勾股定理中的常见题型例析勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探
究开放题[来源:%中国教@育^出#版网]例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个
正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……．（1）记正方形ABCD的边长为＝1，依上述方
法所作的正方形的边长依次为，，，…，，求出，，的值．（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式．分析：依次运用勾股定理求出a
2，a3，a4，再观察、归纳出一般规律．解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．由勾股定理，得AC＝，同
理，AE=2，EH= ．即 a2= ，a3=2，a4= ．(2) ∵， ， ， ，∴ ．[来#源:~中国%教育@出版网]点拨：探
究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维
品质和解决问题的能力具有十分重要的作用．二、动手操作题例2如图2，图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为
a和b，斜边长为c．图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个
图形的示意图，写出它是什么图形；（2）用这个图形证明勾股定理；（3）假设图（1）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（1）所给的直角
三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．解：（1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．（2）由于这
个梯形的两底分别为a、b，腰为（a+b），所以梯形的面积为．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示
为：．∴． ∴．（3）所拼图形如图4．点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。本题通过巧妙
构图，然后运用面积之间的关系来验证勾股定理。[来&%^源:中教网@~]三、阅读理解题例3 已知a，b，c为△ABC的三边且满足a2
c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状．小明同学是这样解答的．解：∵a2c2－b2c2=a4－b4， ∴[来@源#:^中
国教育&出版~网]∴． 订正：∴ △ABC是直角三角形 ． 横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，
但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程．”请你帮助小明订正此题，好吗？ 分析：这类阅读题在展现问题全貌
的同时，在关键处留下疑问点，让同学们认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，而让学生在整体理解的基础上给予具体的补缺．
因此，本题可作如下订正：解：∵a2c2－b2c2=a4－b4， ∴． ∴，∴或．∴或． ∴ △ABC是等腰三角形或直角三角形 ．[
w^ww.z%zstep.co~&m]点拨：阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧．解决的关键是抓住疑问点，补全漏洞
．四、方案设计题例4给你一根长为30cm的木棒，现要你截成三段，做一个直角三角形，怎样截取（允许有余料）？请你设计三种方案．分析：
构造直角三角形，可根据勾股定理的逆定理来解决．解：方案一：分别截取3cm，4cm，5cm；方案二：分别截取6cm，8cm，10cm
；[来源:中国教育^出%#版&网@]方案三：分别截取5cm，12cm，13cm．点拨：本题首先依据勾股定理的逆定理进行分析，设计出
方案，然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成．既要思考，又要动手．让学生在这个过程中，体会做数学的快乐．五、实际应用题例5如图5
，三个正方形形状的土地面积分别是74英亩、116英亩、370英亩，三个正方形恰好围着一个池塘．现要将这560英亩的土地拍卖，如果有
人能计算出池塘的面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送，英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗？分析：巴尔教授解决这个
问题时首先发现三个正方形的面积74、116、370相当于池塘的三条边的平方，因而联想到勾股定理，得74=52+72，116=42+
102，370=92+172．于是作出图6，运用勾股定理的逆定理，问题就得以解决．解：∵74=52+72，∴AB是两直角边分别为5
和7的直角三角形的斜边，作出这个直角三角形，得Rt△ABE．同理，作Rt△BCF，其中BF=4，FC=10．延长AE、CF交于D，
则AD=9，CD=17，而AC2=370=92+172=AD2+CD2，∴△ACD是直角三角形，∠ADC=90°．∴=．点拨：本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形，用构造法解题的思想，有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力. |
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