6 实数
1．实数的概念及分类
(1)有理数和无理数统称实数．
(2)实数的分类：
我们所学习的实数范围大、类别多，按照不同的标准就有不同的分类方法，总体来说有两种情况：
①按定义来分类
②按正、负数来分类
实数
【例1】 把下列各数填入相应的集合内：
0，，，0.，－π，－，1.234 56…，－49.
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
分析：实数按照不同的分类标准有两种分类方法，将实数分类时，属于有理数集合的一定不属于无理数集合，属于正实数集合的一定不属于负实数集合，但是属于有理数集合的数有可能属于正实数集合．
解：(1)有理数集合：，0.，－，－49，….
(2)无理数集合：{，－π，1.234 56…，…}．
(3)正实数集合：，0.，－，1.234 56…，….
(4)负实数集合：{－π，－49，…}．
实数的有关性质
解答本题时要注意以下几点：(1)对于－，虽然有负号，但是最终化为正数，虽然含有根号，但是可以开得尽方，所以它既是正数又是有理数；(2)0既不是正数又不是负数；(3)一切分数都是有理数．
2.实数的性质
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
(1)相反数：实数a的相反数是－a,0的相反数是0，具体地，若a与b互为相反数，则a＋b＝0；反之，若a＋b＝0，则a与b互为相反数．如：π与－π，与－均互为相反数．
(2)绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a的绝对值可表示为|a|＝就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0，并且若|x|＝a(a≥0)，则x＝±a.例如：|－|＝，|－π|＝π，||＝，|－|＝－(－)＝－，…. (3)倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数．这里应特别注意的是0没有倒数．
(4)实数大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立，所以我们可以得到比较实数大小的法则：
①正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个负实数，绝对值大的反而小；
②数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．
在进行实数比较大小时，我们会经常用到估算法、乘方法、作商法、求差法等等，由于方法多种多样，所以要根据实际采用适当的方法，亦可分别尝试应用．
【例2－1】 解答下列问题：
(1)求的绝对值；
(2)若某数的绝对值是，求这个数；
(3)已知|x|＝，求实数x；
(4)设a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的倒数是其本身，化简＋(a＋b)m－|m|.
分析：(1)＝－6，－6的绝对值是6；(2)(3)在解决时要考虑到正负两种情形；(4)由a与b互为相反数可得a＋b＝0，由c与d互为倒数可得cd＝1，由m的倒数是其本身可得m＝±1，然后化简可解．
解：(1)||＝|－6|＝6.
(2)∵||＝，|－|＝，
∴绝对值是的数是±.
(3)∵|x|＝，
∴x＝±.
(4)由题意，得a＋b＝0，cd＝1，m＝±1.
当m＝1时，原式＝1＋0×1－1＝0；
当m＝－1时，原式＝－1＋0×(－1)－|－1|＝－1－1＝－2.
注：(2)(3)两题实质是一样的，只是表达形式不同，解题时要防止丢掉负实数．
【例2－2】比较下列各组数的大小：
(1)－3.141 5和－π；(2)2和3.
分析：
解：(1)∵|－3.141 5|＝3.141 5，
|－π|＝π＝3.141 592…，
3．141 5＜π，
∴－3.141 5＞－π.
(2)∵(2)2＝4×11＝44，(3)2＝9×5＝45,44＜55，
∴2＜3.
比较负无理数的大小
(1)比较两个负实数大小时，应先比较其绝对值的大小，绝对值大的反而小；(2)因为2和3都是无理数，整数部分很难确定，所以可以利用乘方法，乘方大的这个数就大．
3．实数与数轴上点的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．因此，数轴正好可以被实数填满．
【例3】 大家知道，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，请你在数轴上画出表示的点．
分析：考虑到()2＝9＋4＝32＋22，可以利用勾股定理在数轴上作出长为的线段，从而找到表示的点．
解：作法如下：
(1)在数轴上找到一点A，使OA＝3；
(2)过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB＝2；
(3)连接OB；
(4)以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点．
点评：在数轴上作无理数一般是借助勾股定理．
4．实数的运算
(1)运算法则、运算律
有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
(2)运算顺序
在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
5.与a的算术平方根之区别
与a的算术平方根是代数中两个十分重要的概念，两者有非常密切的联系，但也有所区别，主要表现在以下几方面：
(1)是一种代数式，而a的算术平方根是一种运算.(a≥0)是一种代数式，一种含有二次根号“”的代数式．而算术平方根是指一种运算，一种与平方互为逆关系的运算．
(2)比a的算术平方根内涵更丰富.虽然建立在a的算术平方根上，但它比a的算术平方根的含义更丰富．对于来说，它表示的意义仍然是非负数a的算术平方根．用的形式表示一个非负数的算术平方根具有形式简洁、含义深刻等优点，通过二次根式探索、表达算术平方根的性质更是如鱼得水、简便之极．
(3)算术平方根不一定带根号．如3是9的算术平方根．【例4】 对于题目“化简并求值：＋，其中a＝”，甲、乙二人的解答不同．
甲的解答是：＋＝＋＝＋－a＝－a＝；
乙的解答是：＋＝＋＝＋a－＝a＝.
谁的解答是错误的？为什么？
分析：甲、乙二人的解答区别在于的化简，＝＝＝，
其值是非负数．由于a＝，所以结果应是－a.
解：乙的解答是错误的．理由：
∵a＝，则a－＜0，
∴＝＝－a.
注意：|a|与在化简时一定要考虑其值的非负性．
6．实数在生活中的应用
实数是日常生活、生产中必不可少的数，它们与我们的生活息息相关，因此，与实数相关的问题自然成为中考命题的热点．数学知识生活化是近几年来中考热点之一，实数也不例外，将生活中的实数搬进中考已成为中考的一个亮点．【例5】 教生物的老师想设计一个长方形的实验基地，便于同学们进行实地观察，为了考查一下同学们的计算能力，他把长方形的基地设计成长为80 m，宽为3 m，让学生算出这块实验基地的面积
解：实验基地的面积为
80×3＝80×3×
＝240＝240×30＝7 200(m2)．
答：这块实验基地的面积为7 200 m2.
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