2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第10讲 工程问题工程问题是小升初数学应用题中的重点，是分数应用题的引申与补充。工程问题
可分为两大类：一类是已知具体工作量，另一类是未给出具体工作量；本讲重点研究没有具体给出工作量的工程问题。 一、基本概念：定义：工程
问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题1.工作总量:完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1
”来表示. 2.工作时间：完成工作总量所需的时间。 3.工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。二、基本关系
：1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间 工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率 甲工效＋乙工效＝甲乙合
作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设
法求解。我们把工作总量假设为单位“1”，这个巧解方法的公式有：（1）一般给出工作时间，工作效率＝。（2）一般给出工作效率，就可以知
道工作时间为a。三、工程问题的类型和常用方法：类型：双人工程问题 多人工程问题 周期工程问题 水管问题 计算工程费用问题方
法：基本关系法，整体转化法、对比分析法、方程法、比例法一、精挑细选(共5题；每题2分，共10分)1．一项工程，平均每天完成它的
，需要（ ）天才能完成．A．3 B．2 C．D．32．一个水池有甲乙两个水管．单独开甲管，2小时可以把空池注满；单独开乙管，3小
时可以把空池注满．如果同时打开甲乙两管，（ ）小时可以把空池注满．A．1B．C．1 D．53．车站存放一批货物，用第一辆汽车10
小时可以运完；用第二辆汽车15小时可以运完．现在两辆汽车同时运了2小时，运了这批货物的几分之几？正确的是（ ）A．B．C．D．4
．（2021六下·大洼月考）挖一条水渠 ，王伯伯每天挖整条水渠的 ，李叔叔每天挖整条水渠的 。两人合作，几天能挖完？（ ）A
．10天B．12天C．20天5．（2020六上·舒兰期末）修一条330米的公路，甲单独修要5天完成，乙单独修要6天完成，两队合修要
多少天完成？列式是（ ） A．1÷（ + ）B．330÷（5+6）C．330÷（ + ）二、判断正误(共4题；每题2分
，共8分)6．一件工作，甲单独做8小时完成，乙单独做15小时完成，甲、乙二人工作效率的比是8：15．（判断对错） 7．（2012
·东莞）完成一件工程，甲用了 小时，乙用了 小时，甲的工作效率比乙高．8．（2019六上·天等期中）一项工程，甲队单独完成要1
2天，乙队单独完成要8天，两队合作完成要20天。 （ ）9．一段路，甲4小时走完，乙5小时走完，甲的速度比乙快 。（ ）
三、仔细想，认真填(共7题；每空1分，共9分)10．（2020·长沙）—项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。照这样
计算，若两队合做， 天可以完成。11．用汽车运一批货物，10小时可以运完，现在运了3小时，运了这批货物的 12．一项工程，甲单独完
成要15小时，乙单独完成要10小时．现在由甲、乙合作 小时可以完成这项工程． 13．一项工作，甲队每天完成这项工作的 ，乙队每
天完成这项工作的 。甲、乙两队合作， 天完成这项工作的 。14．（）一项工程甲独做8小时完成，乙独做12小时完成，两人合做，2
小时完成这项工程的 ，余下的由甲独做还要 小时完成。15．（2020六上·相城期末）甲、乙两个注水管，单开甲管8小时注满一个水池，
单开乙管10小时注满一个水池，如果两管齐开同时注水，注满一个水池的 需要 小时。16．（2020六上·诸暨期末）加工一批零件，第
一小组单独做需要12小时，同样的时间第二小组只能完成 ，第二小组单独做需要 小时，两个小组合作需要 小时。四、解答问题(共12题
；共73分)17．（5分）一个蓄水池装有两个进水管，单开甲管10分钟可以将水池注满，单开乙管12分钟可以将水池注满。如果同时打开两
个进水管，多少分钟可以将水池注满?18．（5分）（2021六上·六盘水期中）打一份文稿，小明单独打要15小时，小刚要12小时，如果
两人合打，几小时后可以完成这份文稿的 ？19．（5分）一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要8天完成．甲的工作效率是乙的多少
（填百分数）？20．（5分）（2020六上·大洼期末）甲、乙两个工程队合修一条90千米长的水渠，这两个工程队修水渠长度比是3：2，
甲、乙两个工程队各修水渠多少千米？21．（5分）某工厂加工一批布，甲、乙两人合作，16天可以完成，甲单独做，20天可以完成。如果乙
每天加工600m布，那么这批布共有多少千米？22．（5分）（2020六上·澄海期中）一个游泳池装有一个进水管和一个出水管，单开进水
管，6分钟可以把游泳池装满水；单开出水管，8分钟可以把满池水放漏完。现将两个水管同时打开，多少分钟可以把游泳池装满水？23．（5分
）甲、乙两台抽水机排出井内积水，在工作过程中每小时向井内流入现在井水的去，如果不向井内流水，排净井内积水需要的时间是甲机独抽需10
小时，乙机独抽要15小时。如果两机同时开始工作，需几小时将井内水和流入的水全部抽干?24．（5分）甲、乙两队要挖一条水渠，甲队独挖
要15天完成，乙队独挖要12天完成，现在甲队两队合挖4天，还剩下这条水渠的几分之几？25．（6分）打一份文稿，单独打小明要15小时
，小刚要12小时，如果两人合打，几小时后可以完成这份文稿？ 26．（6分）甲、乙两车同时从两地出发，相向而行，在距离中点50km
处相遇。已知相遇时甲车行了全程的 ，两地相距多少千米？27．（15分）（2020·微山）只列式或方程，不计算。（1）（5分）脱贫
攻坚进入决战阶段。2018年末，我国农村贫困人口约有1600万人到2019年末比2018年下降了66.8%，2019年末我国农村贫
困人口约有多少万人？（2）（5分）一批校服，甲车间单独生产需要20天完成，乙车间单独生产需要30天完成，现在两车间同时合作生产，需
要多少天可完成？（3）（5分）小区内栽种了一批树苗，成活了300棵，有20棵没有成活。求这批树苗的成活率。28．（6分）（2020
六上·南通期末）一项工程，如果甲先干4天，乙再干6天，一共可以完成这项工程的 ，如果甲先干6天，乙再干4天，一共可以完成这项工程
的 ，如果甲、乙两队一起干，一共需要几天才能完成？答案解析1．【答案】A【完整解答】1÷=(天)故答案为：A【思路引导】以这项工
程为单位“1”，用1除以平均每天完成的工作量即可求出完成需要的天数.2．【答案】C【完整解答】1÷（+）=1÷=（小时）故答案为：
C.【思路引导】根据题意可知，把水池的容量看作单位“1”，用工作总量÷工作时间=工作效率，分别求出甲、乙管每小时进水量，然后用水池
的容量÷每小时的进水总量=需要的时间，据此解答.3．【答案】A【完整解答】(+)×2=(+)×2=×2=故答案为：A.【思路引导】
根据题意可知，把这批货物看作单位“1”，用工作总量÷工作时间=工作效率，据此分别求出两辆车的工作效率，然后用工作效率之和×2=2小
时运了这批货物的几分之几，据此解答.4．【答案】A【完整解答】解：1÷（＋）=1÷=10（天）。故答案为：A。【思路引导】两人合作
需要的天数=工作总量单位“1”÷工效和。5．【答案】A【完整解答】解：1÷（＋）。故答案为：A。【思路引导】两队合修完成需要的时间
=工作总量÷（甲的工效＋乙的工效）。6．【答案】（1）错误【完整解答】解： ： =15：8 所以一件工作，甲单独做8小时完成
，乙单独做15小时完成，甲、乙二人工作效率的比是8：15说法错误．故答案为：错误．【思路引导】把零件个数看作单位“1”，分别表示出
甲乙的效率，然后进一步求出它们的比即可．7．【答案】（1）错误【完整解答】甲的工效：1÷=4乙的工效：1÷=54＜5，甲的工效＜乙
的工效，原题说法错误.故答案为：错误.【思路引导】根据题意，把工作总量看作单位“1”，用工作总量÷工作时间=工作效率，然后比较即可
解答.8．【答案】（1）错误【完整解答】解：1÷（+）=，所以两队合作完成要天。故答案为：错误。【思路引导】将这项工程看成单位“1
”，所以两队合作完成的天数=1÷（甲队每天完成几分之几+乙队每天完成几分之几），其中甲队每天完成几分之几=1÷甲队单独完成要的天数
，乙队每天完成几分之几=1÷乙队单独完成要的天数，据此作答即可。9．【答案】（1）正【完整解答】（-）÷=÷=×5=原题说法正确.
故答案为：正确.【思路引导】根据题意可知，把这段路的全长看作单位“1”，用路程÷时间=速度，分别求出甲的速度和乙的速度，然后用（甲
的速度-乙的速度）÷乙的速度=甲的速度比乙快几分之几，据此列式解答.10．【答案】6【完整解答】解：1÷（+）=1÷=6（天）故答
案为：6.【思路引导】甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，甲的工作效率是，乙的工作效率是，甲乙的工作效率之和是（+）；总工
作量1÷甲乙的工作效率之和=甲乙的工作时间。11．【答案】【完整解答】 ×3= 故答案为： 【思路引导】以货物总量为单位“1”，
每小时可以运这批货物的，用每小时运的分率乘3即可求出共运了几分之几.12．【答案】6【完整解答】解：1÷（ ） =1÷ =6（
小时）答：甲、乙合作6小时可以完成这项工程．故答案为：6．【思路引导】把修这条路的工作量看作单位“1”，用单位“1”除以甲乙的工作
效率和，就是甲乙合作完成的时间，即工作总量÷工作效率和=工作时间．13．【答案】4【完整解答】解：÷（＋）=÷=4（天）。故答案为
：4。【思路引导】甲、乙两队合作需要的时间=工作总量÷工作效率和。14．【答案】；【完整解答】解：1÷8=1÷12=（＋）×2=×
2=（1-）÷=÷=（小时）故答案为：；。【思路引导】两人合做，2小时完成这项工程的分率=（甲的工效＋乙的工效）×工作时间； 余下
的由甲独做还需要的时间=（单位“1”-两人合做，2小时完成的工作总量）÷甲的工效。15．【答案】4【完整解答】解：÷（＋）=÷=4
（小时）故答案为：4。【思路引导】需要的时间=工作总量÷工效和。16．【答案】16；【完整解答】解：12÷=16（小时）1÷（＋）
=1÷=（小时）故答案为：16；。【思路引导】第二小组单独做需要的时间=第一小组单独做需要的时间÷；两个小组合作需要的时间=工作总
量÷工效和。17．【答案】解：1÷(+)=1÷=1×=（分）答：如果同时打开两个进水管，分钟可以将水池注满.【思路引导】根据题意可
知，把水池的总量看作单位“1”，用工作总量÷工作时间=工作效率，分别求出甲、乙管的工作效率，如果同时打开两个进水管，用工作总量÷工
作效率之和=合作的时间，据此解答.18．【答案】解： ÷（ + ）=5（小时） 答：5小时后可以完成这份文稿的 。【思路引
导】这份文稿的 是工作总量；小明单独打要15小时，小明的工作效率是，小刚单独打要12小时，小刚的工作效率是；工作总量÷两人的工作效
率之和=工作时间。19．【答案】解： 答：甲的工作效率是乙的80%.【思路引导】用分数分别表示出两人的工作效率，然后用甲的工作效率
除以乙的工作效率即可求出甲的工作效率是乙的百分之几.20．【答案】解：甲队：90× =54（千米） 乙队：90× =36（千米
）答：甲工程队修水渠54千米，乙工程队修水渠36千米。【思路引导】90千米平均分成5份，甲队修了总长的，乙队修了总长的；总长×修的
占总长的几分之几=修的路程，据此解答。21．【答案】解：600÷（-） =600÷ =48000（千米） 答： 这批布共有4800
0千米。【思路引导】此题主要考查了工程应用题，把这批布的总量看作单位“1”，乙每天加工的长度÷（甲、乙合作每天完成的占全部的分率-
甲单独每天完成的占全部的分率）=这批布的全长，据此列式解答。22．【答案】解：1÷（-） =1÷ =24（分钟） 答：24分钟可以
把游泳池装满水。【思路引导】时间=工作总量÷（进水管的工效-出水管的工效）。23．【答案】解： （小时）【完整解答】解： （小
时） 答：需要 小时将井内水和流入的水全部抽干。 【思路引导】把现在井内的积水看作“1”，用分数分别表示甲、乙抽水的工作效率，再表
示出流入水的效率，那么每小时抽水的效率就是（ ），然后用1除以这个效率即可求出全部抽干需要的时间。24．【答案】解：1-（ +
)×4= 答：还剩水渠的 .【思路引导】把总工作量看作单位“1”，用分数分别表示出两队的工作效率，用工作效率和乘4求出完成的工作
量，用1减去完成的工作量即可求出还剩下的工作量.25．【答案】解：1÷（ ）， =1 ，= ；答：如果两人合打， 小时后
可以完成这份文稿【思路引导】把工作总量看作单位“1”，表示出甲、乙工作效率，再利用工作时间=工作总量÷工作效率即可解决问题． 2
6．【答案】50÷(-)=50÷=600（千米）答：两地相距600千米.【思路引导】根据条件“相遇时甲车行了全程的”，可以得到50千米的对应分率是(-)，用50千米÷50千米占全程的分率=全程的长度，据此列式解答.27．【答案】（1）解：1660×（1-66.8%）（2）解： （3）解： 【思路引导】（1） 2019年末我国农村贫困人口数量= 2018年末我国农村贫困人口数量×（1-66.8%）；（2） 需要天数=总工作量÷（甲的工作效率+乙的工作效率）；（3）成活率=成活棵树÷（成活棵树+死亡棵树）×100%。28．【答案】解：（）÷（4＋6） =÷10 = 1÷=12（天） 答：一共需要12天才能完成。【思路引导】由题意可知：甲干10天且乙干10天，可以完成工程的（），所以甲、乙合作1天的工效总和=（）÷10=，时间=工作总量÷工效和=1÷=12（天）。 |
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