
为34÷68%＝50（人），故答案为：50；（2）50×32%＝16（人），补全统计图如图所示：（3）360°43.2°，故答案为
：43.2°；（4）900828（人），答：估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有828人．【点睛】考查扇
形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．49
．（2021·山东济南·中考真题）为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了
社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：方便筷使用数量在范
围内的数据：5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．不完整的统计图表：方便筷使用数量统计
表组别使用数量（双）频数1410合50请结合以上信息回答下列问题：（1）统计表中的__________；（2）统计图中组对应扇形的
圆心角为__________度；（3）组数据的众数是___________；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是____
______；（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．【答案】（1）9；（2）72
；（3）12，10；（4）该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760名．【分析】（1）根据扇形统计图可知D
组所占百分比，然后问题可求解；（2）由统计表可得E组人数为10人，然后可得E组所占的百分比，然后问题可求解；（3）由题意可把在范围
内的数据从小到大排列，进而可得组数据的众数及中位数；（4）根据题意可得50名被调查的人中不少于15双的人数所占的百分比，然后问题可
求解．【详解】解：（1）由统计图可得：；故答案为9；（2）由统计图可得组对应扇形的圆心角为；故答案为72；（3）由题意可把在范围内
的数据从小到大排列为：、6、6、7、7、8、8、8、9、9、10、10、11、12、12、12、13；∴在组（）数据的众数是；调查
的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是第25和第26名的平均数，即为；故答案为12，10；（4）由题意得：（名）；答：该社区2
000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760名．【点睛】本题主要考查中位数、众数及扇形统计图，熟练掌握中位数、众数及
扇形统计图是解题的关键．50．（2021·山东潍坊·中考真题）从甲、乙两班各随机抽取10名学生（共20人）参加数学素养测试，将测试
成绩分为如下的5组（满分为100分）：A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组
：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．（1）根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成
绩（取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩）；（2）参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两
名同学都参加测试；用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；（3）若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：甲班：6
2，64，66，76，76，77，82，83，83，91；乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100．则可
计算得两班学生的样本平均成绩为x甲＝76，x乙＝76；样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4．请用学过的统计知识评判甲、乙两班
的数学素养总体水平并说明理由．【答案】（1）图见解析；平均成绩为76.5；（2）；（3）甲班的数学素养总体水平好．【分析】（1）由
D组所占百分比求出D组的人数，再根据A、B、E、D组的人数求出C组人数，即可补全频数分布直方图，再求出样本平均数即可；（2）画树状
图，共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，再由概率公式求解即可；（3）由两班样本方差的大小作出判
断即可．【详解】解：（1）D组人数为：20×25%＝5（人），C组人数为：20﹣（2+4+5+3）＝6（人），补充完整频数分布直方
图如下：估算参加测试的学生的平均成绩为：76.5（分）；（2）把4个不同的考场分别记为：1、2、3、4，画树状图如图：共有16种等
可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，∴小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率为；（3）∵样本方差为s甲2＝
80，s乙2＝275.4，∴s甲2＜s乙2，∴甲班的成绩稳定，∴甲班的数学素养总体水平好．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求
概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识
点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．51．（2021·山东淄博·中考真题）为迎接中国共产党的百年华诞，某中学就有关中国共产党历史
的了解程度，采取随机抽样的方式抽取本校部分学生进行了测试（满分100分），并将测试成绩进行了收集整理，绘制了如下不完整的统计图、表
．成绩等级分数段频数（人数）优秀良好较好12一般10较差3请根据统计图，表中所提供的信息，解答下列问题：（1）统计表中的_____
___，_________；成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是_______度；（2）补全上面的成绩条形统计图；（3）若该
校共有学生1600人，估计该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上（含良好）的人数．【答案】（1）50，25，90；（2）图
见详解；（3）该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上的人数为1200人．【分析】（1）根据统计图易得被抽查的总人数为100
人，然后问题可求解；（2）由（1）可直接进行作图；（3）由题意易得对中国共产党历史了解程度达到良好（含良好）的人数所占百分比为75
％，进而问题可求解．【详解】解：（1）由统计图得：被抽查的总人数为（人），∴，，成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角为；故答案
为50，25，90；（2）补全条形统计图如图所示：（3）由题意得：（人）；答：该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上的人数
为1200人．【点睛】本题主要考查扇形统计图、条形统计图及频数，熟练掌握扇形统计图、条形统计图及频数是解题的关键．52．（2021
·山东威海·中考真题）某校为提高学生的综合素养，准备开展摄影、书法、绘画、表演、手工五类社团活动．为了对此项活动进行统筹安排，随机
抽取了部分学生进行调查，要求每人从五个类别中只选择一个，将调查结果绘制成了两幅统计图（未完成）．请根据统计图中的信息，解答下列问题
：（1）本次共调查了 名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）扇形统计图中，“摄影”所占的百分比为 ；“手工”所对应的圆心角的
度数为 ．（4）若该校共有2700名学生，请估计选择“绘画”的学生人数．【答案】（1）600；（2）见详解图；（3）；；（4）人【
分析】（1）根据书法总人数180人，占调查总数的，可求出调查总人数；（2）求出表演和手工的总人数，补全条形图即可；（3）用摄影的总
人数除以调查的总人数即可求出摄影所占百分比，再用手工总人数除以调查总人数得出手工所占百分比再乘以即可求出手工所对应的扇形圆心角的度
数；（4）求出绘画所占百分比再乘以该校总人数即可．【详解】（1）（人）（2）表演的人数为（人），手工的人数为（人），补全条形图如下
：（3）摄影所占百分比为：；手工所对应的圆心角度数为：（4）由样本估计总体得（人）答：该校2700名学生，估计选择“绘画”的学生人
数为人．【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解题关键．53．（2021·山东聊城·中考真题）
为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间，开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解
活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图： 请根据以上的信息，回答下列问题：（1）抽取
的学生有 人，n＝ ，a＝ ；（2）补全条形统计图；（3）若该校有学生3200人，估计参加书法社团活动的学生人数．【答案】（1）2
00，54，25；（2）见解析；（3）800人【分析】（1）用乒乓球的人数除以乒乓球所占的百分比，即可求得样本容量，进而可分别求得
n和a的值即可；（2）先计算出参加朗诵的人数，即可补全条形统计图；（3）先计算参加书法所占的百分比，再乘以2000，即可解答．【详
解】解：（1）80÷40%＝200（人），＝54°，50÷200＝25%，故答案为：200，54，25；（2）200－50－30－
80＝40（人），补全条形统计图如图所示∶（3）×3200＝800（人）．答：该校参加书法社团活动的约有 800 人．【点睛】本题
考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．54．（2021·山东临沂·中考真题）实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展
进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家
庭人均收入的数据如下（单位：万元）：0.69；0.73；0.74；0.80；0.81；0.98；0.93；0.81；0.89；0.
69；0.74；0.99；0.98；0.78；0.80；0.89；0.83；0.89；0.94；0.89研究小组的同学对以上数据进
行了整理分析，得到下表：分组?频数0.65≤x＜0.7020.70≤x＜0.7530.75≤x＜0.8010.80≤x＜0.85a
0.85≤x＜0.9040.90≤x＜0.9520.95≤x＜1.00b统计量平均数中位数众数数值0.84cd（1）表格中：a＝
，b＝ ，c＝ ，d＝ ；（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为
0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．【答案】（1）5，3，0.82，0.89；（2）210户；（3）能，理由见解
析【分析】（1）找出题干中处于0.95≤x＜1.00的人数，得到b值，再用20减去其他数据可得a值，再分别根据中位数和众数的定义求
出c，d的值；（2）用样本中不低于0.8万元的户数所占比例乘以样本总数即可；（3）利用中位数的定义进行判断即可．【详解】解：（1）
在0.95≤x＜1.00中的数据有0.98，0.99，0.98三个，∴b=3，∴a=20-2-3-1-4-2-3=5，从小到大排列
，中位数是第10个和第11个数据的平均数，即为=0.82，其中0.89出现的次数最多，出现了4次，则众数为0.89，故答案为：5，
3，0.82，0.89；（2）∵样本中收入不低于0.8万元的户数有5+4+2+3=14户，∴今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0
.8万元的户数为=210户；（3）∵样本中的中位数为0.82，梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，0.83＞0.82，∴梁飞家
今年一季度人均收入能超过村里一半以上的家庭．【点睛】本题考查了频数统计表，中位数和众数的求法，中位数的应用，样本估计总体，解题的关
键是仔细统计数据，得到相应结论．55．（2020·山东济南·中考真题）促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导
学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如表格和
统计图：等级次数频率不合格100≤x120a合格120≤x140b良好140≤x160优秀160≤x180请结合上述信息完成下列问
题：（1）a＝ ，b＝ ；（2）请补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是 ；（4）若该校有20
00名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．【答案】（1）0.1；0.35；（2）见解析；（3
）108°；（4）1800名【分析】（1）根据频数分布直方图中不合格的数除总数即可求得a值；同理得出良好的人数，再根据扇形统计图求
出优秀的人数即可得出合格的人数，再除总数即可求得b的值.（2）由（1）可得；（3）由（1）得出良好的人数除总人数，再乘360°即可
．（4）先求出40个人合格及以上的人数占总人数的频率再乘2000即可解答.【详解】解：（1）根据频数分布直方图可知：a＝4÷40＝
0.1，因为40×25%＝10，所以b＝（40﹣4﹣12﹣10）÷40＝14÷40＝0.35，故答案为：0.1；0.35；（2）如
图，即为补全的频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是360°×＝108°；故答案为：108°；（4
）因为2000×＝1800，所以估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是1800．【点睛】本题主要考查频数与频率，解题关键
是熟练掌握频率=频数÷总数.56．（2020·山东淄博·中考真题）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；
B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根
据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 人；（
2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（3）最关注话题扇形统计图中的a＝ ，话题D所在扇形的圆心角是 度；（4）假设这个小区居
民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？【答案】（1）200 ；（2）图见解析；（3）25
，36； （4）3000人【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；（2）根据（1）中的结果和统计
图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据，可以得到a和话题D所在扇形的圆心角
的度数；（4）根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少．【详解】解：（1）调查的
居民共有：60÷30%＝200（人），故答案为：200．（2）选C的有：200×15%＝30（人），选A的有：200﹣60﹣30﹣
20﹣40＝50（人），条形统计图补充如下：（3）a%＝50÷200×100%＝25%，话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36
°，故答案为：25，36．（4）10000×30%＝3000（人），答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人
．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．57．（2020·山东
青岛·中考真题）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如
下的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）补全频数直方图；（2）在扇形统计图中，“70~80”这组的百分比__
________；（3）已知“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．
抽取的名学生测试成绩的中位数是__________分；（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海
洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．【答案】（1）见解析；（2）20％；（3）84．5分；（4）672人【分析】（1）先求出样本容
量，再用用本容量减去已知各部分的频数，即可求出“90~1000”这组的频数，从而补全频数直方图；（2）用“70~80”这组的频数除
以样本容量即可；（3）根据中位数的定义求解即可；（4）用1200乘以80分以上人数所占的比例即可．【详解】解：（1）8÷16％=5
0人，50-4-8-10-12=16人，补全频数直方图如下：（2）m==20％；（3）∵“50~80”分的人数已有22人，∴第25
和26名的成绩分别是是84分，85分，∴中位数是分；（4）人．∴优秀人数是672人．【点睛】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计
图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利
用样本估计总体．58．（2020·山东菏泽·中考真题）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机
抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制出如下不完整的统计图．（1）求被抽取的学生成绩在C：组的有多少人；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；（3）若该学校有名学生，估计这次竞赛成绩在A：组的学生有多少人．【答案】（1）24人；（
2）C组；（3）150人．【分析】（1）根据扇形统计图的B组所占比例，条形统计图得B在人数，用总人数减去A，B，D人数，可得C组人
数；（2）根据总人数多少，结合中位数的概念确定即可；（3）根据样本中A组所占比例，用总人数乘以比例，即可得到答案．【详解】（1）由图可知：B组人数为12；B组所占的百分比为20%，∴本次抽取的总人数为：（人），∴抽取的学生成绩在C：组的人数为：（人）；（2）∵总人数为60人，∴中位数为第30,31个人成绩的平均数，∵，且∴中位数落在C组；（3）本次调查中竞赛成绩在A：组的学生的频率为：，故该学校有名学生中竞赛成绩在A：组的学生人数有：（人）．【点睛】本题考查了条件统计图与扇形统计图的信息读取，以及总数，频数与频率之间的转化计算，熟知以上知识是解题的关键．59．（2020·山东临沂·中考真题）2020年是脱贫攻坚年，为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场，经过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售．现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如下：质量组中值数量（只）1.061.291.4a1.6151.88根据以上信息，解答下列问题：（1）表中______，补全频数分布直方图；（2）这批鸡中质量不小于的大约有多少只？（3）这些贫困户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标．按15元的价格售出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？【答案】（1）12，补全频数分布图见解析；（2）480只；（3）该村贫困户能脱贫．【分析】（1）用总数量减去其它组的数量即为a的值；（2）先求出随机抽取的50只中质量不小于的鸡占的比值，再乘以3000即可；（3）先求出50只鸡的平均质量，根据市场价格，利润是15元/kg，再利用每千克利润×只数×每只的平均质量求出总利润，再进行比较即可．【详解】（1）（只）；频数分布图如下：故答案为：12；（2）（只）；（3）（千克），（元），∵64800＞54000，∴该村贫困户能脱贫．【点睛】本题考查由样本估计总体以及频数分布表和分布图，根据已知表格得出总体重与频数之间的关系是解题的关键．60．（2020·山东聊城·中考真题）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：“剪纸”、“沙画”、“葫芦雕刻”、“泥塑”、“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．?根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量为________；统计图中的________，________；（2）通过计算补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．【答案】（1）120，12，36；（2）详见解析；（3）625【分析】（1）由A所占的百分比及参加A类活动课的人数可求得总人数，再由总人数及B和D所占的百分比即可求得a和b的值， （2）先求得E类活动课参加的人数，再补全条形统计图即可；（3）先求出抽样调查中喜爱“葫芦雕刻”的学生所占的百分比，即可求得全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．【详解】解：（1），，，故答案为：120，12，36；?（2）类别的人数为：（人）补全条形统计图如图所示：（3）类别所占的百分比为：，（人）答：全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为625人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图可以看出每个量所占的百分比．61．（2020·山东枣庄·中考真题）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩的频数分布表分组频数a12b10学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：（1）表中________，________；（2）样本成绩的中位数落在________范围内；（3）请把频数分布直方图补充完整；（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在范围内的有多少人？【答案】（1），；（2）；（3）详见解析；（4）240人【分析】（1）根据频数分布直方图可以求得a的值，再根据样本容量求出b的值．（2）结合中位数的求法可以求出中位数落在哪一组．（3）根据（1）中的结果可以将频数分布直方图补充完整．（4）根据频数分步表中的数据可以求出该学校学生立定跳远成绩在范围内的有多少人．【详解】解（1）由统计图可得，；?（2）有50名学生进行测试，第25和26名的成绩和的平均数为中位数样本成绩的中位数落在范围内；（3）由（1）知，，补全的频数分布直方图如右图所示；学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图（4）（人），答：估计该学校学生立定跳远成绩在范围内有240人．【点睛】本题考查频数分步表、频数分步直方图、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．学科网（北京）股份有限公司 |
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