2020考研数学三真题及答案
一、选择题：1～8 小题,每小题 4 分,共 32 分．下列每题给出的四个选项中,只有一个
选项是符合题目要求的．
设lim f (x) ? a ? b
，则lim sin f (x) ? sin a ? ( )
x?a
x ? a
x?a
x ? a
b sin a
b cos a
b sin f (a)
b cos f (a)
【答案】B
【解析】
lim sin f (x) ? sin a ? lim sin f (x) ? sin a ? f (x) ? a ? cos f (x)
? b ? b cos f (a)
x?a
x ? a
x?a
f (x) ? a x ? a
x?a
设 f (x) ? u ，lim sin f (x) ? sin a = lim
sin u ? sin a ? cos u
? cos f (a)
x?a
f (x) ? a
u? f (a)
u ? a
u ? f (a)
lim sin f (x) ? sin a ? lim sin f (x) ? sin a ? f (x) ? a ? lim sin f (x) ? sin a ? lim f (x) ? a
则 x?a
x ? a
x?a
f (x) ? a x ? a
x?a
=b cos a
f (x) ? a
x?a
x ? a
函数 f (x) ?
(A).1
(B).2
(C).3
1
(ex ?1)(x ? 2)
，则第二类间断点个数为（ ）
(D).4
【答案】C
【解析】本题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义，判断间断点及类型的一 般步骤为：
找出无定义的点（无意义的点）；2.求该点的左右极限；3.按照间断点的定义判 定。
第二类间断点的定义为 f? (x0 ), f? (x0 ) 至少有一个不存在，很显然 f (x) 不存在的点为
x ? ?1, x ? 0, x ? 1, x ? 2 。
在 x ? ?1 处， lim
x??1?
f (x) ? ??, lim
x??1?
f (x) ? ?? ；
在 x ? 0 处，
lim
x?0?
f (x) ? lim
x?0+
f (x)= ? 1 ；
2e
1
在 x ? 1 处， lim ex?1 ? 0
1
， lim ex?1 ? ?? ， lim f (x) ? 0 ， lim f (x) ? ?? ；
x?1?
在 x ? 2 处， lim
x?2?
x?1?
f (x) ? ?? ， lim
x?2+
x?1?
f (x) ? +? ；
x?1+
所以，第二类间断点为 3 个。
对奇函数 f (x) 在(??, ? ?) 上有连续导数，则( )
? ?cos f (t) ? f ?(t)?dt 是奇函数
x
? ?cos f (t) ? f ?(t)?dt 是偶函数
x
? x ?cos f ?(t) ? f (t)?dt 是奇函数
? x ?cos f ?(t) ? f (t)?dt 是偶函数
【答案】：A
【 解析】 f (x)
为奇函数， 则其导数 f ?(x)
为偶函数，又 cos x 为偶函数，则
cos f (x) ? cos f (?x)
，则cos f (x) 为偶函数，故cos f (x) ? f ?(x)
为偶函数，以 0 为下限、被
积函数为偶函数的变限积分函数为奇函数。所以，本题选 A ;对于C和D 选项， f ?(x) 为偶
函数，则cos f ?(x) ? cos f ?(?x) 为偶函数， f (x) 为奇函数，则cos f ?(x) ? f (x)
既非奇函数又
非偶函数。
? ?
(4).已知幂级数? na (x ? 2)n 的收敛区间为(?2, 6) ，则? a (x ? 1)2n 的收敛区间为
n
n?1
n
n?1
(A).(-2,6)
(B).(-3,1)
(C).(-5,3)
(D).(-17,15)
【答案】B
a (x ? 1)2n? 2 a
【解析】由比值法可知，， lim n1 ? lim n?1 (x ? 1)2 ? 1
n?? a (x ? 1)2n
n?? a
则要求? a (x ? 2)2n 的收敛区间，只需要求出lim
n n
的值即可，
，解得 ， .
且 ， ， .
讨论：①对于 ，求得 ，因 ，则 不为极值点；
②对于 ，求得 ，因 且 ，则 为极小值点，且极小值为 .
(17)(本题满分 10 分)
设函数 满足 ，且有 .
（Ⅰ）求 ； （Ⅱ）设 ，求 .
【解析】（Ⅰ）由 得 ，解得 ， 则 ，又由 得 ， 则 .
（Ⅱ）
，
则 .
(18)( 本 题 满 分 10 分 ) 设 区 域 ，
，
计算 .
【解析】设 ，则 ，
两边同取积分得
.
则 ，
.
(19)( 本题满分 10 分) 设函数
M ? max f x .
x??0,2?
f ? x? 在 ?0, 2? 上具有连续导数.
f ?0? ?
f ?2? ? 0 ,
证:(1)存在? ??0, 2? 使
(2)若对任意 x ??0, 2? ,
f ??? ? ? M
f ?? x? ? M ,则M ? 0 .
证明:(1) M ? 0 时,则 f (x) ? 0 ,显然成立.
M ? 0 时,不妨设在点c(?(0, 2)) 处取得最大值| f (c) |? M .
由拉格朗日中值定理得,存在? ?(0,c) ,使得|f ?(? )| ?
= M ;
存在?2 ?(c, 2),使得|f ?(?2
1
) |? ?
1 c
M ;
2 ? c
所以( M ?
M )( M
? M ) ? ?M
2 (c ?1)2
? 0 ,即M
介于 M 与 M
之间,从而有
c 2 ? c c(2 ? c) c 2 ? c
|f ?(?1 )|…M 或 f ?(?2 )| …M ,
结论得证.
（Ⅱ）当c ? 1时,采用反证法,假设M ? 0 .
则|f ?(?1 )|>M 或|f ?(?2 )|>M ,与已知矛盾,假设不成立.
当c ? 1时,此时| f (1) |? M ,易知 f ?(1) ? 0 .
设G(x) ?
f (x) ? Mx , 0剟x
1 ;则有G?(x) ?
f ?(x) ? M?
0 ,从而G(x) 单调递减.
又G(0) ? G(1) ? 0 ,从而G(x) ? 0 ,即 f (x) ? Mx , 0剟x 1 .
因此 f??(1) ? M ,从而M ? 0 .
综上所述,最终M ? 0
(20)(本题满分 11 分)二次型 f (x , x ) ? x2 ? 4x x ? 4x2 经正交变换? x1 ? ? Q ? y1 ?化为二次型
1 2 1 1 2 2
? x ? ? y ?
g( y , y ) ? ay2 ? 4 y y ? by2 ， a…b 。求：
? 2 ? ? 2 ?
1 2 1 1 2 2
a, b 的值；
正交矩阵Q
? 4 ? 3 ?
?
?
【答案】（I） a ? 4, b ? 1；（II） Q ?
5 5 ? .
? ?
? ? 3 ? 4 ?
?
?
【解析】（I）记 x ? ? x1 ? , y ? ? y1 ? , A ? ? 1
5 5 ?
?2 ? , B ? ? a
2 ? ，故 f
? xT Ax, g ? yT By 。
? x ? ? y ? ? ?2 4 ? ? 2 b ?
? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?
因为 x ? Qy ，故 f ? yT QT AQy ，所以 B ? QT AQ ，其中Q 为正交矩阵。
所以 A, B 相似，故特征值相同，故??tr( A) ? tr(B) 知， ?a ? b ? 5
，故a ? 4, b ? 1。
?? A ? B ?ab ? 4 ? 0
（II）由
A ? ?1?2 ? 0, tr( A) ? ?1 ? ?2 ? 5 ，知 A, B 的特征值均为?1 ? 5, ?2 ? 0 。
解齐次线性方程组(?i E ? A) x ? 0 及(?i E ? B) x ? 0 ，求特征向量并直接单位化，
对? ? 5 ，由5E ? A ? ? 4 2 ? ? ? 2 1 ? 知， α ?
1 ? 1 ? ；
1 ? ? ? ?
? ? ? ?
1 5 ? ?2 ?
对? ? 0 ，由0E ? A ? ? ?1 2 ? ? ? 1 ?2 ? 知， α ?
1 ? 2 ? ；
2 ? 2 ?4 ? ? 0 0 ?
2 5 ? 1 ?
? ? ? ?
同理， B 的属于特征值? ? 5 的特征向量为 β ?
? ?
1 ? 2 ? ，
1 1 ? ?
? ?
B 的属于特征值? ? 0 的特征向量为 β ?
1 ? 1 ? .
记Q ? (α , α ) ?
2
1 ? 1 2 ? ， Q
2
? ( β , β ) ?
5 ? ?2 ?
1 ? 2 1 ?，就有
1 1 2
5 ? ?2 1 ?
2 1 2
5 ? 1
?2 ?
? ? ? ?
Q T AQ
? Q T BQ
? ? 5 0 ? ，
因此 B ? Q Q T AQ Q T ，只需令
1 1 2 2 ? ?
? ?
2 1 1 2
? 4 ? 3 ?
?
Q ? QQ T ?
1 ? 1 2 ? ? 1
? 2 1 ? ? ?
5 5 ? ，
1 2 5 ? ?2 1 ?
5 ? 1
?2 ? ? 3 4 ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? 5 5 ?
则B ? QT AQ ，二次型 f (x , x ) 经正交变换 x ? Qy 化为 g( y , y ) 。
1 2 1 2
(21)(本题满分 11 分)
设 A 为 2 阶矩阵， P ? (α, Aα) ， α 是非零向量且不是 A 的特征向量。
证明矩阵 P 可逆；
若 A2α ? Aα ? 6α ? 0 ，求 P ?1 AP 并判断 A 是否相似于对角矩阵。
【解析】（I）设k1α ? k2 Aα ? 0
① 若k2 ? 0 ，则由α ? 0 知k1 ? 0 ；
② 若k ? 0 ，则 Aα ? ? k1 α ，所以α 是 A 的属于特征值? k1 的特征向量，与已知条件产生
2
2 2
矛盾。
所以， k1 ? k2 ? 0 ，向量组α, Aα 线性无关，故矩阵 P 可逆。
（II）因为 A2α ? 6α ? Aα ，所以，
( Aα, A2α) ? ( Aα, 6α ? Aα) ? (α, Aα) ? 0 6 ? ，
? 1 ?1?
? ?
记B ? ? 0 6 ? ，因此，
? 1 ?1?
? ?
A(α, Aα) ? (α, Aα) ? 0 6 ? ，
? 1 ?1?
? ?
即 AP ? PB ，由 P 可逆知 A, B 相似且 P ?1 AP ? B ? ? 0 6 ? 。
? 1 ?1?
? ?
由 ? E ? B ? ? ?6 ? (? ? 2)(? ? 3) ? 0 知，矩阵 A, B 的特征值均为? ? 2, ?
? ?3 ，
?1 ? ?1 1 2
因为特征值互不相同，故矩阵 A 相似于对角矩阵? 2 0 ? 。
? 0 ?3?
? ?
(22)(本题满分 11 分)
二维随机变量?X ,Y ? 在区域 D ? ??x, y?0 ? y ?
1? x2 ?上服从均匀分布，且
Z ? ?1, X ? Y ? 0, Z
?
? ?1, X ? Y ? 0
?
求（1）二维随机变量?Z , Z ?的概率分布；（2）求Z , Z 的相关系数.
【解析】
（1）由题意 f
?x, y?
??? , ?x, y?? D
? 2
?? 0, ?x, y?? D
，所以可计算
P?Z P?Z
? 0, Z2
? 0, Z2
? 0? ? P?X ? Y ? 0, X ? Y ? 0? ? 1
4
? 1? ? P?X ? Y ? 0, X ? Y ? 0? ? 1
2
P?Z ? 1, Z ? 0? ? P?X ? Y ? 0, X ? Y ? 0? ? 0
P?Z
? 1, Z2
? 1? ? P?X ? Y ? 0, X ? Y ? 0? ? 1
4
可得
Z2
Z1 0 1 0 1
4 1
2 1 0 1
4
（2）由（1）可计算 E?Z ? ? 1 , E?Z
? ? 3 , D?Z ? ?
3 , D?Z ? ?
3 , E?Z Z
? ? 1
1 4 2 4
1 16
2 16
1 2 4
所以可得 ? ?
Cov?Z , Z ?
E?Z Z ?? EZ ? EZ 1
3
(23)(本题满分 11 分)
设某元件的使用寿命T 的分布函数为
? ? t ?m
? ? ? ?1? e?? ? ?
, t ? 0 ，其中? 为参数且均大于零.
F t ? ? ? , m
?? 0, t ? 0
计算概率 P?T ? t?与P?T ? s ? t T ? s?；
?
任取n 个元件试验，其寿命分别为t1 , t2 ,..., tn ，若m 已知，求? 得最大似然估计? .
【解析】
? t ?m
（1） P?T ? t ? ? 1? P?T ? t ? ? e?? ? ?
? s?t ?m
? ? P?T ? s ? t ? e ? ?
?
P T ? s ? t T ? s ?
P?T ? s? ?
? t ?m
?? ? ?
e ? ?
? mt
m?1
? t ?m
?? ? ?
（2）由题意可得概率密度函数为 f ?t ? ? F '' ?t ? ? ???e ?
? , t ? 0
? ? m
?
0, t ? 0
似然函数 ?? ? ?
n
n m?1
i
n ? t ?m
? ?
? ? ?
L i?1 e
? mn
i?1 ?
? , t
0, i
1,2,..., n
? ? ? ?
n ? t ?m
取对数有ln L ?
? n ln m ?
m ? 1 ? ln ti ? mn ln? ? ?? ? ?
i?1
i?1 ? ?
求导并令导数等于零， d ln L?? ? ? ? mn ? m ?n
tm ? 0
m
?
解得? ? .
d? ?
? m?1
i
i?1
ex?1 ln 1? x
0
0
0
0
?
an?1 an
?
n
(n ? 1)an?1 nan
n ? 1 an?1 n an
an?1 an
an?1 an
? ?
? ?
2
DX DY
DX DY
(0,π)
(0,π)
(0,π)
?
?
?
?
?
?
? ? ??
f (c) ? f (0)
c ? 0
f (2) ? f (c)
2 ? c
?
?
2 1 0 0
? ?
5 1
? ?
0 0
k
k
?0, X ? Y ? 0
1
2
? X ? Y ?0, 0
1 2 1 2
?
1
1
1 2
1
1 2
DZ1 DZ2
DZ1 DZ2
? 1 2 1 2 ?
?
?
?
??
?
?
m ? t
? i
?
i
n
i
n
1 ∑
n
t
m i
i?1
|
|
