1 探索勾股定理
1．勾股定理的探索
如图，在单位长度为1的方格纸中画一等腰直角三角形，然后向外作三个外正方形：
观察图形可知：
(1)各正方形的面积：正方形①的面积S1为1，正方形②的面积S2为1，正方形③的面积S3为2；
(2)各正方形面积之间的关系：S1＋S2＝S3；
(3)由此得到等腰直角三角形两直角边与斜边之间的关系是：两直角边的平方和等于斜边的平方．
【例1】 如图，Rt△ABC在单位长度为1的正方形网格中，它的外围是以它的三条边为边长的正方形．回答下列问题：
(1)a2＝__________，b2＝__________，c2＝__________；
(2)a，b，c之间有什么关系？(用关系式表示)
分析：a2等于以BC为边长的正方形的面积16，b2等于以AC为边长的正方形的面积9，c2等于以AB为边长的正方形的面积25.
解：(1)16 9 25 (2)a2＋b2＝c2.
网格中求正方形的面积
求以AB为边长的正方形的面积时，可把它放到以正方形格点为顶点的正方形CDEF(如图)中去，它的面积等于正方形CDEF的面积减去它外围的4个小直角三角形的面积．
2．勾股定理
(2)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．即：勾2＋股2＝弦2.
(3)勾股定理的表示方法：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a2＋b2＝c2.
应用勾股定理的几个误区
(1)勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．
(2)利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边．尤其在记忆a2＋b2＝c2时，此关系式只有当c是斜边时才成立．若b是斜边，则关系式是a2＋c2＝b2；若a是斜边，则关系式是b2＋c2＝a2.
(3)勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由a2＋b2＝c2，得a2＝c2－b2，b2＝c2－a2等．熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助．
【例2－1】 在△ABC中，∠C＝90°，
(1)若a＝3，b＝4，则c＝__________；
(2)若a＝6，c＝10，则b＝__________；
(3)若a∶b＝3∶4，c＝5，则a＝__________，b＝__________.
解析：因为在△ABC中，∠C＝90°，所以有关系式a2＋b2＝c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”．
(1)c2＝a2＋b2＝32＋42＝52，则c＝5；
(2)b2＝c2－a2＝102－62＝82，则b＝8；
(3)若a∶b＝3∶4，可设a＝3x，b＝4x，
于是(3x)2＋(4x)2＝52.
化简，得9x2＋16x2＝25，
即25x2＝25，x2＝1，x＝1(x＞0)．
因此a＝3x＝3，b＝4x＝4.
答案：(1)5 (2)8 (3)3 4
用勾股定理求边长
这是一组关于勾股定理应用的计算题，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知两边长，就可以求出直角三角形第三边的长．
【例2－2】 有一飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000 m处，过了20 s，飞机距离这个男孩头顶5 000 m，那么飞机每时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以先画出图形．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 000 m，AB＝5 000 m.
欲求飞机每时飞行多少千米，就须知道其20 s时间里飞行的路程，即图中CB的长．
由于△ABC的斜边AB＝5 000 m，AC＝4 000 m，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算．
解：如图，AB＝5 000 m＝5 km，AC＝4 000 m＝4 km，
故由勾股定理得BC2＝AB2－AC2＝52－42＝9，
即BC＝3 km.
因为飞机20 s飞行3 km，所以它每小时飞行的距离为×3＝540(km)．
3．勾股定理的验证
方法1：用四个相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的正方形．
由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得
(a＋b)2＝c2＋4×ab.
化简可得：a2＋b2＝c2.
方法2：用四个相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的正方形．
由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得
c2＝(b－a)2＋4×ab.
化简可得：a2＋b2＝c2.
方法3：用两个完全相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的梯形．
由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得：
(a＋b)(a＋b)＝2×ab＋c2.
化简可得：a2＋b2＝c2.
说明：勾股定理的验证还有很多方法．
【例3】 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a＋b)2的值为( )．
A．169 B．144 C．100 D．25
解析：根据图形面积的和差关系，4个直角三角形的面积＝大正方形面积－小正方形面积＝13－1＝12，可知4×ab＝12，即2ab＝12，由勾股定理得a2＋b2＝13，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋12＝25.
答案：D
4．利用勾股定理求长度
利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的问题．
常见的方法有：
(1)利用高(作垂线)构造直角三角形；
(2)利用已知直角构造直角三角形；
(3)利用勾股定理构造直角三角形．
已知直角三角形的两边，求第三边，关键是弄清已知什么边，求什么边，用平方和还是用平方差．【例4】 如图①，校园内有两棵树，相距12 m，一棵树高13 m，另一棵树高8 m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？
图①
分析：分别用AB，CD表示两棵树，如图②，得到梯形ABCD，过D作AB的垂线，垂足为E，可构造出Rt△AED，利用勾股定理解决．
解：如图②，作DE⊥AB于点E，
图②
∵AB＝13 m，CD＝8 m，
∴AE＝5 m.
由BC＝12 m，得DE＝12 m.
∵在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴AD＝13 m.
∴小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞13 m．5.利用勾股定理求面积
(1)利用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用．把所求的面积转化到已知的数量关系中去．
如求图中阴影部分的面积，可转化为中间正方形的面积，而中间正方形的面积等于右侧直角三角形短直角边的平方，借助于右侧的直角三角形，利用勾股定理解答即可．
(2)利用勾股定理求面积，还要注意整体思想的应用．【例5】 如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．
分析：要求阳光透过的最大面积即塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边AB的长是多少，可以借助勾股定理求出．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52，即AB＝5(m)．
故矩形塑料薄膜的面积是5×20＝100(m2)．
点评：勾股定理是以直角三角形存在(或添加辅助线可以构造的)为基础的；表示直角三角形边长的a，b，c并非是一成不变的，c并不一定就是斜边的长．
6．勾股定理与方程相结合的应用
(1)在进行直角三角形的有关计算时，一般要运用勾股定理，在运用过程中，有时直接运用，有时是通过勾股定理来列方程求解．
具体问题如下：
①已知直角三角形的两边，求第三边的长；
②说明线段的平方关系；
③判断三角形的形状或求角的大小；
④解决实际问题．
(2)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)，利用列方程或方程组来解决．
(3)勾股定理与代数中的平方差公式相结合，解决此类问题可以先根据勾股定理列出关于两直角边的数量关系式，再通过恒等变形巧妙求解．
【例6】 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5 m，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，求滑杆顶端A下滑了多少米？
分析：注意滑杆AB在滑动过程中长度保持不变，同时注意∠ACB为直角这一条件．在Rt△ABC中，应用勾股定理求得AC；在Rt△ECD中，应用勾股定理求得EC，两者之差即为所求．
解：设AE的长为x m，由题意，得CE＝(AC－x) m.
∵AB＝DE＝2.5 m，BC＝1.5 m，∠C＝90°，
∴AC2＝AB2－BC2＝2.52－1.52＝22.
∴AC＝2 m.
∵BD＝0.5 m，∴CD＝CB＋BD＝1.5＋0.5＝2 m.
在Rt△ECD中，
CE2＝DE2－CD2＝2.52－(1.5＋0.5)2＝1.52.
∴2－x＝1.5 m，x＝0.5 m，
即AE＝0.5 m.
∴滑杆顶端A下滑了0.5 m．
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