2022年湖南岳阳中考数学试题及答案
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1. 8的相反数是（）
B. C. 8 D.
【答案】D
2. 某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱
【答案】C
3. 下列运算结果正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
4. 某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续7天的销量（单位：袋）分别为：105，103，105，110，108，105，108，这组数据的众数和中位数分别是（）
A. 105，108 B. 105，105 C. 108，105 D. 108，108
【答案】B
5. 如图，已知，于点，若，则的度数是（）
A. B. C. D.
【答案】C
6. 下列命题是真命题的是（）
A. 对顶角相等
B. 平行四边形的对角线互相垂直
C. 三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D. 三角分别相等的两个三角形是全等三角形
【答案】A
7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（）
A. 25 B. 75 C. 81 D. 90
【答案】B
8. 已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（）
A. 或 B.
C. 或 D.
【答案】A
二、填空题（本大题共8小题，共32分）
9. 使有意义的的取值范围是_______．
【答案】
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
10. 2022年5月14日，编号为B-001J的大飞机首飞成功．数据显示，大飞机的单价约为65300000元，数据653000000用科学记数法表示为______．
【答案】
【详解】解：．
故答案为：．
11. 如图，在中，，于点，若，则______．
【答案】3
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
12. 分式方程的解为______．
【答案】2
【详解】解：，
，
，
经检验是方程的解．
故答案为：2．
13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：根据题意得，
解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
14. 聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：A（节日文化篇），（安全防疫篇），（劳动实践篇），（冬奥运动篇）下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则类作业有______份．
【答案】20
【详解】解：类作业有30份，且类作业份数占总份数的，
总份数为：（份），
A，类作业分别有25份，25份，
类作业的份数为：（份）．
故答案为：20．
15. 喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为______米（结果保留整数，参考数据：）．
【答案】87
【详解】解：过点作，垂足为，
设米，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵米，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴点到赛道的距离约为87米，
故答案为：87．
16. 如图，在中，为直径，，为弦，过点的切线与的延长线交于点，为线段上一点（不与点重合），且．
（1）若，则的长为______（结果保留）；
（2）若，则______．
【答案】 . ②.
【详解】解：（1）∵，
∴的长；
故答案为：；
（2）连接，
∵是切线，是直径，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
17. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18. 已知，求代数式的值．
【答案】-2
【解析】
【分析】先化简所求式子，再结合已知求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查代数式的运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式是解题的关键．
19. 如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：；；中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形．
（1）你添加的条件是______（填序号）；
（2）添加了条件后，请证明为菱形．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】（1）添加合适的条件即可；
（2）证，得，再由菱形的判定即可得出结论．
【小问1详解】
解：添加的条件是．
故答案为：．
【小问2详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，
为菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
20. 守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”的新名片．某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．
（1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为______；
（2）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，
则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，
列表如下：
① ② ③ ① ② ③ 由表知，共有6种等可能结果，其中抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的有2种结果，
所以抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）
（2）4（3）或
【解析】
【分析】（1）把点代入可得值，求得反比例函数的解析式；
（2）根据对称性求得、的坐标然后利用三角形面积公式可求解．
（3）根据图象得出不等式的解集即可．
【小问1详解】
解：把点代入得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，
∴，
∵点是点关于轴的对称点，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
根据图象得：不等式的解集为或．
【点睛】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
22. 为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根种跳绳共需300元．
（1）求，两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买，两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买种跳绳多少根？
【答案】（1）A种跳绳的单价为30元，种跳绳的单价为50元
（2）至多可以购买种跳绳20根
【解析】
【分析】（1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．由题意：若购买3根种跳绳和1根种跳绳共需元；若购买5根A种跳绳和3根种跳绳共需300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买种跳绳根，则购买A种跳绳根，由题意：总费用不超过1780元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设A种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．
根据题意得：，
解得：，
答：A种跳绳的单价为30元，种跳绳的单价为50元．
【小问2详解】
设购买种跳绳根，则购买A种跳绳根，
由题意得：，
解得：，
答：至多可以购买种跳绳20根．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，正确列出一元一次不等式．
23. 如图，和的顶点重合，，，，．
（1）特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；
（2）探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．
【答案】（1）?，垂直
（2）成立，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）解直角三角形求出，，可得结论；
（2）结论不变，证明，推出，，可得结论；
（3）如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点求出，，可得结论．
【小问1详解】
解：在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴，此时，
故答案为：，垂直；
【小问2详解】
结论成立．
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，，
当时，四边形是矩形，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．
①求点和点的坐标；
若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）或；12
【解析】
【分析】（1）将点和点代入，即可求解；
（2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；
（3）通过联立方程组，求出点和点坐标即可；
求出直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，，则，，可求，，由，分别求出的最大值4，的最大值2，即可求解．
【小问1详解】
解：将点和点代入，
，解得，
．
【小问2详解】
，
抛物线的顶点，
顶点关于原点的对称点为，
抛物线的解析式为，
．
【小问3详解】
由题意可得，抛物线的解析式为，
联立方程组，
解得或，
或；
设直线的解析式为，
，解得，
，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图所示：
设，，
则，，
，
，
，，
当时，有最大值，
当时，有最大值，
，
当最大时，四边形面积的最大值为12．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解题的关键．
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