考点06 导数及其应用（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(原卷版）

考点06 导数及其应用（核心考点讲与练）



1．导数的概念

平均变化率瞬时变化率某点的导数在一点可导在区间上可导函数

2．导数的几何意义：曲线过点的切线的斜率等于．

3．常见函数的导数公式：

（为常数）； ； ； ； ；

（，且）； ； （，且）．

4．两个函数的和、差、积、商的求导法则：

法则1 ．

法则2 ．

法则3 ．

5．导数的应用

⑴利用导数判断单调性；⑵利用导数研究函数的极值与最值．

1.导数研究不等式恒成立问题，求最值问题，关键是将已知不等式分离为两个易于处理的函数之间的不等关系，利用数形结合方法求得a,b满足的条件，得到后，再构造函数，利用导数求最大值.

.导数研究函数的单调性，根据极值点求参数范围，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于理解极值点的定义，结合符号分类讨论，将问题转化为在局部区间（为足够小的正数）上的函数的符号，在讨论过程中注重引用“隐零点”的问题，实现极值的求解.

.研究函数的单调性及构造函数证明不等式，解含参数的不等式，通常需要从几个方面分类讨论：

（1）看函数最高次项系数是否为0，需分类讨论；

（2）若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口定时，需根据判别式讨论无根或两根相等的情况；

（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域的比较.

.利用导数研究函数的极值点以及利用导数解决不等式恒成立时的参数的范围问题，有较强的综合性，要求明确导数与函数的单调性以及极值之间的关系并能灵活应用，解答的关键是构造函数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，其中要注意分类讨论.

.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

(4)考查数形结合思想的应用．

.利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.







一、单选题

1．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室一模（文））设函数在点处附近有定义，且为常数，则（???????）

A． B． C． D．

2．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（???????）

A．5米/秒 B．8米/秒

C．14米/秒 D．16米/秒



3．（2022·陕西·略阳县天津高级中学二模（理））若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（???????）

A． B． C． D．

4．（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（???????）

A． B． C． D．

5．（2022·广东汕头·二模）已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

6．（2022·安徽合肥·二模（理））过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线、 ，切点为、（、不重合），设直线、分别与轴交于点、，则下列结论正确的个数是（???????）

①、两点的横坐标之积为定值；?????????????

②直线的斜率为定值；

③线段的长度为定值；??????????????????????

④三角形面积的取值范围为．

A． B． C． D．

7．（2021·广西桂林·模拟预测（理））设是函数的导函数，若，且对，且总有，则下列选项正确的是（???????）．

A． B．

C． D．

二、多选题

8．（2020·山东青岛·模拟预测）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（???????）

A． B．3 C． D．

9．（2021·全国·模拟预测）已知，（且），则（???????）

A．当时，函数的最小值为2

B．当时，的图象与的图象相切

C．若，则方程恰有两个不同的实数根

D．若方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是

三、填空题

10．（2022·湖南永州·三模）已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则__________．

11．（2021·福建厦门·三模）已知函数，若，则实数的取值范围是__________．

四、解答题

12．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）已知函数f（x）=（x-m）（x-n）2，m∈R.

(1)若函数f（x）在点A（m，f（m））处的切线与在点B（m+1，f（m+1））处的切线平行，求此切线的斜率；

(2)若函数f（x）满足：①m




















13．（2022·安徽省含山中学三模（理））已知函数

(1)若函数的图象在区间[0，1]上存在斜率为零的切线，求实数a的取值范围；

(2)当时，判断函数零点的个数，并说明理由.











14．（2022·江西萍乡·二模（文））已知抛物线，焦点为，过作动直线交抛物线于两点，过作抛物线的切线，过作直线的平行直线交轴于，设线段的垂直平分线为，直线的倾斜角为．已知当时，．

(1)求抛物线的方程；

(2)证明：直线过轴上一定点，并求该定点的坐标．









15．（2022·北京·一模）已知函数.

(1)求曲线在点处的切线的方程；

(2)若函数在处取得极大值，求的取值范围；

(3)若函数存在最小值，直接写出的取值范围.















一、单选题

1．（2022·浙江台州·二模）已知.若在处取到最小值，则下列恒成立的是（???????）

A． B． C． D．

2．（2022·江西萍乡·二模（文））若函数的图象在处的切线斜率为，则(???????)

A． B． C． D．

3．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））已知，则的最小值为（???????）

A． B． C． D．

4．（2021·海南·模拟预测）已知函数（是的导函数），则（???????）

A． B． C． D．

二、多选题

5．（2022·广东广州·二模）已知，直线与曲线相切，则下列不等式成立的是（???????）

A． B．

C． D．

6．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象在轴上的截距为，在轴右侧的第一个最高点的横坐标为，则下列说法正确的是（???????）

A．

B．

C．函数在上一定单调递增

D．在轴右侧的第一个最低点的横坐标为

三、填空题

7．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））写出一个同时满足下列性质①②③的函数：______；

①对定义域内任意的，，都有；

②对任意的，都有；

③f（x）的导函数为奇函数．

8．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室一模（理））函数的图象在处的切线与y轴的交点坐标为_____.

9．（2022·江西·模拟预测（文））已知曲线与过点的直线相切，则的斜率为_______．

10．（2022·福建莆田·模拟预测）曲线在处的切线方程为______．

四、解答题

11．（2022·辽宁·沈阳二中二模）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.



(1)若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；

(2)求正弦曲线（）曲率的平方的最大值.











12．（2022·贵州黔东南·一模（文））已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当x>1时，恒成立，求a的取值范围.















13．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数（是自然对数的底数）.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有3个极值点，，

（i）求实数m的取值范围；

（ii）证明：.

























14．（2022·安徽黄山·二模（文））已知函数.

(1)求的极值；

(2)当时， 求证：.









导数在研究函数中的作用

一、单选题

1．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））已知，则a，b，c的大小关系为（???????）

A． B． C． D．

2．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（???????）

A．-1 B．2 C．-3 D．4

3．（2022·云南·二模（文））已知e是自然对数的底数.若，使，则实数m的取值范围为（???????）

A． B． C． D．

二、多选题

4．（2022·湖南永州·三模）已知函数，则（???????）

A．的图象关于直线对称

B．在上为减函数

C．有4个零点

D．，使

三、填空题

5．（2021·四川·石室中学模拟预测（理））已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表：

x 0 2 4 5 3 1 2.5 1 3

的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：



①在区间上单调递增；

②有2个极大值点；

③的值域为；

④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4．

其中，所有正确结论的序号是______．

6．（2022·北京·一模）已知函数，给出下列四个结论：①是偶函数；②有无数个零点；③的最小值为；④的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为___________.

四、解答题

7．（2022·陕西陕西·二模（理））已知函数.

(1)若在定义域内单调递增，求a的取值范围；

(2)设，m，n分别是的极大值和极小值，且，求S的取值范围.







8．（2022·辽宁锦州·一模）已知函数.

(1)若在上是增函数，求a的取值范围；

(2)若是函数的两个不同的零点，求证：.











9．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））已知函数

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论的单调性.











10．（2022·全国·模拟预测）设函数，.

(1)当时，证明：在上无极值；

(2)设，，证明：在上只有一个极大值点.













11．（2022·吉林·延边州教育学院一模（文））已知函数．

(1)讨论函数的极值点个数；

(2)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．











12．（2022·江西萍乡·二模（文））已知．

(1)若，求的极值；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．











13．（2022·四川泸州·三模（文））已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若有且只有一个极值点，求a的取值范围．















14．（2022·重庆·二模）已知函数.

(1)判断函数是否存在极值，并说明理由；

(2)设函数，若存在两个不相等的正数，，使得，证明：.











15．（2022·河南·三模（文））已知函数．

(1)讨论极值点的个数；

(2)证明：．









16．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））已知函数，.

(1)，讨论函数的极值点；

(2)，设，当时，不等式恒成立，求a的取值范围.















17．（2022·江苏·海安高级中学二模）我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响．

(1)试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，．

①求p；

②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率．

(2)视p为概率，记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值．











18．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））设平面向量，满足，设函数．

(1)若函数的最大值为1，求实数a的值；

(2)在（1）的条件下，若使得，求证：．





















一、单选题

1．（2022·安徽省含山中学三模（理））若存在直线与函数，的图像都相切，则实数a的取值范围是（???????）

A．[-e，+∞） B．[-2，+∞）

C．[-1，+∞） D．[-，+∞）

2．（2022·河北·模拟预测）已知，且，则（???????）

A． B．

C． D．

3．（2022·河北保定·一模）已知某商品的进价为4元，通过多日的市场调查，该商品的市场销量（件）与商品售价（元）的关系为，则当此商品的利润最大时，该商品的售价（元）为（???????）

A．5 B．6 C．7 D．8

4．（2022·重庆·二模）某单位科技活动纪念章的结构如图所示，是半径分别为的两个同心圆的圆心，等腰三角形的顶点在外圆上，底边的两个端点都在内圆上，点在直线的同侧．若线段与劣弧所围成的弓形面积为，△与△的面积之和为，设．经研究发现当的值最大时，纪念章最美观，当纪念章最美观时，（??????????）



A． B． C． D．

二、多选题

5．（2022·广东湛江·二模）若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（???????）

A．

B．当时，的值不唯一

C．可能等于

D．当时，的取值范围是

6．（2020·辽宁·开原市第二高级中学三模）国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2020年国夏粮总产量达14281万吨，创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为立方米的粮食储藏容器，如图1所示，已知该容器分上下两部分，中上部分是底面半径和高都为米的圆锥，下部分是底面半径为米?高为米的圆柱体，如图2所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为元，圆柱的侧面?底面每平方米的建造费用为元，设每个容器的制造总费用为元，则下面说法正确的是（???????）



A． B．的最大值为

C．当时， D．当时，有最小值，最小值为

三、填空题

7．（2021·陕西·渭南市临渭区教学研究室二模（文））做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是，且用料最省，则水桶的底面半径为______．

四、解答题

8．（2022·江苏·南京市第一中学三模）已知函数．

(1)证明：；

(2)若，证明：．



9．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知函数.

(1)当时，判断的零点个数；

(2)设，若存在，使成立，求实数的取值范围.











10．（2022·河北·模拟预测）已知函数，．

(1)求函数在上的极值；

(2)当时，若直线l既是曲线又是曲线的切线，试判断l的条数．









11．（2022·天津三中一模）已知函数，．

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)若有两个极值点、，且．

①求实数的取值范围；

②求证：．











12．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)当时，证明：.















1．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（???????）

A． B．

C． D．

2．（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（???????）

A． B． C． D．

二、填空题

3．（2021·全国·高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．

4．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．

①；②当时，；③是奇函数．

5．（2021·全国·高考真题）函数的最小值为______.











三、解答题

6．（2021·全国·高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．

（1）求；

（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．







7．（2021·全国·高考真题（文））已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．







8．（2021·全国·高考真题）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点

①；

②．











9．（2021·全国·高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点．

（1）求a；

（2）设函数．证明:．











10．（2021·全国·高考真题（文））设函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.











11．（2021·全国·高考真题（理））已知且，函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．















12．（2021·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．

（1）已知，求；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．













13．（2021·全国·高考真题）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

























一、单选题

1. （2022·全国·模拟预测）已知曲线在处的切线为l，点到切线l的距离为d，则d的最大值为（ ）

A. 1 B. 2 C. D.

2. （2022·福建漳州·一模）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，则上到直线距离最短的点坐标为（ ）

A. B. C. D.

3. （2022·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4. （2022·浙江·模拟预测）某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示，点、点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则、两点在水平方向的距离约为（ ）



A. B. C. D.



5. （2022·全国·模拟预测）若过点可以作曲线且的两条切线，则（ ）

A. B.

C. D. 与的大小关系与有关

6. （2022·浙江·模拟预测）设是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不可能成立的是（ ）

A. B.

C. D.

7. （2022·广东·模拟预测）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，在处连续是在处可导的（ ）．



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. （2022·重庆·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则（ ）

A. B. C. D.

9. （2022·湖南永州·二模）若函数与存在两条公切线，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.







二、多选题

10. （2022·全国·模拟预测） 函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( )

A. 函数的图象关于直线对称

B. 当时，的最大值为－1

C. 函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为

D. 函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为

11. （2022·全国·模拟预测） 已知函数（a，b，），则（ ）

A. 若，则曲线在处的切线方程为

B. 若，，，则函数在区间上的最大值为

C. 若，，且在区间上单调递增，则实数a的取值范围是

D. 若，，函数在区间内存在两个不同的零点，则实数c的取值范围

三、填空题

12. （2022·山东菏泽·一模）曲线在点处的切线方程为______．

13. （2022·山东·模拟预测）已知直线与曲线相切，则___________.

14. （2022·山东临沂·一模）函数，则曲线在处的切线方程为______.









、解答题

15. （2022·全国·模拟预测）已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若，求证：.











16. （2022·全国·模拟预测）已知函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若在区间内恒成立，求实数a的取值范围.







17. （2022·河南·模拟预测（理））已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，求证：当时，．











18. （2022·海南·模拟预测）已知函数.

（1）求在区间上的最大值和最小值；

（2）设，若当时，，求实数a的取值范围.