2020考研数学二真题及答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
当 x ? 0? 时，下列无穷小量中最高阶是（ ）
（A） ? x ?et2 ?1?dt （B） ?x ln ?1? t2 ?dt
sin x sin t 2dt
0
【答案】（D）
1?cos x
0
sin t 2 dt
【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。
??
x ?et 2
?1?dt ??
? ex
?1 ? x2
0
?? x ln ?1?
t 2 ?dt ?? ? ln ?1?
x2 ? ? x
（C）
??sin x
sin t 2 dt ??
? sin ?sin2 x? ? x2
?
0
1?cos x
0
dt ?? ?
sin x ? 1 x3
2
经比较，选（D）
函数 f (x) ?
1
(ex ?1)(x ? 2)
的第二类间断点的个数为 （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】（C）
【解析】由题设，函数的可能间断点有 x ? ?1, 0,1, 2 ，由此
1
lim f (x) ? lim
? 1
? ? e 2
lim ln 1? x ? ?? ；
x??1
x??1 (ex ?1)(x ? 2) 3(e?1 ?1) x??1 1
lim f (x) ? lim
? ? e?1
lim
ln(1? x) ? ? 1 ；
x?0
x?0 (ex ?1)(x ? 2) 2
x?0 x 2e
1
lim f (x) ? lim
? ln 2
1
lim ex?1 ? 0;
x?1?
1
x?1? (ex ?1)(x ? 2) 1? e x?1?
；
lim
? ln 2
1
lim ex?1 ? ??;
x?1? (ex ?1)(x ? 2) 1? e x?1?
1
ex?1 ln 1? x e ln 3 1
lim f (x) ? lim
?1)(x ? 2) ? (e ?1) lim x ? 2 ? ?
故函数的第二类间断点（无穷间断点）有 3 个，故选项（C）正确。
1 arcsin
（3）
x dx ? （ ）
0
? 2
（A）
4
x ?1? x?
? 2
（B）
8
?
（C）
4
?
（D）
8
【答案】（A）
【解析】令
? sin t ，则 x ? sin2 t ， dx ? 2 sin t cos tdt
? ? ? 2
?1 arcsin
x dx ? ? 2 t 2 sin t cos tdt ? ? 2 2tdt ? t2
2 ? ?
0 x ?1? x?
0 sin t cos t
0 0 4
（4） f ? x? ? x2 ln ?1 ? x?, n ? 3 时， f ?n? ?0? ?
（A） ?
n! n ? 2
（B）
n! n ? 2
?n ? 2?!
（C） （D）
n
?n ? 2?!
n
【答案】(A)
? xn 2
? xn?2
? xn
【解析】由泰勒展开式， ln(1? x) ? ??
n?1
，则 x
ln(1? x) ? ??
n?1
? ?? ，
n?3
故 f (n) (0) ?
n! .
n ? 2
? xy, xy ? 0
?
（5）关于函数 f ? x, y ? ? ? x,
?? y,
y ? 0
x ? 0
给出以下结论
① ?0,0? ? 1 ②
?0,0?
? 1 ③
lim
? x, y ???0,0?
f ( x, y) ? 0
④ lim lim f ( x, y) ? 0
y?0 x?0
正确的个数是
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
【答案】（B）
?f
f ? x, 0? ? f ?0, 0?
x ? 0
【解析】
?x
?0,0? ? lim
?f
x ? 0
?f
? lim
x?0 x
? 1，①正确
?f
? lim ?x ?0, y ?
?x ?0, 0? ? lim ,
?x?y
?0,0?
y?0
y ? 0
y?0 y
而?f ? lim f ? x, y ? ? f ?0, y ? ? lim xy ? y ? lim x ?1 ? y
不存在，所以②错误；
?x ?0, y ?
x?0
x ? 0
x?0 x
x?0 x
xy ? 0 ? x
y , x ? 0 ?
x , y ? 0 ?
y , 从而? x, y? ? ?0, 0? 时，
lim
? x, y ???0,0?
f ( x, y) ? 0 ，
③正确。
lim f ? x, y ? ? ?0, xy ? 0或y ? 0 , 从而limlim f ( x, y) ? 0 ，④正确
x?0
? y ,
x ? 0
y?0 x?0
（6）设函数 f (x) 在区间[?2, 2] 上可导，且 f ''(x) ? f (x) ? 0 .则
(A)
f (?2) ? 1
f (?1)
(B)
f (0) ? e
f (?1)
(C)
f (1)
f (?1)
? e2
(D)
f (2)
f (?1)
? e3
【答案】(B)
f (x)
f ''(x)ex ? f (x)ex
f ''(x) ? f (x)
【解析】构造辅助函数 F (x) ? ，由 F ''(x) ? ? ，由题
ex
f (x)
e2 x
ex
f (0)
f (?1)
意可知， F ''(x) ? 0 ，从而 F (x) ? 单调递增.故 F (0) ? F (?1) ，也即
ex e0
? e?1 ，
又有 f (x) ? 0 ，从而
f (0)
f (?1)
? e .故选(B).
设 4 阶矩阵 A ? ?aij ?不可逆，a12 的代数余子式 A12 ? 0 ,?1 ,?2 ,?3 ,?4 为矩阵 A 的列向量组， A 为 A 的伴随矩阵，则 A x ? 0 的通解为（ ）
（A） x ? k1?1 ? k2?2 ? k3?3 ，其中k1, k2 , k3 为任意常数
（B） x ? k1?1 ? k2?2 ? k3?4 ，其中k1, k2 , k3 为任意常数
（C） x ? k1?1 ? k2?3 ? k3?4 ，其中k1, k2 , k3 为任意常数
（D） x ? k1?2 ? k2?3 ? k3?4 ，其中k1, k2 , k3 为任意常数
【答案】（C）
【解析】由于A 不可逆， 故r ? A? ? 4 ， A ? 0 .由 A12
? 0 ? r ? A ? ? 1，r ? A? ? 4 ?1 ? 3 ，
则r ? A? ? 3 ， r ? A ? ? 1，故 A x ? 0 的基础解系中有4 ?1 ? 3个无关解向量。
此外， A A ? A E ? 0 ，则 A 的列向量为 A x ? 0 的解。则由 A ? 0 ，可知? ,? ,? 线性
12 1 3 4
无关（向量组无关，则其延伸组无关），故 A x ? 0 的通解为 x ? k ? ? k ? ? k ?
，即选
1 1 2 3 3 4
项（C）正确。
设 A 为 3 阶矩阵，?1,?2 为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，?3 为 A 的属
? 1 0 0 ?
于特征值?1的特征向量，则 P?1 AP ? ? 0 ?1 0 ? 的可逆矩阵 P 为（ ）
（A） ??1 ? ?3,?2 , ??3 ?
（C） ??1 ? ?3, ??3,?2 ?
? ?
? 0 0 1 ?
（B） ??1 ? ?2 ,?2 , ??3 ?
（D） ??1 ? ?2 , ??3 ,?2 ?
【答案】（D）
【解析】设 P ? (? , ?
? 1 0 0 ?
, ? ) ，若 P?1 AP ? ? 0 ?1 0 ? ，则 ? , ? 应为 A 的属于特征值 1
1 2 3
? ? 1 3
? 0 0 1 ?
的线性无关的特征向量， ?2 应为A 的属于特征值?1的线性无关的特征向量。
这里根据题设，?1,?2 为 A 的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量，则?1 ? ?2 也为
A 的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量。又因?3 为 A 的属于?1的特征向量，则??3 也为 A 的属于特征值?1的特征向量。且
? 1 0 0 ? ? 1 0 0 ?
(? ? ? , ?? ,? ) ? (? ,? ,? ) ? 1 0 1 ? ,由于? 1 0 1 ?可逆，
1 2 3 2 1 2 3
? ? ? ?
? 0 ?1 0 ? ? 0 ?1 0 ?
故r(?1 ? ?2 , ??3 ,?2 ) ? r(?1 ,?2 ,?3 ) ? 3,即?1 ? ?2 , ??3 ,?2线性无关
? 1 0 0 ?
综上，若 P ? (? , ? , ? ) ? (? ? ? , ?? ,?
) ，则 P?1 AP ? ? 0 ?1 0 ? .
1 2 3 1 2 3 2
因此选项（D）正确。
? ?
? 0 0 1 ?
二、填空题：9?14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
? x ?
d 2 y
设?? y ? ln ?t ?
，则 ?
t 2 ?1 d x t ? 1
【答案】?
【解析】
dy ? ? ? ? 1
dx t t
d ? 1 ?
d 2 y dy ? t ? dt 1
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
d 2 x
dx dt dx t 2 t t3
? ?
(10)
t ? 1
?0 dy? y x ?1dx ?
3
【答案】 2 2
9
? 1?
【解析】交换积分次序，原式
2
? ? dx?
x3 ?1dy ? ?1 x2
x3 ?1dx
? 1 ?1 x3 ?1d ?x3 ?1? ? 1 ? 2 ?x3 ?1?2 1 ? 2 ?2
?1?
3 0 3 3 0 9
设 z ? arctan ?? xy ? sin ? x ? y ??? ，则dz ?0,? ? ?
【答案】?? ?1? dx ? dy
?z y ? cos? x ? y ? ?z x ? cos? x ? y ?
【解析】 ?x ? 1? ? xy ? sin ? x ? y ??2 , ?y ? 1? ? xy ? sin ? x ? y ??2
?z ?z
将?0,? ? 带入得?x ? ? ?1, ?y ? ?1
因此dz ?0,? ? ? ?? ?1? dx ? dy
斜边长为2a 的等腰直角三角形平板，铅直的沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为 g ，水的密度为 ? ，则该平板一侧所受的水压力为 .
【答案】 1 ? ga3
3
【解析】以水面向右为 x 轴，以垂直于三角板斜边向上为 y 轴建立直角坐标系，则此时，三角板右斜边所在的直线方程为 y ? x ? a ，取微元dy ，则此时
dF ? ? y2x? gdy ? ?2? gy( y ? a)dy ，
则一侧的压力 F ?
0 ?2? gy( y ? a)dy ? ? g(? 2 y3 ? ay2 ) 0
? 1 ? ga3 .
?? a
3 ? a 3
（13）设 y ? y ? x? 满足 y'''' ? 2 y'' ? y ? 0 ，且 y ?0? ? 0, y'' ?0? ? 1，则??? y ? x? dx ?
【答案】1
【解析】由方程可得特征方程为? 2 ? 2? ?1 ? 0, 则特征方程的根为? ? ?1, ?
? ?1,
1 2
则微分方程的通解为 y ? c e? x ? c xe? x ， 由 y ?0? ? 0, y'' ?0? ? 1 可得 c ? 0, c
? 1 ， 则
1 2 1 2
y ? x? ? xe? x ，则??? y ? x? dx ? ??? xe? xdx ? 1
（14）行列式 ?
【答案】a4 ? 4a2
【解析】
a 0 ?1 1
a 1 0 0 a 0
0 a 1 ?1 ? a 1
a a ? ?1 1 a
?1 1 a 0
?1 0 a 1 ?1 a
1 ?1 0 a
? ?a 1 a ? 2a 0
a ? ?a ?2a ? a3 ? ? 2a2
a 2a
?1 1
? a4 ? 4a2
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分 10 分）
x1? x
求曲线 y ?
?1 ? x ?
x ? x ? 0? 的斜渐近线
【答案】 y ? 1 x ?
e
1
2e
y xx 1 1
【解析】由k ? lim
x??? x
? lim
x??? (1? x)x
? lim ?
x??? (1? 1 )x e
x
b ? lim ( y ? 1
x??? e
x) ? lim (
x???
x1? x
(1? x)x
1 x) ? lim x(e e x???
x ln x
1? x ?
1) ? e?1 lim x(e e x???
x ln x ?1 1? x
?1)
? e?1 lim x(x ln
x ?1)
1 ? t e?1 lim
ln 1 1? t
t
洛e?1 lim 1
? 1 .
x???
1? x x
t ?0?
t 2
t?0? 2(1? t) 2e
故斜渐近线方程为： y ? 1 x ? 1 .
e 2e
（16）（本题满分 10 分）
已知函数 f ? x? 连续且lim f ? x? ? 1 ，g ? x? ? ?1 f ? xt ? dt ，求 g?? x? 并证明 g?? x? 在 x ? 0
x?0 x 0
处连续.
? 1
【答案】 g '' ? x? ? ? 2
? f (x) ? 1
x ? 0
f ?u ? du x ? 0
?? x x2 ?0
【解析】因为lim
x?0
f ? x?
x
? 1 ，并且 f (x) 连续，可得 f (0) ? 0, f
'' (0) ? 1 .
g ? x? ? ?1 f ? xt ? dt xt ? u ? 1 ? x f ?u ? du ，当 x ? 0 时， g(0) ? 0 .故
0 x 0
? 0
?
x ? 0
g ? x? ? ? 1 x ，
?? x ?0
f ?u ? du x ? 0
又
1 ? x f ?u ? du ? 0
g '' ?0? ? lim g ? x? ? g ?0? ? lim x 0
x?0
x ? 0
x
x?0
x ? 0
?0 f ?u ? du f (x) 1
? 1
'' ? 2
? lim
x?0
x2
x ? 0
? lim
x?0
导数定义
2x 2
则 g ? x? ? ?
? f (x) ? 1
f ?u ? du x ? 0
，又因为
?? x x2 ?0
lim g '' ? x? ? lim f (x) ? 1
f ?u ? du
x?0
x?0
x x2 ?0
? lim f (x) ? lim 1 f ?u ? du
x?0 x x?0 x2 ?0
所以 g?? x? 在 x ? 0 处连续
（17）（本题满分 10 分）
求 f ? x, y ? ? x3 ? 8 y3 ? xy 极值
? 1? 1 ? 1 ? g '' ?0?
2 2
【答案】
1 1 1
f极小( , )
6 12 216
'' 2
?x ? 1
?? fx (x, y) ? 3x ? y ? 0
?x ? 0 ? 6
【解析】令? f '' (x, y) ? 24 y2 ? x ? 0 得? y ? 0 或? 1 .
?? y
? A ?
?
f '''' (0, 0) ? 0
? ? y ?
? 12
当驻点为(0, 0) 时， ?B ?
?
??C ?
f '''' (0, 0) ? ?1，则 AC ? B2 ? 0 ，故(0, 0) 不是极值点.
f '''' (0, 0) ? 0
? A ?
'''' 1 1
f ( , ) ? 1
? 6 12
1 1
当驻点为
? '''' 1 1 2 1 1
( , ) 时， ?B ?
fxy ( , ) ? ?1 ，则 AC ? B
? 0, A ? 1 ? 0 ，故( , ) 为极
6 12
?
? ''''
6 12
1 1
6 12
C ? f yy ( , ) ? 4
? 6 12
1 1 1
小值点. f ( , ) 为极小值.
6 12 216
2 1 x2 ? 2x
（18）设函数 f (x) 的定义域为(0, ??) 且满足 2 f (x) ? x f ( ) ?
x
.求 f (x) ，并求
曲线 y ?
f (x), y ? 1 , y ? 3 及 y 轴所围图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积.
2 2
【答案】 f (x) ?
?
x ? 2
，
6
2 1 x2 ? 2x
?2 f (x) ? x f ( ) ?
??x
【解析】?
? 1 1
1 ? 2
得 f (x) ? x .
?2 f ( ) ?
f (x) ? x
?? x x2
3 3 y2
? sin2 t
? 1? cos 2t
????
2 ??
cos t
?? 2
? ? (t ?
1 sin t) 3 .
6 6
（19）（本题满分 10 分）
平面D 由直线 x ? 1, x ? 2, y ? x 与 x 轴围成，计算??
D
dxdy
x
【答案】 ? ln ?
3 3
?1?
2 4
【解析】
?
2sec? r
? 1 1
?? dxdy ? ? 4 d? ? rdr ? ? 4 ? ? 3sec2 ? d?
?
D x
3 ? 3
0 sec?
?
r cos??0
3 3
cos? 2
? 4 sec3 ? d? ?
2 0 2
4 sec? d tan? ?
0
2 ? ln
2 4
?1?
（20）（本题满分 11 分）
设函数 f ? x? ? ? x et2 dt
(I) 证明：存在? ??1, 2?, f ?? ? ? ?2 ? ? ? e? 2
(II) 证明：存在? ??1, 2?, f ?2? ? ln 2 ??e?2
【解析】(I)
法 1：令 F (x) ? (x ? 2) f (x) ? (x ? 2) x et2 dt .
1
由题意可知， F (2) ? F (1) ? 0 ，且 F (x) 可导，由罗尔中值定理知， ?? ?(1, 2) ，使
F ''(? ) ? 0 ，又 F ''(x) ? ? x et2 dt ? (x ? 2)ex2 ，即 f ?? ? ? ?2 ? ? ? e? 2 .得证.
法 2：令 F (x) ?
f ? x ? ? (x ? 2)ex2 ，则 F (1) ? ?e ? 0, F (2) ? ?2 et 2 dt ? 0 ，由零点定理知，
存在? ?(1, 2) ，使得 F (? ) ? 0 ，即 f ?? ? ? ?2 ? ? ? e? 2 .
(II)令 g(x) ? ln x ，则 g ''(x) ? 1 ? 0.
x
由柯西中值定理知，存在? ?(1, 2) ，使得
f (2) ? f (1) ?
g(2) ? g(1)
f ''(?)
，
g ''(?)
f (2) e? 2
即 ?
，故 f ?2? ? ln 2 ??e? 2 .
ln 2 1
?
（21）（本题满分 11 分）
设函数 f ? x ? 可导，且 f ?? x? ? 0 ，曲线 y ?
f ? x?? x ? 0? 经过坐标原点，其上任意一点 M
处的切线与 x 轴交于T ,又 MP 垂直 x 轴于点 P ，已知曲线 y ?
f ? x? ，直线 MP以及x 轴围
成图形的面积与?MTP 面积比恒为为 3:2，求满足上述条件的曲线方程。
【答案】 y ? Cx3 ?C ? 0?
【解析】设切点 M ? x, y? ，则过 M 点的切线方程为Y ? y ? y'' ? X ? x? .
y ? y ?
令Y ? 0 ，则 X ? x ? y'' ，故T ? x ? y'' , 0 ? .
曲线 y ?
f ? x? ，直线 MP以及x 轴围成图形的面积 S1 ? ?0 y ?t ? dt ，
? 1 ? ? y ?? y2
MTP 的面积 S2 ? 2 y ?x ? ? x ? y'' ?? ? 2 y''
? ? ??
S 3 ?
y ?t ? dt 3 x
y2
因 1 ? ，则 0 ? ，即
y ?t ? dt ? ，①
S2 2
y2
2 y''
2 ?0
y''
方程①两边同时求导，得： y ?
4
2 y ? y'' ?2 ? y2 y''''
? y'' ?2
，整理得： 3yy'''' ? 2 ? y'' ?2 ，②
令 y'' ? p ，则 y'''' ? p
dp ，代入②，得3yp dp dy dy
? 2 p2 ，解得 p ? C y 3 ，即 dy
dx
2
? C1 y 3
1
从而解得3y 3 ? C1 x ? C2 .
因曲线过原点，即 f (0) ? 0 ，则C ? 0 ，故 y ? Cx3 .
又因为 f ?? x? ? 0 ，所以 y ?
即曲线为 y ? Cx3 ?C ? 0?
f ? x? 单调递增，所以C ? 0
（22）（本题满分 11 分）
设二次型 f (x , x , x ) ? x 2 ? x 2 ? x 2 ? 2ax x ? 2ax x ? 2ax x 经过可逆线性变换
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
? x1 ? ? y1 ?
? x ? ? P ? y ? 化为二次型 g( y , y , y ) ? y 2 ? y 2 ? 4 y 2 ? 2 y y .
? 2 ? ? 2 ?
1 2 3 1 2 3 1 2
? x ? ? y ?
? 3 ? ? 3 ?
求 a 的值；
求可逆矩阵 P.
? 1 2 2 ?
? 3 ?
? ?
【答案】（1） a ? ? 1 ；（2） P ? ? 0 1 4 ?
2 ? 3 ?
? ?
? 0 1 0 ?
? ?
? ?
?1 a a?
【解析】（1）根据题设， f (x , x , x ) ? X T AX ， A ? ?a 1 a? ，二次型 f (x , x , x ) 经
1 2 3
? ? 1 2 3
??a a 1??
可逆变换得到 g( y1, y2 , y3 ) ，故它们的正负惯性指数相同。由于
g( y , y , y ) ? y2 ? y2 ? 4 y2 ? 2 y y ? ( y ? y )2 ? 4 y2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3
的正负惯性指数分别为 p ? 2, q ? 0 ，故 f (x1 , x2 , x3 ) 的也分别为 p ? 2, q ? 0 .
故矩阵A 有特征值为 0，即 A ? 0 ? a ? ? 1 或1 。
2
当a ? 1 时， f (x , x , x ) ? x2 ? x2 ? x2 ? 2x x ? 2x x ? 2x x = ? x ? x ? x ?2 ，其正负惯
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
性指数分别为 p ? 1, q ? 0 ，与题设矛盾，故a ? 1 舍。因此a ? ? 1 符合题意。
2
（2）当a ? ? 1 时，
2
f (x , x , x ) ? x2 ? x2 ? x2 ? x x ? x x ? x x
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
? (x2 ? x x ? x x ) ? x2 ? x2 ? x x
1 1 2 1 3 2 3 2 3
? 1 1 ?2 3 3 3
? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x3 ?
? x2 +
4 4
x2 ?
2 x2 x3
? ?
? 1 1 ?2 3 2
? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x3 ?
? ? x2 ? x3 ?
4
令 z ? x ? 1 x ? 1 x , z ?
?
3 ? x ? x ?, z ? x ，则 f
z ? Px z2 ? z2
1 1 2 2 2 3 2 2 2 3 3 3
?1 ? 1 ? 1 ?
2 2
1 1 2
? ?
其中 P ? ?0
3 ? 3 ? .
1 ? 2 2 ?
? ?
?0 0 1 ?
?? ??
对于 g( y , y , y ) ? ( y ? y )2 ? 4 y2 ，令 z ? y ? y , z ? 2 y , z ? y ，则
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 2
f z ? P y z2 ? z2 ，其中 P
?1 1 0?
? ?0 0 2? .
2 1 2
2 ? ?
??0 1 0??
?1 2 2 ?
? 3 ?
? ?
由 P X ? PY可得X ? P?1PY , 令P ? P?1P ,则P ? ?0 1 4 ? 为所求的可逆矩阵
1 2 1 2 1 2 ? 3 ?
? ?
（23）（本题满分 11 分）
?0 1 0 ?
?? ??
设 A 为 2 阶矩阵， P ??, A? ? ，其中? 是非零向量且不是 A 的特征向量
证明 P 为可逆矩阵；
若 A2? ? A? ? 6? ? 0 ，求 P?1 AP ，并判断 A 是否相似于对角矩阵。
【答案】（2） P?1 AP ? ?0 6 ? ， A 可以相似对角化
?1 ?1?
? ?
【解析】（1）证明：设k ? ? k A? ? 0 ①，k 肯定为 0，反证法，若k ? 0 ，则 A? ? ? k1 ? ，
1 2 2 2
2
即? 为 A 的特征向量，与题意矛盾。因此k2 ? 0 ，代入①得k1? ? 0 ，由? 非零得k1 ? 0 .
由k1 ? k2 ? 0 得?, A? 线性无关，向量组秩为 2， r ?P? ? 2 ，所以 P ? ??, A? ? 可逆。
（2）由 A2? ? A? ? 6? ? 0 得 A2? ? 6? ? A? ，
A??, A? ? ? ? A? , A2? ? ? ? A? , 6? ? A? ? ? ?? , A? ? ? 0 6 ?
? 1 ?1?
?1 ? 0 6 ?
? ?
? 0 6 ?
由 P 可逆得 P AP ? ? 1 ?1? ，令 B ? ? 1 ?1? 由 B ? ? E
? 0 得?1 ? 2, ?2 ? ?3
? ? ? ?
有两个不同的特征值，所以 B 可相似于对角矩阵，由 P?1 AP ? B ， A ~ B
因为 B 可对角化， A 相似于 B ，所以 A 可对角化，即 A 相似于对角矩阵.
0
0
?
?
2
0
sin t 2
?
sin(1? cos x)2
ex?1 ln 1? x
ex?1 ln 1? x
ex?1 ln 1? x
ex?1 ln 1? x
ex?1 ln 1? x
2
x?2
x?2
x?2 (ex
?
x
?
n
n
n ? 2
?f
?x
?f
?x?y
x?0
?f
?x ?0, y ?
?1
?
? ?
? ?
? ?
?
t2 ?1
? 2
?
2
dy
dt
dx
dt
1?
t
t2 ?1
t ? t2 ?1
t 2 ?1
t2 ?1
t2 ?1
d 2 y d 2 x
2
1 1
2
?
1 x
0 0 0
2
3
? ? ? ?
0
0 0
a 0 ?1 1 0 a 1 ?1 ?1
1 1
?1 a
0 0
a
2
?
x
x
x
x
? ?
?
xx
xy
yy
? xx
?
? ?
1? x2
1? x2
1? x2
1? x2
1? x2
dy y ? sin t
3 2?
cos tdt ? 2?
dt
1? y
Vx ?
12 2? yxdy ?
12 2?
2 2 6 6
3
?
?
2
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?
2
x2 ? y2
2
2
x2 ? y2
?
2
?
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1
?
1
1
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x
x
3
1
2
2
3
2
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? ?
k
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