透视有理数中的数学思想
思想方法是数学的灵魂，正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键，本文将带你走入有理数中的思想园地，不要错过哦！
一、数形结合思想
数无形，少直观，形无数，难入微。利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简。
用数轴上的点表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现。用数轴上的点表示有理数，对于理解有理数的绝对值、相反数等概念以及有理数大小的比较等，更具有直观性。
例如，已知＜＜0，试比较，，，的大小。
对于用字母表示的有理数进行大小比较，借助数轴就直观多了。根据题意，
将，，－，－在数轴上表示如图所示：
由于数轴上右边的数总比左边的数大，所以.
二、转化思想
所谓转化思想，就是将所要解决的问题转化为另一个较容易解决的问题或已经解决的问题。具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”问题转化为“简单”问题。
有理数的各种运算是先确定符号再计算绝对值，而符号确定以后，绝对值的计算就是小学已经学过的问题。例如：计算－2+3= ＋（3－2）；（－3）×2×（－4）×（）= －（3×2×4×）。这里“3－2”和“3×2×4×”就是小学学过的减法和乘法运算。
再比如，有理数的减法运算可转化为加法运算，除法运算可转化为乘法运算。这就是说，有理数运算的关键是熟练掌握运算法则，准确的确定符号，有理数运算的实质是运用法则将其转化为小学学过的加、减、乘、除运算。
三、分类讨论思想
当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为分类讨论思想。
本章在研究相反数、绝对值、有理数乘方运算的符号法则时，都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的。分类必须遵循两条规则：（1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）不重复、不遗漏。
例如，如果均为整数，且满足，＝3，求的值。
在这个问题中，因为，＝3，根据绝对值的定义，有两个值±5，也有两个值±3，但时，可以是±3，同理时，也可以是±3，所以共有四种情况。
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，。
有理数中的数学思想
在进行有理数运算时，运用数学思想方法解题，可起到事半功倍之效果，它对我们今后数学知识的创新运用、激活思维有着巨大的启迪作用．现举例说明有理数中包含的数学思想．
一.转化思想
转化思想，就是将所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题．[来源:中国教^&育%#出版网]
例1 计算-81÷2÷（-16）×.
分析：此题我们先定符号再把除法转化为乘法，这样就把有理数的乘、除法转化为小学学过的内容了.
解：原式=81÷÷16×==1.
二.分类思想[来@~源:中%国教育出版#网]
当我们研究的问题包含多种可能情况时，必须按可能出现的所有情况分别讨论，得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法就是分类思想．
例2. 若=4，=5，则的值等于（ ）
(A)9． (B)1． (C)． (D)9或1．
分析：根据绝对值的性质可知：a=土4，b=5，则a+b可分四种情况．a+b=4+5=9，a+b=-4-5=-9,a+b=-4+5=1．a+b=4-5=-1.
所以，=9，=1.
解：选D．
例3.比较3a和-3a的大小.
分析：注意a有大于0，等于0，小于0三种情况.
解：当a＞0时，3a＞-3a.
当a=0时，3a=-3a.
当a＜0时，3a＜-3a.
三.数形结合思想
有理数是“数”，数轴及数轴上的点是“形”，用数轴上的点表示有理数的形，是数形结合思想的体现.
例4.已知x是整数，且3≤<5，则x= ．
分析：首先在数轴上找到符合条件的所有有理数的范围，再从其中选出整数，如图1所示，阴影部分就是绝对值小于5又不小于3的所有有理数的范围，再从中选出整数就是本题的答案．
解：应填：.
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