2020江苏省徐州市中考数学真题及答案
一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置)
1.(3分)3的相反数是( )
A.﹣3 B.3 C.﹣ D.
2.(3分)下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.(3分)若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm,则它的第三边的长可能是( )
A.2cm B.3cm C.6cm D.9cm
4.(3分)在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个,这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现,摸出红球的频率稳定在0.25左右,则袋子中红球的个数最有可能是( )
A.5 B.10 C.12 D.15
5.(3分)小红连续5天的体温数据如下(单位:℃):36.6,36.2,36.5,36.2,36.3.关于这组数据,下列说法正确的是( )
A.中位数是36.5℃ B.众数是36.2°C
C.平均数是36.2℃ D.极差是0.3℃
6.(3分)下列计算正确的是( )
A.a2+2a2=3a4 B.a6÷a3=a2
C.(a﹣b)2=a2﹣b2 D.(ab)2=a2b2
7.(3分)如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于( )
A.75° B.70° C.65° D.60°
8.(3分)如图,在平面直角坐标系中,函数y=(x>0)与y=x﹣1的图象交于点P(a,b),则代数式﹣的值为( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
二.填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.不需要写出解答过程,请将答案直接填写在答题卡相应位置)
9.(3分)7的平方根是 .
10.(3分)分解因式:m2﹣4= .
11.(3分)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
12.(3分)原子很小,1个氧原子的直径大约为0.000000000148m,将0.000000000148用科学记数法表示为 .
13.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D、E、F分别为AB、BC、CA的中点,若BF=5,则DE= .
14.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.若以AC所在直线为轴,把△ABC旋转一周,得到一个圆锥,则这个圆锥的侧面积等于 .
15.(3分)方程=的解为 .
16.(3分)如图,A、B、C、D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 .
17.(3分)如图,∠MON=30°,在OM上截取OA1=.过点A1作A1B1⊥OM,交ON于点B1,以点B1为圆心,B1O为半径画弧,交OM于点A2;过点A2作A2B2⊥OM,交ON于点B2,以点B2为圆心,B2O为半径画弧,交OM于点A3;按此规律,所得线段A20B20的长等于 .
18.(3分)在△ABC中,若AB=6,∠ACB=45°.则△ABC的面积的最大值为 .
三、解答题(本大题共有10小题,共86分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(10分)计算:
(1)(﹣1)2020+|﹣2|﹣()﹣1;
(2)(1﹣)÷.
20.(10分)(1)解方程:2x2﹣5x+3=0;
(2)解不等式组:.
21.(7分)小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作.根据社区的安排,志愿者被随机分到A组(体温检测)、B组(便民代购)、C组(环境消杀).
(1)小红的爸爸被分到B组的概率是 ;
(2)某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍,他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少?(请用画树状图或列表的方法写出分析过程)
22.(7分)某市为了解市民每天的阅读时间,随机抽取部分市民进行调查.根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图表:
市民每天的阅读时间统计表
类别 A B C D 阅读时间x(min) 0≤x<30 30≤x<60 60≤x<90 x≥90 频数 450 400 m 50 根据以上信息解答下列问题:
(1)该调查的样本容量为 ,m= ;
(2)在扇形统计图中,“B”对应扇形的圆心角等于 °;
(3)将每天阅读时间不低于60min的市民称为“阅读爱好者”.若该市约有600万人,请估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有多少万人.
23.(8分)如图,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC,AE与BD交于点F.
(1)求证:AE=BD;
(2)求∠AFD的度数.
24.(8分)本地某快递公司规定:寄件不超过1千克的部分按起步价计费:寄件超过1千克的部分按千克计费.小丽分别寄快递到上海和北京,收费标准及实际收费如下表:
收费标准
目的地 起步价(元) 超过1千克的部分(元/千克) 上海 a b 北京 a+3 b+4 实际收费
目的地 质量 费用(元) 上海 2 9 北京 3 22 求a,b的值.
25.(8分)小红和爸爸绕着小区广场锻炼.如图,在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑.在某一时刻,小红到达点P处,爸爸到达点Q处,此时雕塑在小红的南偏东45°方向,爸爸在小红的北偏东60°方向,若小红到雕塑的距离PM=30m,求小红与爸爸的距离PQ.(结果精确到1m,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
26.(8分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,﹣4)、B(2,0),交反比例函数y=(x>0)的图象于点C(3,a),点P在反比例函数的图象上,横坐标为n(0<n<3),PQ∥y轴交直线AB于点Q,D是y轴上任意一点,连接PD、QD.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求△DPQ面积的最大值.
27.(10分)我们知道:如图①,点B把线段AC分成两部分,如果=,那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为.
(1)在图①中,若AC=20cm,则AB的长为 cm;
(2)如图②,用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作:对折正方形ABCD得折痕EF,连接CE,将CB折叠到CE上,点B对应点H,得折痕CG.试说明:G是AB的黄金分割点;
(3)如图③,小明进一步探究:在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E(AE>DE),连接BE,作CF⊥BE,交AB于点F,延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时,E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现,并说明理由.
28.(10分)如图,在平面直角坐标系中,函数y=﹣ax2+2ax+3a(a>0)的图象交x轴于点A、B,交y轴于点C,它的对称轴交x轴于点E.过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,连接DE并延长交y轴于点F,交抛物线于点G.直线AF交CD于点H,交抛物线于点K,连接HE、GK.
(1)点E的坐标为: ;
(2)当△HEF是直角三角形时,求a的值;
(3)HE与GK有怎样的位置关系?请说明理由.
答案
一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置)
1.参考答案解:根据相反数的含义,可得
3的相反数是:﹣3.
故选:A.
2.参考答案解:A、不是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不合题意;
B、不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不合题意;
C、既是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项符合题意;
D、不是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不合题意;
故选:C.
3.参考答案解:设第三边长为xcm,根据三角形的三边关系可得:
6﹣3<x<6+3,
解得:3<x<9,
故选:C.
4.参考答案解:设袋子中红球有x个,
根据题意,得:=0.25,
解得x=5,
∴袋子中红球的个数最有可能是5个,
故选:A.
5.参考答案解:把小红连续5天的体温从小到大排列得,36.2,36.2,36.3.36.5,36.6,
处在中间位置的一个数是36.3℃,因此中位数是36.3℃;
出现次数最多的是36.2℃,因此众数是36.2℃;
平均数为:=(36.2+36.2+36.3+36.5+36.6)÷5=36.36℃,
极差为:36.6﹣36.2=0.4℃,
故选:B.
6.参考答案解:a2+2a2=3a2,因此选项A不符合题意;
a6÷a3=a6﹣3=a3,因此选项B不符合题意;
(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,因此选项C不符合题意;
(ab)2=a2b2,因此选项D符合题意;
故选:D.
7.参考答案解:∵OC⊥OA,
∴∠AOC=90°,
∵∠APO=∠BPC=70°,
∴∠A=90°﹣70°=20°,
∵OA=OB,
∴∠OBA=∠A=20°,
∵BC为⊙O的切线,
∴OB⊥BC,
∴∠OBC=90°,
∴∠ABC=90°﹣20°=70°.
故选:B.
8.参考答案解:
法一:由题意得,
,解得,或(舍去),
∴点P(,),
即:a=,b=,
∴﹣=﹣=﹣;
法二:由题意得,
函数y=(x>0)与y=x﹣1的图象交于点P(a,b),
∴ab=4,b=a﹣1,
∴﹣==;
故选:C.
二.填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.不需要写出解答过程,请将答案直接填写在答题卡相应位置)
9.参考答案解:7的平方根是±.
故答案为:±.
10.参考答案解:m2﹣4=(m+2)(m﹣2).
故答案为:(m+2)(m﹣2).
11.参考答案解:根据题意得x﹣3≥0,
解得x≥3.
故答案为:x≥3.
12.参考答案解:0.000000000148=1.48×10﹣10.
故答案为:1.48×10﹣10.
13.参考答案解:如图,∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,F为CA的中点,BF=5,
∴AC=2BF=10.
又∵D、E分别为AB、BC的中点,
∴DE是Rt△ABC的中位线,
∴DE=AC=5.
故答案是:5.
14.参考答案解:由已知得,母线长l=5,底面圆的半径r为3,
∴圆锥的侧面积是s=πlr=5×3×π=15π.
故答案为:15π.
15.参考答案解:去分母得:
9(x﹣1)=8x
9x﹣9=8x
x=9
检验:把x=9代入x(x﹣1)≠0,
所以x=9是原方程的解.
故答案为:x=9.
16.参考答案解:连接OA,OB,
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,
∴点A、B、C、D在以点O为圆心,OA为半径的同一个圆上,
∵∠ADB=18°,
∴∠AOB=2∠ADB=36°,
∴这个正多边形的边数==10,
故答案为:10.
17.参考答案解:∵B1O=B1A1,B1A1⊥OA2,
∴OA1=A1A2,
∵B2A2⊥OM,B1A1⊥OM,
∴B1A1∥B2A2,
∴B1A1=A2B2,
∴A2B2=2A1B1,
同法可得A3B3=2A2B2=22?A1B1,…,
由此规律可得A20B20=219?A1B1,
∵A1B1=OA1?tan30°=×=1,
∴A20B20=219,
故答案为219.
18.参考答案解:作△ABC的外接圆⊙O,过C作CM⊥AB于M,
∵弦AB已确定,
∴要使△ABC的面积最大,只要CM取最大值即可,
如图所示,当CM过圆心O时,CM最大,
∵CM⊥AB,CM过O,
∴AM=BM(垂径定理),
∴AC=BC,
∵∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°,
∴OM=AM=AB==3,
∴OA==3,
∴CM=OC+OM=3+3,
∴S△ABC=AB?CM=×6×(3+3)=9+9.
故答案为:9+9.
三、解答题(本大题共有10小题,共86分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.参考答案解:(1)原式=1+2﹣﹣2=1﹣;
(2)原式=÷
=?
=.
20.参考答案解:(1)2x2﹣5x+3=0,
(2x﹣3)(x﹣1)=0,
∴2x﹣3=0或x﹣1=0,
解得:x1=,x2=1;
(2)
解不等式①,得x<3.
解不等式②,得x>﹣4.
则原不等式的解集为:﹣4<x<3.
21.参考答案解:(1)共有3种等可能出现的结果,被分到“B组”的有1中,因此被分到“B组”的概率为;
(2)用列表法表示所有等可能出现的结果如下:
共有9种等可能出现的结果,其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种,
∴P(他与小红爸爸在同一组)==.
22.参考答案解:(1)450÷45%=1000,
m=1000﹣(450+400+50)=100.
故答案为:1000,100;
(2)360°×=144°.
即在扇形统计图中,“B”对应扇形的圆心角等于144°.
故答案为:144;
(3)600×=90(万人).
答:估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有90万人.
23.参考答案解:(1)∵AC⊥BC,DC⊥EC,
∴∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,
,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD;
(2)∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠ANC=90°,
∵△ACE≌△BCD,
∴∠A=∠B,
∵∠ANC=∠BNF,
∴∠B+∠BNF=∠A+∠ANC=90°,
∴∠AFD=∠B+∠BNF=90°.
24.参考答案解:依题意,得:,
解得:.
答:a的值为7,b的值为2.
25.参考答案解:作PN⊥BC于N,如图:
则四边形ABNP是矩形,
∴PN=AB,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
∵∠APM=45°,
∴△APM是等腰直角三角形,
∴AM=PM=×30=15(m),
∵M是AB的中点,
∴PN=AB=2AM=30m,
在Rt△PNQ中,∠NPQ=90°﹣∠DPQ=90°﹣60°=30°,
∴NQ=PN=10m,PQ=2NQ=20≈49(m);
答:小红与爸爸的距离PQ约为49m.
26.参考答案解:(1)把A(0,﹣4)、B(2,0)代入一次函数y=kx+b得,
,解得,,
∴一次函数的关系式为y=2x﹣4,
当x=3时,y=2×3﹣4=2,
∴点C(3,2),
∵点C在反比例函数的图象上,
∴k=3×2=6,
∴反比例函数的关系式为y=,
答:一次函数的关系式为y=2x﹣4,反比例函数的关系式为y=;
(2)点P在反比例函数的图象上,点Q在一次函数的图象上,
∴点P(n,),点Q(n,2n﹣4),
∴PQ=﹣(2n﹣4),
∴S△PDQ=n[﹣(2n﹣4)]=﹣n2+2n+3=﹣(n﹣1)2+4,
∴当n=1时,S最大=4,
答:△DPQ面积的最大值是4.
27.参考答案解:(1)∵点B为线段AC的黄金分割点,AC=20cm,
∴AB=×20=(10﹣10)cm.
故答案为:(10﹣10).
(2)延长EA,CG交于点M,
∵四边形ABCD为正方形,
∴DM∥BC,
∴∠EMC=∠BCG,
由折叠的性质可知,∠ECM=∠BCG,
∴∠EMC=∠ECM,
∴EM=EC,
∵DE=10,DC=20,
∴EC===10,
∴EM=10,
∴DM=10+10,
∴tan∠DMC==.
∴tan∠BCG=,
即,
∴,
∴G是AB的黄金分割点;
(3)当BP=BC时,满足题意.
理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠BAE=∠CBF=90°,
∵BE⊥CF,
∴∠ABE+∠CBF=90°,
又∵∠BCF+∠BFC=90°,
∴∠BCF=∠ABE,
∴△ABE≌△BCF(ASA),
∴BF=AE,
∵AD∥CP,
∴△AEF∽△BPF,
∴,
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时,
∵AE>DE,
∴,
∵BF=AE,AB=BC,
∴,
∴,
∴BP=BC.
28.参考答案解:(1)对于抛物线y=﹣ax2+2ax+3a,对称轴x=﹣=1,
∴E(1,0),
故答案为(1,0).
(2)如图,连接EC.
对于抛物线y=﹣ax2+2ax+3a,令x=0,得到y=3a,
令y=0,﹣ax2+2ax+3a=0,解得x=﹣1或3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3a),
∵C,D关于对称轴对称,
∴D(2,3a),CD=2,EC=DE,
当∠HEF=90°时,
∵ED=EC,
∴∠ECD=∠EDC,
∵∠DCF=90°,
∴∠CFD+∠EDC=90°,∠ECF+∠ECD=90°,
∴∠ECF=∠EFC,
∴EC=EF=DE,
∵EA∥DH,
∴FA=AH,
∴AE=DH,
∵AE=2,
∴DH=4,
∵HE⊥DFEF=ED,
∴FH=DH=4,
在Rt△CFH中,则有42=22+(6a)2,
解得a=或﹣(不符合题意舍弃),
∴a=.
当∠HFE=90°时,∵OA=OE,FO⊥AE,
∴FA=FE,
∴OF=OA=OE=1,
∴3a=1,
∴a=,
综上所述,满足条件的a的值为或.
(3)结论:EH∥GK.
理由:由题意A(﹣1,0),F(0,﹣3a),D(2,3a),H(﹣2,3a),E(1,0),
∴直线AF的解析式y=﹣3ax﹣3a,直线DF的解析式为y=3ax﹣3a,
由,解得或,
∴K(6,﹣21a),
由,解得或,
∴G(﹣3,﹣12a),
∴直线HE的解析式为y=﹣ax+a,
直线GK的解析式为y=﹣ax﹣15a,
∵k相同,
∴HE∥GK.
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