分式的乘除
【学习目标】
1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.
2.会分式的乘法、除法运算.
3.掌握乘方的意义,能根据乘方的法则,先乘方,再乘除进行分式运算.
【要点梳理】
要点一、分式的乘除法
1.分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.用字母表示为:,其中是整式,.
2.分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.用字母表示为:,其中是整式,.
要点诠释:(1)分式的乘除法都能统一成乘法,然后约去公因式,化为最简分式或整式网]
(2)分式与分式相乘,若分子和分母是多项式,则先分解因式,看能否约分,然后再乘.
(3)整式与分式相乘,可以直接把整式(整式可以看作分母是1的代数式)和分式的分子相乘作为分子,分母不变.当整式是多项式时,同样要先分解因式,便于约分.
(4)分式的乘除法计算结果,要通过约分,化为最简分式或整式.
要点二、分式的乘方
分式的乘方运算法则:分式的乘方是把分子、分母分别乘方,用字母表示为:
(为正整数).
要点诠释:(1)分式乘方时,一定要把分式加上括号.不要把写成
(2)分式乘方时,要首先确定乘方结果的符号,负数的偶次方为正,负数的奇次方为负.
(3)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除,有多项式时应先分解因式,再约分.
(4)分式乘方时,应把分子、分母分别看作一个整体.如.
【典型例题】
类型一、分式的乘法
1.已知x-3y=0,求的值.
【思路点拨】先把分母分解因式,并运用分式的乘法法则约分、化简,再把x=3y代入可求分式的值.
【答案与解析】
解:原式=
=
x-3y=0, x=3y
∴当x=3y时,原式=.
【总结升华】本题考查综合运用分式的乘法法则,约分化简分式,并根据已知条件式求分式的值.
举一反三:
【变式】已知分式,计算的值.
【答案】
解: .
,
,且,即且,解得,,此时.
原式.
类型二、分式的除法
2.课堂上,李老师给同学们出了这样一道题:当,,时,求代数式的值.小明一看,“太复杂了,怎么算呢?”你能帮小明解决这个问题吗?请你写出具体的过程.
【思路点拨】分式求值问题的解题思路是先化简,再代入求值,一般情况下不直接代入,本题所给的的值虽然有的较为复杂,但化简分式后即可发现结果与字母的取值无关.
【答案与解析】
解: .
所以无论取何值,代数式的值均为,即代数式的值与的取值无关.
所以当,,时,代数式的值都是.
【总结升华】本题实际就是一道普通的分式化简求值题,只是赋予情景,增加兴趣,要通过认真审题,领会解决问题的实质.
举一反三:
【变式】已知,其中不为0,求的值.
【答案】
解:原式= =.
,
.
∴ 原式=.
不为0,
原式=.
类型三、分式的乘方
3.计算:.
【思路点拨】先进行乘方运算,再计算乘法运算即可得到结果.
【答案与解析】解:原式==.
【总结升华】分式乘方时也可以先确定符号,再将分子、分母分别乘方.
类型四、分式的乘除法、乘方混合运算[来源:中&%国教育#出版~网]
4.若等于它的倒数,求的值.
【答案与解析】
解:
等于它的倒数,
解得
时,原式=;时,原式=.
【总结升华】乘除混合运算,首先把除法运算转化为乘法运算,再用乘法运算法则计算.有乘方的,先算乘方,注意符号的处理.
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