4 应用二元一次方程组——增收节支
1．列方程组解答生活中的增收节支问题
在生活中，我们时刻都在与经济打交道，经常面临利润问题、利息问题等．解决这类问题，应熟记一些基本公式：
(1)增长率问题：
增长率＝×100%.
计划量×(1＋增长率)＝增长后的量；
计划量×(1－减少率)＝减少后的量．
(2)经济类问题：
利息＝本金×利率×期数；
本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数；
商品的利润＝商品的售价－商品的进价；
商品的利润率＝×100%.
【例1】 某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？
分析：可列下表(去年总产值x万元，总支出y万元)：
总产值 总支出 差 去年 x y 500 今年 (1＋15%)x (1－10%)y 950 题中有两个相等关系：(1)去年的总产值－去年的总支出＝500万元；(2)今年的总产值－今年的总支出＝950万元．
解：设去年的总产值是x万元，去年的总支出是y万元，由题意，得
解得
所以(1＋15%)x＝2 300，(1－10%)y＝1 350.
所以今年的总产值是2 300万元，总支出是1 350万元．
分析表格中数字含义找等量关系
先认真审题，找出问题中的已知量和未知量．再借助于表格分析具体问题中蕴涵的数量关系，问题中的相等关系就会清晰地浮现出来．
2．列方程组解答行程问题、水路问题、工程问题
在我们的生活中，经常面临行程问题、水路问题、工程问题．解决这类问题，应熟记一些基本公式：(1)行程问题的基本数量关系：路程＝速度×时间．(2)水路问题的基本数量关系：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度．(3)工程问题的基本数量关系：工作量＝工作效率×工作时间．
【例2－1】 A市至B市航线长1 200 km，一架飞机从A市顺风向飞往B市需2小时30分，从B市逆风向飞往A市需3小时20分．求飞机的速度与风速．
分析：本题中明显的未知数有两个，即：飞机的速度与风速．除此之外，还有两个隐藏的未知数，即：顺风速度与逆风速度．所以我们可以通过设直接未知数和间接未知数，列出二元一次方程组求解．
解：设飞机速度为x km/h，风速为y km/h，根据路程＝速度×时间列出方程组：解得
所以飞机的速度为420 km/h，风速为60 km/h.
【例2－2】 某地为了尽快排除堰塞湖险情，决定在堵塞体表面开挖一条泄流槽，经计算需挖出土石方13.4万立方米，开挖2天后，为了加快施工进度，又增调了大量的人员和设备，每天挖的土石方比原来的2倍还多1万立方米，结果共用5天完成任务，比计划时间大大提前．
根据以上信息，求原计划每天挖土石方多少万立方米？增调人员和设备后每天挖土石方多少万立方米？
分析：抓住关键语句：开挖2天和增调人员后所干的3天里，一共挖出土石方13.4万立方米；每天挖的土石方比原来的2倍还多1万立方米来构建数学模型．
解：设原计划每天挖土石方x万立方米，增调人员和设备后每天挖y万立方米，
依据题意，可列出方程组：
解得
所以原计划每天挖土石方1.3万立方米，增调人员和设备后每天挖3.6万立方米．
3．配套问题中的相等关系
在实际问题中，大家常见到一些配套组合问题，如螺钉与螺母的配套，盒身与盒底的配套等．解决这类问题的方法是抓住配套关系，设出未知数，根据配套关系列出方程组，通过解方程组解决问题．
产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系．常见的题型有：(1)配套与人员分配问题．(2)配套与物质分配问题．
配套问题
配套问题的背景虽然不同，但解决问题的方法是一样的，需要抓住配套问题的关键语句进行配套．【例3】 某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1 200个或螺母2 000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
分析：本题的配套关系是：一个螺钉配两个螺母，即螺钉数螺母数＝12.
解：设分配x名工人生产螺钉，y名工人生产螺母，则一天生产的螺钉数为1 200x个，生产的螺母数为2 000y个．
根据题意，得
整理得
解得
所以为了使每天生产的产品刚好配套，应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母．
4．注意及时避免一些常见的错误
二元一次方程组是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，其应用即能够将实际问题转化为数学模型，列出二元一次方程组，最终求得符合实际的解．而在具体求解时，不少同学由于审题不清等问题，总会出现这样那样的错误，这就要求我们认真地审题，及时地找出题目中的等量关系．
如果两车相向而行，则其相对速度为速度之和，如果两车同向而行，则其相对速度为速度之差，这一点很多同学是不会理解错的，问题是在相对移动的过程中，移动的距离应为两车的长度之和，不少同学往往忽略这一点而造成错解．【例4】 一列快车长168 m，一列慢车长184 m，如果两车相向而行，从相遇到离开需4 s，如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16 s，求两车的速度．
分析：两车相向而行，其相对速度为两车的速度之和，两车同向而行，其相对速度为两车的速度之差，这样设快车速度为x m/s，慢车速度为y m/s，即可利用方程组求解．
解：设快车速度为x m/s，慢车速度为y m/s.
由题意，得
即
也即
解得
因此快车的速度为55 m/s，慢车的速度为33 m/s.
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