【例题与讲解】八年级数学上册 第二章 4 估算[中国教@育出版#~^网]1．用估算法估计一个无理数的范围在用夹逼法确定无理数的值时，往往要
根据题目要求有目的地去估计到那一位．估算一个根号表示的无理数所采用方法可概括为“逐步逼近”．[@^z~step.com]【例1】
估算的大小(误差小于0.1)．[来%&#源:中教^~网]分析：要求精确到小数点后一位．首先找出与它邻近的两个完全平方数．[来源@
:中国教~育出#&版网]解：∵36＜43＜49，∴6＜＜7.∴的整数部分是6.∵6.52＝42.25,6.62＝43.56，∴6
.5＜＜6.6.∴≈6.5或≈6.6.[中%国教育^@出版网#]2．用估算法确定无理数的大小(1)在按四舍五入法求近似值时，一定
要比要求精确的数位多考查一位，这一点往往易出错．(2)“精确到”与“误差小于”意义不同．如精确到1 m是四舍五入到个位，答案唯一；
误差小于1 m，答案在真值左右1 m都符合题意，答案不唯一．在本章中误差小于1 m就是估算到个位，误差小于10 m就是估算到十位．
【例2】 求的近似值(精确到0.1)．解：∵1＜3＜4，∴1＜＜2.又∵1.72＜3＜1.82，∴1.7＜＜1.8.∵1.732＜
3＜1.742，[来源:z#z%step^@.com&]∴1.73＜＜1.74.∴≈1.7.[ww&w.z~zs#tep.co@
m]3．用估算法确定无理数的整数部分和小数部分关键要先估算整数部分，只要整数部分估算出来了，小数部分随之就写出来了．一个无理数减去
它的整数部分，剩下的就是它的小数部分．【例3】 已知a，b分别是6－的整数部分与小数部分，则它的整数部分是__________，小
数部分是__________．解析：先考虑的值的大致范围．因为9＜13＜16，所以3＜＜4.所以的值在3和4之间，故6－的整数部分
是2，用6－减去它的整数部分2，剩下的就是小数部分了，故小数部分是6－－2＝4－.答案：2 4－[来源:~中教&%网^]4．比较
两个无理数的大小两个有理数的大小比较方法较多，比如将它们化为小数再比较，先对无理数求近似值，然后比较．当然，还有许多特殊的方法，比
如平方法、作差法、估算法等．合理的选用特殊方法比较数的大小，会让运算变得简单．用估算法比较含根号的数的大小，一般可采取下列方法：(
1)先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；[来%源:^中国教育&出版#网](2)当符号相同时，把不含根号的数平方，和含
根号的数的被开方数比较．本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大；(3)若同分母或同分子的，可比较它们分子或分母
的大小．[来#源:@中%国教育出版~网]【例4】 比较大小：(1)与；(2)－与－4；(3)7与6.[中@国&教%育出版~网]
分析：比较数的大小的方法有许多，如作差法、估算法等．要注意选择恰当方法比较大小．解：(1)∵＝，＝，∴－＝＜0.∴＜.[来源o#m
~](2)∵－≈－16.58，－4≈－16.49，[来源:中国#%&教育@出版网]∴－＜－4.(3)∵7＝＝，6＝＝，＞，∴7＞
6.谈重点 比较无理数的大小[来源:中国教育出版&^@网~]以上介绍了无理数大小比较的三种方法：①作差比较法；②求值比较法；③移
因式于根号内，再比较大小．我们要善于根据不同题目的特点恰当地选择最佳方法.5．估算的实际应用在生产生活中，我们经常遇到求距离、高度
、长度、深度等一些线段长度的问题，在很多情况下得到的是无理数，根据实际需要，一般情况下只需取无理数的近似值就可以了．要求无理数的近
似值，首先需要用估算的方法确定无理数的大致范围，估算无理数经常用到“夹逼法”，即利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的近似值． 【
例5】 校园里有旗杆高11 m，如果想要在旗杆顶部点A与地面一固定点B之间拉一根直的铁丝，小强已测量固定点B到旗杆底部C的距离是8
m，小军已准备好一根长12.3 m的铁丝，你认为这一长度够用吗？[.com%#][w~解：由题意可知，AC＝11 m，BC＝8
m，∵旗杆AC垂直于地面，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝112＋82＝185.∵12.32＝151
.29＜185，∴＞.因此这一长度不够用．[来&源:%中^国教育~出版网#]点评：通过题目叙述，构建直角三角形，要结合生活实际，分析解决问题 |
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