9.1二次根式和它的性质[来源:&中教网#%~]例1．在下列各式中，m的取值范围不是全体实数的是（ ）A． B． C． D．分析 不论m为
任何实数，A、C、D中被开方数的值都不是负数.[来#源:中教@~网%^]解答 B说明 考查二次根式的意义. 只要理解了二次根式的意
义，记住在时，式子才有意义，这样的题目都不在话下.[中~国&^教育#出版网]例2．是二次根式，则x、y应满足的条件是（ ）A．且
B．C．且 D．分析 要使有意义，则被开方数是非负数.应满足条件是且或，.解答 D说明 式子叫做二次根式，a可以是数，也可以是式
子，但a必须是非负数.例3．判断下列根式是否二次根式：（1）； （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8）解答 （1）∵
，∴ 不是二次根式.（2）∵，∴是二次根式.（3）∵ ，∴不是二次根式.（4）是三次根式，不是二次根式.（5）∵ 的符号不确定，∴
当时，是二次根式，当时，不是二次根式，∴不一定是二次根式.（6）∵ ，∴是二次根式.（7）∵ ∴不是二次根式.（8）∵∴是二次根式
.说明 判定一个式子是否二次根式，主要观察两方面：第一，被开方数是否非负；第二，是否为二次根式.例4．求使有意义的x的取值范围.解
答 要使使有意义，则，即；①[www.z~z#step.co^m@]要使有意义，则，即.②所以使 有意义的x的取值范围是.说明
本题主要考察二次根式的基本概念，要弄清每一个数学表达式的含义. 根据二次根式的意义求解.例5．在实数范围内分解因式：（1）（2）（
3）解答 （1）（2）（3）说明 解本题的关键是对一个非负数a能写成一个数平方形式.即的逆用.并且原来的因式分解方法和公式仍然适用
例1．若x，y为实数，且，则.分析 由于含有两上未知量而只是一个等式，不妨从二次根式概念入手.∵ ∴[来源:中国%教育出版@网~#
]即得，，解答 2[来源:^%中国教育&出版~网#]说明 回到定义中去是重要解题方法.例2．求的值.分析 由于二次根式的被开方数
为非负性，知求值式中的，必为零.问题迎刃而解.解答 因当时，才有意义.故原式=[来源:zz~@^step.#com] 说明 本题
关键是挖掘隐含条件的条件是什么？例3．当x取什么值时，取值最小，并求出这个最小值.分析 根式中二次根式的双非负性，即被开方数非负，
二次根式非负，所以只有当时，才有最小值.解答 因为，解得，故当时，有最小值，为0.从而有最小值，最小值为1.故当时，取值最小，最小
值为1.例4．已知m是的整数部分，n是的小数部分，计算的值.[来@^%~源:#中分析 根据算术平方根的概念，可知即，从而可确定m和
n.解答 ∵，即，[来源:@z&zstep#^.%com]∴ 的整数部分，的小数部分.∴ [来源:中@国教育&出~版网#]说明
一部分学生总是想求13的算术平方根，在不允许查表的情况下，尽管可知 的整数部分是3，但不易知道的小数部分，从而陷入误区.而忽视了由可求出的小数部分n |
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