《第5章 二元一次方程组》
一、选择题
1．下列各对数值中是方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二元一次方程组，方程（1）减去（2），得（ ）
A．2y=﹣36 B．2y=﹣2 C．12y=﹣2 D．12y=﹣36
3．以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是方程2x﹣ay=3的一个解，那么a的值是（ ）
A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1
5．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（ ）
A．±2 B． C．2 D．4
6．楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元．小明买20张门票共花了1225元，设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．关于x、y的方程组的解是，则|m﹣n|的值是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
8．如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（ ）
A．10g，40g B．15g，35g C．20g，30g D．30g，20g
二、填空题
9．请写出一个二元一次方程组 ，使它的解是．
10．以方程组的解为坐标的点（x，y）在第 象限．
11．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了 张．
12．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒的总价为 元．
13．方程组的解是 ．
14．如图，点A的坐标可以看成是方程组 的解．
15．已知一次函数的图象过点（3，5）与（﹣4，﹣9），则该函数的图象与y轴交点的坐标为 ．
16．若直线y=ax+7经过一次函数y=4﹣3x和y=2x﹣1的交点，则a的值是 ．
三、解方程组
17．（1）
（2）
（3）
（4）．
四、解答题
18．列方程和方程组解应用题：
某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元，求购买了甲、乙两种票各多少张？
19．“小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 12：00 13：00 14：30 碑上的数 是一个两位数，数字之和为6 十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了 比12：00时看到的两位数中间多了个0 则12：00时看到的两位数是多少？
20．古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：；乙：
根据甲、乙两名问学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：
甲：x表示 ，y表示 ；
乙：x表示 ，y表示 ．
（2）求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程）
21．在长为10m，宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．
22．某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．
（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
《第5章 二元一次方程组》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列各对数值中是方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】此题根据方程组的解的定义，运用代入排除法即可作出选择．
【解答】解：把四个选项的答案分别代入方程组，发现只有B中的答案适合两个方程．
故选B．
【点评】本题主要考查了方程组的解的定义．
2．已知二元一次方程组，方程（1）减去（2），得（ ）
A．2y=﹣36 B．2y=﹣2 C．12y=﹣2 D．12y=﹣36
【考点】解二元一次方程组；等式的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据等式的性质，方程的两边相减即可求出答案．
【解答】解：（1）﹣（2）得：（4x+7y）﹣（4x﹣5y）=﹣19﹣17，
即12y=﹣36，
故选D．
【点评】本题考查了等式的性质，解二元一次方程组的运用，能正确地根据等式的性质进行计算是解此题的关键．
3．以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．
在求解时，可以将代入方程．同时满足的就是答案．
【解答】解：将代入各个方程组，
可知刚好满足条件．
所以答案是．
故选：C．
【点评】本题不难，只要利用反向思维就可以了．
4．已知是方程2x﹣ay=3的一个解，那么a的值是（ ）
A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1
【考点】二元一次方程的解．
【分析】把x、y的值代入方程即可求出a的值．
【解答】解：把代入，得
2+a=3，
解得a=1．
故选A．
【点评】本题主要用到了代入法．
5．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（ ）
A．±2 B． C．2 D．4
【考点】二元一次方程组的解；算术平方根．
【分析】由是二元一次方程组的解，根据二元一次方程根的定义，可得，即可求得m与n的值，继而求得2m﹣n的算术平方根．
【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
解得：，
∴2m﹣n=4，
∴2m﹣n的算术平方根为2．
故选C．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义．此题难度不大，注意理解方程组的解的定义．
6．楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元．小明买20张门票共花了1225元，设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】根据“小明买20张门票”可得方程：x+y=20；根据“成人票每张70元，儿童票每张35元，共花了1225元”可得方程：70x+35y=1225，把两个方程组合即可．
【解答】解：设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意得，
，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
7．关于x、y的方程组的解是，则|m﹣n|的值是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】常规题型．
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵方程组的解是，
∴，
解得，
所以，|m﹣n|=|2﹣3|=1．
故选D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出m、n的值是解题的关键．
8．如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（ ）
A．10g，40g B．15g，35g C．20g，30g D．30g，20g
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】根据图可得：3块巧克力的重=2个果冻的重；1块巧克力的重+1个果冻的重=50克，由此可设出未知数，列出方程组．
【解答】解：设每块巧克力的重x克，每个果冻的重y克，由题意得：
，
解得：．
故选C．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的相等关系，列出方程组．
二、填空题
9．请写出一个二元一次方程组 此题答案不唯一，如： ，使它的解是．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】开放型．
【分析】根据二元一次方程解的定义，可知在求解时，应先围绕x=2，y=﹣1列一组算式，然后用x，y代换即可列不同的方程组．答案不唯一，符合题意即可．
【解答】解：此题答案不唯一，如：，
，
①+②得：2x=4，
解得：x=2，
将x=2代入①得：y=﹣1，
∴一个二元一次方程组的解为：．
故答案为：此题答案不唯一，如：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义．此题属于开放题，注意正确理解定义是解题的关键．
10．以方程组的解为坐标的点（x，y）在第 一 象限．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【分析】此题中两方程未知数的系数较小，且对应的未知数的系数相等或互为相反数，所以可先用加减消元法再用代入消元法求出方程组的解．
【解答】解：，
①+②得，2y=3，
∴y=，
把y=代入①得， =x+1，
∴x=，
∵0，＞0，
根据各象限内点的坐标特点可知，
∴点（x，y）在平面直角坐标系中的第一象限．
故答案为：一．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法，及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，需同学们熟练掌握．
11．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了 20 张．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】应用题．
【分析】设购买甲电影票x张，乙电影票y张，则根据总共买票40张，花了700元可得出方程组，解出即可得出答案．
【解答】解：设购买甲电影票x张，乙电影票y张，
由题意得，，
解得：，即甲电影票买了20张．
故答案为：20．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，属于基础题，解答本题的关键是根据题意等量关系得出方程组．
12．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒的总价为 440 元．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】首先设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由图中信息可知等量关系有：买了一束花+2个礼盒，花了143元；②买了2束花+1个礼盒，花了121元，根据等量关系列出方程组，解可得1束鲜花多少元，买1个礼盒花花多少元，再求出买5束鲜花和5个礼盒的总价即可．
【解答】解：设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由题意得：
，
解得：，
5×33+5×55=440（元），
故答案为：440．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂图中的信息，根据图给出的条件，找出等量关系，列出方程组．
13．方程组的解是 ．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】两式相加可化去y，再将x的值代入x﹣3y=8，解得即可．
【解答】解：，
用①+②得：3x=15，
即x=5，
把x=5代入②得：5﹣3y=8，
解得：y=﹣1，
∴方程组的解为．
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，用加减法和代入法解得即可．
14．如图，点A的坐标可以看成是方程组 的解．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】计算题．
【分析】先利用待定系数法分别求出两直线的解析式，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案．
【解答】解：设过点（0，5）和点（2，3）的解析式为y=kx+b，则，解得，所以该一次函数解析式为y=﹣x+5；
设过点（0，﹣1）和点（2，3）的解析式为y=mx+n，则，解得，所以该一次函数解析式为y=2x﹣1，
所以点A的坐标可以看成是方程组解．
故答案为．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．也考查了待定系数法求次函数解析式．
15．已知一次函数的图象过点（3，5）与（﹣4，﹣9），则该函数的图象与y轴交点的坐标为 （0，﹣1） ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【专题】待定系数法．
【分析】一次函数的图象过点（3，5）与（﹣4，﹣9），用待定系数法可求出函数关系式，再求出该函数的图象与y轴交点的坐标．
【解答】解：因为一次函数的图象过点（3，5）与（﹣4，﹣9），
设一次函数的解析式为y=kx+b，
所以，解得：，
所以一次函数的解析式为y=2x﹣1，
当x=0时，y=﹣1，
所以该函数的图象与y轴交点的坐标为（0，﹣1）．
【点评】本题难度中等，考查一次函数的知识．本题用待定系数法可求出函数关系式．
16．若直线y=ax+7经过一次函数y=4﹣3x和y=2x﹣1的交点，则a的值是 ﹣6 ．
【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式．
【分析】首先联立解方程组，求得直线y=4﹣3x和y=2x﹣1的交点，再进一步代入y=ax+7中求解．
【解答】解：根据题意，得
4﹣3x=2x﹣1，
解得x=1，
∴y=1．
把（1，1）代入y=ax+7，
得a+7=1，
解得a=﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】此题考查了两条直线的交点的求法，即联立解方程组求解即可．
三、解方程组
17．（1）
（2）
（3）
（4）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题．
【分析】（1）先把方程组整理为，再利用加减消元法求出y，然后利用代入法求出x；
（2）先利用加减消元法求出y，然后利用代入法求出x；
（3）先利用①﹣②×4求出y，然后利用代入法求出x；
（4）先利用加减消元法求出x，然后利用代入法求出y．
【解答】解：（1）方程组整理为，
②﹣①得y+2y=3，
解得y=1，
把y=1代入②得x+1=2，
解得x=1．
所以方程组的解为；
（2），
①+②得x+2x=9，
解得x=3，
把x=3代入①得3+y=6，
解得y=3，
所以方程组的解为；
（3），
①﹣②×4得3y+8y=﹣11，
解得y=﹣1，
把y=﹣1代入②得x+2=4，
解得x=2，
所以方程组的解为；
（4），
①+②得x+3x=14，
解得x=，
把x=代入①+2y=9，
解得y=，
所以方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把二元一次方程组的问题转化为一元一次方程的问题进行解决．
四、解答题
18．列方程和方程组解应用题：
某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元，求购买了甲、乙两种票各多少张？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】应用题．
【分析】设购买了甲种票x张，乙种票y张，根据共有40名同学和购买甲、乙两种票共用去370元可列方程组求解．
【解答】解：设购买了甲种票x张，乙种票y张，（1分）
根据题意，得
解得（4分）
答：购买了甲种票25张，乙种票15张．（5分）
【点评】本题考查理解题意能力，关键是设出未知数，然后根据共有40名同学和购买甲、乙两种票共用去370元可列方程组求解．
19． “小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 12：00 13：00 14：30 碑上的数 是一个两位数，数字之和为6 十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了 比12：00时看到的两位数中间多了个0 则12：00时看到的两位数是多少？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据两位数之和为6可列一个方程，再根据匀速行驶，12～13时行驶的里程数等于13～14：30时行驶的里程数除以1.5列出第二个方程，解方程组即可．
【解答】解：设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x+y；
则13时看到的两位数为x+10y，12～13时行驶的里程数为：（10y+x）﹣（10x+y）；
则14：30时看到的数为100x+y，13时～14：30时行驶的里程数为：（100x+y）﹣（10y+x）；
由题意列方程组得：
，
解得：，
所以12：00时看到的两位数是15．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．
20．古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：；乙：
根据甲、乙两名问学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：
甲：x表示 A工程队用的时间 ，y表示 B工程队用的时间 ；
乙：x表示 A工程队整治河道的米数 ，y表示 B工程队整治河道的米数 ．
（2）求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程）
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间=20天，A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数=180，由此进行解答即可；
（2）选择其中一个方程组解答解决问题．
【解答】解：（1）甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为；
乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，由此列出的方程组为；
故答案依次为：20，180，180，20，A工程队用的时间，B工程队用的时间，A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数；
（2）选甲同学所列方程组解答如下：
，
②﹣①×8得4x=20，
解得x=5，
把x=5代入①得y=15，
所以方程组的解为，
A工程队整治河道的米数为：12x=60，
B工程队整治河道的米数为：8y=120；
答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．
【点评】此题主要考查利用基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间=20天，A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数=180，运用不同设法列出不同的方程组解决实际问题．
21．在长为10m，宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】压轴题．
【分析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=10m，小矩形的2个宽+一个长=8m，设出长和宽，列出方程组即可得答案．
【解答】解：设小矩形的长为xm，宽为ym，由题意得：
，
解得：．
答：小矩形的长为4m，宽为2m．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，做题的关键是：弄懂题意，找出等量关系，列出方程组．
22．某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．
（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】方程思想．
【分析】（1）设甲、乙班组平均每天掘进x米，y米，根据已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米两个关系列方程组求解．
（2）由（1）和在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米分别求出按原来进度和现在进度的天数，即求出少用天数．
【解答】解：（1）设甲、乙班组平均每天掘进x米，y米，
得，
解得．
∴甲班组平均每天掘进4.8米，乙班组平均每天掘进4.2米．
（2）设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需a天，b天完成任务，则
a=（1755﹣45）÷（4.8+4.2）=190（天）
b=（1755﹣45）÷（4.8+0.2+4.2+0.3）=180（天）
∴a﹣b=10（天）
∴少用10天完成任务．
【点评】此题考查的知识点是二元一次方程组的应用，解题的关键是根据已知找出相等关系列方程组求解，然后由已知和所求原来进度求出少用天数
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