《第2章 实数》
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列各式中，无意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．1，﹣1或0
4．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果一个圆的面积是81π，那么这个圆的半径是（ ）
A．9 B．9π C．±9 D．9
6．下列命题中：
①带根号的数是无理数；
②无理数是开方开不尽的数；
③无论x取何实数，都有意义；
④绝对值最小的实数是零．
正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．设a、b为有理数，下列命题正确的是（ ）
A．若a≠b，则a2≠b2 B．若|a|=|b|，则a=﹣b
C．若a＞b，a2＞b2 D．若a、b不全为零，则a2+b2＞0
8．实数a，b在数轴上表示的位置如图所示，则（ ）
A．b＞a B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．﹣b＞a
9．下列各式中，正确的是（ ）
A． =±5 B． C． D．6÷
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，则化简的结果为（ ）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a
二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上．
11．49的平方根是 ，的算术平方根是 ，﹣8的立方根是 ．412﹣402的平方根是 ．
12．若=4，则a= ；若=4，则b= ．
13．的负倒数是 ，的负倒数是 ．
14．满足＜x＜的整数x是 ．
15．如果=2，那么（x+3）2= ．
16．若与|b+2|互为相反数，则（a﹣b）2= ．
17．（2002?（2003= ．
18．若|a|=， =2，且ab＜0，则a+b= ．
19．如果正数x的平方根为a+2与3a﹣6，则的值为 ．
20．点A在数轴上与原点相距个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在A的左边，则AB之间的距离为 ．
三、运算题：本大题共6小题，共40分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
21．计算化简：
（1）
（2）
（3）
（4）（．
22．在数轴上作出一对应的点．
23．如图，已知正方形ABCD的面积是64cm2，依次连接正方形的四边中点E、F、G、H得到小正方形EFGH．求这个小正方形EFGH的边长（结果保留两个有效数字）．
24．求下列各式中的x
（1）（x+2）3+1=0
（2）9（3x﹣2）2=64．
25．已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．
26．已知的小数部分为a，的小数部分为b．
求：（1）a+b的值；（2）a﹣b的值．
《第2章 实数》
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】无理数．
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据即可得出答案．
【解答】解：实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数有：，，0.123456…，共3个．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．
2．下列各式中，无意义的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】立方根；算术平方根．
【专题】计算题．
【分析】此题主要考查平方根的概念，只要认识到负数没有平方根即可．
【解答】解：A、因为负数没有算术平方根，故选项错误；
B、任何数都有立方根，故选项正确；
C、D中底数均为正，所以有意义．
因此A没有意义．
故选A．
【点评】此题主要考查了算术平方根、立方根的定义及其性质，解题注意：负数没有平方根．
3．一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．1，﹣1或0
【考点】立方根；平方根．
【分析】首先根据一个数的平方根是它本身求出这个数，再求这个数的立方根即可解答．
【解答】解：∵一个数的平方根是它本身，
∴这个数为0，0的立方根是0．
故选B．
【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念，要掌握其中的几个特殊数字（±1，0）的特殊性质．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．如果x2=a（a＞=0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根．
4．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；
根据二次根式的乘法法则对B进行判断；
根据平方差公式对C进行判断；
根据完全平方公式对D进行判断．
【解答】解：A、2与3不是同类二次根式，不能合并，所以A选项错误；
B、原式=×+×=+，所以B选项错误；
C、原式=9﹣12=﹣3，所以C选项正确；
D、原式=2a+2+b，所以D选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
5．如果一个圆的面积是81π，那么这个圆的半径是（ ）
A．9 B．9π C．±9 D．9
【考点】算术平方根．
【分析】设圆的半径是R，得出方程πR2=81π，求出即可．
【解答】解：设圆的半径是R，
则πR2=81π，
R2=81，
R=±9，
∵半径为正数，
∴R=9，
故选D．
【点评】本题考查圆和平方根的应用，关键是能根据题意得出方程．
6．下列命题中：
①带根号的数是无理数；
②无理数是开方开不尽的数；
③无论x取何实数，都有意义；
④绝对值最小的实数是零．
正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理．
【分析】利用实数的有关性质进行逐一判断即可得到答案．
【解答】解：①带根号的数不一定是无理数，如，原命题错误；
②开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方开不尽的数，原命题错误；
③无论x取何实数，x2+1＞0，都有意义，原命题正确；
④绝对值最小的实数是零，正确．
故正确的命题有两个．
故选B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解实数的有关性质．
7．设a、b为有理数，下列命题正确的是（ ）
A．若a≠b，则a2≠b2 B．若|a|=|b|，则a=﹣b
C．若a＞b，a2＞b2 D．若a、b不全为零，则a2+b2＞0
【考点】命题与定理；绝对值．
【分析】根据已知条件利用绝对值的性质以及不等式的性质分别进行分析举出反例，即可得出答案．
【解答】解：A、若a≠b，则a2≠b2，错误，例如：﹣3≠3，但是；（﹣3）2=32；
B、若|a|=|b|，则a=﹣b错误，也可以a=b；
C、若a＞b，a2＞b2错误，例如：0＞﹣5，但是：02＜（﹣5）2；
D、若a、b不全为零，则a2+b2＞0正确．
故选D．
【点评】此题主要考查了绝对值以及不等式的性质，根据已知举出反例是解题关键．
8．实数a，b在数轴上表示的位置如图所示，则（ ）
A．b＞a B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．﹣b＞a
【考点】实数与数轴．
【分析】根据数轴的特点确定出a、b的正负情况以及绝对值的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：由图可知，a＞0，b＜0，|a|＜|b|，
A、b＜a，故本选项错误；
B、a|＜|b|，故本选项错误；
C、﹣a＞b，故本选项错误；
D、﹣b＞a，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了实数与数轴的关系，绝对值的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．
9．下列各式中，正确的是（ ）
A． =±5 B． C． D．6÷
【考点】实数的运算．
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、==5，本选项错误；
B、没有意义，错误；
C、==，本选项错误；
D、6÷=6×=，本选项正确．
故选D．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，则化简的结果为（ ）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a
【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系．
【专题】计算题．
【分析】根据三角形三边的关系得到a+b＞c，a+c＞b，则根据二次根式的性质得原式=|a﹣b+c|﹣2|c﹣a﹣b|=a﹣b+c+2（c﹣a﹣b），然后去括号后合并即可．
【解答】解：∵∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=|a﹣b+c|﹣2|c﹣a﹣b|
=a﹣b+c+2（c﹣a﹣b）
=a﹣b+c+2c﹣2a﹣2b
=﹣a﹣3b+3c．
故选B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简： =|a|．也考查了三角形三边的关系．
二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上．
11．49的平方根是 ±7 ，的算术平方根是 3 ，﹣8的立方根是 ﹣2 ．412﹣402的平方根是 ±9 ．
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【分析】根据平方根和立方根的定义求出即可．
【解答】解：49的平方根是±7，
∵=9，
∴的算术平方根是3，
﹣8的立方根是﹣2，
412﹣402的平方根是±=±=±9，
故答案为：±7，3，﹣2，±9．
【点评】本题考查了对平方根和立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
12．若=4，则a= 4 ；若=4，则b= ±4 ．
【考点】立方根．
【分析】根据立方根定义求出即可；根据算术平方根得出b2=16，再开方即可．
【解答】解：∵ =4，
∴a=4，
∵=4，
∴b2=16，
∴b=±4，
故答案为：4，±4．
【点评】本题考查了对平方根和立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
13．的负倒数是 4 ，的负倒数是 ．
【考点】立方根．
【分析】根据互为负倒数的两个数相乘等于﹣1，求出即可．
【解答】解：∵ =﹣，
∴的负倒数是4，
的负倒数是﹣，
故答案为：4，﹣．
【点评】本题考查了对平方根，倒数的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
14．满足＜x＜的整数x是 ﹣1，0，1，2 ．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】求出﹣，的范围，即可得出答案．
【解答】解：∵﹣2＜﹣＜﹣1，2＜＜3，
∴满足＜x＜的整数x有﹣1，0，1，2，
故答案为：﹣1，0，1，2．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是确定﹣，的范围．
15．如果=2，那么（x+3）2= 16 ．
【考点】算术平方根．
【专题】常规题型．
【分析】对已知条件把两边两次平方即可．
【解答】解： =2，
两边平方得，x+3=4，
再平方得，（x+3）2=16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了算术平方根的知识，进行二次平方即可．
16．若与|b+2|互为相反数，则（a﹣b）2= 9 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵与|b+2|互为相反数，
∴+|b+2|=0，
∴2a﹣2=0，b+2=0，
解得a=1，b=﹣2，
∴（a﹣b）2=[1﹣（﹣2）]2=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
17．（2002?（2003= ．
【考点】实数的运算．
【分析】首先把（2002?（2003变为（﹣）2002?（+）2002?（+），然后利用平方差公式计算即可求解．
【解答】解：原式=（﹣）2002?（+）2002?（+）
=（2﹣3）2002?（+）
=1×（+）
=+．
故答案为： +．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题关键是要理解﹣1的偶次幂是1，﹣1的奇次幂是﹣1．
18．若|a|=， =2，且ab＜0，则a+b= 4﹣ ．
【考点】实数的运算．
【分析】根据题意，因为ab＜0，确定a、b的取值，再求得a+b的值．
【解答】解：∵ =2，
∴b=4，
∵ab＜0，
∴a＜0，
又∵|a|=，
则a=﹣，
∴a+b=﹣+4=4﹣．
故答案为：4﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握绝对值的性质和二次根式的非负性．
19．如果正数x的平方根为a+2与3a﹣6，则的值为 4 ．
【考点】立方根；平方根．
【分析】由平方根的定义可得a+2+3a﹣6=0，由此即可求得a的值，从而可以求出题目结果．
【解答】解：由题意得：a+2+3a﹣6=0，
解得a=1，
把a=1代入中得：
==4．
故填4．
【点评】此题考查了平方根和立方根的定义和区别，比较简单．
20．点A在数轴上与原点相距个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在A的左边，则AB之间的距离为 3﹣或3+ ．
【考点】实数与数轴．
【分析】由于点A在数轴上与原点相距个单位，即点A所表示的数是±．点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在A的左边，即点B所表示的数是﹣3．根据数轴上两点间的距离：右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求出AB．
【解答】解：∵点A在数轴上与原点相距个单位，
∴点A的坐标为±，
∵点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在A的左边，
∴B点坐标为﹣3，
∴AB之间的距离为3﹣或3+．
【点评】此题主要考查 老师是与数轴之间的对应关系，解题关键能够根据条件确定点所对应的数，再根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算．
三、运算题：本大题共6小题，共40分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
21．计算化简：
（1）
（2）
（3）
（4）（．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】计算题．
【分析】（1）原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果；
（2）原式利用平方根及立方根定义化简，计算即可得到结果；
（3）原式利用平方根，零指数幂，以及绝对值代数意义化简，计算即可得到结果；
（4）原式利用平方差公式化简即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=2﹣﹣
=﹣；
（2）原式=﹣+×4﹣4×﹣3
=﹣+﹣1﹣3
=﹣4；
（3）原式=﹣+3+1﹣
=3；
（4）原式=5﹣6
=﹣1．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数、负指数幂，平方根、立方根的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．在数轴上作出一对应的点．
【考点】勾股定理；实数与数轴．
【分析】因为=，所以在数轴上以原点O向左数出4个单位（为点A）作为直角三角形的一条直角边，过点A作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，求得OB，最后以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的负半轴于点C即为所求．
【解答】解：如图：
【点评】此题主要考查灵活运用勾股定理解答关于数轴上如何表示无理数．
23．如图，已知正方形ABCD的面积是64cm2，依次连接正方形的四边中点E、F、G、H得到小正方形EFGH．求这个小正方形EFGH的边长（结果保留两个有效数字）．
【考点】算术平方根．
【专题】计算题．
【分析】根据算术平方根的定义求出正方形ABCD的边长，然后求出AE、AH的长度，再利用勾股定理求出EH的长度即可．
【解答】解：∵82=64，
∴正方形ABCD的边长等于8cm，
∵E、F、G、H分别是正方形ABCD的四边中点，
∴AE=AH=×8=4cm，
在Rt△AEH中，根据勾股定理，EH===4=4×1.414=5.656≈5.7cm．
【点评】本题考查了算术平方根的应用，正方形的性质，以及勾股定理，求出正方形ABCD的边长是解题的关键．
24．求下列各式中的x
（1）（x+2）3+1=0
（2）9（3x﹣2）2=64．
【考点】立方根；平方根．
【分析】（1）开立方根得出方程x+2=﹣1，求出即可；
（2）开平方得出方程3（3x﹣2）=±8，求出即可．
【解答】解：（1）（x+2）3=﹣1，
x+2=﹣1，
解得：x=﹣3．
（2）开平方得：3（3x﹣2）=±8
解得：x1=，x2=﹣．
【点评】本题考查了立方根和平方根的应用，关键是能得出一元一次方程．
25．已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】计算题．
【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x﹣2=4，2x+y+7=27，列方程解出x、y，最后代入代数式求解即可．
【解答】解：∵x﹣2的平方根是±2，
∴x﹣2=4，
∴x=6，
∵2x+y+7的立方根是3
∴2x+y+7=27
把x的值代入解得：
y=8，
∴x2+y2的算术平方根为10．
【点评】本题主要考查了平方根、立方根的概念，难易程度适中．
26．已知的小数部分为a，的小数部分为b．
求：（1）a+b的值；（2）a﹣b的值．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】（1）（2）由于3＜＜4，所以8＜5+＜9，由此找到题中的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的整数部分，小数部分让原数减去整数部分，代入求值即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴8＜5+＜9，
∴a=5+﹣8=﹣3；
∴有b=4﹣．
将a、b值代入可得：（1）a+b=1；
（2）．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
第10页（共17页）
|
|
