一次函数中常用的数学思想方法数学思想是解决数学问题的灵魂，在本章的学习中起着非常重要的作用。它起着培养学生的阅读理解、运用知识、解决实际问题
及发现问题的能力。现将本章常用的思想方法总结如下：函数思想例1：已知等腰三角形周长为20cm . (1)写出底边ycm与腰长xcm
之间的函数关系式(x为自变量) (2) 写出自变量x的取值范围.解： (1) y = 20 – 2x(2) ∵y为底边 ,∴ y
= 20 – 2x > 0∴ x < 10又因为三角形中两边之和大于第三边 ∴ 2x > y = 20 – 2x∴ 4x > 2
0 ∴ x > 5∴ 5 < x < 10分类讨论思想例2：某学校需刻录一批教学用的VCD光盘,电脑公司刻录每张需9元(包括空白
VCD光盘费);若学校自刻,除租用刻录机需120元外,每张还需成本4元(包括空白VCD光盘费).问刻录这批VCD光盘,到电脑公司刻
录费用省,还是自刻费用省?解： 设学校需刻录x张光盘,到电脑公司刻录费用为y1元,学校自刻费用为y2元,根据题意,得y1 = 9x
, y2 = 4x + 120当y1 > y2 时, 即9x > 4x + 120 ,解得x > 24当y1 =
y2 时, 即9x = 4x + 120 ,解得x = 24当y1 < y2 时, 即9x < 4x + 120 ,解得x
< 24所以当要刻光盘多于24时,自刻费用省; 当要刻光盘等于24时,费用一样; 当要刻光盘少于24时,到电脑公司刻录费用省.数形
结合思想例3：在一次蜡烛燃烧实验中,甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y (厘米)与燃烧时间 x(小时)之间的关系如图所示.请根据
所提供的信息解答下列问题： (1) 甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ,从点燃到燃尽所用的时间分别是 .(2) 分别求甲、乙两根蜡
烛燃烧时,y与x之间的函数关系式;(3)燃烧多长时间时, 甲、乙两根蜡的高度相等(不考虑燃尽时的情况)?在什么时间段内,甲蜡烛比乙
蜡烛高? 在什么时间段内,甲蜡烛比乙蜡烛低?解：(1) 30厘米 25厘米 ; 2小时 2.5小时(2) 设甲蜡烛燃烧时，
y与x之间的函数关系式为y = k1x + b1 ，由图象可知，函数的图象过点(2，0)，(0，30)设乙蜡烛燃烧时，y与x之间的
函数关系式为y = k2x + b2 ，由图象可知，函数的图象过点(2.5，0)，(0，30)[(3)由题意,得 - 15x +3
0 = - 10x +25 解得 x = 1∴当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡的高度相等。观察图象可知，当0≤ x <1时，甲
蜡烛比乙蜡烛高；当1〈 x〈 2.5 时, 甲蜡烛比乙蜡烛低.待定系数法例4：已知直线m与直线y = 2x+1的交点的横坐标为2，
与直线y= - x+2的交点的纵坐标为1，求直线m的函数关系式.解：由题意知：当x=2时,y=5 ; 当y=1时,x=1 所以
直线m过点(2，5)，(1，1)设直线m的解析式为y = kx + b ,把点(2，5)，(1，1)代入，得 所以直线m的解析式为
y = 4x – 3数学建模思想例5： A市和B市分别有某种库存机器12台和6台.现决定支援C村10台,D村8台,已知从A市调运
一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元,从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元. (1)设B市运
往C村机器x台,求总运费W(元)关于x的函数关系式;(2)若要求总运费不超过9000元,共有几种调运方案;(3)求出总运费最低的调
运方案,最低运费是多少?解：(1)由题意得：W = 300x + 500(6-x) + 400(10-x) + 800[8-(6-
x)]=200x + 8600(0≤x≤6的整数)∴W与x的函数关系式是W = 200x + 8600(0≤x≤6的整数)(2)由
W = 200x + 8600≤9000 得 x≤2又因为x必须是自然数，所以x可以取0，1，2这三个数，即共有三种调运方案(3
)∵W = 200x + 8600是一次函数，且k=200>0，W随x的增大而增大，所以当x取最小值时，W最小。即当x=0时，W最
小 = 200 × 0 + 8600 = 8600(元)所以从A市运往C村10台机器，运往D村2台；从B市运往D村6台时总运费最低，最低运费是8600元 |
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