2021年江苏省淮安市中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1.﹣5的绝对值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
【答案】B
2.第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为（ ）
A．0.21836×109 B．2.1386×107
C．21.836×107 D．2.1836×108
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
3.计算（x5）2的结果是（ ）
A．x3 B．x7 C．x10 D．x25
【答案】C
4.如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
5.下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽
B．如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
【答案】B
6.如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．90° C．100° D．110°
【答案】D
7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
8.《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9.分解因式：a2﹣ab＝ ．
【答案】见试题解答内容
10.现有一组数据4、5、5、6、5、7，这组数据的众数是 ．
【答案】5．
11.方程＝1的解是 ．
【答案】x＝1．
12.若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是 ．
【答案】6．
13.一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 ．
【答案】4．
14.如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是 ．
【答案】（﹣3，﹣2）．
15.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 ．
【答案】35°．
16.如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是 ．
【答案】5．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（1）计算：﹣（π﹣1）0﹣sin30°；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）1＜x≤2．
18.先化简，再求值：（+1）÷，其中a＝﹣4．
【答案】a+1，﹣3．
19.已知：如图，在?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．
【答案】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
20.市环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、D、E五组，并将统计结果绘制了两幅不完整的统计图表．
组别 噪声声级x/dB 频数 A 55≤x＜60 4 B 60≤x＜65 10 C 65≤x＜70 m D 70≤x＜75 8 E 75≤x＜80 n 请解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是 °；
（3）若该市城区共有400个噪声测量点，请估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数．
【答案】（1）12、6；（2）72；（3）260．
21.在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．
【答案】（1）；（2）．
22.如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【答案】约为68.5m．
23.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．
（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；
（2）连接CC1，△ACC1的面积为 ；
（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．
【答案】
解：（1）如图：
图中△AB1C1即为要求所作三角形；
（2）∵AC＝＝，由旋转旋转知AC＝AC1，
∴△ACC1的面积为×AC×AC1＝，
故答案为：；
（3）连接EF交CC1于D，即为所求点D，理由如下：
∵CF∥C1E，
∴△CFD∽△C1ED，
∴＝，
∴CD＝CC1，
∴△ACD的面积＝△ACC1面积的．
24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径．
【答案】
（1）证明：连接DO，如图，
∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切；
（2）由（1）得，∠CDB＝90°，
∵CE＝EB，
∴DE＝BC，
∴BC＝5，
∴BD＝＝＝4，
∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BDC，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝，
∴⊙O直径的长为．
25.某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y与x的函数表达式为：y＝﹣10x2+1400x﹣45000；
（2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．
26.【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 ．
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．
【答案】【简单应用】结论：AE＝AD，证明见解析部分．
【拓展延伸】①结论：AE＝AD，证明见解析部分．
②结论：AE﹣AD＝2AC?cos（180°﹣α）．证明见解析部分．
【分析】【简单应用】证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
【拓展延伸】①结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．
②如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m?cos（180°﹣α）．在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．
27.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）b＝ ，c＝ ．
（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．
（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．
【答案】
解：（1）把A（﹣3，0）、B（5，0）代入y＝x2+bx+c，
得，解得，
故答案为：，.
（2）∵y＝x2x＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为D（1，﹣4）；
设直线BD的函数表达式为y＝mx+n，
则，解得，
∴y＝x﹣5．
（3）存在，如图1、图2．
由题意得，M（t﹣6，0），Q（t﹣3，0），
∴G（t﹣6，t2t+），H（t﹣3，t﹣8）；
∵QM?QH＜10，且QH≠0，
∴，解得＜t＜，且t≠8；
∵MG∥HQ，
∴当MG＝HQ时，以G、M、H、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴|t2t+|＝|t﹣8|；
由t2t+＝t﹣8得，t2﹣18t+65＝0，
解得，t1＝5，t2＝13（不符合题意，舍去）；
由t2t+＝﹣t+8得，t2﹣10t+1＝0，
解得，t1＝5+2，t2＝5﹣2（不符合题意，舍去），
综上所述，t＝5或t＝5+2．
（4）由（2）得，抛物线y＝x2x的对称轴为直线x＝1，
过点P作直线x＝1的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，
如图3，点Q在y轴左侧，此时点R在点G的上方，
当点M的坐标为（﹣6，0）时，点R的位置最高，
此时点Q与点A重合，
∵∠PGR＝∠DFP＝90°，∠RPG＝90°﹣∠FPD＝∠PDF，
∴△PRG∽△DPF，
∴，
∴RG＝＝＝6，
∴R（0，4）；
如图4，为原图象的局部入大图，
当点Q在y轴右侧且在直线x＝1左侧，此时点R的最低位置在点G下方，
由△PRG∽△DPF，
得，，
∴GR＝；
设点Q的坐标为（r，0）（0＜r＜1），则P（r，﹣2），
∴GR＝＝r2+r＝（r﹣）2+，
∴当r＝时，GR的最小值为，
∴R（0，）；
如图5，为原图象的缩小图，
当点Q在直线x＝1右侧，则点R在点G的上方，
当点M与点B重合时，点R的位置最高，
由△PRG∽△DPF，
得，，
∴GR＝＝＝28，
∴R（0，26），
∴4++26+＝，
∴点R运动路径的长为．
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