勾股定理中的数学思想

勾股定理中的数学思想勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理,它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征.同学们在学习时,不仅要灵活运用该定理及
逆定理,而且还要注意在解题中蕴涵着丰富的数学思想.比如数形结合思想、转化思想、方程思想等.现举出几例进行分析,供同学们参考. 数形
结合思想[www~.#zzst&e%p.com]例1. 在直线L上依次摆放着七个正方形(如图1所示),已知斜放置的三个正方形的面
积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S、S、S、S,则S+S+S+S= .[来^源&#:中教%~网]分析:经过观察图
形,可以看出正放着正方形面积与斜放置的正方形之间关系为: S+S=1;S+S=2; S+S=3;这样数形结合可把问题解决.解: S
代表的面积为S的正方形边长的平方, S代表的面积为S的正方形边长的平方,所以S+S=斜放置的正方形面积为1;同理S+S=斜放置的正
方形面积为3,故S+S+S+S=1+3=4.[来源:中国教育出版@^&网~]二、转化思想例2. 如图2,长方体的长为15cm,宽
为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点C,需要爬行的最短路径是多少?[w@
ww.zzstep.#%co&m]分析:蚂蚁实际上是在长方体的侧面上爬行,如果将长方体的侧面展开(如图2-1),根据“两点之间线
段最短.” 所以求得的路径就是侧面展开图中线段AC之长,但展开方式有3种,这样通过侧面展开图把立体图形转化为平面图形,构造成直角三
角形,利用勾股定理便可求解.解:如图所示,把长方体展开后得到如图2-1、图2-2、图2-3三种情形,蚂蚁爬行的路径为展开图中的AC
长,根据勾股定理可知在图2-1中,AC=AB=30=925[来~源:&zzstep.co#m@^]图2-2中, AC=AD=20=
625[来@源%:中教&^网]图2-3中, AC= AD=25=725 于是,根据上面三种展开情形中的AC长比较,最短的路径是在
图2-2中,故蚂蚁从A点爬行到点C,最短距离为25cm. 方程思想例3. 如图3,铁路上A、B两点相距25km,C、D两点为村庄，
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km。现在要在铁路AB上建一个农贸市场E，使得C、D两村到农贸市场E
的距离相等，则农贸市场E应建在距A站多少km处？分析：这是一个实际生活中的问题，从图中可以看出，如果单独解直角三角形，这时条件不够
，根据题意，不妨把两个直角三角形同时考虑进去，设未知数，如果设AE=x，结合勾股定理，抓住等量关系“DE=CE”列出方程就可以解决
问题了。解：设AE=x km，由勾股定理得，15解此方程得 x=10故农贸市场E应建在铁路上离A站10km处。[来源#:中国%
教育出~&版网]分类讨论思想[中国#教育%出&版网@]例4. 已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边长.分析:已知直角三
角形的两边的长度,并没有指明哪一条边是斜边,因此要分类讨论.解:(1)当5和12均是直角边时,则由勾股定理可得斜边的长度为=13;
[来源(2)当5是直角边,12是斜边时,则由勾股定理可得另一直角边长为. 综合(1)、（2）得第三边的长为13或。 试一试(供同学
们练习）[来@源^:#&中教网%]1.（荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：厘米)，在上盖中
开有一孔便于插吸管，吸管长为13厘米， 小孔到图中边AB距离为1厘米，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管
长为h厘米，则h的最小值大约为_________厘米.（精确到个位） （参考数据：）[来~源:#zzstep.c&o%m]2.
如图所示的圆柱体中底面圆的半径是 4/π,高为3,若一只小虫从A点出发沿着圆柱的侧面爬行到点C,则小虫爬行的最短路程是 .
答案:5[来源:中国教育出^版网@&#]3. 如图,设四边形ABCD是边长为1的正方形,以正方形ABCD的对角线AC
为边作第二个正方形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去…[来源:中国教&育出版网~%@#]
(1)记正方形ABCD的边长为依上述方法所作的正方形的边长依次为 求出的值； (2)根据以上规律写出第n个正方形的边长a的表达式.答案提示：[来源~@#:zzste&p.com](1)a=(;(2)a(n≧1的自然数)[来源:~@