考点10 平面向量（核心考点讲与练）一、平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长
度(或模)如a，零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量
，可记作a0a0＝共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作a∥b相等向量同向且等长的
有向线段表示同一向量，或相等的向量如＝a相反向量与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量记作－a2.向量的线性运算向量运算定 义
法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去
一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0
时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μ
a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.二、向量的分解与
向量的坐标运算1.平面向量的基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，
a2，使a＝a1e1＋a2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a
2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.
平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋
y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终
点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.4.平面向量共线的坐标表示设
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.平面向量的数量积及其应用1.两个向量的夹角(1)定义：已
知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0
，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴
l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上
的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三
角函数中的余弦定义有al＝|a|cos__θ.3.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a
和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1
，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.②模：|a|＝＝
.③夹角：cos θ＝＝.④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a
∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ ·.4.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·
b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).1.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则
和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边
形法则要素是“起点重合”.2.三个常用结论(1)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0；(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F
为BC的中点，则＋＝2；(3)对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线?x＋y＝1.注意向量共
线与三点共线的区别.3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.4.平
面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.5.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e
2的形式.6.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.7.
求向量模的常用方法利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.8.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或
最值问题常用的方法与技巧.平面向量的概念及线性运算及基本定理1.（2020安徽滁州市定远县育才学校月考）如图，D、E、F分别是△A
BC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是（ ）A．＋＋＝0 B．＋＋＝0C．＋＋＝ D．＋＋＝【答案】D【分析】根据所
给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.【详解】＋＋＝＋＝0，A正确；＋＋＝＋＋＝0，B正确；＋＋＝＋＝＋＝，C正确；＋＋
＝＋0＝＝≠，D错误，故选：D．2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是 A．若向量，共线，则向量，的方向相同B．
向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上C．中，D是BC中点，则D．若，则使【答案】C【分析】根据向量共线的定义，可
知错误；选项忽略了零向量的情况，所以错误；选项可通过向量加法运算得到，所以正确.【详解】选项：共线，则向量方向相同或相反，可知错误
；选项：和共线即，则未必在同一条直线上，可知错误；选项：根据向量线性运算中的加法运算法则，可得，可知正确；选项：若为非零向量，为零
向量，则，此时不存在，使得，可知错误.本题正确选项：3. （2020湖南省娄底市模拟）已知，，则（ ）A. 2B. C. 4D.
【答案】C【分析】根据向量模的坐标表示，可直接得出结果.【详解】因为，，所以，则.故选：C.平面向量的数量积及其应用1. （202
2河北省沧州市高三9月教学监测）如图，中，，，分别是的三等分点，若，则（ ）A. B. 2C. 3D. 6【答案】D【分析】以为基
底，表示出，根据数量积公式代入数据化简即可.【详解】由题意得，，所以.所以，故选:D2.（2022湖北省黄石市高三9月调研）已知向
量的夹角为，，，则（ ）A． B．21 C．3 D．9【答案】C【分析】利用平方的方法求得正确答案.【详解】.故选：C
3.（2022贵州省贵阳第一中学高三月考卷）已知向量，且，则（ ）A． B． C．2 D．-2【答案】D【分析】利用列方程，
化简求得【详解】因为，，所以，又因为，所以，化简得.故选：D4.（多选题）已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）A．存在，使得B．
存在，使得C．对于任意，，D．对于任意，，【答案】BCD【分析】A垂直的数量积为0，列出等式，看解出的是否在上；B由平行的坐标表示
列出等式，看解出的是否在上；C先由向量数量积的坐标运算，列出和三角函数有关的式子，再求其值域即可；D先表示出模，转化为三角函数求值
域问题求解.【详解】对A：，若，则，因为，此时无解，故A错误；对B：若，则，因为，所以，故B正确；对C：，因为，所以，，则，，所以
，，故C正确；对D：，因为，则，，所以，，则，，故D正确；故选：BCD．5. （2022北京八一学校高三上学期开学考试）设函数，其
中向量，．（1）求函数的最小正周期与单调递减区间；（2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，，的面积为，判断的形状，并说明理由．【
答案】（1）最小正周期是，单调递减区间是；（2）直角三角形，理由见解析．【分析】（1）由数量积坐标运算求得，并由二倍角公式、两角和
的正弦公式化函数为一个角一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得最小正周期和减区间；（2）先求得角，由面积公式求得，再由余弦定理求
得，可判断三角形形状．【详解】（1），所以最小正周期是，，解得，减区间是；（2）由（1），，因为，所以，所以，，，，，，，是直角三
角形．1. （2021年全国高考乙卷）已知向量，若，则_________．【答案】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程
，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.1. （2021年全国高考乙卷
）已知向量，若，则__________．【答案】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】
因为，所以由可得，，解得．故答案为：．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
3. （2021年全国高考甲卷）若向量满足，则_________.【答案】【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】∵
∴∴.故答案为：.4. （2021年全国新高考Ⅰ卷）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【分析】
A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断
正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来
说故错误；故选：AC一、单选题1. （2022·全国·模拟预测）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形
ABCDEFGH，如图所示，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】连接CE，由正八边形的性质与余弦定理求出AC，再
由对称性得到AC与AE的关系，从而根据向量的数量积的运算公式求得结果.【详解】连接CE，因为正八边形ABCDEFCH的每一个内角都
是135°，且，所以,由正八边形的对称性知，且，所以，则，故选:D.2. （2022·全国·模拟预测） 已知抛物线，P为直线上一点
，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（ ）A. B. -1C. D. -2【答案】A【分析】设，，利用导数的几
何意义可求直线，，进而可得，然后利用数量积的坐标运算结合二次函数的性质即得.【详解】设，.由求导得，则直线，直线， 联立方程可得，
由P在直线上，得，且，即.因而.故选：A.3. （2022·山东济宁·一模）等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点
，则的最大值为（ ）A. 4B. 7C. 8D. 11【答案】C【分析】以O为原点，AO所在直线为轴，建立直角坐标系，求出的坐标，
因为点P是该圆上的动点，设，表示出，用辅助角求出最值即可.【详解】如图，等边三角形ABC，O为等边三角形ABC的外接圆的圆心，以O
为原点，AO所在直线为轴，建立直角坐标系.因为，所以，等边三角形ABC的边长为，则，所以，则.又因为P是该圆上的动点，所以设，，,
，因为，，所以当时，的最大值为8.故选：C.4. （2022·辽宁大东·模拟预测）中，，D为AB的中点，，则（ ）A. 0B. 2
C. -2D. -4【答案】A【分析】取为基底，表示出即可求解.【详解】在中，D为AB的中点，，取为基底，所以,.所以.因为，，所
以.即.故选：A5. （2022·山东临沂·一模）设向量，，若，则（ ）A. －3B. 0C. 3D. 3或－3【答案】D【分析】
根据向量平行的坐标表示可得求解即可.【详解】由题设，有，可得.故选：D6. （2022·全国·模拟预测）已知等边△的边长为，点，分
别为，的中点，若，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】由题意画出图形，把向量用向量和表示，结合可求得的值.【详解
】由已知条件,图形如下图所示： ,解得.故选：.7. （2022·广东高州·二模）已知向量，，且，则m的值为（ ）A. B. 2C
. D. 4【答案】A【分析】利用向量平行的坐标，即可求解.【详解】，，，，解得：.故选：A8. （2022·浙江·模拟预测）《跳
舞的线》是一款音乐类游戏，要求玩家用双眼观察障碍物与陷阱，用双耳聆听节奏，根据音乐引线条通过多重地形，最终抵达终点．玩家每点击一次
屏幕，线条将会旋转，且为顺时针、逆时针交替转向．如图是游戏中“沙漠”一关的截图，线条从点前进到点有两条路径：①和②．假设转弯不改变
线条的速度，则两条路径所需时间一定相同，这一点可以由某定理保证．这个定理是（ ）A. 平面向量基本定理B. 共线向量基本定理C.
有一内角为直角的平行四边形是矩形D. 两直线平行，同旁内角互补【答案】A【分析】根据平面向量的基本定理可得出结论.【详解】由图可知
，从点到点的两条路径①和②，这两条路径的起点和终点都相同，由平面向量的基本定理可知，若转弯不改变线条的速度，结合图形可知，两条路径
在行进的两个方向的路程相同，则两条路径所需时间一定相同.故选：A.二、多选题9. （2022·全国·模拟预测）已知向量，，，，则下
列说法正确的是（ ）A. 若，则有最小值B. 若，则有最小值C. 若，则的值为D. 若，则的值为1【答案】A【分析】根据向量的坐标
运算，求得，结合向量平行和垂直的坐标运算以及基本不等式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】∵，，∴．对A：若，则，当
且仅当，即，，取得等号，故选项A正确；对B：若，则，当且仅当，，取得等号，故选项B错误；对C：若，则，即，则，故选项C错误；对D：
因为,所以，，则D不正确.故选：A．10. （2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中点，连接AE，B
D相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【分析】根据平面向量的线性运算并结合平面向量
共线定理即可判断答案.【详解】对于A选项，，故A选项正确；对于B选项，因为B，F，D三点共线，设，由，所以存在唯一实数，使得，结合
A可知，，因为不共线，所以，所以，故B选项正确；对于C选项，结合B，，故C选项错误；对于D选项，结合B，，故D选项正确.故选：AB
D.11. （2022·广东深圳·一模）四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案
】BD【分析】如图，根据向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可.【详解】如图，A：，故A错误；B：，故B正确；C：，故
C错误；D：，由，得，所以，故D正确.故选：BD12. （2022·广东韶关·一模）已知向量，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则
向量可以表示平面内任一向量B. 若，则C. 若，则D. 若，则与的夹角是锐角【答案】BC【分析】A选项，根据平行得到k的范围；B选
项，根据条件得到两向量垂直，进而求出k的值；C选项，列出不等式，求出k的范围；D选项，举出反例.【详解】当与不共线，可以表示平面内
任一向量，所以，解得:且A错误；若，则，所以，得：，B正确；若，有，解得：，C正确；当时，与平行，夹角不是锐角，错误.故选：.13
. （2022·重庆·模拟预测）已知中，在方向上的投影为为的中点，为的中点，则下列式子有确定值的是（ ）A. B. C. D. 【
答案】AC【分析】如图，以为原点，的方向为轴正方向建立平面直角坐标系，根据题意设出点的坐标，然后逐个计算即可【详解】如图，以为原点，的方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 因为在方向上的投影为3，所以点的横坐标为5，设点坐标为，，因为为的中点，为的中点，所以，,对于A，，所以A正确，对于B，，所以B错误，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D错误，故选：AC 三、填空题14. （2022·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则______.【答案】##0.5【分析】根据向量的数量积公式即可求出.【详解】由题可得，故.故答案为：.15. （2022·全国·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则___________.【答案】【分析】由题意得，直接平方即得结果.【详解】由题，两边同时平方得，，得.故答案为：.16. （2022·全国·模拟预测）已知向量，，，若，则实数______．【答案】2【分析】由题可得，再利用数量积的坐标公式即求.【详解】因为，，所以．又，，所以，解得．故答案为：2. |
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