2021考研数学三真题及答案
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）
2
(1)当 x ? 0 时， ?0 (e
?1)dt 是 x7 的
(A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小.
【答案】C.
? x2 t 3 ??
x6 7
x2 t 3 7
【详解】因为当 x ? 0 时， ???0 (e ?1)dt??
确答案为 C.
? 2x(e
?1) ? x
，所以?0 (e ?1)dt 是 x 高阶无穷小，正
? ex ? 1
(2)函数 f (x)= ? x , x ? 0 ,在 x ? 0 处
?? 1, x ? 0
(A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值.
(C)可导且导数为 0. (D)可导且导数不为 0.
【答案】D.
【详解】因为lim f (x)= lim
ex ? 1
?1 ? f (0) ，故 f (x) 在 x ? 0 处连续；
x?0
x?0 x
f (x) ? f (0)
ex ? 1
1
x
e x ?1 ? x 1 ??1
因为lim = lim
?lim
? ，故 f (0) ? ，正确答案为 D.
x?0
x ? 0
x?0
x ? 0
x?0 x 2 2 2
(3)设函数 f (x) ? ax ? b ln x (a ? 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是
a
(A) (e, ??) . (B) (0, e) . (C) (0, 1 ) . (D) ( 1 , ??) .
e e
【答案】A.
【详解】令 f (x) ? ax ? b ln x ? 0 ， f ?(x) ? a ? b ，令 f ?(x) ? 0 有驻点 x ? b ， f ? b ? ? a ? b ? b ? ln b ? 0 ，
x
从而ln b ? 1，可得 b ? e ，正确答案为 A.
? ?
a ? ? a a
a a
(4)设函数 f (x, y) 可微， f (x 1, ex ) ? x(x ?1) 2 ， f (x, x2 ) 2x2 ln x ， df (1,1) ?
dx ? dy . (B) dx ? dy . (C) dy . (D) ?dy .
【答案】C.
【详解】 f ?(x ?1, ex ) ? ex f ?(x ?1, ex ) ? (x ?1) 2 ? 2x(x ?1) ①
f ?(x, x2 ) ? 2xf ?(x, x2 ) ? 4x ln x ? 2x ②
?x ? 0 ?x ? 1
分别将? y ? 0 ， ? y ? 1 带入①②式有
? ?
f1?(1,1) ? f2?(1,1) ? 1 ， f1?(1,1) ? 2 f2?(1,1) ? 2
联立可得 f1?(1,1) ? 0 ， f2?(1,1) ? 1 ， df (1,1) ? f1?(1,1)dx ? f2?(1,1)dy ? dy ，故正确答案为 C.
二次型 f (x , x , x ) ? (x ? x )2 ? (x ? x )2 ? (x ? x )2 的正惯性指数与负惯性指数依次为
1 2 3 1 2 2 3 3 1
(A) 2, 0 . (B)1,1 . (C) 2,1 . (D)1, 2 .
【答案】B.
【详解】 f (x , x , x ) ? (x ? x )2 ? (x ? x )2 ? (x ? x )2 ? 2x 2 ? 2x x ? 2x x ? 2x x
1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 3
? 0 1 1 ?
所以 A ? ? 1 2 1 ? ，故特征多项式为
? 1 1 0 ?
? ?1
| ?E ? A |? ?1 ?2
?1 ?1
?1
?1 ? (??1)(?? 3)?
?
令上式等于零，故特征值为?1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.
??T ? ?1?
? 1 ? ? ?
设 A ? (?,? ,?,? ) 为 4 阶正交矩阵，若矩阵 B = ?T ， ?? 1 ， k 表示任意常数，
1 2 3 4
? 2 ? ? ?
??T ? ?1?
? 3 ? ? ?
则线性方程组 Bx ? ?的通解 x ?
(A)?2 ??3 ??4 ? k?1 . (B)?1 ??3 ??4 ? k?2 .
(C)?1 ??2 ??4 ? k?3 . (D)?1 ??2 ??3 ? k?4 .
【答案】D.
【解析】因为 A ? (?1,?2 ,?3 ,?4 ) 为 4 阶正交矩阵，所以向量组?1 ,?2 ,?3 ,?4 是一组标准正交向量
??T ?
? 1 ?
组， 则 r(B) ? 3 ， 又 B? = ? T ? ? 0 ， 所以齐次线性方程组 Bx ? 0 的通解为 k? . 而
4 ? 2 ? 4 4
??T ?
? 3 ?
??T ? ?1?
? 1 ? ? ?
B(? ?? ?? ) = ? T (? ?? ?? ) ? 1
? ? ， 故 线 性 方 程 组
Bx ? ?
的 通 解
1 2 3 ? 2 ? 1 2 3 ? ?
??T ?
?1?
? 3 ? ? ?
x ? ?1 ??2 ??3 ? k?4 ，其中 k 为任意常数.故应选 D.
? 1 0 ?1?
已知矩阵 A ? ? 2 ?1 1 ? ，若下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵Q ，使 PAQ 为对角
? ?
? ?1 2 ?5?
? ?
矩阵，则 P ， Q 可以分别取
? 1 0 0 ?
? 1 0 1?
? 1 0 0 ?
? 1 0 0 ?
(A) ? 0 1 0 ? ， ? 0 1 3? . (B) ? 2 ?1 0 ? ， ? 0 1 0 ? .
? ?
? 0 0 1 ?
? ?
? 0 0 1?
? ?
? ?3 2 1 ?
? ?
? 0 0 1 ?
? 1 0 0 ?
? 1 0 1?
? 1 0 0 ?
? 1 2
?3?
(C) ? 2 ?1 0 ? ， ? 0 1 3? . (D) ? 0 1 0 ? ， ? 0
?1 2 ? .
? ?
? ?3 2 1 ?
【答案】C.
【解析】
? ?
? 0 0 1?
? ?
? 1 3 1 ?
? ?
? 0 0 1 ?
? 1 0 ?1 1 0 0 ? ? 1 0
?1 1 0 0 ? ? 1 0
?1 1 0 0 ?
( A, E) ? ? 2 ?1 1 0 1 0 ? ? ? 0 ?1 3 ?2 1 0 ? ? ? 0 1 ?3 2 ?1 0 ?
? ? ? ? ? ?
? ?1 2 ?5 0 0 1 ? ? 0 2 ?6 1 0 1 ? ? 0 0 0 ?3 2 1 ?
? ? ? ? ? ?
? 1 0 0 ?
? (F , P) ,则 P ? ? 2 ?1 0 ? ;
? 1 0
? 0 1
? ?
? ?3 2 1 ?
?1? ? 1 0 0 ?
?3? ? 0 1 0 ?
? ? ? ?
? 1 0 1?
? F ?? 0 0 0 ? ? ? 0 0 0 ? ? ? Λ? ，则Q ? ? 0 1 3? .故应选 C.
? E ?? 1 0 0 ? ? 1 0 1 ? ? ?
? 0 1 0 ? ? 0 1 3?
? 0 0 1 ? ? 0 0 1 ?
? ?
? 0 0 1?
设 A ， B 为随机事件，且0 ? P(B) ? 1，下列命题中不成立的是
若 P( A | B) ? P( A) ，则 P( A | B) ? P( A) .
若 P( A | B) ? P( A) ，则 P( A | B) ? P( A)
若 P( A | B) ? P( A | B) ，则 P( A | B) ? P( A) .
若 P( A | A ? B) ? P( A | A ? B) ，则 P( A) ? P(B) .
【答案】D.
P( A( A ? B))
【详解】 P( A | A ? B)
P( A ? B)
P( A)
P( A) ? P(B) ? P( AB)
P( A | A ? B) ? P( A( A ? B)) ?
P( A ? B)
P( AB) ?
P( A ? B)
P(B) ?P( AB)
P( A) ? P(B) ? P( AB)
因为 P( A | A ? B) ? P( A | A ? B) ，固有 P( A) ? P(B) ? P( AB) ，故正确答案为 D.
(9)设( X ,Y ) ，( X
,Y ) ，?，( X
,Y ) 为来自总体 N (?,?;?2 ,? 2;?) 的简单随机样本，令
1 1 2 2 n n
1 n 1 n ?
1 2 1 2
?? ?1 ? ?2 ， X ? n ? X i ， Y ? n ?Yi ，?? X ? Y 则
i?1 i?1
?2 ?? 2
(A) E(??) ??， D(??) ? 1 2 .
n
?2 ?? 2 ? 2???
(B) E(?) ??， D(?) ? .
n
2 2
(C) E(??) ??， D(??) ? 1 2 .
n
?2 ?? 2 ? 2???
(D) E(?) ??， D(?) ? .
n
【答案】 B
【详解】因为 X ,Y 是二维正态分布，所以 X 与Y 也服从二维正态分布，则 X ? Y 也服从二维正态分布，即 E(??) ? E( X ? Y ) ? E( X ) ? E(Y ) ? ?1 ? ?2 ??，
? ?2 ?? 2 ? 2???
D( ?) ? D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ? cov( X ,Y ) ? 1 2 1 2 ，故正确答案为 B.
n
1?? 1??
设总体 X 的概率分布为 P{X ? 1} ? ， P{X ? 2} ? P{X ? 3} ? ，利用来自总体
2 4
的样本值 1，3，2，2，1，3，1，2，可得?的最大似然估计值为
1 .
3
.
(C) 1 . (D) 5 .
4 8 2 2
【答案】 A .
【详解】似然函数 L(?) ? (1?? 3 1?? 5 ，
2 4
1?? 1??
取对数ln L(?) ? 3ln( ) ? 5 ln( ) ；
2 4
d ln L(?) 3 5 1
求导 ? ? ? 0 ，得?? .故正确答案为 A.
d? 1?? 1???4
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.）
若 y ? cos e? x ，则 ? .
sin 1
【答案】 e .
2e
x?1
sin 1
【详解】 dy ? ?sin e? x (e? x ? 1 )
dx
x ?1 ? e .
2e
(12) ? 5
【答案】6 .
x dx ? .
x2 ? 9
3 x 5 x
?1 3
d (9 ? x 2 ) 1
5 d (x 2 ? 9)
【详解】 ? 5
dx ?
9 ? x
dx ?
x2 ? 9
2 ? 5
9 ? x2
? 2 ?3
? 6 .
设平面区域 D 由曲线 y ?
体积为 .
【答案】?.
4
x ? sin?x (0 ? x ? 1) 与 x 轴围成，则 D 绕 x 轴旋转所成旋转体的
1 ? ?
【详解】V ? ?? ( x sin?x)2 dx ? ?? x sin 2 ?xdx ? ?x ? t 1 sin 2 tdt ? .
0 0 2 0 4
差分方程 ?yt ? t 的通解为 .
【答案】 y ? y? ? y ? 1 t 2 ? 1 t ? C ， C 为任意常数.
2 2
【详解】 y ? C , y? ? 1 (at +b) ， (t ? 1)(a(t ? 1) ? b) ? t(at ? 1) ? t ， 2at ? a ? b ? t ， a ? 1 , b ? ? 1 ，
2
y ? y? ? y ? 1 t 2 ? 1 t ? C , C 为任意常数.
2 2
多项式 f (x) ?
2 2
中 x3 项的系数为 .
【答案】-5.
【详解】
x x
1 2x
x 2 ?1 1 2
?1 1
x ?1 1 x 2
1 x 2 ?1
f (x) ? ? x 1
x 1 ? x 2 x
1 ? 2 1 1
? 2x 2 1 x
2 1 x 1
?1 1 x
2 1 x
3 ?1 x
2 ?1 1
2 ?1 1 x
所以展开式中含 x3 项的有?x3 , ?4x3 ，即 x3 项的系数为-5.
甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中， 再从乙盒中任取一球.令 X , Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与Y 的相关系数
.
1
【答案】 .
5
? (0, 0) (0,1) (1, 0) (1,1) ?
? 0 1 ?
? 0 1 ?
【解答】联合分布率( X ,Y ) ? ?
3 1 1 3
? , X ? ? 1 1 ? Y ? ? 1 1 ?
? ? ? ?
???
? ?
? 10 5 5 10 ?
? 2 2 ?
? 2 2 ?
1 1 1 1
cov( X ,Y ) ? 20 ， DX ? 4 , DY ? 4 ,即?XY ? 5 .
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
(17)(本小题满分 10 分)
1 1
已知lim[?arctan
x?0
1 1
? ?1 ? x ?x ] 存在，求?的值.
x
【答案】?? ?( e ? e).
【详解】.要想极限存在，则左右极限相等；
? 1
又由于 lim ??arctan
x?0? ??x
? (1 ?
1 ?
x ) x ? ?
?
?
?? e;
2
? 1
lim ??arctan
x?0? ??x
? (1 ?
1 ? ? 1
x ) x ? ? ? ?? ;
? 2 e
? ? 1 1 1
从而 ?? e ? ?
2 2
?? ，即??
e
?( e
? e).
(18)(本小题满分 12 分)
(x ?1)2 ? y2
求函数 f (x, y) ? 2 ln x ? 的极值.
2x2
【答案】(?1, 0) 处取极小值 2； ( , 0) 处取极小值 1
2 2
? 2 ln 2 .
【详解】
? ''
2x2 ? x ?1 ? y2
? fx ?
x3 ? 0 ?2x2 ? x ?1 ? y2 ? 0
（1） ? y
即?
y ? 0
? f '' ? ? 0 ?
?? y x2
1
得驻点(?1, 0) ， ( , 0)
2
? ''''
? xx
?
?4x ?1? x ? 3(2x2 ? x ?1? y2 ) x4
?
（2） ?
?
'''' ? ?2 y
xy x3
? f '''' ? 1
? yy 2
?
（3）驻点(?1, 0) 处，A=3，B=0，C=1， AC ? B2 ? 3 ? 0 ， A ? 0
故 f (x, y) 在(?1, 0) 处取极小值 2；
驻点( 1 , 0) 处，A=24，B=0，C=4， AC ? B2 ? 3 ? 0 ， A ? 0
2
1 1
故 f (x, y) 在( , 0) 处取极小值
2 2
(19)(本小题满分 12 分)
? 2 ln 2 .
设有界区域 D 是 x2 ? y2 ? 1 和直线 y ? x 以及 x 轴在第一象限围城的部分，计算二重积分
?? e( x? y )2 (x2 ? y2 )dxdy.
D
【答案】 1 e 2 ? 1 e ? 1 .
8 4 8
2 1 1 2 2 1 ?
1 2 2
?? e( x ? y ) (x2 ? y2 )d??
? 4 cos 2?d?? er (cos ??sin ?) r 2 dr 2
? ? 4 cos 2?d?? er (cos??sin?) r 2dr 2
D 0 0 2 0 0
? 1 2
? 4 cos 2?d? eu (cos??sin?) udu
0 0
1 ueu (cos??sin?)2 du ??1
1 (cos?? sin?)2 ueu (cos??sin?)2 du (cos?? sin?)2
?0
? 1
(cos?? sin?)
? 1
(cos?? sin?)4 ?0
(cos??sin?)2 t
4 0
e(cos??sin?)2 ?
1 [e(cos??sin?)2 ? 1]
(cos?? sin?)2 (cos?? sin?)4
? ?
?上式= 1
4 cos?? sin? (cos??sin?)2 d?? 1 4 cos?? sin? [e(cos??sin?)2 ? 1]d?
?
??
2 ?0
cos?? sin e
2 ?0
(cos?+ sin?) 3
? 1 ? 2 1eu2 du ? 1 ? 2
eu2 ?1
2 1 u
du
2 1 u 3
2 2 2 2 u2
其中 1eu2 du=
-2 1 u2
1 u2 2
1 u2
?3 1 2 1 e
?1 u
?1 u d ( e
) ? e
2u2
1 ? ?1 (2 e
)(?2u
)du ? e
4
? 2 e ? ?1
u3 du
e2 e 1 2 ?
1 1 1
?原式=
? + ? u 3du ? e 2? e ? .
8 4 2 1 8 4 8
(20)(本小题满分 12 分) 设n 为正整数， y ? yn
是微分方程 xy? ? (n ?1) y ? 0 满足条件 yn
(1) ?
1
n(n ?1)
的解.
求 yn (x) ；
求级数? yn (x) 的收敛域及和函数.
n?1
1 n?1
?(1? x) ln(1? x) ? x, x ?(?1,1)
【答案】(1) yn (x) ? n(n ?1) x
(n ?1) y
;(2)收敛域[?1,1] ， S (x) ? ?
?
? n?1dx 1
1, x ? 1 .
1
(1)
y? ? ? 0 得
x
y ? Ce x
? Cxn?1 ， 将
yn (1) ?
n(n ?1)
带 入 ， 有
C ? n(n ?1) ，
yn (x) ?
1
n(n ?1)
x n?1 ；
?
n?1
(2) ? n(n ?1) x
的收敛域为[?1,1]
?
n?1
? xn?1
? xn?1
设 S (x) ? ? n(n ?1) x
??
n?1
?? ?(1? x) ln(1? x) ? x, x ?(?1,1)
n?1
又因为 S (x) 在[?1,1] 连续，所以 S (1) ? lim S (x) ? 1 ，
x?1?
所以 S(x) ? ?(1? x) ln(1? x) ? x, x ?[?1,1) .
? 1, x ? 1
(21)(本小题满分 12 分)
? 2 1 0 ?
设矩阵 A= ? 1 2 0 ? 仅有两个不同的特征值. 若 A 相似于对角矩阵，求 a ， b 的值，并求可
? 1 a b ?
? ?
逆矩阵 P ，使 P?1 AP 为对角矩阵.
?? 2
【详解】由 ?E ? A ? ?1
?1 0
?? 2 0
? (?? b)(?? 3)(?? 1) ? 0
?1 ?a ?? b
当 b ? 3 时，由 A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则
? 1 ?1 0 ?
(3E ? A) ? ??1 1 0 ? 知， a ? ?1 ，
? ?1 ?a 0 ?
? ?
? 1 ? ? 0 ?
此时，? ? ? ? 3 所对应特征向量为? ? ? 1 ? ,? ? ? 0 ? ，
1 2 1 ? ? 2 ? ?
? ?1?
? ? ? ?
? ? ? ?
? 3 ?
? ? 1所对应的特征向量为? ? ? 1 ? ，则 P?1 AP ? ? 3 ?
3 3 ? ? ? ?
? 1 ? ? 1?
? ? ? ?
当 b ? 1 时，由 A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则
? ?1 (E ? A) ? ??1
?1 0?
?1 0 ? ，知 a ? 1 ，
? ?
? ?1 ?a 0?
? ?
? ?1? ? 0 ?
此时，? ? ? ? 1所对应特征向量为? ? ? 1 ? ,? ? ? 0 ? ，
1 2 1 ? ? 2 ? ?
?1?
? ? ? ?
? ? ? ?
? 1 ?
? ? 3 所对应的特征向量为? ? ?1? ，则 P?1 AP ? ? 1 ? .
3 3 ? ? ? ?
?1? ? 3?
? ? ? ?
(22)(本小题满分 12 分)
在区间(0, 2) 上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为 X ,较长的一段长度记为
Y ,令 Z ? .
X
求 X 的概率密度；
求 Z 的概率密度.
求 E ? X ? .
? ?
?1, 0 ? x ? 1
? 2 , z ? 1
【答案】(1)
x ? f (x) ? ?
?
0, 其他
；(2)
fZ (z) ? (FZ
(z))? ? ?(z ?1)2
.(3)
?1? 2 ln 2 .
【详解】(1)由题知： x ?
f (x) ? ?1, 0 ? x ? 1 ；
?? 0, 其他
? 0, 其他
2 ? X
由 y ? 2 ? x ，即 Z ? ，先求 Z 的分布函数：
X
F (z) ? P ?Z ? z? ? P ? 2 ? X ? z ? ? P ? 2 ?1 ? z ?
Z ? X ? ? X ?
? ? ? ?
当 z ? 1 时， FZ (z) ? 0 ； 当 z ? 1 时，
? 2 ? ? 2 ? 2 2
FZ (z) ? P ? ?1 ? z ? ? 1 ? P ?X ? ? ? 1 ? ? z ?11dx ?1 ? ；
? X ? ?
? 2 , z ? 1
z ?1??0
z ?1
? 2
fZ (z) ? (FZ (z))? ? (z ?1) ；
?? 0, 其他
E ? X ? ? E ? X
? ? 1 x
? 1dx ? ?1? 2 ln 2 .
? ? ? ?
? ? ? ?
?0 2 ? x
x
t 3
?
?
a
1 2
1 2
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?? ? ? ?
Q
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ? 1 2 1 2
? ??
? ? 1 2 1 2
) ( )
dy
dx
dy
dx
?2 x
5
?32
x2 ? 9
1
?
x x 1 2x 1 x 2 ?1 2 1 x 1 2 ?1 1 x
1
?
f
f
x
?
2
? ?
? te dt
?
2
?
1
n?1
1
n?1
n
n ?1
?
? ?
? ?
0 1
0 1
Y
? Y ?
?
?
?
Y 2 ? X
1
|
|
