选择题1．（2021乌兰察布中考）定义新运算“?”，规定：a?b＝a﹣2b．若关于x的不等式x?m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（ ）A
．﹣1B．﹣2C．1D．2【分析】根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式；根据解集列方程即可．【解答】解∵a?b＝a﹣2b，∴x
?m═x﹣2m．∵x?m＞3，∴x﹣2m＞3，∴x＞2m+3．∵关于x的不等式x?m＞3的解集为x＞﹣1，∴2m+3＝﹣1，∴m＝
﹣2．故选：B．2. （2021南京中考）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）A
. 16的4次方根是2B. 32的5次方根是C. 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D. 当n为奇数时，2的n次方根随n的
增大而增大【答案】C【解析】【分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．【详解】A. ，16的4次
方根是，故不符合题意；B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；C.设则 且 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合
题意；D.由的判断可得：错误，故不符合题意．故选．【点睛】本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的
过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．3. （2021常德中考）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，
b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（ ）A. ②④B. ①②④C. ①②D. ①④【答案】C【解析】【分析】结合题意，
根据有理数乘方、有理数加法的性质计算，即可得到答案．【详解】∵或或 ∴7不是广义勾股数，即①正确；∵ ∴13是广义勾股数，即②正确
；∵，，不是广义勾股数∴③错误；∵，，，且65不是广义勾股数∴④错误；故选：C．【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟
练掌握有理数乘方、有理数加法的性质，从而完成求解．4．（2021永州中考）定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底
的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M?N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg
100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2?lg5+lg5的结果为（
）A．5B．2C．1D．0【分析】根据题意，按照题目的运算法则计算即可．【解答】解：（lg2）2+lg2?lg5+lg5＝lg2
（lg2+lg5）+lg5＝lg2+lg5＝1g10＝1．故选：C．5．（2021怀化中考）（4分）定义a?b＝2a+，则方程3?
x＝4?2的解为（ ）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【解答】解：根据题中的新定义得：3?x＝2×3+，4?2＝2×4+，∵3?
x＝4?2，∴2×3+＝2×4+，解得：x＝，经检验，x＝是分式方程的根．故选：B．6. （2021张家界中考）对于实数定义运算“
☆”如下：，例如，则方程根的情况为（ ）A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根【答
案】D【解析】【分析】本题根据题目所给新定义将方程变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可．
【详解】解：根据题意由方程得：整理得：根据根的判别式可知该方程有两个不相等实数根．故选D．【点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题
目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根．7
．（2021荆州中考）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘
法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k
的取值范围是（ ）A．k＜且k≠0B．kC．k且k≠0D．k≥【分析】先根据新定理得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理
为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题
意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，因为方程有两个实数解，所以k≠0且△＝（5﹣2k）2
﹣4k2≥0，解得k≤且k≠0．故选：C．8. （2021绥化中考）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（ ）A. B. 5C
. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意列出算式，求解即可【详解】．故选B．【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对
值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧
等．9．（2021遵义中考）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数
，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2
），则z＝2﹣i可表示为（ ）A．Z（2，0）B．Z（2，﹣1）C．Z（2，1）D．（﹣1，2）【分析】根据题中的新定义解答即可
．【解答】解：由题意，得z＝2﹣i可表示为Z（2，﹣1）．故选：B．10.（2021来宾中考）定义一种运算：，则不等式的解集是A.
或B. C. 或D. 或【答案】C【解析】解：由新定义得或，解得或故选：C．分和两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得．此
题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．11.
（2021贺州中考）如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即
改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（ ）A. －1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】
【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B的元素通过分析，与A的元素对应分类讨论即可．【详解】解：∵集合B的元素，，可得
，∴，∴，，∴，当时，，，，不满足互异性，情况不存在，当时，，（舍），时，，，满足题意，此时，．故选：Ｃ【点睛】本题考查集合的互异
性、确定性、无序性。通过元素的分析，按照定义分类讨论即可．12．（2021通辽中考）定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]
，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y
＝﹣2x+m的特征数是（ ）A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3]【分析】将一次函数y＝﹣2x+m的图
像向上平移3个单位长度后，得到解析式y＝﹣2x+m+3，联立一次函数与反比例函数解析式，得到关于x的一元二次方程，设A（x1，0）
，B（x2，0），所以x1与x2是一元二次方程的两根，根据根与系数关系，得到，又A，B两点关于原点对称，所以x1+x2＝0，则，得
到m＝﹣3，根据定义，得到一次函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]．【解答】解：将一次函数y＝﹣2x+m向上平移3个单位长度
后得到y＝﹣2x+m+3，设A（x1，0），B（x2，0），联立，∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，∵x1和x2是方程的两根，∴，又
∵A，B两点关于原点对称，∴x1+x2＝0，∴，∴m＝﹣3，根据定义，一次函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]，故选：D．1
3．（2021杭州中考）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0
，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（ ）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1B．y1＝x2+2x和
y2＝﹣x+1C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1【分析】根据题干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，
则具有性质P，若无解，则不具有性质P．【解答】解：A．令y1+y2＝4，则x2+2x﹣x﹣3＝0，解得x＝，即函数y1和y6具有性
质P，符合题意；B．令y1+y2＝7，则x2+2x﹣x+8＝0，整理得，x2+x+8＝0，方程无解1和y7不具有有性质P，不符合题
意；C．令y1+y2＝6，则﹣，整理得，x2+x+6＝0，方程无解1和y3不具有有性质P，不符合题意；D．令y1+y2＝6，则﹣，
整理得，x2﹣x+8＝0，方程无解1和y6不具有有性质P，不符合题意；故选：A．14．（2021雅安中考）定义：min{a，b}＝
，若函数y＝min（x+1，﹣x2+2x+3），则该函数的最大值为（ ）A．0B．2C．3D．4【分析】根据题意画出函数图象，通
过数形结合求解．【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或x＝2．∴y＝，把x＝2代入y＝x+1得y＝3，∴函数最大值为
y＝3．故选：C．15. （2021济南中考）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：
点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【
解析】【分析】根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图
像，直观的观察可得到的取值范围【详解】点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图，当时，的图象向下平移4个
单位，当时，的图象关于轴对称，从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3，最小值是当时，取得最小值，．故选D．【考点解剖】二次函数，
平面直角坐标系，平面图形的平移变换和轴对称变换解题的关键在于读懂新定义【题目难度】 【点睛】本题考查了新定义，二次函数的最值问题
，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键．16．（2021岳阳中考）定义：我们将顶点的
横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y
＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）A．4，﹣1B．，﹣1C．4，0D．，﹣1【分析】画出图
象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动
的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．【解答】解：如
图，由题意可得，互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上运动，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（
2，0），∴B（2，2），从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最
后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值
及最小值．当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点A（0，2）时，m＝0，或m＝﹣1；当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点B（
2，2）时，m＝或m＝．∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是，﹣1．故选：D．17．
（2021无锡中考）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立
，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2
上是“逼近函数”；②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“
逼近区间”；④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．其中，正确的有（ ）A．②③B．①④C．①③D．②④【分
析】根据当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”，
逐项进行判断即可．【解答】解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2
最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；②y1﹣y2＝﹣x2
+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y
＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x＝时，y1﹣y2最大值
为﹣，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x
2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x＝时，y1﹣y2最大值为，当x＝2或
x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；∴正确的有②
③，故选：A．填空题1．（2021自贡中考）（4分）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一
会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ．【分析】根据前面三个等式，寻找规律解决问题．【解答】解：由
三个等式，得到规律：53⊕6＝301848可知：5×6 3×6 6×（5+3），26⊕7＝144256可知：2×7 6×
7 7×（2+6），92⊕5＝451055可知：9×5 2×5 5×（9+2），∴48⊕6＝4×6 8×6 6×（4+
8）＝244872．故答案为：244872．2. （2021十堰中考）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为_____
___．【答案】或2【解析】【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．【详解】解：根据新定义内容可得：，整理可得，
解得，，故答案为：或2．【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．3．（2021贵港中考）我
们规定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则?＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），则?＝1×2+3×4＝2+
12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，则?的最大值是 ．【分析】根据平面向量的新定义运算法则，
列出关于x的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．【解答】解：根据题意知：?＝（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2
﹣8．因为﹣2≤x≤3，所以当x＝3时，?＝（3+1）2﹣8＝8．即?的最大值是8．故答案是：8．4．（2021鄂尔多斯中考）下列
说法不正确的是 （只填序号）①7﹣的整数部分为2，小数部分为﹣4．②外角为60°且边长为2的正多边形的内切圆的半径为．③把直
线y＝2x﹣3向左平移1个单位后得到的直线解析式为y＝2x﹣2．④新定义运算：mn＝mn2﹣2n﹣1，则方程﹣1x＝0有两个不
相等的实数根．【分析】①利用无理数的估算即可得到结论；②设正多边形是n边形．由题意：＝60°，求出n即可解决问题；③直接根据“上加
下减，左加右减”的原则进行解答即可；④根据新运算得到﹣x2﹣2x﹣1＝0，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
【解答】解：①）∵4＜＜5，∴2＜7﹣＜3，∴7﹣的整数部分是2，小数部分是小数部分为5﹣，故符合题意；②解：设正多边形是n边形．
由题意：＝60°，∴n＝6，∴这个正多边形的内切圆的半径为；故不符合题意；③把直线y＝2x﹣3向左平移1个单位后得到的直线解析式为
y＝2x﹣1，故符合题意；④根据题意得﹣x2﹣2x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4＝0，∴方程有两个相等的实数根，故符合题意．故答案
为：①③④．5．（2021巴中中考）y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取
值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x）
，则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）＝是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝
．【分析】由f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，得a（﹣x）2+（a﹣5）?（﹣x）+1＝ax2+（a﹣5）x+1，解得a
＝5．【解答】解：∵f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），即a
（﹣x）2+（a﹣5）?（﹣x）+1＝ax2+（a﹣5）x+1，∴（10﹣2a）x＝0，可知10﹣a＝0，∴a＝5，故答案为：5．
6．（2021菏泽中考）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，2﹣m
]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜
0，当x＞时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 ．【分析】根据特征数的定义，写出二次函数的表达式为y＝mx2+（
1﹣m）x+2﹣m．①写出对称轴方程后把m＝1代入即可判断；②把m＝2代入即可判断；③根据开口方向即可判断；④根据对称轴，开口方向
，增减性即可判断．【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的表达式为y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣
m．∵此抛物线的的对称轴为直线x＝＝＝，∴当m＝1时，对称轴为直线x＝0，即y轴．故①正确；∵当m＝2时，此二次函数表达式为y＝2
x2﹣x，令x＝0，则y＝0，∴函数图象过原点，故②正确；∵当m＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；∵m＜0，∴
对称轴x＝＝，抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．即x＞时，y随x的增大而减小．故④错误．故答案为：①②③．7.
（2021宁波中考）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在
y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．【答案】或【解析】【分
析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出
的面积即可．【详解】解：根据题意，∵点称为点的“倒数点”，∴，，∴点B不可能在坐标轴上；∵点A在函数的图像上，设点A为，则点B为，
∵点C为，∴，①当点B在边DE上时；点A与点B都在边DE上，∴点A与点B的纵坐标相同，即，解得：，经检验，是原分式方程的解；∴点B
为，∴的面积为：；②当点B在边CD上时；点B与点C的横坐标相同，∴，解得：，经检验，是原分式方程的解；∴点B为，∴的面积为：；故答
案为：或．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质
，运用分类讨论的思想进行分析．8．（2021成都中考）（4分）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，
沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，ar+cq
+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x
，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数z，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 【分析】先根据题
意计算出该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为x+y﹣2z，再画树状图展示所有12种等可能的结果，找出此三角形的顺序旋转和与逆序旋
转和的差都小于4的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为（4x+2z+3y）﹣（3x+2
y﹣4z）＝x+y﹣2z，画树状图为：共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数为9，所以三
角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率＝＝．故答案为．9 .（2021上海中考）定义:平面上一点到图形的最短距离为d,如图
,OP=2,正方形ABCD的边长为2,O为正方形中心,当正方形ABCD绕O旋转时,d的取值范围是 .【考点】新定义，旋转【解答】
解：如图2，设AD的中点为E，那么点O与正方形上所有点的连线中，OE最短，等于1,OA最大，等于；∵OP=2为定值∴当OP经过点E
时，d最大为1；当OP经过点A时，d最小为2－故答案为：2－≤d≤1【点评】本题属于新定义，新定义的题在上海中考属常考题，理解题意
是关键。10．（2021呼和浩特中考）若把第n个位置上的数记为xn，则称x1，x2，x3，…，xn有限个有序放置的数为一个数列A．
定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是这个数列中第n个位置上的数，n＝1，2，…，k且yn＝并规定x
0＝xn，xn+1＝x1．如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是 ．【分析】根
据“伴生数列”的定义依次取n＝1，2，3，4，求出对应的yn即可．【解答】解：当n＝1时，x0＝x4＝1＝x2，∴y1＝0，当n＝
2时，x1≠x3，∴y2＝1，当n＝3时，x2＝x4，∴y3＝0，当n＝4时，x3≠x5＝x1，∴y4＝1，∴“伴生数列”B是：0
，1，0，1，故答案为0，1，0，1．解答题1.（2021重庆中考B卷）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百
位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×（5+0），所以3507是“
共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生数”．（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说
明理由；（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F（n）＝．求满
足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．【考点】列代数式；因式分解的应用．【专题】新定义；运算能力．【答案】（1）5313是“
共生数”，6437不是“共生数”；（2）2148或3069．【分析】（1）根据题目中的定义，可直接判断5313，6437是否为“共
生数”；（2）根据定义，先用两个未知数表示F（n），然后列出含有n的式子，找出满足要求的结果即可．【解答】解：（1）∵5+3＝2×
（3+1），∴5313是”共生数“，∵6+7≠2×（3+4），∴6437不是“共生数”；（2）∵n是“共生数”，根据题意，个位上的
数字要大于百位上的数字，设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a，（1≤a≤4），设n的百位上的数字为b，∵个位和百位都是0﹣
9的数字，∴个位上的数字为9﹣b，且9﹣b＞b，∴0≤b≤4∴n＝1000a+100b+20a+9﹣b；∴F（n）＝＝340a+3
3b+3，由于n是“共生数”，∴a+9﹣b＝2×（2a+b），即a+b＝3，可能的情况有：，∴n的值为1227或2148或3069
，各位数和为偶数的有2148和3069，∴n的值是2148或3069．2. （2021重庆中考A卷） 如果一个自然数的个位数字不为
，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．例如，和
的十位数字相同，个位数字之和为，是“合和数”．又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，不是“合和数”．（1）判断，是否是“合和
数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和
与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的．【答案】（1）不是“合和数”，是“合和数，理由见解析；
（2）有，，，．【解析】【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是
两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，再判断，是否是“合和数”；（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定
义．引进未知数来表示个位及十位上的数，同时也可以用来表示．然后整理出：，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的．【详解
】解：（1）不是“合和数”，是“合和数”．，，不是“合和数”，，十位数字相同，且个位数字，是“合和数”．（2）设的十位数字为，个位
数字为（，为自然数，且，），则．∴．∴（是整数）．，，是整数，或，①当时，或，或．②当时，或，或．综上，满足条件的有，，，．【点睛
】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们
自主学习和运用新知识的能力．3. （2021赤峰中考）阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且x1≠x1，y2
≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“
相关矩形”．（1）已知点A的坐标为．①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；②若点C在直线x=4上
，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；（2）已知点P的坐标为，点Q的坐标为， 若使函数的图象与点P、Q的“相关矩
形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．【答案】（1）①12；②或；（2）【解析】【分析】（1）①由相关矩形的定义可知，要求点A
、B的“相关矩形”的周长，利用点A，点B的坐标求出“相关矩形”的边长即可；②由“相关矩形”的定义知， AC必为正方形的对角线，所以
可得点C坐标，设直线AC的解析式为，代入A，C点的坐标，求出k，b的值即可；（2）首先确定P，Q的“相关矩形”的另两个顶点坐标，结
合函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，求出k的最大值和最小值即可得到结论．【详解】解：（1）①∵点A的坐标为，点B的
坐标为，∴点A、B的“相关矩形”如图所示，∴点A、B的“相关矩形”周长= 故答案为：12；②由定义知，AC是点A，C的“相关矩形”
的对角线，又∵点A，C的相关矩形是正方形，且∴点C的坐标为或设直线AC的解析式为，将，代入解得，∴将，代入解得，∴∴符合题意得直线
AC的解析式为或．（2）∵点P的坐标为，点Q的坐标为，∴点P，Q的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为（3，-2），（6，-4）当
函数的图象经过（3，-2）时，k=-6，当函数的图象经过（6，-4）时，k=-24，∴函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公
共点时，k的取值范围是：【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，解答此题需要理解“相关矩形”的定义，综合性较高，一定要注意将新
旧知识贯穿起来．4. （2021南通中考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，
点是函数的图象的“等值点”．（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（
2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折
后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的
“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．【解析】【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；（2）根据定义分别求
A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到
的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．【详解】解：（1）∵函数y=x+2，令y
=x，则x+2=x，无解，∴函数y=x+2没有“等值点”；∵函数，令y=x，则，即，解得：，∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，
2)；（2）∵函数，令y=x，则，解得：(负值已舍)，∴函数的“等值点”为A(，)；∵函数，令y=x，则，解得：，∴函数的“等值点
”为B(，)；的面积为，即，解得：或；（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对
称，∴函数W的解析式为，令y=x，则，即，解得：，∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；令y=x，则，即，当时，函数W的
图象不存在恰有2个“等值点”的情况；当时，观察图象，恰有2个“等值点”；当时，∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2
，2)，∴函数W2没有“等值点”，∴，整理得：，解得：．综上，m的取值范围为或．【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、
反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．5. （2021张家界中考）阅读下面
的材料：如果函数满足：对于自变量取值范围内任意，，（1）若，都有，则称是增函数；（2）若，都有，则称是减函数．例题：证明函数是增函
数．证明：任取，且，则∵且，∴，∴，即，∴函数是增函数．根据以上材料解答下列问题：（1）函数，，，_______，_______；
（2）猜想是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．【答案】（1），；（2）减，证明见解析【解析】【分析】（1
）根据题目中函数解析式可以解答本题；（2）根据题目中例子的证明方法可以证明(1) 中的猜想成立．【详解】解：（1）， （2）猜想：
是减函数；证明：任取，，，则 ∵且，∴，∴，即 ∴函数是减函数．【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答
本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．6．（2021衡阳中考）（12分）在平面直角坐标系中，如果
一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．（1）求函数y＝图象上的“雁
点”坐标；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时
．①求c的取值范围；②求∠EMN的度数；（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线
y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得：x＝，解得x＝±2，即可求解；（2）①由△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，即
可求解；②求出点M的坐标为（﹣，0）、点E的坐标为（﹣，﹣），即可求解；（3）证明△CMP≌△PNB（AAS），则PM＝BN，CM
＝PN，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：x＝，解得x＝±2，当x＝±2时，y＝＝±2，故“雁点”坐标为（2,2）或（﹣2，﹣
2）；（2）①∵“雁点”的横坐标与纵坐标相等，故“雁点”的函数表达式为y＝x，∵物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，
则ax2+5x+c＝x，则△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，∵a＞1，故c＜4；②∵ac＝4，则ax2+5x+c＝0为ax2+5x
+＝0，解得x＝﹣或﹣，即点M的坐标为（﹣，0），由ax2+5x+c＝x，ac＝4，解得x＝﹣，即点E的坐标为（﹣，﹣），故点E作
EH⊥x轴于点H，则HE＝，MH＝xE﹣xM＝﹣﹣（﹣）＝＝HE，故∠EMN的度数为45°；（3）存在，理由：由题意知，点C在直线
y＝x上，故设点C的坐标为（t，t），过点P作x轴的平行线交过点C与y轴的平行线于点M，交过点B与y轴的平行线于点N，设点P的坐标
为（m，﹣m2+2m+3），则BN＝﹣m2+2m+3,PN＝3﹣m,PM＝m﹣t,CM＝﹣m2+2m+3﹣t,∵∠NPB+∠MPC
＝90°,∠MPC+∠CPM＝90°,∴∠NPB＝∠CPM,∵∠CMP＝∠PNB＝90°,PC＝PB,∴△CMP≌△PNB（AAS
），∴PM＝BN，CM＝PN，即m﹣t＝|﹣m2+2m+3|，﹣m2+2m+3﹣t＝|3﹣m|，解得m＝1+（舍去）或1﹣或，故点
P的坐标为（，）或（，）．7．（2021凉山中考）（8分）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）
是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）对数的定义：一般地，
若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216
，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M?N）＝logaM+logaN
（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M?N＝am?an＝am+
n，由对数的定义得m+n＝loga（M?N）．又∵m+n＝logaM+logaN，∴loga（M?N）＝logaM+logaN．根
据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①log232＝ ，②log327＝ ，③log71＝ ；（2）求证：lo
ga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．【分
析】（1）直接根据定义计算即可；（2）先设logaM＝m，logaN＝n，根据对数的定义可表示为指数式为：M＝am，N＝an，计算
的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：loga（M?N）＝logaM+logaN和loga＝logaM﹣log
aN的逆用，将所求式子表示为：log5（125×6÷30），计算可得结论．【解答】解：（1）log232＝log235＝5，log
427＝log335＝3，log76＝log774＝0；故答案为：5，8，0；（2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，
N＝an，∴＝＝am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝loga，又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，∴loga＝logaM﹣logaN（
a＞0，a≠2，N＞0）；（3）原式＝log5（125×6÷30）＝log525＝5．8. （2021台湾中考）凯特平时常用底面为
矩形的模具制作蛋糕，并以平行于模具任一边的方式进行横切或纵切，横切都是从模具的左边切割到模具的右边，纵切都是从模具的上边切割到模具
的下边用这种方式，可以切出数个大小完全相同的小块蛋糕在切割后，他发现小块蛋糕接触模具的地方外皮比较焦脆，以如图为例，横切2刀，纵切
3刀，共计5刀，切出个小块蛋糕，其中侧面有焦脆的小块蛋糕共有10个，所有侧面都不焦脆的小块蛋糕共有2个．请根据上述切割方式，回答下
列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程：若对一块蛋糕切了4刀，则可切出几个小块蛋糕？请写出任意一种可能的蛋糕块数即可．今凯特根据
一场聚餐的需求，打算制作出恰好60个所有侧面都不焦脆的小块蛋糕，为了避免劳累并加快出餐速度，在不超过20刀的情况下，请问凯特需要切
几刀，才可以达成需求？请写出所有可能的情形．【答案】解：横切4刀可以分为5块；横切2刀，纵切2刀可以分成9块答案不唯一．，可以横切
13刀，纵切6刀或横切11刀，纵切7可以满足条件．【解析】对一块蛋糕切了4刀，可以横切4刀或横切2刀，纵切2刀求解答案不唯一．把6
0分解成两个整数相乘且两个数的和小于18，可得结论．本题考查作图应用与设计作图，规律型问题等知识，解题的关键是理解题意，学会探究规
律，利用规律解决问题．9. （2021遂宁中考） 已知平面直角坐标系中，点P（）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则
点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离可用公式来计算．例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－
y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：．根据以上材料，解答下列问题： （1）求点
M（0，3）到直线的距离；（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；
若不相交，说明理由．【答案】（1）3；（2）直线与圆相交，【解析】【分析】（1）直接利用公式计算即可；（2）根据半径和点到直线的距
离判断直线与圆的位置关系，再根据垂径定理求弦长．【详解】解：（1）∵y＝x＋9可变形为x－y＋9＝0，则其中A＝，B＝－1，C＝9
，由公式可得 ∴点M到直线y＝x＋9的距离为3， （2）由（1）可知：圆心到直线的距离d＝3，圆的半径r＝4，∵d＜r ∴直线
与圆相交，则弦长，【点睛】本题考查了阅读理解和圆与直线的位置关系，垂径定理，解题关键是熟练运用公式求解和熟练运用圆的相关性质进行推
理和计算．10．（2021枣庄中考）（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABC
D中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，
BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边A
C和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．【分析】（1）连接
AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）如图3，连接CG、BE，根据垂美四边形
的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：如图2，连接AC、BD，∵AB
＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥B
D，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：如图1中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠
BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+D
O2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，连接CG、BE，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，
∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌
△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGE
B是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，∴
GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．11．（2021东营中考）（12分）已知点O是线段AB的
中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．（
1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是 ．（2）[探究证明]如
图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）
[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成
立，请说明理由；②若∠COD＝60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．【分析】（1）猜想：OC＝OD．证明Rt△AO
C≌Rt△BOD（HL），可得结论．（2）结论成立．过点O作直线EF∥CD，交BD于点F，延长AC交EF于点E，证明△COE≌DO
F（SAS），可得结论．（3）①结论成立．如图3中，延长CO交BD于点E，证明CO＝OE，再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即
可．②结论：AC+BD＝OC．利用等边三角形的判定和性质以及全等三角形的性质证明即可．【解答】解：（1）猜想：OC＝OD．理由：如
图1中，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACO＝∠BDO＝90°在Rt△AOC与Rt△BOD中，，∴Rt△AOC≌Rt△BOD（HL
），∴OC＝OD，故答案为：OC＝OD；（2）数量关系依然成立．理由：过点O作直线EF∥CD，交BD于点F，延长AC交EF于点E，
∵EF∥CD，∴∠DCE＝∠E＝∠CDF＝90°，∴四边形CEFD为矩形，∴∠OFD＝90°，CE＝DF，由（1）知，OE＝OF，
在△COE与△DOF中，，∴△COE≌DOF（SAS），∴OC＝OD；（3）①结论成立．理由：如图3中，延长CO交BD于点E，∵A
C⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD，∴∠A＝∠B，∵点O为AB的中点，∴AO＝BO，又∵∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE（
AAS），∴CO＝CE，∵∠CDE＝90°，∴OD＝OC＝OE，∴OC＝OD．②结论：AC+BD＝OC．理由：如图3中，∵∠COD
＝60°，OD＝OC，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC，∠OCD＝60°，∵∠CDE＝90°，∴tan60°＝，∴DE＝CD，
∵∴△AOC≌△BOE，∴AC＝BE，∴AC+BD＝BD+BE＝DE＝CD，∴AC+BD＝OC．12．（2021镇江中考）（11分
）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，
CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形ABC﹣DEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则
称这样的直线为该L图形的面积平分线．【活动】小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩
形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种
即可，不写作法，保留作图痕迹）【思考】如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的
直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．【应用】在L图形ABCDEF形中
，已知AB＝4，BC＝6．（1）如图4，CD＝AF＝1．①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为 ．（2）设＝t（t＞0），在所有的与铅
直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围 ．【分析】【活动】如图1，根据
题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线；【思考】如图2，证明△OQN≌△OP
M（AAS），根据割补法可得直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线；【应用】（1）①建立平面直角坐标系，分两种情况：如图3﹣1和
3﹣2，根据中点坐标公式和待定系数法可得面积平分线的解析式，并计算P和Q的坐标，利用两点的距离公式可得PQ的长，并比较大小可得结论
；②当GH⊥AB时，GH最小，设BG＝x，根据面积相等列方程，解出即可；（2）如图5，由已知得：CD＝tAF，直线DE将图形分成上
下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，列不等
式可得t的取值．【解答】解：【活动】如图1，直线O1O2是该L图形的面积平分线；【思考】如图2，∵∠A＝∠B＝90°，∴AF∥BC
，∴∠NQO＝∠MPO，∵点O是MN的中点，∴ON＝OM，在△OQN和△OPM中，，∴△OQN≌△OPM（AAS），∴S△OQN＝
S△OPM，∵S梯形ABMN＝SMNFEDC，∴S梯形ABMN﹣S△OPM＝SMNFEDC﹣S△OQN，即SABPON＝SCDEF
QOM，∴SABPON+S△OQN＝SCDEFQOM+S△OPM，即S梯形ABPQ＝SCDEFQP，∴直线PQ是L图形ABCDEF
的面积平分线．故答案为：是；【应用】（1）①如图3﹣1，以直线OC为x轴，OA为y轴，以B为原点，建立平面直角坐标系，同理确定L图
形ABCDEF的面积平分线：直线O1O2，∵AB＝4，BC＝6，AF＝CD＝1，∴B（0，0），F（1，4），D（6，1），K（1
，0），∴线段BF的中点O1的坐标为（，2），线段DK的中点O2的坐标为（，），设直线O1O2的解析式为：y＝kx+b，则，解得：
，∴直线O1O2的解析式为：y＝﹣x+，当y＝0时，﹣x+＝0，解得：x＝，∴Q（，0），当y＝1时，﹣x+＝1，解得：x＝，∴P
（，1），∴PQ＝＝；如图3﹣2，同理确定平面直角坐标系，画出L图形ABCDEF的面积平分线：直线O3O4，∵G（0，1），F（1
，4），C（6，0），∴线段GF的中点O3的坐标为（，），线段CG的中点O4的坐标为（3，），设直线O3O4的解析式为：y＝mx+n，则，解得：，∴直线O3O4的解析式为：y＝﹣x+，当y＝0时，﹣x+＝0，解得：x＝，∴Q（，0），当y＝1时，﹣x+＝1，解得：x＝，∴P（，1），∴PQ＝＝；∵＜；∴PQ长的最大值为；②如图4，当GH⊥AB时GH最短，过点E作EM⊥AB于M，设BG＝x，则MG＝1﹣x，根据上下两部分面积相等可知，6x＝（4﹣1）×1+（1﹣x）×6，解得x＝，即BG＝；故答案为：；（2）∵＝t（t＞0），∴CD＝tAF，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，如图5，直线DE将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，即（4﹣tAF）?AF＜6t?AF，∴AF＞﹣6，∵0＜AF＜6，∴0＜﹣6＜6，∴＜t＜．故答案为：＜t＜．13．（2021鄂州中考）（10分）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现由5+5＝2＝10；+＝2＝；0.4+0.4＝2＝0.8；+5＞2＝2；0.2+3.2＞2＝1.6；+＞2．猜想：如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时等号成立）．猜想证明∵（﹣）2≥0，∴①当且仅当﹣＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；②当﹣≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时等号成立）．猜想运用对于函数y＝x+（x＞0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？变式探究对于函数y＝+x（x＞3），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？拓展应用疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？【分析】猜想运用：将x和分别看成猜想发现中的a和b，即可求出答案；变式探究：将函数y＝变形为：y＝，然后结合猜想运用的结论解题；拓展应用：设隔离房间的长和宽分别为x、y，结合周长为63列出一个方程，结合面积和“若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时等号成立）”求出最大面积S和对应的x、y．【解答】解：猜想运用：∵x＞0，∴，∴y≥2，∴当x＝时，ymin＝2，此时x2＝1，只取x＝1，即x＝1时，函数y的最小值为2．变式探究：∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴y＝≥5，∴当时，ymin＝5，此时（x﹣3）2＝1，∴x1＝4，x2＝2（舍去）即x＝4时，函数y的最小值为5．拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，由题意得：9x+12y＝63，即：3x+4y＝21，∵3x＞0，4y＞0∴3x+4y≥2，即：21≥2，整理得：xy≤，即：S≤，∴当3x＝4y时此时x＝，y＝，即每间隔离房长为米，宽为米时，S的最大值为．学科网（北京）股份有限公司 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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