4 角的比较
1．角的大小比较
(1)度量法：先用量角器测量出各角的度数，再按照角的度数比较大小，从而确定两个角的大小关系．
(2)叠合法：两个角比较大小时，把两个角的顶点和一条边分别重合，另一条边放在重合边的同侧，根据另一条边的位置确定角的大小．
如比较∠ABC和∠DEF的大小，可把∠DEF移到∠ABC上，使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合，一边ED和BA重合，另一边EF和BC落在BA的同一侧．
①如果EF和BC重合(如图1)，那么∠DEF等于∠ABC，记作∠DEF＝∠ABC；
②如果EF落在∠ABC的外部(如图2)，那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC；
③如果EF落在∠ABC的内部(如图3)，那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.
【例1】 如图，求解下列问题：
(1)比较∠COD和∠COE的大小；
(2)借助三角尺，比较∠EOD和∠COD的大小；
(3)用量角器度量，比较∠BOC和∠COD的大小．
分析：(1)可用叠合法比较．∠COD和∠COE有一条公共边OC，而OD在∠COE的内部，故∠COD小；(2)我们要选择三角尺的一个角来估算这两个角的度数，就可以达到比较的目的；(3)通过度量容易得出结论．
解：(1)由图可以看出，∠COD<∠COE.
(2)用三角尺中30°的角分别和这两个角比较，可以发现∠EOD＜30°，∠COD＞30°，所以∠EOD＜∠COD.
(3)通过度量可知：∠BOC＝46°，∠COD＝44°，所以，∠BOC>∠COD.
2．角的平分线
(1)定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个
角的平分线．
①角平分线是以角的顶点为端点的特殊射线，它在角的内部；②角平分线把角分成两个相等的角．
(2)角平分线的表示：
①OC是∠AOB的平分线；②∠AOC＝∠COB＝∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB.
(3)作角平分线的方法：
①利用量角器量出角的度数，取角的度数的一半并画出射线；②折叠：把已知角的两边重合后再折叠，可得已知角的平分线．
【例2】 如图，已知∠AOC＝80°，∠BOC＝50°，OD平分∠BOC，求∠AOD.
分析：由图可知∠AOD＝∠AOC＋∠DOC，所以只要求出∠DOC即可．
解：因为OD平分∠BOC，
所以∠DOC＝∠BOC.
又因为∠BOC＝50°，
所以∠DOC＝×50°＝25°.
所以∠AOD＝∠AOC＋∠DOC＝80°＋25°＝105°.
3．角平分线及角的和、差计算
(1)角的和、差的意义
如图，①和：∠AOB＝∠1＋∠2；
②差：∠1＝∠AOB－∠2，∠2＝∠AOB－∠1.
(2)角平分线及角的和、差计算
与角有关的计算，是本节的重点，也是易错点．
解决这类问题，关键是根据角平分线得到相等的角，或求出一个较大的角，借助于某一个中间的角，把未知量转化为已知量．
(3)三角板中角的和与差
一副三角板有两块，一块含30°角，60°角，90°角；一块含45°角，45°角，90°角．
借助于三角板，即可以画出上面的角．
利用三角板和角的和、差，还可以得到以下度数的角：15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°.
【例3－1】 已知∠AOB＝30°，∠BOC＝20°，则∠AOC的角度是__________．
错解：50°
错解分析：误以为∠AOC只是∠AOB与∠BOC的和，即∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝30°＋20°＝50°.
正解：10°或50°
正解思路：如图，①∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝30°＋20°＝50°；
②∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝30°－20°＝10°.
【例3－2】 如图，AOC为一直线，OD是∠AOB的平分线，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝72°，求∠EOC的度数．
分析：本题中角之间的关系较复杂，直接求解有困难，可以通过设未知数、列方程的方法求解．设∠AOB＝x°，因为OD是∠AOB的平分线，所以∠BOD＝°；观察图形知，∠AOB和∠BOC互为补角，所以∠BOC＝(180－x)°；又因为∠BOE＝∠EOC，所以∠BOE＝∠BOC＝°；然后根据∠DOE＝∠BOD＋∠BOE＝72°可列出方程＋＝72，解方程求出x的值后，再根据∠EOC＝(180－x)°求出∠EOC的度数．
解：设∠AOB＝x°，则∠BOD＝°，∠BOC＝(180－x)°，∠BOE＝°，
由∠DOE＝72°可得＋＝72.
解这个方程，得x＝72.
∴∠EOC＝(180－x)°＝72°.
4．角的分类
(1)角的分类：
根据角的度数，常常把大于0°而小于180°的角分为锐角、直角、钝角三类．
(2)各种角的规定：
锐角：大于0°且小于90°的角．
直角：等于90°的角．
钝角：大于90°且小于180°的角．
平角：等于180°的角．
周角：等于360°的角．
(3)角之间的关系：
锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角．
1平角＝2直角＝180°；
1周角＝2平角＝4直角＝360°.
若没有特别说明，我们平常所说的角是指小于平角的角．
【例4】 如图，解答下列问题：
(1)比较图中∠AOB，∠AOC，∠AOD的大小；
(2)找出图中的直角、锐角和钝角．
分析：(1)角的大小可以观察得出；(2)根据各类角的特征观察得出．
解：(1)∠AOD＞∠AOC＞∠AOB；
(2)直角有∠AOC，锐角有∠AOB，∠BOC，∠COD，钝角有∠AOD，∠BOD.
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