2022年全国中考数学试题含答案解析精选15套汇编（word版）

目录2022年安徽省中考数学试卷22022年安徽省中考数学试卷—答案92022年北京市中考数学试卷212022年北京市中考数学试卷 - 答案
292022年广东省广州市中考数学试卷372022年广东省广州市中考数学试卷—答案442022年广东省深圳市中考数学试卷58202
2年广东省深圳市中考数学试卷 - 答案642022年广东省中考数学试卷732022年广东省中考数学试卷 - 答案772022年河北
省中考数学试卷822022年河北省中考数学试卷 - 答案912022年河南省中考数学试卷982022年河南省中考数学试卷 - 答案
1042022年湖北省武汉市中考数学试卷1122022年湖北省武汉市中考数学试卷 - 答案1202022年山西省中考数学试卷129
2022年山西省中考数学试卷 - 答案1392022年上海市中考数学试卷1472022年上海市中考数学试卷 - 答案1522022
年天津市中考数学试卷1602022年天津市中考数学试卷—答案1692022年湖北省黄冈市中考数学试卷1752022年湖北省黄冈市中
考数学试卷答案1822022年浙江省杭州市中考数学试卷1862022年浙江省杭州市中考数学试卷 - 答案1922022年浙江省嘉兴
市中考数学试卷1992022年浙江省嘉兴市中考数学试卷 - 答案2062022年浙江省温州市中考数学真题2152022年浙江省温州
市中考数学真题—答案2242022 年安徽省中考数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）每小题都
给出 A，B，C，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1．（4 分）下列为负数的是（ ）A．|﹣2|B． C．0D
．﹣52．（4 分）据统计，2021 年我省出版期刊杂志总印数 3400 万册，其中 3400 万用科学记数法表示为（ ）A．3.
4×108B．0.34×108C．3.4×107D．34×1063．（4 分）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其
俯视图是（ ）A． B． C． D． 4．（4 分）下列各式中，计算结果等于 a9 的是（ ）A．a3+a6B．a3?
a6C．a10﹣aD．a18÷a25．（4 分）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是（
）A．甲B．乙C．丙D．丁6．（4 分）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ）A．α﹣90°B．α﹣45°C．18
0°﹣αD．270°﹣α7．（4 分）已知⊙O 的半径为 7，AB 是⊙O 的弦，点 P 在弦 AB 上．若 PA＝4，PB＝6，
则OP＝（ ）A． B．4C． D．58．（4 分）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白
两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的
概率为（ ）A． B． C． D．9．（4 分）在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+a2 与 y＝a2x+a 的
图象可能是（ ）A． B． C． D． 10．（4 分）已知点 O 是边长为 6 的等边△ABC 的中心，点 P 在△ABC
外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA 的面积分别记为 S0，S1，S2，S3．若 S1+S2+S3＝2S0，则线段 OP 长
的最小值是（ ）A． B． C．3D．二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）11．（5 分）不等式
≥1 的解集为 ．12．（5 分）若一元二次方程 2x2﹣4x+m＝0 有两个相等的实数根，则 m＝ ．13．（5 分）如
图，?OABC 的顶点 O 是坐标原点，A 在 x 轴的正半轴上，B，C 在第一象限，反比例函数 y＝的图象经过点 C，y＝（k≠
0）的图象经过点 B．若 OC＝AC，则 k＝ ．14．（5 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在边 AD 上，△B
EF 是以 E 为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF 分别交 CD 于点 M，N，过点 F 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于
点 G．连接 DF，请完成下列问题：（1）∠FDG＝ °；（2）若 DE＝1，DF＝2，则 MN＝．三、（本大题共 2 小题，每
小题 8 分，满分 16 分）15．（8 分）计算：（）0﹣+（﹣2）2．16．（8 分）如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方
形组成的网格中，△ABC 的顶点均为格点（网格线的交点）．将△ABC 向上平移6 个单位，再向右平移2 个单位，得到△A1B1C1
，请画出△A1B1C1；以边 AC 的中点 O 为旋转中心，将△ABC 按逆时针方向旋转 180°，得到△A2B2C2，请画出△A
2B2C2．四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）17．（8 分）某地区 2020 年进出口总额为 520 亿
元，2021 年进出口总额比 2020 年有所增加，其中进口额增加了 25%，出口额增加了 30%．注：进出口总额＝进口额+出口额
．设 2020 年进口额为 x 亿元，出口额为 y 亿元，请用含 x，y 的代数式填表：年份进口额/亿元出口额/亿元进出口总额/亿
元2020xy52020211.25x1.3y 已知 2021 年进出口总额比 2020 年增加了 140 亿元，求 2021
年进口额和出口额分别是多少亿元？18．（8 分）观察以下等式：第 1 个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第
2 个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第 3 个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第 4 个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：写出第 5 个等式：；写出你猜想
的第 n 个等式（用含 n 的式子表示），并证明．五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）19．（10 分）已
知 AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为 BA 的延长线上一点，连接 CD．如图 1，若 CO⊥AB，∠D＝30°，O
A＝1，求 AD 的长；如图 2，若 DC 与⊙O 相切，E 为 OA 上一点，且∠ACD＝∠ACE．求证：CE⊥AB．20．（1
0 分）如图，为了测量河对岸 A，B 两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点 C，测得 A，B 均在 C 的北偏东 37°
方向上，沿正东方向行走 90 米至观测点 D，测得 A 在 D 的正北方向，B 在 D 的北偏西 53°方向上．求 A，B 两点间
的距离．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．六、（本题满分 12 分）21．（12
分）第 24 届冬奥会于 2022 年 2 月 20 日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有 500名学生，为了解这两个年级学生对本
次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取 n 名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用 x 表示）： A
：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85， D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100，并绘制七
年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：已知八年级测试成绩 D 组的全部数据如下：86，85，87，8
6，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题：（1）n＝，a＝；八年级测试成绩的中位数是；若测试成绩不低于 90 分，则认
定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．七、（本题满分 12 分）2
2．（12 分）已知四边形 ABCD 中，BC＝CD，连接 BD，过点 C 作 BD 的垂线交 AB 于点 E，连接 DE．如图
1，若 DE∥BC，求证：四边形 BCDE 是菱形；如图 2，连接 AC，设 BD，AC 相交于点 F，DE 垂直平分线段 AC．
（ⅰ）求∠CED 的大小；（ⅱ）若 AF＝AE，求证：BE＝CF．八、（本题满分 14 分）23．（14 分）如图 1，隧道截面由
抛物线的一部分 AED 和矩形 ABCD 构成，矩形的一边 BC为 12 米，另一边 AB 为 2 米．以 BC 所在的直线为 x
轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，规定一个单位长度代表 1 米．E（0，8）是抛物线的顶点．求
此抛物线对应的函数表达式；在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图 2、图 3 中粗线段所示，点 P1，P4 在 x
轴上，MN 与矩形 P1P2P3P4 的一边平行且相等．栅栏总长 l 为图中粗线段 P1P2，P2P3，P3P4，MN 长度之和
，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图 2，点 P2，P3 在抛物线 AED 上．设点 P1 的横坐标为 m（0＜m≤
6），求栅栏总长 l 与 m 之间的函数表达式和 l 的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为 18 的栅栏，有如图 3 所示的“ ”型和
“ ”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形 P1P2P3P4 面积的最大值，及取最大值时点P1 的横坐标的取值范围（
P1 在 P4 右侧）．2022 年安徽省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 4
0 分）每小题都给出 A，B，C，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1．【解答】解：A．|﹣2|＝2，是正数，故本选项不
合题意；B． 是正数，故本选项不合题意；C．0 既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；D．﹣5 是负数，故本选项符合题意． 故
选：D．2．【解答】解：3400 万＝34000000＝3.4×107．故选：C．【解答】解：从上面看，是一个矩形．故选：A．【解
答】解：A．因为 a3 与 a6 不是同类项，所以不能合并，故 A 选项不符合题意；因为 a3?a6＝a3+6＝a9，所以 B 选
项结果等于 a9，故 B 选项符合题意；因为 a10 与 a 不是同类项，所以不能合并，故 C 选项不符合题意；因为 a18÷a2
＝a18﹣2＝a16，所以 D 选项结果不等于 a9，故 D 选项不符合题意． 故选：B．【解答】解：∵30 分钟甲比乙步行的路程
多，50 分钟丁比丙步行的路程多，∴甲的平均速度＞乙的平均速度，丁的平均速度＞丙的平均速度，∵步行 3 千米时，甲比丁用的时间少，
∴甲的平均速度＞丁的平均速度，∴走的最快的是甲， 故选：A．【解答】解：由图可得，∠1＝90°+∠3，∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90
°，∵∠3+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α， 故选：C．【解答】解：
如图，过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，连接OB，则 OB＝7，∵PA＝4，PB＝6，∴AB＝PA+PB＝10，∵OC⊥AB，∴
AC＝BC＝5，∴PC＝PB﹣BC＝1，在 Rt△OBC 中，根据勾股定理得：OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，在 Rt△
OPC 中，根据勾股定理得： OP＝ ＝＝5， 故选：D．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有 8 种等可能结果，其中恰好是
两个黑色小正方形和一个白色小正方形的有 3 种结果，所以恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为， 故选：B．【解答】解：
∵y＝ax+a2 与 y＝a2x+a，∴x＝1 时，两函数的值都是 a2+a，∴两直线的交点的横坐标为 1，若 a＞0，则一次函数
y＝ax+a2 与 y＝a2x+a 都是增函数，且都交 y 轴的正半轴；若 a＜0，则一次函数 y＝ax+a2 是减函数，交 y
轴的正半轴，y＝a2x+a 是增函数，交 y 轴的负半轴，且两直线的交点的横坐标为 1；故选：D．【解答】解：如图，不妨假设点
P 在 AB 的左侧，∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S
1+S1+S0＝2，∴S1＝ S0，∵△ABC 是等边三角形，边长为 6，∴S0＝ ×62＝9，∴S1＝ ，过点 P 作 AB 的
平行线 PM，连接 CO 延长 CO 交 AB 于点 R，交 PM 于点 T．∵△PAB 的面积是定值，∴点 P 的运动轨迹是直线
PM，∵O 是△ABC 的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴?AB?RT＝ ，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，
∵OP≥OT，∴OP 的最小值为，当点 P 在②区域时，同法可得 OP 的最小值为，如图，当点 P 在①③⑤区域时，OP 的最小值
为，当点 P 在②④⑥区域时，最小值为，∵＜，故选：B．二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）11．【解
答】解：≥1，x﹣3≥2， x≥3+2， x≥5．故答案为：x≥5．【解答】解：∵一元二次方程 2x2﹣4x+m＝0 有两个相等的
实数根，∴Δ＝16﹣8m＝0，解得：m＝2．∴m＝2．故答案为：2．【解答】解：由题知，反比例函数 y＝的图象经过点C，设 C 点
坐标为（a，），作 CH⊥OA 于 H，过 A 点作 AG⊥BC 于 G，∵四边形 OABC 是平行四边形，OC＝AC，∴OH＝A
H，CG＝BG，四边形 HAGC 是矩形，∴OH＝CG＝BG＝a， 即 B（3a，），∵y＝ （k≠0）的图象经过点 B，∴k＝3
a? ＝3， 故答案为：3．【解答】解：由题知，△BEF 是以 E 为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEB+∠GEF＝90°，∵∠
AEB+∠ABE＝90°，∴∠GEF＝∠ABE， 在△ABE 和△GEF 中，，∴△ABE≌△GEF（AAS），∴EG＝AB＝AD
，GF＝AE， 即 DG+DE＝AE+DE，∴DG＝AE，∴DG＝GF，即△DGF 是等腰直角三角形，∴∠FDG＝45°， 故答案
为：45°；（2）∵DE＝1，DF＝2 ，由（1）知，△DGF 是等腰直角三角形，∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝
2+1＝3， 延长 GF 交 BC 延长线于点 H，∴CD∥GH，∴△EDM∽△EGF，∴，即，∴MD＝ ，同理△BNC∽△BFH
，∴，即，∴，∴NC＝ ，∴MN＝CD﹣MD﹣NC＝3﹣ ﹣＝， 故答案为：．三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16
分）15．【解答】解：原式＝1﹣4+4＝1．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1 即为所求；（2）如图，△A2B2C2 即为所
求．四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）【解答】解：（1）由表格可得，2021 年进出口总额为：1.25x+
1.3y， 故答案为：1.25x+1.3y；（2）由题意可得，解得，，∴1.25x＝400，1.3y＝260，答：2021 年进口
额是 400 亿元，出口额是 260 亿元．18．【解答】解：（1）因为第 1 个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×
2）2，第 2 个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第 3 个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4
×6）2，第 4 个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第 5 个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣
（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第 n 个等式：（2n+1）2＝[（n+1）
×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[
（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）19
．【解答】解：（1）∵OA＝1＝OC，CO⊥AB，∠D＝30°，∴OD＝ ?OC＝ ，∴AD＝OD﹣OA＝ ﹣1；（2）∵DC 与
⊙O 相切，∴OC⊥CD，即∠ACD+∠OCA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵∠ACD＝∠ACE，∴∠OAC+∠A
CE＝90°，∴∠AEC＝90°， 即 CE⊥AB．20．【解答】解：∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECA＝37°，∴∠CBD＝∠A+∠
ADB＝37°+53°＝90°，∴∠ABD＝90°，在 Rt△BCD 中，∠BDC＝90°﹣53°＝37°，CD＝90 米，cos
∠BDC＝，∴BD＝CD?cos∠37°≈90×0.80＝72（米），在 Rt△ABD 中，∠A＝37°，BD＝72 米，tanA
＝，∴AB＝≈＝96（米）．答：A，B 两点间的距离约 96 米．六、（本题满分 12 分）21．【解答】解：（1）由题意得：n＝
7÷35%＝20（人），故 2a＝20﹣1﹣2﹣3﹣6＝8，解得 a＝4，故答案为：20；4；（2）把八年级测试成绩从小到大排列，
排在中间的两个数分别为 86，87，故中位数为 ＝86.5（分），故答案为：86.5 分；（3）500× +500×（1﹣5%﹣5
%﹣20%﹣35%）＝100+175＝275（人），故估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有 275 人．七、（本题
满分 12 分）22．【解答】（1）证明：设 CE 与 BD 交于点 O，∵CB＝CD，CE⊥BD，∴DO＝BO，∵DE∥BC，∴
∠DEO＝∠BCO，∵∠DOE＝∠BOC，∴△DOE≌△BOC（AAS），∴DE＝BC，∴四边形 BCDE 是平行四边形，∵CD＝
CB，∴平行四边形 BCDE 是菱形；（2）（i）解：∵DE 垂直平分 AC，∴AE＝EC 且 DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED，
又∵CD＝CB 且 CE⊥BD，∴CE 垂直平分 DB，∴DE＝BE，∴∠DEC＝∠BEC，∴∠AED＝∠CED＝∠BEC，又∵∠
AED+∠CED+∠BEC＝180°，∴∠CED＝ ；（ii）证明：由（i）得 AE＝EC，又∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝
120°，∴∠ACE＝30°，同理可得，在等腰△DEB 中，∠EBD＝30°，∴∠ACE＝∠ABF＝30°， 在△ACE 与△AB
F 中，，∴△ABF≌△ACE（AAS），∴AC＝AB， 又∵AE＝AF，∴AB﹣AE＝AC﹣AF， 即 BE＝CF．八、（本题满
分 14 分）23．【解答】解：（1）由题意可得：A（﹣6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数
表达式为 y＝ax2+8，将 A（﹣6，2）代入，（﹣6）2a+8＝2， 解得：a＝﹣ ，∴抛物线对应的函数表达式为 y＝﹣x2+
8；（2）（ⅰ）∵点 P1 的横坐标为 m（0＜m≤6），且四边形 P1P2P3P4 为矩形，点 P2，P3 在抛物线 AED 上
，∴P2 的坐标为（m，﹣m2+8），∴P1P2＝P3P4＝MN＝﹣ m2+8，P2P3＝2m，∴l＝3（﹣ m2+8）+2m＝﹣
m2+2m+24＝﹣ （m﹣2）2+26，∵﹣ ＜0，∴当 m＝2 时，l 有最大值为 26，即栅栏总长 l 与 m 之间的函数
表达式为 l＝﹣m2+2m+24，l 的最大值为 26；（ⅱ）方案一：设 P2P1＝n，则 P2P3＝18﹣3n，∴矩形 P1P2
P3P4 面积为（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27，∵﹣3＜0，∴当 n＝3 时，矩形面积有最大值为 27
， 此时 P2P1＝3，P2P3＝9，令﹣ x2+8＝3，解得：x＝± ，∴此时 P1 的横坐标的取值范围为﹣+9≤x≤ ， 方案
二：设 P2P1＝n，则 P2P3＝＝9﹣n，∴矩形 P1P2P3P4 面积为（9﹣n）n＝﹣n2+9n＝﹣（n﹣）2+ ，∵﹣1
＜0，∴当 n＝ 时，矩形面积有最大值为，此时 P2P1＝，P2P3＝ ， 令﹣ x2+8＝ ，解得：x＝± ，∴此时 P1 的横
坐标的取值范围为﹣+ ≤x≤．2022 年北京市中考数学试卷一、选择题（共 16 分，每题 2 分）第 1-8 题均有四个选项
，符合题意的选项只有一个．1．（2 分）下面几何体中，是圆锥的为( )A． B． C． D． 2．（2 分）截至 2021 年
12 月 31 日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达 2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约 2.2 亿吨．将 26
2883000000 用科学记数法表示应为( )A． 26.2883?1010C． 2.62883?1012B． 2.62883
?1011D． 0.262883?10123．（2 分）如图，利用工具测量角，则?1 的大小为( )A． 30?B． 60?C
．120?D．150?4．（2 分）实数a ， b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )a ? ?2b ?
1a ? b?a ? b5．（2 分）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并
摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )141312346．（2 分）若关于 x 的一元二次
方程 x2 ? x ? m ? 0 有两个相等的实数根，则实数m 的值为( )?4? 1414D．47．（2 分）图中的图形为轴
对称图形，该图形的对称轴的条数为( )A．1B．2C．3D．5 8．（2 分）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从 A 地匀
速行驶到 B 地，汽车的剩余路程 y 与行驶时间 x ；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量 y 与放水时间 x ；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积 y 与一边长 x ．其中，变量 y 与变量 x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示
的是( )A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共 16 分，每题 2 分）x ? 89．（2 分）若在实数范围内有意义
，则实数 x 的取值范围是 ．10．（2 分）分解因式： xy2 ? x ? ．11．（2 分）方程 2x ? 5?
1 的解为 ．x12．（2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A(2, y ) ， B(5, y ) 在反比例函数 y
? k (k ? 0) 的12x图象上，则 y1 y2 （填“ ? ”“ ? ”或“ ? ” ) ．鞋号3536373839
40414243销售量/双245512632113．（2 分）某商场准备进 400 双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的 40 双滑冰
鞋的鞋号，数据如下：根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双．14．（2 分）如图，在?ABC 中，AD 平分?
BAC ，DE ? AB ．若AC ? 2 ，DE ? 1 ，则S?ACD ? ．15．（2 分）如图，在矩形 ABCD
中，若 AB ? 3 ， AC ? 5 ， AF ? 1 ，则 AE 的长为 ．FC416．（2 分）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ
号两种产品共打包成 5 个不同的包裹，编号分别为 A ，B ， C ， D ， E ，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如
下：包裹编号Ⅰ号产品重量/吨Ⅱ号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过 19
.5 吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．如果装运的Ⅰ号产品不少于 9 吨，且不多于 11 吨，写出一种满足条件的装运方案 （写
出要装运包裹的编号）；如果装运的Ⅰ号产品不少于 9 吨，且不多于 11 吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案 （
写出要装运包裹的编号）．三、解答题（共 68 分，第 17-20 题，每题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第
23-24 题，每题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分）解答应写出文字说明、
演算步骤或证明过程．17．（5 分）计算： (? ?1)0 ? 4sin 45? ? 8? | ?3 | ．?2 ? x ? 7
? 4x,?4 ? x18．（5 分）解不等式组： ?．x ????219．（5 分）已知 x2 ? 2x ? 2 ? 0 ，求代
数式 x(x ? 2) ? (x ?1)2 的值．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180? ．已知：如图， ?ABC ，求
证： ?A ? ?B ? ?C ?180?．方法一证明：如图，过点 A 作 DE / /BC ．方法二证明：如图，过点C 作CD
/ / AB ．20．（5 分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．21．（6 分）如图，在
ABCD 中， AC ， BD 交于点O ，点 E ， F 在 AC 上， AE ? CF ．求证：四边形 EBFD 是平行四边
形；若?BAC ? ?DAC ，求证：四边形 EBFD 是菱形．22．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y ? kx
? b(k ? 0) 的图象过点(4,3) ，(?2, 0) ，且与 y 轴交于点 A ．求该函数的解析式及点 A 的坐标；当 x
? 0 时，对于 x 的每一个值，函数 y ? x ? n 的值大于函数 y ? kx ? b(k ? 0) 的值，直接写出n
的取值范围．23．（6 分）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分
的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．甲、乙两位同学得分的折线图：b ．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，
3，9，8，10c ．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息，回答下列问题：求表中m 的值；在
参加比赛的同学中，如果某同学得分的 10 个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委
对 的评价更一致（填“甲”或“乙” ) ；如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分
越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 （填“甲”“乙”或“丙” ) ．24．（6
分）如图， AB 是 O 的直径， CD 是 O 的一条弦， AB ? CD ，连接 AC ， OD ．（1）求证： ?BOD ?
2?A ；（2）连接 DB ，过点C 作CE ? DB ，交 DB 的延长线于点 E ，延长 DO ，交 AC 于点 F ．若F
为 AC 的中点，求证：直线CE 为 O 的切线．25．（5 分）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳
台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 y （单
位： m) 与水平距离 x （单位： m) 近似满足函数关系 y ? a(x ? h)2 ? k(a ? 0) ．某运动员进行了两
次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如下：水平距离x / m02581114竖直高度y
/ m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据， 直接写出该运动员竖直高度的最大值， 并求出满足的
函数关系y ? a(x ? h)2 ? k(a ? 0) ；（ 2 ）第二次训练时，该运动员的竖直高度 y 与水平距离 x 近似满
足函数关系1y ? ?0.04(x ? 9)2 ? 23.24 ．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d ，第二次训练的着陆点
的水平距离为d 2 ，则d1 d 2 （填“ ? ”“ ? ”或“ ? ” ) ．26．（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，
点(1, m) ， (3, n) 在抛物线 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 上，设抛物线的对称轴为直线 x ? t
．当c ? 2， m ? n 时，求抛物线与 y 轴交点的坐标及t 的值；点(x0 ， m)(x0 ? 1) 在抛物线上．若m
? n ? c ，求t 的取值范围及 x0 的取值范围．27．（7 分）在?ABC 中， ?ACB ? 90? ， D 为?ABC
内一点，连接 BD ， DC ，延长 DC 到点E ，使得CE ? DC ．如图 1，延长 BC 到点 F ，使得CF ? BC
，连接 AF ，EF ．若 AF ? EF ，求证：BD ? AF ；连接 AE ，交 BD 的延长线于点 H ，连接CH ，依
题意补全图 2．若 AB2 ? AE2 ? BD2 ，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．28．（7 分）在平面直角坐
标系 xOy 中，已知点 M (a,b) ， N ．对于点 P 给出如下定义：将点 P 向右(a0) 或向左(a ? 0) 平移|
a | 个单位长度，再向上(b0)或向下(b ? 0) 平移| b | 个单位长度，得到点 P? ，点 P? 关于点 N 的对称
点为Q ，称点Q 为点 P的“对应点”．如图，点 M (1,1) ，点 N 在线段OM 的延长线上．若点 P(?2, 0) ，点Q
为点 P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；②连接 PQ ，交线段ON 于点T ，求证： NT ? 1 OM ；2O 的半径为
1， M 是 O 上一点，点 N 在线段OM 上，且ON ? t(1 ? t ? 1) ，若 P 为2O 外一点，点Q 为点 P
的“对应点”，连接 PQ ．当点 M 在 O 上运动时，直接写出 PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）．2022 年
北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 16 分，每题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1
． B ．2． B ．3． A ．4． D ．5． A ．6． C ．7． D ．8． A ．二、填空题（共 16 分，每题 2
分）9． x 8 ．10． x( y ?1)( y ?1) ．11． x ? 5 ．12． ? ．13． 120． 14．1． 1
5．1．解：（1） ABC （或 ABE 或 AD 或 ACD 或 BCD 或 ACE) ；（2） ACE ．三、解答题（共 68
分，第 17-20 题，每题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第 23-24 题，每题 6 分，第 25 题
5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．【解答】解：原式? 1
? 4 ?2 ? 2? 32222? 1 ? 2? 2? 3? 4 ．18．【解答】解：由2 ? x ? 7 ? 4x ，得： x
?1，由 x ? 4 ? x ，得： x ? 4 ，2则不等式组的解集为1? x ? 4 ．19．【解答】解： x(x ? 2)
? (x ?1)2? x2 ? 2x ? x2 ? 2x ? 1? 2x2 ? 4x ? 1，x2 ? 2x ? 2 ? 0 ，
? x2 ? 2x ? 2 ，?当 x2 ? 2x ? 2 时，原式? 2(x2 ? 2x) ?1? 2 ? 2 ? 1? 4 ?
1? 5 ．【解答】证明：方法一：DE / /BC ，??B ? ?BAD ， ?C ? ?CAE ，?BAD ? ?BAC ?
?CAE ?180? ，??B ? ?BAC ? ?C ?180? ；方法二：CD / / AB ，??A ? ?ACD ， ?
B ? ?BCD ?180? ，??B ??ACB ??A ?180? ．【解答】证明：（1）在 ABCD 中， OA ? OC
， OB ? OD ，AE ? CF ．?OE ? OF ，?四边形 EBFD 是平行四边形；（2） 四边形 ABCD 是平行四边
形，? AB / /DC ，??BAC ? ?DCA ，?BAC ? ?DAC ，??DCA ? ?DAC ，?DA ? DC ，
?平行四边形 ABCD 为菱形，? DB ? EF ，?平行四边形 EBFD 是菱形．??2k ? b ? 022．【解答】解：（
1）把(4,3) ， (?2, 0) 分别代入 y ? kx ? b 得?4k ? b ? 3，???k ? 1解得?2 ，??b
? 1?函数解析式为 y ? 1 x ?1，2当 x ? 0 时， y ? 1 x ? 1 ? 1，2? A 点坐标为(0,1)
；（2）当n 1 时，当 x ? 0 时，对于 x 的每一个值，函数 y ? x ? n 的值大于函数 y ? kx ? b(k
? 0)的值．23． 【解答】解：（1） m ? 1 ? (10 ?10 ?10 ? 9 ? 9 ? 8 ? 3 ? 9 ? 8
?10) ? 8.6 ；10（2）甲同学的方差 S 2 _甲， 乙同学的方差 S 2 _乙，S2 _甲，?评委对甲同学演唱的评价
更一致． 故答案为：甲；（3）甲同学的最后得分为 1 ? (7 ? 8? 2 ? 9 ? 4 ?10) ? 8.625 ；8乙同学
的最后得分为 1 ?(3? 7 ? 9 ? 2 ?10 ? 3) ? 8.625 ；8丙同学的最后得分为 1 ?(8? 2 ? 9
? 3 ?10 ? 3) ? 9.125 ，8?在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙． 故答案为：丙．【解答】证明：（1）如
图，连接 AD ，AB 是 O 的直径， AB ? CD ，? BC ? BD ，??CAB ? ?BAD，?BOD ? 2?BA
D，??BOD ? 2?A；（2）如图，连接OC ，F 为 AC 的中点，?DF ? AC ，? AD ? CD ，??ADF ?
?CDF ，BC ? BD ，??CAB ? ?DAB ，OA ? OD ，??OAD ? ?ODA ，??CDF ? ?CAB
，OC ? OD ，??CDF ? ?OCD ，??OCD ? ?CAB ，BC ? BC ，??CAB ? ?CDE ，??C
DE ? ?OCD ，?E ? 90? ，??CDE ? ?DCE ? 90? ，??OCD ??DCE ? 90? ， 即OC
? CE ，OC 为半径，?直线CE 为 O 的切线．【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为： (8, 23.
20) ，?h ? 8 ， k ? 23.20 ，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，根据表格中的数据可知，当 x ? 0
时， y ? 20.00 ，代入 y ? a(x ? 8)2 ? 23.20 得：20.00 ? a(0 ? 8)2 ? 23.2
0 ，解得： a ? ?0.05 ，?函数关系式为： y ? ?0.05(x ? 8)2 ? 23.20 ；（2）设着陆点的纵坐标
为t ，则第一次训练时， t ? ?0.05(x ? 8)2 ? 23.20 ，20(23.20 ? t)解得： x ? 8 ?
20(23.20 ? t) 或 x ? 8 ?，?根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d1 ? 8 ?20(23.20 ?
t) ，第二次训练时， t ? ?0.04(x ? 9)2 ? 23.24 ，解得： x ? 9 ?25(23.24 ? t)
或 x ? 9 ?25(23.24 ? t) ，25(23.24 ? t)?根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2 ? 9
?，20(23.20 ? t) ? 25(23.24 ? t) ，20(23.20 ? t)25(23.24 ? t)??，?
d1 ? d2 ，故答案为： ? ．【解答】解：（1）将点(1, m) ， (3, n) 代入抛物线解析式，?n ? 9a ? 3
b ? c? ?m ? a ? b ? c，?m ? n ，?a ? b ? c ? 9a ? 3b ? c ，整理得， b ?
?4a ，?抛物线的对称轴为直线 x ? ? b2a? ? ?4a ? 2 ；2a?t ? 2，c ? 2 ，?抛物线与 y 轴交
点的坐标为(0, 2) ．（2） m ? n ? c ，?a ? b ? c ? 9a ? 3b ? c ? c ， 解得?4a
? b ? ?3a ，?3a ? ?b ? 4a ，? 3a ? ? b? 4a ，即 3 ? t ? 2 ．2a2a2a2当t
? 3 时， x ? 2 ；20当t ? 2 时， x0 ? 3 ．? x0 的取值范围2 ? x0 ? 3 ．【解答】（1）证明
：在?BCD和?FCE 中，?BC ? CF???BCD ? ?FCE ，??CD ? CE??BCD ? ?FCE(SAS) ，
??DBC ? ?EFC ，?BD / /EF ，AF ? EF ，? BD ? AF ；（2）解：由题意补全图形如下：CD ?
CH ．证明：延长 BC 到 F ，使CF ? BC ，连接 AF ， EF ，AC ? BF ， BC ? CF ，? AB ?
AF ，由（1）可知 BD / /EF ， BD ? EF ，AB2 ? AE2 ? BD2 ，? AF2 ? AE2 ? EF
2 ，??AEF ? 90?，? AE ? EF ，? BD ? AE ，??DHE ? 90? ，又 CD ? CE ，?CH
? CD ? CE ．28．【解答】解：（1）①由题意知， P?(?2 ?1, 0 ?1) ，? P?(?1,1) ，如图，点Q
即为所求；②连接 PP? ，?P?PO ? ?MOx ? 45? ，?PP? / /ON ，P?N ? QN ，? PT ? QT
，? NT ? 1 PP? ，2PP? ? OM ，? NT ? 1 OM ；2如图，连接 PO ，并延长至 S ，使OP ?
OS ，延长 SQ 到T ，使 ST ? OM ，由题意知， PP? / /OM ， PP? ? OM ， P?N ? NQ ，?
TQ ? 2MN ，MN ? OM ? ON ?1? t ，?TQ ? 2 ? 2t ，?SQ ? ST ? TQ ? 1? (2
? 2t) ? 2t ?1， 在?PQS 中， PS ? QS ? PS ? QS ，? PQ 的最小值为 PS ? QS ，
PQ 的最大值为 PS ? QS ，? PQ 长的最大值与最小值的差为(PS ? QS) ? (PS ? QS) ? 2QS ?
4t ? 2 ．2022 年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出
的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）1．（3 分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）A．圆锥B．圆柱C
．棱锥D．棱柱2．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D． 3．（3 分）代数式有意义时，x
应满足的条件为（ ）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣14．（3 分）点（3，﹣5）在正比例函数 y＝kx（k≠0
）的图象上，则 k 的值为（ ）A．﹣15B．15C．﹣ D．﹣ 5．（3 分）下列运算正确的是（ ）A．＝2B． ﹣＝a（
a≠0）C． + ＝ D．a2?a3＝a56．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为 x＝﹣2，下列结论
正确的是（ ）A．a＜0 B．c＞0C．当 x＜﹣2 时，y 随 x 的增大而减小D．当 x＞﹣2 时，y 随 x 的增大而减
小7．（3 分）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则（ ）A．a＝bB．a＞bC．|a|＜|b|D．|a|＞|b|8．（3 分
）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4 名志愿者中随机抽取 2 名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）A．
B． C． D．9．（3 分）如图，正方形 ABCD 的面积为 3，点 E 在边 CD 上，且 CE＝1，∠ABE 的
平分线交 AD 于点 F，点 M，N 分别是 BE，BF 的中点，则 MN 的长为（ ）A．B．C．2﹣ D．个图形需要 14
根小木棒，拼第 3 个图形需要 22 根小木棒……若按照这样的方法拼成的第 n 个图形需要 2022 根小木棒，则 n 的值为（
）A．252B．253C．336D．337二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）11．（3 分）在甲
、乙两位射击运动员的 10 次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为 S 甲 2＝1.45，S 乙 2＝0.85，则考
核成绩更为稳定的运动员是 ．（填“甲”、“乙”中的一个）．12．（3 分）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．13．（3 分）
如图，在?ABCD 中，AD＝10，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC+BD＝22，则△BOC 的周长为．14．（3 分）
分式方程＝的解是 ．15．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 O 在边 AC 上，以 O 为圆心，4 为半径的圆恰
好过点 C，且与边 AB 相切于点 D，交 BC 于点 E，则劣弧的长是 ．（结果保留 π）16．（3 分）如图，在矩形 A
BCD 中，BC＝2AB，点 P 为边 AD 上的一个动点，线段 BP 绕点C 的度数为；当线段 CP′的长度最小时，∠PP′C
的度数为．三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4 分）解不等式：3x
﹣2＜4．18．（4 分）如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．19．（
6 分）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分
布直方图．频数分布表运动时间 t/min频数频率30≤t＜6040.160≤t＜9070.17590≤t＜120a0.35120≤
t＜15090.225150≤t＜1806b合计n1请根据图表中的信息解答下列问题：（1）频数分布表中的 a＝，b＝，n＝；请补全
频数分布直方图；若该校九年级共有 480 名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于 120min 的学生人数．20．
（6 分）某燃气公司计划在地下修建一个容积为 V（V 为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积 S（单位：m2）与
其深度 d（单位：m）是反比例函数关系， 它的图象如图所示．求储存室的容积 V 的值；受地形条件限制，储存室的深度 d 需要满足
16≤d≤25，求储存室的底面积 S 的取值范围．21．（8 分）已知 T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．化
简 T；若关于 x 的方程 x2+2ax﹣ab+1＝0 有两个相等的实数根，求 T 的值．22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的
直径，点 C 在⊙O 上，且 AC＝8，BC＝6．尺规作图：过点 O 作 AC 的垂线，交劣弧于点 D，连接 CD（保留作图痕迹，
不写作法）；在（1）所作的图形中，求点 O 到 AC 的距离及 sin∠ACD 的值．23．（10 分）某数学活动小组利用太阳光线
下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆 AB 的影子为 BC，与此同时在 C 处立一根标杆 CD，标杆 CD 的
影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．求 BC 的长；从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆 AB 的高度． 条
件①：CE＝1.0m；条件②：从 D 处看旗杆顶部 A 的仰角 α 为 54.46°．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个
解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．24．（12 分）已
知直线 l：y＝kx+b 经过点（0，7）和点（1，6）．求直线 l 的解析式；若点 P（m，n）在直线 l 上，以 P 为顶点的
抛物线 G 过点（0，﹣3），且开口向下．①求 m 的取值范围；②设抛物线 G 与直线 l 的另一个交点为 Q，当点 Q 向左平移
1 个单位长度后得到的点 Q′也在 G 上时，求 G 在≤x≤+1 的图象的最高点的坐标．25．（12 分）如图，在菱形 ABC
D 中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接 BD．求 BD 的长；点 E 为线段 BD 上一动点（不与点 B，D 重合），点 F
在边 AD 上，且 BE＝DF．①当 CE⊥AB 时，求四边形 ABEF 的面积；②当四边形ABEF 的面积取得最小值时，CE+C
F 的值是否也最小？如果是，求CE+ CF 的最小值；如果不是，请说明理由．2022 年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）【解答】解
：∵圆锥的侧面展开图是扇形，∴判断这个几何体是圆锥， 故选：A．【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对
称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C．【解答】解
：代数式 有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1． 故选：B．【解答】解：∵点（3，﹣5）在正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象上，
∴﹣5＝3k，解得：k＝﹣ ， 故选：D．【解答】解：A． ＝﹣2，故此选项不合题意；B． ﹣＝1，故此选项不合题意；C． + ＝
2 ，故此选项不合题意；D．a2?a3＝a5，故此选项符合题意； 故选：D．【解答】解：∵图象开口向上，∴a＞0，故 A 不正确；
∵图象与 y 轴交于负半轴，∴c＜0，故 B 不正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝﹣2，∴当 x＜﹣2 时，y 随 x 的
增大而减小，x＞﹣2 时，y 随 x 的增大而增大， 故 C 正确，D 不正确；故选：C．【解答】解：A．∵a＜0，b＞0，∴a≠
b，故不符合题意；B．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故不符合题意； C．由数轴可知|a|＜|b|，故符合题意； D．由 C 可知不符
合题意．故选：C．【解答】解：画树状图如下：共有 12 种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有 6 种，∴甲被抽中的概率为 ＝， 故
选：A．【解答】解：连接 EF，如图：∵正方形 ABCD 的面积为 3，∴AB＝BC＝CD＝AD＝ ，∵CE＝1，∴DE＝﹣1，t
an∠EBC＝ ＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，∵AF 平分∠ABE，∴∠ABF＝ ∠ABE＝3
0°， 在 Rt△ABF 中，AF＝＝1，∴DF＝AD﹣AF＝ ﹣1，∴DE＝DF，△DEF 是等腰直角三角形，∴EF＝ DE＝
×（ ﹣1）＝ ﹣ ，∵M，N 分别是 BE，BF 的中点，∴MN 是△BEF 的中位线，∴MN＝ EF＝ ． 故选：D．【解答】
解：由题意知，第 1 个图形需要 6 根小木棒，第 2 个图形需要 6×2+2＝14 根小木棒，第 3 个图形需要 6×3+2×2
＝22 根小木棒，按此规律，第 n 个图形需要 6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒， 当 8n﹣2＝2022 时，解得 n＝
253， 故选：B．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）【解答】解：∵两人的考核成绩的平均数相同，方
差分别为 S 甲 2＝1.45，S 乙 2＝0.85，∴S 甲 2＞S 乙 2，∴考核成绩更为稳定的运动员是乙； 故答案为：乙．1
2．【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．故答案为：3a（a﹣7b）．【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴A
O＝OC＝ AC，BO＝OD＝ BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝22，∴OC+BO＝11，∴△BOC 的周长＝OC+OB+B
C＝11+10＝21．故答案为：21．【解答】解：＝，3（x+1）＝4x， 解得：x＝3，检验：当 x＝3 时，2x（x+1）≠0
，∴x＝3 是原方程的根， 故答案为：x＝3．【解答】解：连接 OD，OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB＝AC，∴∠
ABC＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠COE+∠OCE+∠OEC，∴∠A＝∠COE，∵圆 O 与边 AB 相切于点 D，
∴∠ADO＝90°，∴∠A+∠AOD＝90°，∴∠COE+∠AOD＝90°，∴∠DOE＝180°﹣（∠COE+∠AOD）＝90°，
∴劣弧 的长是 ＝2π． 故答案为：2π．【解答】解：如图，以 AB 为边向右作等边△ABE，连接 EP′．∵△BPP′是等边三角
形，∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，∴∠ABP＝∠EBP′， 在△ABP 和△EBP′中，，∴△ABP≌
△EBP′（SAS），∴∠BAP＝BEP′＝90°，∴点 P′在射线 EP′上运动，如图 1 中，设 EP′交 BC 于点 O，当
点 P′落在 BC 上时，点 P′与 O 重合，此时∠PP′C＝180°﹣60°＝120°， 当 CP′⊥EP′时，CP′的长最小
，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，∴EO＝ OB，OP′＝ OC，∴EP′＝EO+OP′＝ OB+ OC＝ BC，∵BC＝2AB
，∴EP′＝AB＝EB，∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP
′P＝135°﹣60°＝75°．故答案为：120°，75°．三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．）【解答】解：移项得：3x＜4+2，合并同类项得：3x＜6，系数化为 1 得：x＜2．【解答】证明：∵∠B＝∠C
，∴AB＝AC，在△ABD 和△ACE 中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．19．【解答】解：（1）由题意可知，n＝4÷0.1＝
40，∴a＝40×0.35＝14，b＝6÷40＝0.15， 故答案为：14；0.15；40；（2）补全频数分布直方图如下：（3）4
80×＝180（名），答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于 120min 的学生人数为 180 名．20．【解答】解：
（1）设底面积 S 与深度 d 的反比例函数解析式为 S＝，把点（20，500）代入解析式得 500＝，∴V＝10000．（2）由
（1）得 S＝，∵S 随 d 的增大而减小，∴当 16≤d≤25 时，400≤S≤625，21．【解答】解：（1）T＝（a+3b）
2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2＝6a2+6ab；（2）∵关于 x 的方程 x2
+2ax﹣ab+1＝0 有两个相等的实数根，∴Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0，∴a2+ab＝1，∴T＝6×1＝6．22．【解
答】解：（1）分别以 A、C 为圆心，大于AC 为半径画弧，在 AC 的两侧分别相交于 P、Q 两点，画直线 PQ 交劣弧于点 D
，交 AC 于点 E，即作线段 AC 的垂直平分线， 由垂径定理可知，直线 PQ 一定过点 O；（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠
ACB＝90°，在 Rt△ABC 中，且 AC＝8，BC＝6．∴AB＝ ＝10，∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝ AC＝4， 又∵OA
＝OB，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE＝BC＝3，由于 PQ 过圆心 O，且 PQ⊥AC， 即点 O 到 AC 的距离为 3
，连接 OC，在 Rt△CDE 中，∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，∴CD＝＝＝2∴sin∠ACD＝ ＝＝．23．【解答
】解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m，∴BC＝5×1.6＝8（m），∴BC 的长为 8m；（2）若选择条件①： 由题意得：＝
，∴＝，∴AB＝12.8，∴旗杆 AB 的高度为 12.8m； 若选择条件②：过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F，则 DC＝BF
＝1.6m，DF＝BC＝8m， 在 Rt△ADF 中，∠ADF＝54.46°，∴AF＝DF?tan54.46°≈8×1.4＝11.
2（m），∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m），∴旗杆 AB 的高度约为 12.8m．∴，解得，24．【解答】解：
（1）将点（0，7）和点（1，6）代入 y＝kx+b，∴y＝﹣x+7；（2）①∵点 P（m，n）在直线 l 上，∴n＝﹣m+7，设
抛物线的解析式为 y＝a（x﹣m）2+7﹣m，∵抛物线经过点（0，﹣3），∴am2+7﹣m＝﹣3，∴a＝，∵抛物线开口向下，∴a＜
0，∴a＝＜0，∴m＜10 且 m≠0；②∵抛物线的对称轴为直线 x＝m，∴Q 点与 Q''关于 x＝m 对称，∴Q 点的横坐标为
m+，联立方程组，整理得 ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，∵P 点和 Q 点是直线 l 与抛物线 G 的交点，∴m+m+
＝2m﹣，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3， 解得 m＝2 或 m＝﹣，当 m＝2 时，
y＝﹣2（x﹣2）2+5， 此时抛物线的对称轴为直线 x＝2，图象在≤x≤上的最高点坐标为（2，5）；当 m＝﹣时，y＝﹣2（x+
）2+ ， 此时抛物线的对称轴为直线 x＝﹣，图象在﹣2≤x≤﹣1 上的最高点坐标为（﹣2，9）；综上所述：G 在≤x≤+1 的
图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．25．【解答】解：（1）过点 D 作 DH⊥AB 交 BA 的延长线于 H，如图：∵
四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝AB＝6，∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°， 在 Rt△ADH 中，DH＝AD?sin∠
DAH＝6× ＝3，AH＝AD?cos∠DAH＝6× ＝3，∴BD＝ ＝＝6 ；（2）①设 CE⊥AB 交 AB 于 M 点，过点
F 作 FN⊥AB 交 BA 的延长线于 N，如图：菱形 ABCD 中，∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝12
0°，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，在 Rt△BCM 中，BM＝BC?cos∠ABC＝6
×＝3，∵BD 是菱形 ABCD 的对角线，∴∠DBA＝ ABC＝30°， 在 Rt△BEM 中，ME＝BM?tan∠DBM＝3×
＝，BE＝ ＝＝2，∵BE＝ DF，∴DF＝2，∴AF＝AD﹣DF＝4， 在 Rt△AFN 中，∠FAN＝180°﹣∠BAD＝6
0°，∴FN＝AF?sin∠FAN＝4× ＝2，AN＝AF?cos∠FAN＝4× ＝2，∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，
∴S 四边形 ABEF＝S△BEM+S 梯形 EMNF﹣S△AFN＝EM?BM+（EM+FN）?MN﹣AN?FN＝3+（+2 ）×
5﹣2×2 ＝+ ﹣2＝7 ；②当四边形 ABEF 的面积取最小值时，CE+CF 的值是最小，理由：设 DF＝x，则 BE＝DF＝
x，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，过点 F 作 FG⊥CH于点 G，过点 E 作 EY⊥CH 于点 Y，作 EM⊥AB 于
M 点，过点 F 作 FN⊥AB 交 BA 的延长线于N，如图：∴EY∥FG∥AB，FN∥CH，∴四边形 EMHY、FNHG 是
矩形，∴FN＝GH，FG＝NH，EY＝MH，EM＝YH，由①可知：ME＝BE＝ x， BM＝ BE＝ x，AN＝ AF＝ （AD﹣
DF）＝3﹣ x， FN＝ AF＝ ，CH＝ BC＝3，BH＝ BC＝3，∴AM＝AB﹣BM＝6﹣ x， AH＝AB﹣BH＝3，Y
H＝ME＝ x， GH＝FN＝ ，EY＝MH＝BM﹣BH＝ x﹣3，∴CY＝CH﹣YH＝3 ﹣x，FG＝NH＝AN+AH＝6﹣ ，
CG＝CH﹣GH＝3﹣＝x，∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣ x﹣ x＝9﹣2x，∴S 四边形 ABEF＝S△BEM+S 梯形
EMNF﹣S△AFN＝EM?BM+（EM+FN）?MN﹣AN?FN＝x×x+（x+）?（9﹣2x）﹣（3﹣x）?＝x2﹣ x+9＝
（x﹣3）2+ ，∵＞0，∴当 x＝3 时，四边形 ABEF 的面积取得最小值，方法一：CE+CF＝ + ? ++×＝＝＝+ ×＝
+ ，∵（x﹣3）2≥0，当且仅当 x＝3 时，（x﹣3）2＝0，∴CE+ CF＝ + ≥12，当且仅当 x＝3 时，CE+CF＝
12，即当 x＝3 时，CE+CF 的最小值为 12，∴当四边形 ABEF 的面积取最小值时，CE+CF 的值也最小，最小值为 1
2． 方法二：如图：将△BCD 绕点 B 逆时针旋转 60°至△BAG，连接 CG， 在 Rt△BCG 中，CG＝2BC＝12，∵
＝＝，∠CDF＝∠GBE＝60°，∴△BEG∽△DFC，∴＝＝ ＝，即 GE＝CF，∴CE+ CF＝CE+GE≥CG＝12，即当且
仅当点 C、E、G 三点共线时，CE+CF 的值最小， 此时点 E 为菱形对角线的交点，BD 中点，BE＝3，DF＝3，∴当四边形
ABEF 的面积取最小值时，CE+CF 的值也最小，最小值为 12．菁优网 APP菁优网公众号菁优网小程序2022 年广东省深圳
市中考数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3 分
）下列互为倒数的是( )A．3 和 13B． ?2 和 2C．3 和? 1 3D． ?2 和 122．（3 分）下列图形中，主
视图和左视图一样的是( )A． B．C． D．3．（3 分）某学校进行演讲比赛，最终有 7 位同学进入决赛，这七位同学的评分
分别是 9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6．请问这组评分的众数是( )A．9.5B．9.4C．9.1D．9.
34．（3 分）某公司一年的销售利润是 1.5 万亿元．1.5 万亿用科学记数法表示为( )A． 0.15 ?1013B．1.
5 ?1012C．1.5 ?1013D．15 ?10125．（3 分）下列运算正确的是( )A． a2 ? a6 ? a8B．
(?2a)3 ? 6a3C． 2(a ? b) ? 2a ? bD． 2a ? 3b ? 5ab?x ? 26．（3 分）一元一
次不等式组?x ? 1 0 的解集为( )?A．B．C．D．7．（3 分）一副三角板如图所示放置，斜边平行，则?1 的度数为(
)A． 5?B．10?C．15?D． 20?8．（3 分）下列说法错误的是( )A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形B
．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形9．（3 分）张三经营了一
家草场，草场里面种植有上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去 11 根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去 25 根
，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为 x 根，下等草一捆为 y 根，则下列方程正确的是( )?7 y ? 25 ? 5xA．
?5 y ?11 ? 7x??7x ? 25 ? 5 yC． ?5x ?11 ? 7 y?B． ?5x ? 11 ? 7 y?7
x ? 25 ? 5 y??D． ?7x ?11 ? 5 y?5x ? 25 ? 7 y10．（3 分）已知三角形 ABE 为直
角三角形， ?ABE ? 90? ， BC 为圆O 切线， C 为切点，CA ? CD ，则?ABC 和?CDE 面积之比为(
)A．1: 3B．1: 2D． (?1) :1C． 2 : 22二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）11
．（3 分）分解因式： a2 ? 1 ? ．12．（3 分）某工厂一共有 1200 人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并
进行了抽样调查．从中抽出 400 人，发现有 300 人是符合条件的，那么该工厂 1200 人中符合选拔条件的人数为 ．13．（
3 分）已知一元二次方程 x2 ? 6x ? m ? 0 有两个相等的实数根，则m 的值为 ．14．（3 分）如图，已知直角
三角形 ABO 中， AO ?1，将?ABO 绕O 点旋转至△ A?B?O 的位置，且 A? 在OB 中点， B? 在反比例函数
y ? k 上，则k 的值 ．x515．（3 分）已知?ABC 是直角三角形，?B ? 90?， AB ? 3 ， BC ?
5 ， AE ? 2，连接CE ，以 CE 为底作直角三角形 CDE ，且CD ? DE ． F 是 AE 边上的一点，连接 B
D 和 BF ，且?FBD ? 45? ，则 AF 长为 ．三、解答题（本题共 7 小题，其中第 16 题 5 分，第 17 题
7 分，第 18 题 8 分，第 19 题 8分，第 20 题 8 分，第 21 题 9 分，第 22 题 10 分，共 55
分）916．（5 分） (? ?1)0 ??2 cos 45? ?1 ?1 ．( )517．（7 分）化简求值： (2x ? 2
x?1) ?x2 ? 4x ? 4x2 ? x，其中 x ? 4 ．18．（8 分）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，
其中有“优秀”，“良好”， “合格”，“不合格”．本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ；补全条形统计图；扇形统计图中
“不合格人数”的度数为 ；在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．20．（8 分）二次函数 y ?
2x2 ，先向上平移 6 个单位，再向右平移 3 个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y ? 2x2y ? 2(x ? 3
)2 ? 6(0, 0)(3, m)(1, 2)(4,8)(2,8)(5,14)(?1, 2)(2,8)(?2,8)(1,14)（
1） m 的值为 ；在坐标系中画出平移后的图象并写出 y ? ? 1 x2 ? 5 与 y ? 1 x2 的交点坐标；22点P(x
1 ，y1 ) ，Q(x2 ，y2 ) 在新的函数图象上，且 P ，Q 两点均在对称轴同一侧，若 y1 ? y2 ，则 x1
x2 ．（填不等号）21．（9 分）一个玻璃球体近似半圆O ，AB 为直径．半圆O 上点C 处有个吊灯 EF ，EF / / AB
，CO ? AB ， EF 的中点为 D ， OA ? 4 ．如图①， CM 为一条拉线， M 在OB 上， OM ?1.6 ，
DF ? 0.8 ，求CD 的长度．如图②，一个玻璃镜与圆O 相切，H 为切点，M 为OB 上一点，MH 为入射光线，NH为反射
光线， ?OHM ? ?OHN ? 45? ， tan?COH ? 3 ，求ON 的长度．4如图③， M 是线段OB 上的动点，
MH 为入射光线， ?HOM ? 50? ， HN 为反射光线交圆O 于点 N ，在 M 从O 运动到 B 的过程中，求 N 点的
运动路径长．22．（10 分）（1）发现：如图①所示，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 边上一点，将?AEB 沿 BE翻折到?
BEF 处，延长 EF 交CD 边于G 点．求证： ?BFG ? ?BCG ；探究：如图②，在矩形 ABCD 中， E 为 AD
边上一点，且 AD ? 8 ， AB ? 6 ．将?AEB 沿 BE 翻折到?BEF 处，延长 EF 交 BC 边于G 点，延长
BF 交CD 边于点 H ，且 FH ? CH ， 求 AE 的长．拓展：如图③，在菱形 ABCD 中， AB ? 6 ， E 为
CD 边上的三等分点， ?D ? 60? ．将?ADE 沿 AE 翻折得到?AFE ，直线 EF 交 BC 于点 P ，求 PC
的长．2022 年广东省深圳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题
有四个选项，其中只有一个是正确的）1． A ．2． D ．3． D ．4． B ．5． A ．6． D ．7． C ．8． C ．
9． C ．10． B ．二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）11． (a ?1)(a ?1) ．12．
900．13． 9．14．3 ．15． 3 5 ．4三、解答题（本题共 7 小题，其中第 16 题 5 分，第 17 题 7 分
，第 18 题 8 分，第 19 题 8分，第 20 题 8 分，第 21 题 9 分，第 22 题 10 分，共 55 分）16
．解：原式? 1 ? 3 ?2 ? 2 ? 5 ? 3 ? 1 ? 4 ．2【解答】解： (2x ? 2?1) ?x2 ? 4x
? 4? 2x ? 2 ? x ? (x ? 2)2xx(x ?1)? x ? 2 ? x(x ?1) xx2 ? xx(x ?
2)2? x ?1 ，x ? 2当 x ? 4 时， 原式? 4 ?14 ? 2? 3 ．2【解答】解：（1）本次抽查的总人数为
8 ?16% ? 50 （人) ， “合格”人数的百分比为1? (32% ?16% ?12%) ? 40% ，故答案为：50 人，
40% ；（2）补全图形如下：（3）扇形统计图中“不合格”人数的度数为360??32% ?115.2?， 故答案为：115.2?
；（4）列表如下：甲乙丙甲（乙，甲）（丙，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）由表知，共有 6 种等可能结果，其中刚好
抽中甲乙两人的有 2 种结果，所以刚好抽中甲乙两人的概率为 2 ? 1 ．63故答案为： 1 ．320．【解答】解：（1）将(0,
0) 先向上平移 6 个单位，再向右平移 3 个单位后对应点的坐标为(3, 6) ，?m ? 6 ，故答案为：6；平移后的函数图
象如图：? y ? ? 1 x2 ? 5?联立方程组??? y ??2，1 x22?x1? 5解得??x2 ?? 5， ?? y
? 5? y ? 5?? 12?? 2255? y ? ? 1 x2 ? 5 与 y ? 1 x2 的交点坐标为(， 5 )
， (?， 5 ) ；2222点 P(x1 ， y1 ) ， Q(x2 ， y2 ) 在新的函数图象上，且 P ， Q 两点均在对
称轴同一侧， 当 P ， Q 两点同在对称轴左侧时，若 y1 ? y2 ，则 x1 ? x2 ，当 P ， Q 两点同在对称轴右侧
时，若 y1 ? y2 ，则 x1 ? x2 ，故答案为： ? 或? ．21．【解答】解：（1）OM ?1.6 ， DF ? 0.
8 ， EF / / AB ，? DF 是?COM 的中位线，?点 D 是OC 的中点，OC ? OA ? 4 ，?CD ? 2
；如图②，过点 N 作 ND ? OH 于点 D ，? 45? ，?OHN??NHD 是等腰直角三角形，?ND ? HD ，tan
?COH ? 3 ， ?NDO ? 90? ，4? ND ? 3 ，OD4设 ND ? 3x ? HD ，则OD ? 4x ，O
H ? OA ? 4，?OH ? 3x ? 4x ? 4 ，? x ? 4 ，7? ND ? 4 ? 3 ? 12 ， OD ?
4 ? 4 ? 16 ，77OD2 ? ND2?ON ?77? 20 ；7如图，当点 M 与点O 重合时，点 N 也与点O 重合，
当点 M 运动至点 B 时，点 N 运动至点T ，故点 N 的运动路径长为OA ? AT 的长，? 50? ， OH ? OB ，
?HOM??OHB ? ?OBH ? 65?，?OHM? ?OHT ， OH ? OT ，??OTH ? ?OHT ? 65?，?
?TOH ? 50? ，??AOT ?180?? 50?? 50? ? 80?，? AT 的长? 80 ?? ? 4 ? 16 ?
，1809?点 N 的运动路径长? 4 ? 16 ? ．922．【解答】（1）证明： 将?AEB 沿 BE 翻折到?BEF 处，
四边形 ABCD 是正方形，? AB ? BF ， ?BFE ? ?A ? 90? ，??BFG ? 90? ? ?C ，AB ?
BC ? BF ， BG ? BG ，?Rt?BFG ? Rt?BCG(HL) ；解：延长 BH ， AD 交于Q ，如图：设
FH ? HC ? x ，在Rt?BCH中， BC2 ? CH 2 ? BH 2 ，?82 ? x2 ? (6 ? x)2 ，解得
x ? 7 ，3? DH ? DC ? HC ? 11 ，3?BFG ? ?BCH ? 90? ， ?HBC ? ?FBG ，?
?BFG∽?BCH ，? BF ? BG ? FG ，即 6 ? BG ? FG ， BCBHHC? BG ? 25 ， FG ?
7 ，86 ? 773344EQ / /GB ， DQ / /CB ，??EFQ∽?GFB ， ?DHQ∽?CHB ，? BC
? CH ，即 8DQDHDQ? DQ ? 88 ，77?3，6 ? 73设 AE ? EF ? m，则 DE ? 8 ? m，?
EQ ? DE ? DQ ? 8 ? m ? 88 ? 144 ? m ，77?EFQ∽?GFB ，144 ? m? EQ ?
EF ，即BGFG解得m ? 9 ，2? AE 的长为 9 ；27? m ，25744解：方法一：（Ⅰ）当 DE ? 1 DC ?
2 时，延长 FE 交 AD 于Q ，过Q 作QH ? CD 于 H ，如图：3设 DQ ? x ， QE ? y ，则 AQ
? 6 ? x ，CP / / DQ ，??CPE∽?QDE ，? CP ? CE ? 2 ，DQDE?CP ? 2x ，?AD
E 沿 AE 翻折得到?AFE ，? EF ? DE ? 2 ， AF ? AD ? 6 ， ?QAE ? ?FAE ，? AE
是?AQF 的角平分线，? AQ ? QE ，即 6 ? x ? y ①，AFEF62?D ? 60? ，? DH ? 1 DQ
? 1 x ， HE ? DE ? DH ? 2 ? 1 x ， HQ ? 3DH ?3 x ，2222在Rt?HQE 中， H
E2 ? HQ2 ? EQ2 ，?(2 ? 1 x)2 ? ( 3 x)2 ? y2 ②，22联立①②可解得 x ? 3 ，4?C
P ? 2x ? 3 ；2（Ⅱ）当CE ? 1 DC ? 2 时，延长 FE 交 AD 延长线于Q? ，过Q? 作Q?H ? ?
CD 交CD 延长线3于 H ? ，如图：设 DQ? ? x? ， Q?E ? y? ，则 AQ? ? 6 ? x? ， 同理?Q
?AE ? ?EAF ，? AQ? ? Q?E ，即 6 ? x? ? y? ，AFEF64由 H?Q?2 ? H?E2 ? Q?
E2 得： (可解得 x? ? 12 ，5?CP ? 1 x? ? 6 ，253 x?)2 ? 1 ? ? 4)2 ? y?2 ，
( x22综上所述， CP 的长为 3 或 6 ．25方法二：（Ⅰ）当 DE ? 1 DC ? 2 时，连接CF ，过 P 作
PK ? CD 于 K ，如图：四边形 ABCD 是菱形， ?D ? 60? ，??ABC ， ?ADC 是等边三角形，??AC
B ? ?ACD ? 60? ， AD ? AC ，??PCK ? 60? ，将?ADE 沿 AE 翻折得到?AFE ，??AFE
? ?D ? 60? ? ?ACB ， AF ? AD ? AC ， EF ? DE ? 2 ，??AFC ? ?ACF ，??
PFC ? ?PCF ，?PF ? PC ，设 PF ? PC ? 2m ，在Rt?PCK 中， CK ? m ， PK ?3m
，?EK ? EC ? CK ? 4 ? m ，在Rt?PEK中， EK 2 ? PK 2 ? PE2 ，?(4 ? m)2 ?
( 3m)2 ? (2 ? 2m)2 ，解得m ? 3 ，4? PC ? 2m ? 3 ；2（Ⅱ）当CE ? 1 DC ? 2 时
，连接CF ，过 P 作 PT ? CD 交 DC 延长线于T ，如图：同（Ⅰ）可证 AC ? AD ? AF ， ?ACB ?
60? ? ?D ? ?AFE ，??ACF ? ?AFC ，??ACF ??ACB ? ?AFC ??AFE ，即?PCF ?
?PFC ，?PC ? PF ，设 PC ? PF ? 2n， 在Rt?PCT 中，CT ? n ， PT ?3n ，?ET ?
CE ? CT ? 2 ? n ， EP ? EF ? PF ? DE ? PF ? 4 ? 2n ， 在Rt?PET中， PT
2 ? ET 2 ? PE2 ，?( 3n)2 ? (2 ? n)2 ? (4 ? 2n)2 ，解得n ? 3 ，5? PC ?
2n ? 6 ，5综上所述， CP 的长为 3 或 6 ．252022 年广东省中考数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小
题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3 分） | ?2 |? ( )A． ?2
B．2C． ? 12D． 122．（3 分）计算22 的结果是( )2A．1B．C．2D．43．（3 分）下列图形中有稳定性的
是( )A．三角形B．平行四边形C．长方形D．正方形4．（3 分）如图，直线a / /b ， ?1 ? 40?，则?2 ? (
)A． 30?B． 40?C． 50?D． 60?5．（3 分）如图，在?ABC 中， BC ? 4 ，点 D ， E 分别
为 AB ， AC 的中点，则 DE ? ( )1412C．1D．26．（3 分）在平面直角坐标系中，将点(1,1) 向右平移
2 个单位后，得到的点的坐标是( )A． (3,1)B． (?1,1)C． (1,3)D． (1, ?1)7．（3 分）书架上
有 2 本数学书、1 本物理书．从中任取 1 本书是物理书的概率为( )141312238．（3 分）如图，在 ABCD 中，
一定正确的是( )AD ? CDAC ? BDAB ? CDCD ? BC9．（3 分）点(1, y ) ， (2, y )
， (3, y ) ， (4, y ) 在反比例函数 y ? 4 图象上，则 y ， y ， y ，1y4 中最小的是( )y12
3y24y3x123y410．（3 分）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r ，则圆周长C 与r 的关系式为C ? 2?
r ．下列判断正确的是( )A．2 是变量B． ? 是变量C． r 是变量D． C 是常量二、填空题：本大题共 5 小题，每小题
3 分，共 15 分．11．（3 分） sin30?? ．12．（3 分）单项式3xy 的系数为 ．13．（3 分）菱
形的边长为 5，则它的周长是 ．14．（3 分）若 x ?1是方程 x2 ? 2x ? a ? 0 的根，则a ? ．15
．（3 分）扇形的半径为 2，圆心角为90? ，则该扇形的面积（结果保留? ) 为 ．三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每
小题 8 分，共 24 分．?x ? 1 ? 316．（8 分）解不等式组： ?3x ? 2 ? 1．?17．（8 分）先化简，再
求值： a ?a2 ?1a ?1，其中a ? 5 ．18．（8 分）如图，已知?AOC ? ?BOC ，点 P 在OC 上， PD
? OA ， PE ? OB ，垂足分别为 D ， E ．求证： ?OPD ? ?OPE ．四、解答题（二）：本大题共 3 小题
，每小题 9 分，共 27 分．19．（9 分）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买 1 本．若每人出 8 元，则
多了 3 元；若每人出 7 元，则少了 4 元．问学生人数和该书单价各是多少？x025y15192520．（9 分）物理实验证实：
在弹性限度内，某弹簧长度 y(cm) 与所挂物体质量 x(kg) 满足函数关系 y ? kx ?15 ．下表是测量物体质量时，该弹
簧长度与所挂物体质量的数量关系．求 y 与 x 的函数关系式；当弹簧长度为20cm 时，求所挂物体的质量．21．（9 分）为振兴乡
村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了 15 名销售员在某月的销售额（单
位：万元），数据如下：1047541054418835108补全月销售额数据的条形统计图．月销售额在哪个值的人数最多（众数）？中间
的月销售额（中位数）是多少？平均月销售额（平均数）是多少？根据（2）中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销额定为多少
合适？五、解答题（三）：本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分．22．（12 分）如图，四边形 ABCD 内接于 O
， AC 为 O 的直径， ?ADB ? ?CDB ．试判断?ABC 的形状，并给出证明；若 AB ? 2 ， AD ? 1 ，求
CD 的长度．23．（12 分）如图，抛物线 y ? x2 ? bx ? c(b ， c 是常数）的顶点为C ，与 x 轴交于 A
， B 两点， A(1, 0) ， AB ? 4 ，点 P 为线段 AB 上的动点，过 P 作 PQ / /BC 交 AC 于点
Q ．求该抛物线的解析式；求?CPQ 面积的最大值，并求此时 P 点坐标．2022 年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择
题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．BDABDABCDC二
、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．11． 1212． 313． 2014． 115． ?三、解答题（一）
：本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分．?x ? 1 ? 3②16．【解答】解： ?3x ? 2 ? 1① ，?由①得
： x ?1， 由②得： x ? 2 ，?不等式组的解集为1? x ? 2 ．? a(a ?1) ? a2 ?1【解答】解：原式?
a2 ? a ? a2 ?1a ?1a ?1? 2a2 ? a ?1a ?1? (2a ?1)(a ?1)a ?1? 2a ?1
，当 a ? 5 时，原式?10 ?1 ?11．【解答】证明： PD ? OA ， PE ? OB ，??ODP ? ?OEP ?
90? ，?AOC ? ?BOC ，??DOP ? ?EOP ， 在?OPD 和?OPE 中，??ODP ? ?OEP???DO
P ? ?EOP，??OP ? OP??OPD ? ?OPE( AAS) ．四、解答题（二）：本大题共 3 小题，每小题 9 分，
共 27 分．【解答】解：设学生有 x 人，该书单价 y 元，?8x ? y ? 3?根据题意得： ? y ? 7x ? 4 ，?
x ? 7?解得： ? y ? 53 ．答：学生有 7 人，该书单价 53 元．20． 【解答】解：（1）把 x ? 2 ， y
? 19 代入 y ? kx ?15 中，得19 ? 2k ?15 ，解得： k ? 2 ，所以 y 与 x 的函数关系式为 y
? 2x ? 15(x（2）把 y ? 20 代入 y ? 2x ? 15 中， 得20 ? 2x ?15 ，解得： x ? 2.
5 ．所挂物体的质量为2.5kg ．0)；【解答】解：（1）补全统计图，如图，；根据条形统计图可得，众 数 为 ： 4 （ 万 元
）， 中 位 数 为 ： 5 （ 万 元 ）， 平 均 数 为 ：3?1? 4 ? 4 ? 5? 3 ? 7 ?1? 8? 2
?10 ? 3 ?18?1 ? 7 （万元），15应确定销售目标为 7 万元，激励大部分的销售人员达到平均销售额．五、解答题（三）
：本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分．【解答】解：（1） ?ABC 是等腰直角三角形，证明过程如下：AC 为 O
的直径，??ADC ? ?ABC ? 90? ，?ADB ? ?CDB，? AB ? BC ，?AB ? BC ，又 ?ABC ?
90?，??ABC 是等腰直角三角形．（2）在Rt?ABC中， AB ? BC ? 2 ，? AC ? 2 ，在Rt?ADC中，
AD ? 1 ， AC ? 2 ，?CD ? 3 ．即CD 的长为： 3 ．【解答】（1） 抛物线 y ? x2 ? bx ?
c(b ， c 是常数）的顶点为C ，与 x 轴交于 A ， B 两点， A(1, 0) ， AB ? 4 ，? B(?3, 0
) ，?? ?1 ? b ? c ? 0 ，?9 ? 3b ? c ? 0?c ? ?3解得?b ? 2 ，??抛物线的解析式为
y ? x2 ? 2x ? 3 ；过Q 作QE ? x 轴于 E ，过C 作CF ? x 轴于 F ，设 P(m, 0) ，则 P
A ?1? m ，y ? x2 ? 2x ? 3 ? (x ?1)2 ? 4 ，?C(?1, ?4) ，?CF ? 4，PQ /
/BC ，??PQA∽?BCA ，? QE ? AP ，即 QE ? 1 ? m ，CFAB44?QE ? 1 ? m ，?S?C
PQ ? S?PCA ? S?PQA? 1 PA ? CF ? 1 PA ? QE22? 1 (1? m) ? 4 ? 1 (1
? m)(1? m) 22?3 m 1 ，? ? 1 (m ? 1)2 ? 2 ， 2?当 m ? ?1时 S?CPQ 有最大值
2，??CPQ 面积的最大值为 2，此时 P 点坐标为(?1, 0) ．2022 年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题共 16
个小题。1～10 小题每题 3 分，11～16 小题每题 2 分，共 42 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
）1．（3 分）计算a3 ? a 得a? ，则“？”是( )A．0B．1C．2D．32．（3 分）如图，将?ABC 折叠，使
AC 边落在 AB 边上，展开后得到折痕l ，则l 是?ABC 的( )A．中线B．中位线C．高线D．角平分线3．（3 分）与?3
1 相等的是( )2A． ?3 ? 12B． 3 ? 12C． ?3 ? 12D． 3 ? 124．（3 分）下列正确的是(
)4 ? 94 ? 9A．? 2 ? 3B．? 2 ? 3C．? 32D．? 0.7944.95．（3 分）如图，将三角形纸片
剪掉一角得四边形，设?ABC 与四边形 BCDE 的外角和的度数分别为? ， ? ，则正确的是( )A． ? ? ? ? 0C．
? ? ? ? 0B． ? ? ? ? 0D．无法比较? 与 ? 的大小6．（3 分）某正方形广场的边长为4 ?102 m ，其
面积用科学记数法表示为( )A． 4 ?104 m2B．16 ?104 m2C．1.6 ?105 m2D．1.6 ?104 m
27．（3 分）① ~ ④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由 6 个小正方体构成的长方体，则应选择(
)A．①③B．②③C．③④D．①④ 8．（3 分）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )A． B． C． D．9．
（3 分）若 x 和 y 互为倒数，则(x ? 1 )(2 y ? 1 ) 的值是( )yxA．1B．2C．3D．410．（3
分）某款“不倒翁”（图1) 的主视图是图 2，PA ，PB 分别与 AMB 所在圆相切于点 A ，B ．若该圆半径是9cm ，
?P ? 40? ，则 AMB 的长是( )1? cm11? cm27? cm7 ? cm211．（2 分）要得知作业纸上两相交
直线 AB ， CD 所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图 1 和图2) :对
于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是( )A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行12．（2 分）某项工
作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需 12 天．若m 个人共同完成需n 天，选取 6 组数对(m, n) ，在坐标系中
进行描点，则正确的是( )A． B． C． D．13．（2 分）平面内，将长分别为 1，5，1，1， d 的线段，顺次首尾相
接组成凸五边形（如图），则d 可能是( )A．1B．2C．7D．814．（2 分）五名同学捐款数分别是 5，3，6，5，10（
单位：元），捐 10 元的同学后来又追加了 10 元．追加后的 5 个数据与之前的 5 个数据相比，集中趋势相同的是( )A．只有
平均数B．只有中位数C．只有众数D．中位数和众数15．（2 分）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上
，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入 20 块等重的条形石，并在船上留 3 个搬运工，这时水位恰好到达标记位置如果再抬
入 1 块同样的条形石，船上只留 1 个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为 120 斤，设每块条形石的重量是 x
斤，则正确的是( )A．依题意3?120 ? x ?120B．依题意20x ? 3?120 ? (20 ?1)x ?120C．该象
的重量是 5040 斤D．每块条形石的重量是 260 斤16．（2 分）题目：“如图， ?B ? 45? ， BC ? 2 ，在射
线 BM 上取一点 A ，设 AC ? d ，若对于 d 的一个数值，只能作出唯一一个?ABC ，求d 的取值范围．”对于其答案，
甲答：d 2 ，2乙答： d ?1.6 ，丙答： d ?，则正确的是( )A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答
案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整二、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 3 分，共 9 分．其中 18 小题第一空 2
分，第二空1 分，19 小题每空 1 分）17．（3 分）如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从1 ~
8 号中随机抽取一签，则抽到 6 号赛道的概率是 ．18．（3 分）如图是钉板示意图，每相邻 4 个钉点是边长为 1 个单位长
的小正方形顶点，钉点 A ， B 的连线与钉点C ， D 的连线交于点 E ，则（1） AB 与CD 是否垂直？ （填“是”或“
否” ) ；（2） AE ? ．19．（3 分）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．甲盒中都是黑子，共 10 个．乙盒中都是白子
，共 8 个．嘉嘉从甲盒拿出a 个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的 2 倍，则 a ? ；设甲盒中都是黑子，共
m(m ? 2) 个，乙盒中都是白子，共 2m 个．嘉嘉从甲盒拿出a(1 ? a ? m) 个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲
盒所剩棋子数多 个；接下来， 嘉嘉又从乙盒拿回a 个棋子放到甲盒，其中含有 x(0 ? x ? a) 个白子，此时乙盒中有 y
个黑子，则 y 的值为 ．x三、解答题（本大题共 7 个小题，共 69 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（
9 分）整式3(1 ? m) 的值为 P ．3当m ? 2 时，求 P 的值；若 P 的取值范围如图所示，求m 的负整数值．21．
（9 分）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为 10 分，成绩高者被录用．图
1 是甲、乙测试成绩的条形统计图，分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2)
各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．22．（9 分）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数
之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证 如， (2 ?1)2 ? (2 ?1)2 ?10 为偶
数．请把 10 的一半表示为两个正整数的平方和； 探究 设“发现”中的两个已知正整数为m ， n ，请论证“发现”中的结论正确．
23．（10 分）如图，点 P(a,3) 在抛物线C : y ? 4 ? (6 ? x)2 上，且在C 的对称轴右侧．写出C 的对
称轴和 y 的最大值，并求a 的值；坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点 P 及C 的一段，分别记为 P? ，C? ． 平
移该胶片，使C? 所在抛物线对应的函数恰为 y ? ?x2 ? 6x ? 9 ．求点 P? 移动的最短路程．24．（10 分）如图
，某水渠的横断面是以 AB 为直径的半圆O ，其中水面截线 MN / / AB ．嘉琪在 A 处测得垂直站立于 B 处的爸爸头顶C
的仰角为14? ，点 M 的俯角为7? ．已知爸爸的身高为1.7m ．求?C 的大小及 AB 的长；请在图中画出线段 DH ，用
其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据： tan 76? 取 4， 17 取4
.1)25．（10 分）如图，平面直角坐标系中，线段 AB 的端点为 A(?8,19) ， B(6,5) ．求 AB 所在直线的解
析式；某同学设计了一个动画：在函数 y ? mx ? n(m ? 0, y 0) 中，分别输入m 和n 的值，使得到射线CD ，其
中C(c, 0) ．当c ? 2时，会从C 处弹出一个光点 P ，并沿CD 飞行；当c ? 2 时，只发出射线而无光点弹出．①若有
光点 P 弹出，试推算m ， n 应满足的数量关系；②当有光点 P 弹出，并击中线段 AB 上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段
AB 就会发光．求此时整数m 的个数．26．（12 分）如图 1，四边形 ABCD 中，AD / /BC ，?ABC ? 90?
，?C ? 30? ，AD ? 3 ，AB ? 2 3 ，DH ? BC 于点 H ．将?PQM 与该四边形按如图方式放在同一平
面内，使点 P 与 A 重合，3点 B 在 PM 上，其中?Q ? 90? ， ?QPM ? 30? ， PM ? 4．求证： ?
PQM ? ?CHD ；?PQM 从图 1 的位置出发，先沿着 BC 方向向右平移（图2) ，当点 P 到达点 D 后立刻绕点 D
逆时针旋转（图3) ，当边 PM 旋转50? 时停止．①边 PQ 从平移开始，到绕点 D 旋转结束，求边 PQ 扫过的面积；3②
如图 2，点 K 在 BH 上，且 BK ? 9 ? 4．若?PQM 右移的速度为每秒 1 个单位长，绕点 D 旋转的速度为每秒5
? ，求点 K 在?PQM 区域（含边界）内的时长；③如图 3，在?PQM 旋转过程中，设 PQ ， PM 分别交 BC 于点 E
， F ，若 BE ? d ，直接写出CF 的长（用含d 的式子表示）．2022 年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择
题（本大题共 16 个小题。1～10 小题每题 3 分，11～16 小题每题 2 分，共 42 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）CDABACDDBACCCDBB二、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 3 分，共 9 分．其中 18 小
题第一空 2 分，第二空1 分，19 小题每空 1 分）17． 1818． （1）是；（2） 4 5 ．519．（1）4；（2）
(m ? 2a) ，1．三、解答题（本大题共 7 个小题，共 69 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20． 【解答】解
：（1）根据题意得， P ? 3(1 ? 2) ? 3?(? 5) ? ?5 ；33（2）由数轴知， P 7 ，即3(1 ? m)
7 ，3解得m ? 2 ，m 为负整数，?m ? ?1． ?2 ．23 ? 22，【解答】解：由题意得，甲三项成绩之和为： 9
? 5 ? 9 ? 23（分) ， 乙三项成绩之和为： 8 ? 9 ? 5 ? 22 （分) ，?会录用甲；（2）由题意得，甲三项
成绩之加权平均数为： 9 ? 120 ? 5? 360 ?120 ? 60 ? 9 ? 60360360360? 3 ? 2.5
?1.5? 7 （分) ，三项成绩之加权平均数为： 8? 120 ? 9 ? 360 ?120 ? 60 ? 5? 6036036
0360? 8 ? 4.5 ? 536? 8 （分) ，7 ? 8 ，?会改变（1）的录用结果．【解答】解：两个已知正整数之和与这
两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下：(m ? n)2 ? (m ? n)2?
m2 ? 2mn ? n2 ? m2 ? 2mn ? n2? 2m2 ? 2n2? 2(m2 ? n2 ) ，故两个已知正整数之
和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．23． 【解答】解：（1） 抛物线C : y
? 4 ? (6 ? x)2 ? ?(x ? 6)2 ? 4 ，?抛物线的顶点为Q(6, 4) ，?抛物线的对称轴为直线 x ?
6 ， y 的最大值为 4， 当 y ? 3 时， 3 ? ?(x ? 6)2 ? 4 ，?x ? 5 或 7，点 P 在对称轴
的右侧，? P(7,3) ，?a ? 7 ；（2） 平移后的抛物线的解析式为 y ? ?(x ? 3)2 ，?平移后的顶点Q?(3
, 0) ，平移前抛物线的顶点Q(6, 4) ，32 ? 42?点 P? 移动的最短路程? QQ? ?? 5 ．【解答】解：（1）
嘉琪在 A 处测得垂直站立于 B 处的爸爸头顶C 的仰角为14? ，??CAB ?14?， ?CBA ? 90? ，??C ?1
80???CAB ??CBA ? 76?，tan C ? AB， BC ?1.7m ，BC?tan 76? ? AB ，1.7?
AB ? 1.7 ? tan 76? ? 6.8(m) ，答： ?C ? 76?， AB 的长为6.8m ；（2）图中画出线段 D
H 如图：OA ? OM ， ?BAM ? 7? ，??OMA ? ?OAM ? 7?，AB / /MN ，??AMD ? ?BA
M ? 7? ，??OMD ?14?，??MOD ? 76? ， 在Rt?MOD 中，tan ?MOD ? MD ，OD?tan
76? ? MD ，OD?MD ? 4OD ，设OD ? x m ，则 MD ? 4x m ，在Rt?MOD 中， OM ? OA
? 1 AB ? 3.4m ，2?x2 ? (4x)2 ? 3.42 ，x ? 0 ，? x ?17 ? 0.82 ，5?OD
? 0.82m ，? DH ? OH ? OD ? OA ? OD ? 3.4 ? 0.82 ? 2.58 ? 2.6(m) ，答
：最大水深约为 2.6 米．【解答】解：（1）设直线 AB 的解析式为 y ? kx ? b ，?6k ? b ? 5把 A(?8
,19) ， B(6,5) 代入，得??8k ? b ? 19 ，??k ? ?1?解得?b ? 11 ，?直线 AB 的解析式为
y ? ?x ? 11；（2）①由题意直线 y ? mx ? n 经过点(2, 0) ，?2m ? n ? 0 ；② 线段 AB
上的整数点有 15 个：(?8,19) ，(?7,18) ，(?6,17) ，(?5,16) ，(?4,15) ，(?3,14)
，(?2,13) ， (?1,12) ， (0,11) ， (1,10) ， (2,9) ， (3,8) ， (4, 7) ，
(5, 6) ， (6,5) ．当射线CD 经过(2, 0) ， (?7,18) 时， y ? ?2x ? 4 ，此时m ? ?2
，符合题意， 当射线CD 经过(2, 0) ， (?1,12) 时， y ? ?4x ? 8 ，此时m ? ?4 ，符合题意，
当射线CD 经过(2, 0) ， (1,10) 时， y ? ?10x ? 20 ，此时m ? ?10 ，符合题意， 当射线CD
经过(2, 0) ， (3,8) 时， y ? 8x ?16 ，此时m ? 8 ，符合题意，当射线CD 经过(2, 0) ， (5
, 6) 时， y ? 2x ? 4 ，此时m ? 2 ，符合题意， 其它点，都不符合题意．解法二：设线段 AB 上的整数点为(t
, ?t ? 11) ，则tm ? n ? ?t ?11，2m ? n ? 0 ，?(t ? 2)m ? ?t ? 11，?m ?
?t ?11 ? ?1?t ? 29 ，t ? 2?8 t 6 ，且t 为整数， m 也是整数，?t ? 2 ? ?1， ?
3， ?9 ，?t ?1， m ? ?10 ，t ? 3， m ? 8 ，t ? 5， m ? 2 ，t ? ?1， m ? ?4
，t ? ?7 ， m ? ?2 ，t ?11， m ? 0 （不符合题意，综上所述，符合题意的m 的值有 5 个【解答】（1）
证明： 四边形 ABCD 是矩形，3? AB ? DH ? 2， ?DHB ? ?DHC ? 90? ，在Rt?AQM 中， ?Q
? 90? ， ?QAM ? 30? ， AM ? 4 3 ，3?QM ? 1 AM ? 2，2?QM ? DH ，?Q ? ?
DHC ? 90? ， ?QAM ? ?C ? 30? ， 在?PQM 和?CHD 中，??QPM ? ?C???PQM ? ?C
HD ，??QM ? DH??PQM ? ?CHD( AAS) ；（2）解：①如图 1 中， PQ 扫过的面积? 平行四边形 AQ
Q?D 的面积? 扇形 DQ?Q?? 的面积．设QQ? 交 AM 于点T ．AQ ? 3QB ? 6 ， QT ? AM ，3?
AT ? AQ ? cos30? ? 3?，50 ? ? ? 623 3? PQ 扫过的面积 3? 3?? 9360? 5? ；②
如图2 ? 1 中，连接 DK ．当 DM 运动到与 DH 重合时，3BH ? AD ? 3 ， BK ? 9 ? 4，3? KH
? 3 ? (9 ? 4 3) ? 4? 6 ，33?CK ? 4? 6 ? 6 ? 4，CD ? 2DH ? 4 3 ，?CD
? CK ，??CKD ? 1 (180? ? 30?) ? 75? ，2??KDH ?15? ，?QDK? 30? ?15?
? 15? ，3?点 K 在?PQM 区域（含边界）内的时长 4 3 ? 6 ? 15 ? (415? 3)s ；③如图 3 中，
3在Rt?CDH 中， DH ? 2， ?C ? 30? ，?CH ? 3DH ? 6 ，BH ? 3， BE ? d ，? E
H ?| 3 ? d |，DH ? 2 3， ?DHE ? 90? ，?DE2 ? EH 2 ? DH 2 ? (3 ? d)2
? (2 3)2 ，?DEF ? ?CED ， ?EDF ? ?C ? 30? ，??DEF∽?CED ，? DE2 ? EF
? EC ，?(3 ? d)2 ?12 ? EF ? (9 ? d) ，? EF ??d 2 ? 6d ? 21，9 ? dd 2
? 6d ? 2160 ?12dCF ? BC ? BE ? EF ? 9 ? d ??9 ? d．9 ? d2022 年河南省
中考数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1． ? 1 的相反数是(
)2A． 12B．2C． ?2D． ? 122．2022 年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合? 人心同”的中华文化内涵．将这
六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是( )A．合B．同C．心
D．人如图，直线 AB ， CD 相交于点O ， EO ? CD ，垂足为O ．若?1 ? 54? ，则?2 的度数为( )A．
26?B． 36?C． 44?D． 54?33下列运算正确的是( )2?? 2B． (a ?1)2 ? a2 ?1C
． (a2 )3 ? a5D． 2a2 ? a ? 2a3如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点O ，点 E
为CD 的中点．若OE ? 3， 则菱形 ABCD 的周长为( )A．6B．12C．24D．48 6．一元二次方程 x2 ?
x ?1 ? 0 的根的情况是( )有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根如图所示的扇形统计
图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分 5 分），则所打分数的众数为( )A．5 分B．4 分C．3 分D． 45%《孙
子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1 亿? 1万?1 万，1 兆? 1 万?1 万?1
亿．则 1 兆等于( )A．108B．1012C．1016D．1024如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正六边形 ABCD
EF 的中心与原点O 重合，AB / /x 轴，交 y 轴于点 P ．将 ?OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90? ，则第 2
022 次旋转结束时， 点 A 的坐标为( )3(， ?1)B． (?1, ? 3)C． (?， ?1)D． (1, 3)3呼气
式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图 1 中的 R1 ) ，R1 的阻
值随呼气酒精浓度 K 的变化而变化（如图2) ， 血液酒精浓度 M 与呼气酒精浓度 K 的关系见图 3．下列说法不正确的是( )
呼气酒精浓度 K 越大， R1 的阻值越小当 K ? 0 时， R1 的阻值为 100当 K ?10 时，该驾驶员为非酒驾状态当
R1 ? 20 时，该驾驶员为醉驾状态二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）请写出一个 y 随 x 的增大而增大的一次函数的表
达式： ．?x ? 3 0,?? x不等式组?1? 2的解集为 ．为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某
单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为 ．如图，将扇形 AOB 沿OB 方向平移，使点O
移到OB 的中点O? 处，得到扇形 A?O?B? ．若?O ? 90?， OA ? 2 ，则阴影部分的面积为 ．如图，在Rt?AB
C中，?ACB ? 90? ， AC ? BC ? 2，点 D 为 AB 的中点，点 P 在 AC2上，且 CP ?1，将 CP
绕点C 在平面内旋转，点 P 的对应点为点 Q ，连接 AQ ， DQ ．当?ADQ ? 90? 时， AQ 的长为 ．三、解答题
（本大题共 8 个小题，共 75 分）16．（10 分）（1）计算： 3 27 ?(1)0 ? 2?1 ；3（2）化简：x2 ?1
?(1 ?1) ．xx17．（9 分）2022 年 3 月 23 日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天
员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课， 被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航
空航天知识”的掌握情况，随机抽取 50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：a ．成绩频数分布表：成绩 x （分
)50 x ? 6060 x ? 7070 x ? 8080 x ? 9090 x 100频数7912166b ．成绩在70 x
? 80 这一组的是（单位：分）:707172727477787878797979根据以上信息，回答下列问题：在这次测试中，成绩
的中位数是 分，成绩不低于 80 分的人数占测试人数的百分比为 ．这次测试成绩的平均数是 76.4 分，甲的测试成绩是 77 分
．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．请对该校学生“航空航天知识”的掌
握情况作出合理的评价．18．（9 分）如图，反比例函数 y ? k (x ? 0) 的图象经过点 A(2, 4) 和点 B ，点
B 在点 A 的下方，xAC 平分?OAB ，交 x 轴于点C ．求反比例函数的表达式．请用无刻度的直尺和圆规作出线段 AC 的垂
直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）线段OA 与（2）中所作的垂直平分线相交于点 D ，连接CD ．求证： CD / / A
B ．19．（9 分）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁
DC 的高度，如图，在 A 处用测角仪测得拂云阁顶端 D 的仰角为34? ，沿 AC 方向前进15m 到达 B 处，又测得拂云阁顶
端 D 的仰角为45? ．已知测角仪的高度为1.5m ，测量点 A ， B 与拂云阁 DC 的底部C 在同一水平线上，求拂云阁DC
的高度（结果精确到1m ．参考数据： sin34?? 0.56 ， cos34?? 0.83 ， tan 34?? 0.67)
．20．（9 分）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022 年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中
学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆 A 种菜苗的价格是菜苗基地的 5 倍
，4用 300 元在市场上购买的 A 种菜苗比在菜苗基地购买的少 3 捆．求菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格．菜苗基地每捆 B 种菜
苗的价格是 30 元．学校决定在菜苗基地购买 A ， B 两种菜苗共100 捆，且 A 种菜苗的捆数不超过 B 种菜苗的捆数．菜苗
基地为支持该校活动，对 A ，B 两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．21．（9 分）小红看到一处喷水景观，喷出的水
柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头 P 距地面0.7m ，水柱在距喷水头 P 水平距离5m 处达到最高，最高点距地面3.2
m ；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 y ? a(x ? h)2 ? k ，其中 x(m) 是水柱距喷水头的水
平距离， y(m) 是水柱距地面的高度．求抛物线的表达式．爸爸站在水柱正下方，且距喷水头 P 水平距离3m ．身高1.6m 的小红
在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．22．（10 分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环
”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环 O 与水平地面相切
于点C ，推杆 AB 与铅垂线 AD 的夹角为?BAD ，点O ， A ， B ，C ，D 在同一平面内．当推杆 AB 与铁环 O
相切于点 B 时，手上的力量通过切点 B 传递到铁环上，会有较好的启动效果．（1）求证： ?BOC ? ?BAD ? 90? ．
（2）实践中发现，切点 B 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点 BO是该区域内最低位置，此时点 A 距地面的距
离 AD 最小，测得cos ?BAD ? 3 ．已知铁环5的半径为25cm，推杆 AB 的长为75cm ，求此时 AD 的长．23
．（10 分）（2022 河南）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．操作判断操作一：对折矩形
纸片 ABCD ，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF ，把纸片展平；操作二：在 AD 上选一点 P ，沿 BP 折叠，使点
A 落在矩形内部点 M 处，把纸片展平，连接PM ， BM ．根据以上操作，当点 M 在 EF 上时，写出图 1 中一个30? 的
角： ．迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片 ABCD 按照（1）中的方式操作，并延长 PM
交CD 于点Q ，连接 BQ ．①如图 2，当点 M 在 EF 上时， ?MBQ ? ? ， ?CBQ ? ? ；②改变点
P 在 AD 上的位置（点 P 不与点 A ， D 重合），如图 3，判断?MBQ 与?CBQ 的数量关系，并说明理由．拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片 ABCD 的边长为8cm ，当 FQ ? 1cm 时，直接写出 AP 的长．2022 年河南省中
考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．ADBDCAB
CBC二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）y ? x ，或 y ? x ? 2 等，答案不唯一．12． 2 ? x 3 ．1
3． 1 ．614． ? ? 3 ．3251315．或．三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分）16．【解答】解：（1）原
式? 3 ?1 ? 12? 5 ；2（2）原式? (x ?1)(x ?1) ? x ?1xx? (x ?1)(x ?1) ? x
xx ?1? x ?1．【解答】解：（1）这次测试成绩的中位数是第 25、26 个数据的平均数，而第 25、26 个数据分别为 7
8 ? 79 ? 78.5 （分) ，2所以这组数据的中位数是 78.5 分，成绩不低于 80 分的人数占测试人数的百分比为16
? 6 ?100% ? 44% ，50故答案为：78.5， 44% ；不正确，因为甲的成绩 77 分低于中位数 78.5 分， 所
以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；测试成绩不低于 80 分的人数占测试人数的44% ，说明该校学生对“航空航天知识” 的掌握情况
较好（答案不唯一，合理均可）．【解答】（1）解： 反比例函数 y ? k (x ? 0) 的图象经过点 A(2, 4) ，x?k
? 2? 4 ? 8 ，?反比例函数的解析式为 y ? 8 ；x解：如图，直线m 即为所求．证明： AC 平分?OAB ，??OA
C ? ?BAC ，直线m 垂直平分线段 AC ，?DA ? DC ，??OAC ? ?DCA ，??DCA ? ?BAC ，?C
D / / AB ．【解答】解：延长 EF 交 DC 于点 H ， 由题意得：?DHF ? 90? ， EF ? AB ?15米，
CH ? BF ? AE ?1.5 米， 设 FH ? x 米，? EH ? EF ? FH ? (15 ? x) 米， 在Rt
?DFH中， ?DFH ? 45? ，?DH ? FH ? tan 45? ? x （米) ，在Rt?DHE 中， ?DEH ?
34? ，?tan 34? ? DH ?x? 0.67 ， EHx ?15?x ? 30.1，经检验： x ? 30.1是原方程的
根，?DC ? DH ? CH ? 30.1?1.5 ? 32 （米) ，?拂云阁 DC 的高度约为 32 米．【解答】解：（1）
设菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格是 x 元，根据题意得： 300 ? 300 ? 3 ，x5 x4解得 x ? 20 ，经检验，
x ? 20 是原方程的解，答：菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格是 20 元；（2）设购买 A 种菜苗m 捆，则购买 B 种菜苗(1
00 ? m) 捆，?m 100 ? m ，A 种菜苗的捆数不超过 B 种菜苗的捆数，解得m 50 ，设本次购买花费 w 元，?w
? 20 ? 0.9m ? 30 ? 0.9(100 ? m) ? ?9m ? 2700 ，?9 ? 0 ，?w 随 m 的增大
而减小，?m ? 50 时， w 取最小值，最小值为?9?50 ? 2700 ? 2250 （元) ， 答：本次购买最少花费 22
50 元．【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为(5,3.2) ，设抛物线的表达式为 y ? a(x ? 5)2 ? 3.2 ，
将(0, 0.7) 代入得：0.7 ? 25a ? 3.2 ，解得a ?? 1 ，10? y ? ? 1 (x ? 5)2 ? 3
.2 ? ? 1 x2 ? x ? 7 ，101010答：抛物线的表达式为 y ? ? 1 x2 ? x ? 7 ；1010（2）
当 y ? 1.6 时， ? 1 x2 ? x ? 71010? 1.6 ，解得 x ?1或 x ? 9 ，?她与爸爸的水平距离为
3 ?1 ? 2(m) 或9 ? 3 ? 6(m) ，答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m 或6m ．【解答】(
1) 证明：方法 1：如图 1，过点 B 作 EF / /CD ，分别交 AD 于点 E ，交OC于点 F ．CD 与 O 相切
于点C ，??OCD ? 90? ．AD ? CD ，??ADC ? 90? ．EF / /CD ，??OFB ? ?AEB ?
90? ，??BOC ? ?OBF ? 90? ， ?ABE ? ?BAD ? 90? ，AB 为 O 的切线，??OBA ? 9
0? ．??OBF ??ABE ? 90? ，??OBF ? 90?．??OBF ??ABE ? 90? ，??OBF ? ?BA
D ，??BOC ? ?BAD ? 90? ；方法 2：如图 2，延长OB 交CD 于点 M ．CD 与 O 相切于点C ，??O
CM ? 90? ，??BOC ??BMC ? 90? ，AD ? CD ，??ADC ? 90? ．AB 为 O 的切线，??O
BA ? 90? ，??ABM ? 90?．?在四边形 ABMD 中， ?BAD ? ?BMD ?180?．?BMC ? ?BMD
?180? ，??BMC ? ?BAD ．??BOC ? ?BAD ? 90? ；方法 3：如图 3，过点 B 作 BN / /
AD ，??NBA ? ?BAD ．CD 与 O 相切于点C ，??OCD ? 90? ，AD ? CD ，??ADC ? 90
? ．?AD / /OC ，?BN / /OC ，??NBO ? ?BOC ．AB 为OO 的切线，??OBA ? 90? ，??
NBO ??NBA ? 90? ，??BOC ? ?BAD ? 90? ．解：如图 1，在Rt?ABE 中，AB ? 75 ， c
os?BAD ? 3 ，5?AE ? 45．由（1）知， ?OBF ? ?BAD ，?cos?OBF ? 3 ，5在Rt?OBF中
，OB ? 25 ，?BF ?15，?OF ? 20 ．OC ? 25 ，?CF ? 5 ．?OCD ? ?ADC ? ?CFE
? 90?，?四边形CDEF 为矩形，?DE ? CF ? 5 ，?AD ? AE ? ED ? 50cm ．【解答】解：（1）对
折矩形纸片 ABCD ，? AE ? BE ? 1 AB ， ?AEF ? ?BEF ? 90? ，2沿 BP 折叠，使点 A 落
在矩形内部点 M 处，? AB ? BM ， ?ABP ? ?PBM ，sin?BME ? BEBM? 1 ，2??EMB ? 3
0? ，??ABM ? 60?，??CBM ? ?ABP ? ?CBM ? 30? ，故答案为： ?EMB 或?CBM 或?ABP
或?CBM （任写一个即可）；（2）①由（1）可知?CBM ? 30? ， 四边形 ABCD 是正方形，?AB ? BC ， ?
BAD ? ?C ? 90?，由折叠可得： AB ? BM ， ?BAD ? ?BMP ? 90?，??BM ? BC ， ?BM
Q ? ?C ? 90? ， 又 BQ ? BQ ，?Rt?BCQ ? Rt?BMQ(HL) ，??CBQ ? ?MBQ ? 15
? ， 故答案为：15，15；② ?MBQ ? ?CBQ ，理由如下：四边形 ABCD 是正方形，?AB ? BC ， ?BAD
? ?C ? 90?，由折叠可得： AB ? BM ， ?BAD ? ?BMP ? 90?，??BM ? BC ， ?BMQ ?
?C ? 90? ， 又 BQ ? BQ ，?Rt?BCQ ? Rt?BMQ(HL) ，??CBQ ? ?MBQ ；由折叠的性质可
得 DF ? CF ? 4cm ， AP ? PQ ，Rt?BCQ ? Rt?BMQ，?CQ ? MQ ，当点Q 在线段CF 上时
， FQ ? 1cm ，?MQ ? CQ ? 3cm ， DQ ? 5cm ，PQ2 ? PD2 ? DQ2 ，?(AP ? 3)
2 ? (8 ? AP)2 ? 25 ，? AP ? 40 ，11当点Q 在线段 DF 上时，FQ ? 1cm ，?MQ ? CQ
? 5cm ， DQ ? 3cm ，PQ2 ? PD2 ? DQ2 ，?(AP ? 5)2 ? (8 ? AP)2 ? 9 ，?
AP ? 24 ，13综上所述： AP 的长为 40 cm 或 24 cm ．11132022 年湖北省武汉市中考数学试卷一、选
择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1．（3 分
）实数 2022 的相反数是( )A． ?2022B． ?12022C． 1 2022D．20222．（3 分）彩民李大叔购买
1 张彩票，中奖．这个事件是( )A．必然事件B．确定性事件C．不可能事件D．随机事件3．（3 分）现实世界中，对称现象无处
不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是( )A． B． C． D．4．（3 分）计算(2a4 )3 的结
果是( )2a128a126a78a75．（3 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是( )A． B
． C．D．6．（3 分）已知点 A(x ， y ) ， B(x ， y ) 在反比例函数 y ? 6 的图象上，且 x? 0 ?
x ，则1122x12下列结论一定正确的是( )A． y1 ? y2 ? 0B． y1 ? y2 ? 0C． y1 ? y2D
． y1 ? y27．（3 分）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示（图
中OABC 为一折线）．这个容器的形状可能是( )A． B． C． D．8．（3 分）班长邀请 A ， B ， C
， D 四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则 A ， B 两位同学座位相邻的概率是(
)141312239．（3 分）如图，在四边形材料 ABCD 中， AD / /BC ，?A ? 90? ， AD ? 9cm
， AB ? 20cm ，BC ? 24cm ．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是( )A． 110 cmB
． 8cmC． 6 2cmD．10cm1310．（3 分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将
9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等， 例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未
完成的幻方，则 x 与 y 的和是( )A．9B．10C．11D．12二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）下
列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．(?2)211．（3 分）计算的结果是 ．尺码/cm2424.52
525.526销售量/双13104212．（3 分）某体育用品专卖店在一段时间内销售了 20 双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量
如下表．则这 20 双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 ．13．（3 分）计算2x ?x2 ? 91x ? 3的结果是
．14．（3 分）如图，沿 AB 方向架桥修路，为加快施工进度，在直线 AB 上湖的另一边的 D 处同时施工．取?ABC ?15
0?，BC ?1600m ，?BCD ?105? ，则C ，D 两点的距离是 m ．15．（3 分）已知抛物线 y ? ax2
? bx ? c(a ，b ，c 是常数）开口向下，过 A(?1, 0) ， B(m, 0) 两点，且1? m ? 2 ．下列四
个结论：① b ? 0 ；②若m ? 3 ，则3a ? 2c ? 0 ；2③若点 M (x1 ， y1 ) ， N ( x2 ，
y2 ) 在抛物线上， x1 ? x2 ，且 x1 ? x2 ? 1 ，则 y1 ? y2 ；④当a ?1时，关于 x 的一元二次
方程ax2 ? bx ? c ? 1 必有两个不相等的实数根． 其中正确的是 （填写序号）．16．（3 分）如图，在Rt?AB
C中， ?ACB ? 90? ， AC ? BC ，分别以?ABC 的三边为边向外作三个正方形 ABHL ， ACDE ， BCF
G ，连接 DF ．过点C 作 AB 的垂线CJ ，垂足为 J ， 分别交 DF ， LH 于点 I ， K ．若CI ? 5 ，
CJ ? 4，则四边形 AJKL 的面积是 ．三、解答题（共 8 小题，共 72 分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明
、证明过程、演算步骤或画出图形．? 5, ①?17．（8 分）解不等式组?x ? 2?3x ? x ? 2 ? ②请按下列步骤完成
解答．解不等式①，得 ；解不等式②，得 ；把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；原不等式组的解集是 ．18．（8 分）如图，
在四边形 ABCD 中， AD / /BC ， ?B ? 80? ．求?BAD 的度数；AE 平分?BAD 交 BC 于点 E ，
?BCD ? 50? ．求证： AE / /DC ．19．（8 分）为庆祝中国共青团成立 100 周年，某校开展四项活动： A
项参观学习， B 项团史宣讲， C 项经典诵读， D 项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学
生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．本次调查的样本容量是 ， B 项活
动所在扇形的圆心角的大小是 ，条形统计图中C 项活动的人数是 ；若该校约有 2000 名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活
动的人数．20．（8 分）如图，以 AB 为直径的 O 经过?ABC 的顶点C ， AE ， BE 分别平分?BAC 和?ABC
， AE 的延长线交 O 于点 D ，连接 BD ．（1）判断?BDE 的形状，并证明你的结论；10（2）若 AB ?10 ， B
E ? 2，求 BC 的长．21．（8 分）如图是由小正方形组成的9? 6 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． ?ABC 的三个顶
点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．在图（1）中， D ， E 分别是边 AB ， AC 与网格
线的交点．先将点 B 绕点 E 旋转180? 得到点 F ，画出点 F ，再在 AC 上画点G ，使 DG / /BC ；在图（2
）中， P 是边 AB 上一点， ?BAC ? ? ．先将 AB 绕点 A 逆时针旋转2? ，得到线段 AH ，画出线段 AH ，
再画点Q ，使 P ， Q 两点关于直线 AC 对称．22．（10 分）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在 A 处
开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．运动时间t / s01234运动速度v / cm / s109.598.58运动距离y /
cm09.751927.7536小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm / s) 、运动距离 y（单位：cm) 随运动时间t
（单位： s) 变化的数据，整理得下表．小聪探究发现，黑球的运动速度v 与运动时间t 之间成一次函数关系，运动距离 y 与运动时间
t 之间成二次函数关系．直接写出v 关于t 的函数解析式和 y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；当黑球减速后运
动距离为64cm 时，求它此时的运动速度；若白球一直以2cm / s 的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由
．23．（10 分）问题提出如图（1），在?ABC 中， AB ? AC ， D 是 AC 的中点，延长 BC 至点 E ，使 D
E ? DB ，延长ED 交 AB 于点 F ，探究 AF 的值．AB问题探究先将问题特殊化．如图（2），当?BAC ? 60?
时，直接写出 AF 的值；AB再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在?ABC 中， AB
? AC ， D 是 AC 的中点， G 是边 BC 上一点， CG ? 1 (n ? 2) ，BCn延长 BC 至点 E ，点
DE ? DG ，延长 ED 交 AB 于点 F ．直接写出 AF 的值（用含n 的式子AB表示）．24．（12 分）抛物线 y
? x2 ? 2x ? 3交 x 轴于 A ， B 两点( A 在 B 的左边），C 是第一象限抛物线上一点，直线 AC 交 y
轴于点 P ．直接写出 A ， B 两点的坐标；如图（1），当OP ? OA 时，在抛物线上存在点 D （异于点 B) ，使 B
， D 两点到 AC 的距离相等，求出所有满足条件的点 D 的横坐标；如图（2），直线 BP 交抛物线于另一点 E ，连接CE 交
y 轴于点 F ，点C 的横坐标为m ．求FP 的值（用含m 的式子表示）．OP2022 年湖北省武汉市中考数学试卷参考答案与试
题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
ADDBACACBD二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指
定的位置．11． 212． 2513． 1x ? 314． 800 2 ．15．①③④ 16． 80三、解答题（共 8 小题，共
72 分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．【解答】解：（1）解不等式①，得： x ? 3
；解不等式②，得： x ?1；把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：原不等式组的解集为： ?3故答案为：（1） x ? 3 ；
（2） x ?1；x ?1 ．（4） ?3 x ?1 ．【解答】（1）解：??B ? ?BAD ?180? ，?B ? 80? ，
??BAD ?100? ；AD / /BC ，（2）证明： AE 平分?BAD ，??DAE ? 50? ，AD / /BC ，?
?AEB ? ?DAE ? 50? ，?BCD ? 50? ，??AEB ? ?BCD，? AE / /DC ．【解答】解：（1）
本次调查的样本容量是16 ? 20% ? 80 ， B 项活动所在扇形的圆心角的大小是360?? 12 ? 54? ，条形统计图中
C 项活动的人数是80 ? 32 ?12 ?16 ? 20 （人) ，80故答案为：80， 54? ，20；（2） 2000 ?
32 ? 800 （人) ，80答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为 800 人．AE【解答】解：（1） ?BDE 为等腰直
角三角形．理由如下：平分?BAC ， BE 平分?ABC ，??BAE ? ?CAD ? ?CBD， ?ABE ? ?EBC ．?
BED ? ?BAE ? ?ABE ， ?DBE ? ?DBC ??CBE ，??BED ? ?DBE ．? BD ? ED ．A
B 为直径，??ADB ? 90?? ?BDE 是等腰直角三角形．另解：计算?AEB ?135? 也可以得证．（2）解：连接OC
、CD 、OD ， OD 交 BC 于点 F.?DBC ? ?CAD ? ?BAD ? ?BCD ．?BD ? DC ．OB ?
OC ．?OD 垂直平分 BC ．10?BDE 是等腰直角三角形， BE ? 2，5? BD ? 2．AB ?10 ，?OB ?
OD ? 5 ．设OF ? t ，则 DF ? 5 ? t ．在Rt?BOF和Rt?BDF中， 52 ? t2 ? (2 5)2
? (5 ? t)2 ， 解得t ? 3，? BF ? 4 ．?BC ? 8 ．另解：分别延长 AC ，BD 相交于点G ．则?M
BG 为等腰三角形，先计算 AG ?10 ，BG ? 4 5 ，5AD ? 4，再根据面积相等求得 BC ．【解答】解：（1）如图
（1）中，点 F ，点G 即为所求；如图（2）中，线段 AH ，点Q 即为所求．?2m ? n ? 922． 【解答】解：（1）设
v ? mt ? n ，将(0,10) ， (2,9) 代入，得?n ? 10，???m ? ? 1解得， ?2 ，??n ? 1
0?v ? ? 1 t ? 10 ；2?c ? 0?设 y ? at2 ? bt ? c ，将(0, 0) ， (2,19) ，
(4,36) 代入，得?4a ? 2b ? c ? 19 ，??16a ? 4b ? c ? 364?a ? ? 1??解得?b
? 10 ，??c ? 0?? y ? ? 1 t2 ? 10t ．4（2）令 y ? 64 ，即? 1 t2 ?10t ? 64
，4解得t ? 8 或t ? 32 ， 当t ? 8 时， v ? 6 ；当t ? 32 时， v ? ?6 （舍) ；设黑白两
球的距离为 w cm ， 根据题意可知， w ? 70 ? 2t ? y? 1 t2 ? 8t ? 704? 1 (t ?16)2
? 6 ， 41 ? 0 ，4?当t ?16 时， w 的最小值为 6，?黑白两球的最小距离为6cm ，大于 0，黑球不会碰到白
球．另解 1：当 w ? 0 时， 1 t2 ? 8t ? 70 ? 0 ，判定方程无解．4另解 2：当黑球的速度减小到2cm /
s 时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度， 不会碰到白球．先确定黑球速度为2cm / s 时，其运动时间为16s ，
再判断黑白两球的运动距离之差小于 70 cm ．23． 【解答】解：（1）如图，取 AB 的中点G ，连接 DG ，点 D 是 A
C 的中点，?DG 是?ABC 的中位线，?DG / /BC ，AB ? AC ， ?BAC ? 60?，??ABC 是等边三角形
， 点 D 是 AC 的中点，??DBC ? 30? ，BD ? CD ，??E ? ?DBC ? 30? ，? DF ? AB
，?AGD ? ?ADG ? 60? ，??ADG 是等边三角形，? AF ? 1 AG ，2AG ? 1AB ，2? AF ?
1 AB ，4? AF ? 1 ；AB4（2）取 BC 的中点 H ，连接 DH ， 点 D 为 AC 的中点，?DH / / A
B ， DH ? 1 AB ，2AB ? AC ，?DH ? DC ，??DHC ? ?DCH ，BD ? DE ，??DBH ?
?DEC ，??BDH ? ?EDC ，??DBH ? ?DEC( ASA) ，?BH ? EC ，? EB ? 3 ，EH2D
H / / AB ，??EDH∽?EFB ，? FB ? EB ? 3 ，DHEH2? FB ? 3 ，AB4? AF ? 1
；AB4问题拓展取 BC 的中点 H ，连接 DH ，由（2）同理可证明?DGH ? ?DEC( ASA) ，?GH ? CE ，
?HE ? CG ，CG ? 1 ，BCn? HE ? 1 ，BCn? HE ? 2 ，BHn? HE ?2 ， BEn ? 2D
H / /BF ，??EDH∽?EFB ，? HE ? DH ?2， DH ? 1BEBFn ? 2AB ，2? BF ? n
? 2 ，AB4? AF ? 2 ? n ．AB424． 【解答】解：（1）令 y ? 0 ，得 x2 ? 2x ? 3 ? 0
，解得 x ? 3或?1 ，? A(?1, 0) ， B(3, 0) ；OP ? OA ?1，? P(0,1) ，?直线 AC 的
解析式为 y ? x ? 1．①若点 D 在 AC 的下方时，过点 B 作 AC 的平行线与抛物线交点即为 D1 ．B(3, 0)
， BD1 / / AC ，?直线 BD1 的解析式为 y ? x ? 3 ，? y ? x ? 3?x ? 3?x ? 0由?
y ? x2 ? 2x ? 3 ，解得? y ? 0 或? y ? ?3 ，???? D1 (0, ?3) ，? D1 的横坐标
为 0．②若点 D 在 AC 的上方时，点 D1 关于点 P 的对称点G(0,5) ，过点G 作 AC 的平行线l 交抛物线于点
D2 ， D3 ， D2 ， D3 符合条件． 直线l 的解析式为 y ? x ? 5 ，? y ? 2x ? 2x ? 3由?
y ? x ? 5?，可得 x2 ? 3x ? 8 ? 0 ，3 ? 412解得 x ? 3 ? 41 或，2? D2， D
的横坐标为 3 ?3241 ， 3 ?241 ，综上所述，满足条件的点 D 的横坐标为 0， 3 ? 41 ， 3 ? 41 ．2
2设 E 点的横坐标为n ，过点 P 的直线的解析式为 y ? kx ? b ，? y ? kx ? b?由? y ? x2 ?
2x ? 3，可得 x2 ? (2 ? k)x ? 3 ? b ? 0 ，设 x ， x 是方程 x2 ? (2 ? k)x ?
3 ? b ? 0 的两根，则 x x? ?3 ? b ，121 2? xA ? xC ? xB ? xE ? ?3 ? bx
A ? ?1，? xC ? 3 ? b ，?m ? 3 ? b ，xB ? 3 ，? xE? ?1? b ，3?n ? ?1
? b ，3设直线CE 的解析式为 y ? px ? q ， 同法可得mn ? ?3 ? q?q ? ?mn ? 3 ，?q ?
?(3 ? b)(?1? b) ? 3 ? 1 b2 ? 2b ，33?OF ? 1 b2 ? 2b ，3? FP ? 1 b ?
1 ? 1 (m ? 3) ?1 ? 1 m ．OP3332022 年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题
3 分，共 30 分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3 分） ?6 的
相反数为( )A．6B． 16C． ? 16D． ?62．（3 分）2022 年 4 月 16 日，神舟十三号载人飞船圆满完成
全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A． 中国探火B． 中国火箭C． 中国行星探测D． 航天神舟3．（3 分）粮食是人类赖以生存的重要物质基础．2021 年我国粮食总
产量再创新高，达 68285万吨．该数据可用科学记数法表示为( )A． 6.8285 ?104 吨B． 68285
?104 吨C． 6.8285 ?107 吨D． 6.8285 ?108 吨4．（3 分）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学
家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为 0.618．这体现了数学中的( )A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金
分割?4x ?1 ? 75．（3 分）不等式组?2x ? 1 3?的解集是( )x 1x ? 2C．1x ? 2D． x ?
126．（3 分）如图，Rt?ABC是一块直角三角板，其中?C ? 90? ，?BAC ? 30? ．直尺的一边 DE经过顶点 A
，若 DE / /CB ，则?DAB 的度数为( )A．100?B．120?C．135?D．150?7．（3 分）化简1?a
? 36a2 ? 9的结果是( )1a ? 3a ? 3a ? 31a ? 38．（3 分）如图， ?ABC 内接于 O ， A
D 是 O 的直径，若?B ? 20? ，则?CAD 的度数是( )A． 60?B． 65?C． 70?D． 75?9．（3 分
）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”
“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（
不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是 “立春”和“立夏”的概率是( )2312161810．（3 分）如图，扇
形纸片 AOB 的半径为 3，沿 AB 折叠扇形纸片，点O 恰好落在 AB 上的点C 处，图中阴影部分的面积为( )3A． 3?
? 3B． 3? ?C． 2? ? 3D． 6? ?9 3239 3212二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共
15 分）11．（3 分）计算：18 ?的结果为 ．12．（3 分）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p(
Pa) 是它的受力面积 S(m2 ) 的反比例函数，其函数图象如图所示．当 S ? 0.25m2 时，该物体承受的压强 p 的值为
Pa ．13．（3 分）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率
，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位： ?mol ? m?2 ? s?1)
，结果统计如下：品种第一株第二株第三株第四株第五株平均数甲323025182025乙282526242225则两个大豆品种中光合作
用速率更稳定的是 （填“甲”或“乙” ) ．14．（3 分）某品牌护眼灯的进价为 240 元，商店以 320 元的价格出售．“五
一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于 20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价元．15．（3 分）如图，在正方形 A
BCD 中，点 E 是边 BC 上的一点，点 F 在边CD 的延长线上，且 BE ? DF ，连接 EF 交边 AD 于点G ．过
点 A 作 AN ? EF ，垂足为点 M ，交边CD 于点N ．若 BE ? 5 ， CN ? 8 ，则线段 AN 的长为 ．三
、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10 分）（1）计算： (?3)2
?3?1 ? (?5 ? 2)? | ?2 | ；?2x ? y ? 3①?（2）解方程组： ?x ? y ? 6② ．17．（8
分）如图，在矩形 ABCD 中， AC 是对角线．实践与操作：利用尺规作线段 AC 的垂直平分线，垂足为点O ，交边 AD 于点
E ，交边 BC 于点 F （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．猜想与证明：试猜想线段 AE 与CF 的数量关
系，并加以证明．18．（7 分）2022 年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车
都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少 0.6 元．若
充电费和加油费均为 200 元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的 4 倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．19．（8 分）首届
全民阅读大会于 2022 年 4 月 23 日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代?奋进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校
3600 名学生的读书情况，随机抽取部分学 生 进 行 问 卷 调 查 ， 形 成 了 如 下 调 查 报 告 （ 不 完 整 ）
:?? 中学学生读书情况调查报告调查主题?? 中学学生读书情况调查方式抽样调查调查对象?? 中学学生数据的收集、整理与描述第一项您
平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小 值，不含最大值）A.8 小时及以上；B.6 ~ 8 小时；C.4 ~ 6 小
时；D.0 ~ 4小时．第二项您阅读的课外书的主要来源是（可多选）E ．自行购买； F ．从图书馆借阅；G ．免费数字阅读；H ．
向他人借阅．调查结论请根据以上调查报告，解答下列问题：求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；估计该校
3600 名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8 小时及以上”的人数；该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，
请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．20．（8 分）阅读与思考用函数观点认识一元二次方程根的情况我 们 知 道 ， 一
元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 根 就 是 相 应 的 二 次 函 数y ? ax2 ?
bx ? c(a ? 0) 的图象（称为抛物线）与 x 轴交点的横坐标．抛物线与 x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点
、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与 x 轴的
交点个数确定一元二次方程根的情况．下面根据抛物线的顶点坐标(?，2ab4ac ? b24a) 和一元二次方程根的判别式△ ? b2
? 4ac ，分别分a ? 0 和 a ? 0 两种情况进行分析：（1） a ? 0 时，抛物线开口向上．①当△ ? b2 ?
4ac ? 0 时，有4ac ? b2 ? 0 ． a ? 0 ，?顶点纵坐标4ac ? b24a? 0 ．?顶点在 x 轴的下方
，抛物线与 x 轴有两个交点（如图1) ．②当△ ? b2 ? 4ac ? 0 时，有4ac ? b2 ? 0 ． a ? 0 ，
?顶点纵坐标4ac ? b24a? 0 ．?顶点在 x 轴上，抛物线与 x 轴有一个交点（如图2) ．?一元二次方程ax2 ? b
x ? c ? 0(a ? 0) 有两个相等的实数根．③当△ ? b2 ? 4ac ? 0 时，下面是小宇同学的数学小论文，请仔细
阅读并完成相应的任务．（2） a ? 0 时，抛物线开口向下．任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从
下面选项中选出两个即可）；A ．数形结合B ．统计思想C ．分类讨论D ．转化思想请参照小论文中当a ? 0 时①②的分析过程，写
出③中当a ? 0 ，△ ? 0 时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一
些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 ．21．（8 分）随着科技的发展，无人机
已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量 AB ， CD 两座楼之间的距离，
他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在 AB ， CD 两楼之间上方的点O 处，点O 距地面AC 的高度为60m ，此时观测到
楼 AB 底部点 A 处的俯角为70? ，楼CD 上点 E 处的俯角为30? ，沿水平方向由点O 飞行24m 到达点 F ，测得点
E 处俯角为60? ，其中点 A ， B ， C ， D ， E ， F ， O 均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼 AB
与CD 之间的距离 AC 的长3（结果精确到1m ．参考数据： sin 70?? 0.94 ， cos70?? 0.34 ， ta
n70?? 2.75 ，? 1.73) ．22．（13 分）综合与实践问题情境：在Rt?ABC中，?BAC ? 90? ，AB ?
6 ，AC ? 8 ．直角三角板 EDF 中?EDF ? 90? ， 将三角板的直角顶点 D 放在Rt?ABC斜边 BC 的中点
处，并将三角板绕点 D 旋转，三角板的两边 DE ， DF 分别与边 AB ， AC 交于点 M ， N ．猜想证明：如图①，在三
角板旋转过程中，当点 M 为边 AB 的中点时，试判断四边形 AMDN 的 形状，并说明理由；问题解决：如图②，在三角板旋转过程中
，当?B ? ?MDB 时，求线段CN 的长；如图③，在三角板旋转过程中，当 AM ? AN 时，直接写出线段 AN 的长．23．
（13 分）综合与探究如图，二次函数 y ? ? 1 x2 ? 3 x ? 4 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在
点 B 的左侧），与42y 轴交于点C ．点 P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点 P 的横坐标为 m ．过点 P 作直
线 PD ? x 轴于点 D ，作直线 BC 交 PD 于点 E ．求 A ， B ， C 三点的坐标，并直接写出直线 BC 的函
数表达式；当?CEP 是以 PE 为底边的等腰三角形时，求点 P 的坐标；连接 AC ，过点 P 作直线l / / AC ，交 y
轴于点 F ，连接 DF ．试探究：在点 P 运动的过程中，是否存在点 P ，使得CE ? FD ，若存在，请直接写出 m 的值
；若不存在，请说明理由．2022 年山西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 3
0 分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）ABDDCBACCB二、填空题（本大题共
5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）11．312．40013．乙14．323415． 4三、解答题（本大题共 8 个小题，
共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．【解答】解：（1）原式? 9 ? 1 ? (?3) ? 23? 3 ?
(?3) ? 2? 2 ；（2）① ? ②得： 3x ? 9，?x ? 3 ，将 x ? 3代入②得： 3 ? y ? 6 ，?
y ? 3 ，? y ? 3?原方程组的解为?x ? 3 ．?【解答】解：（1）如图，AE ? CF ，证明如下： 四边形 AB
CD 是矩形，? AD / /BC ，??EAO ? ?FCO ， ?AEO ? ?CFO ，EF 是 AC 的垂直平分线，? A
O ? CO ，在?AOE 和?COF 中，??AEO ? ?CFO???EAO ? ?FCO ，?? AO ? CO??AOE
? ?COF( AAS) ，?AE ? CF ．【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为 x 元，根据题意，得 200 ?
200? 4 ，xx ? 0.6解得 x ? 0.2 ，经检验， x ? 0.2 是原方程的根，答：这款电动汽车平均每公里的充电
费用为 0.2 元．【解答】解：（1）平均每周阅读课外书的时间大约是0 ~ 4 小时的人数为 33 人，占抽样学生人数的11%
，?参与本次抽样调查的学生人数为： 33 ?11% ? 300 （人) ，从图书馆借阅的人数占总数人的62% ，?选择“从图书馆借
阅”的人数为： 300? 62% ?186（人) ，答：参与本次抽样调查的学生人数为 300 人，选择“从图书馆借阅”的人数为 1
86 人；（2） 平均每周阅读课外书时间在“8 小时及以上”的人数占比为32% ，?3600?32% ?1152 （人) ，答：该
校 3600 名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8 小时及以上”的人数为 1152 人；答案不唯一，如： 由第一项可知：阅读时间
为“ 4 ~ 6 小时”的人数最多，“ 0 ~ 4 小时”的人数最少，由第二项可知：阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数
最多，“向他人借阅”的人数最少．【解答】解：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 AC ；故答案为： AC ；a ?
0 时，抛物线开口向上，当△ ? b2 ? 4ac ? 0 时，有4ac ? b2 ? 0 ．a ? 0，?顶点纵坐标 4ac
? b2 ? 04a?顶点在 x 轴的上方，抛物线与 x 轴无交点，如图，?一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0(a ?
0) 无实数根；可用函数观点认识二元一次方程组的解；故答案为：可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）．【解答】解：延长
AB ， CD 分别与直线OF 交于点G 和点 H ，则 AG ? 60m ， GH ? AC ， ?AGO ? ?EHO ? 9
0? ，在Rt?AGO中， ?AOG ? 70? ，?OG ?AG?tan 70?602.75? 21.8(m) ，?HFE 是?
OFE 的一个外角，??OEF ? ?HFE ??FOE ? 30? ，??FOE ? ?OEF ? 30? ，?OF ? EF
? 24m ，在Rt?EFH中， ?HFE ? 60? ，? FH ? EF ? cos 60? ? 24 ? 1 ? 12(m)
，2? AC ? GH ? OG ? OF ? FH ? 21.8 ? 24 ?12 ? 58(m) ，?楼 AB 与CD 之间
的距离 AC 的长约为58m ．22．【解答】解：（1）四边形 AMDN 是矩形，理由如下：点 D 是 BC 的中点，点 M 是
AB 的中点，?MD / / AC ，??A ??AMD ?180? ，?BAC ? 90?，??AMD ? 90? ，?A ?
?AMD ? ?MDN ? 90?，?四边形 AMDN 是矩形；如图 2，过点 N 作 NG ? CD 于G ，AB ? 6 ，
AC ? 8 ， ?BAC ? 90? ，AB2 ? AC2?BC ??10 ，点 D 是 BC 的中点，?BD ? CD ? 5
，?MDN? 90? ? ?A，??B ? ?C ? 90? ， ?BDM ? ?1? 90? ，??1 ? ?C ，?DN ?
CN ， 又 NG ? CD ，?DG ? CG ? 5 ，2cosC ? CG? AC ，CNBC5? 2 ? 8 ，CN10
?CN ? 25 ；8如图③，连接 MN ， AD ，过点 N 作 HN ? AD 于 H ，AM ? AN ， ?MAN ? 9
0? ，??AMN ? ?ANM ? 45? ，?BAC ? ?EDF ? 90?，?点 A ，点 M ，点 D ，点 N 四点共
圆，??ADN ? ?AMN ? 45? ，NH ? AD ，??ADN ? ?DNH ? 45?，?DH ? HN ，BD ?
CD ? 5 ， ?BAC ? 90? ，?AD ? CD ? 5 ，??C ? ?DAC ，?tan C ? tan?DAC ?
HN ? AB ? 3 ，AHAC4? AH ? 4 HN ，3AH ? HD ? AD ? 5，? DH ? HN ? 15
， AH ? 20 ，225 ? 400494977AH 2 ? HN 2? AN ??? 25 ．7解法二：如图，延长 MD 到
T ，使得 MD ? DT ，连接 NT ， CT ．设 AM ? AN ? a ．证明CT ? BM ? 6 ? a ， NM
? NT ? 2a ， ?NCT ? 90? ，由 NT 2 ? CN 2 ? CT 2 ，可得( 2a)2 ? (8 ? a)2
? (6 ? a)2 ，解得a ? 25 ．7解法三：也可以通过 D 向 AC 和 AB 分别作垂线 DQ 和 DP ，通过?D
PM∽?DQN 相似来算．23．【解答】解：（1）在 y ? ? 1 x2 ? 3 x ? 4 中，42令 x ? 0 得 y ?
4 ，令 y ? 0 得 x ? 8或 x ? ?2 ，? A(?2, 0) ， B(8, 0) ， C(0, 4) ，设直线
BC 解析式为 y ? kx ? 4 ，将 B(8, 0) 代入得：8k ? 4 ? 0 ， 解得k ?? 1 ，2?直线 BC
解析式为 y ? ? 1 x ? 4 ；2过C 作CG ? PD 于G ，如图：设 P(m, ? 1 m2 ? 3 m ? 4)
，42? PD ? ? 1 m2 ? 3 m ? 4 ，42?COD ? ?PDO ? ?CGD ? 90? ，?四边形CODG
是矩形，?DG ? OC ? 4 ， CG ? OD ? m ，? PG ? PD ? DG ? ? 1 m2 ? 3 m ? 4
? 4 ? ? 1 m2 ? 3 m ，4242CP ? CE ， CG ? PD ，?GE ? PG ? ? 1 m2 ? 3
m ，42?GCE ? ?OBC ， ?CGE ? 90? ? ?BOC ，??CGE∽?BOC ，? CG ? GE ，即 m
?? 1 m2 ? 3 m42，OBOC84解得m ? 0 （舍去）或m ? 4 ，? P(4, 6) ；存在点 P ，使得CE
? FD ，理由如下： 过C 作CH ? PD 于 H ，如图：设 P(m, ? 1 m2 ? 3 m ? 4) ，42由 A(
?2, 0) ， C(0, 4) 可得直线 AC 解析式为 y ? 2x ? 4 ，根据 PF / / AC ，设直线 PF 解析
式为 y ? 2x ? b ，将 P(m, ? 1 m2 ? 3 m ? 4) 代入得：42? 1 m2 ? 3 m ? 4 ?
2m ? b ，42?b ? ? 1 m2 ? 1 m ? 4 ，42?直线 PF 解析式为 y ? 2x ? 1 m2 ? 1
m ? 4 ，42令 x ? 0 得 y ? ? 1 m2 ? 1 m ? 4 ，42? F(0, ? 1 m2 ? 1 m ?
4) ，42?OF ?| ? 1 m2 ? 1 m ? 4 | ，42同（2）可得四边形CODH 是矩形，?CH ? OD ，CE
? FD ，?Rt?CHE ? Rt?DOF(HL) ，??HCE ? ?FDO ，?HCE ? ?CBO ，??FDO ? ?
CBO ，?tan?FDO ? tan?CBO ，| ? 1 m2 ? 1 m ? 4 |? OF ? OC ，即42ODOBm?
4 ，8?? 1 m2 ? 1 m ? 4 ? 1 m 或? 1 m2 ? 1 m ? 4 ? ? 1 m ，54224225解
得m ? 2? 2 或 m ? ?2? 2 或m ? 4 或 m ? ?4 ，P 在第一象限，5? m ? 2? 2 或 m ?
4 ．2022 年上海市中考数学试卷一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1．（4 分）8 的相反数为(
)A．8B． ?82．（4 分）下列运算正确的是( )A． a2 ? a3 ? a6C． ? 18B． (ab)2 ?
ab2D． 18C． (a ? b)2 ? a2 ? b2D． (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b23．（4 分）已知
反比例函数 y ? k (k ? 0)，且在各自象限内， y 随 x 的增大而增大，则下列点x可能在这个函数图象上的为( )A．
(2,3)B． (?2,3)C． (3, 0)D． (?3, 0)4．（4 分）我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费 6
元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是( )A．平均数B．中位数C．众数D．方差5．
（4 分）下列说法正确的是( )命题一定有逆命题所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是
假命题6．（4 分）有一个正n 边形旋转90? 后与自身重合，则n 为( )A．6B．9C．12D．15二、填空题（本大题共
12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．（4 分）计算： 3a ? 2a ? ．8．（4 分）已知 f (x) ? 3x ，
则 f （1） ? ．?x2 ? 2y ?39．（4 分）解方程组： ?x ? y ? 1?的结果为 ．10．（4 分）已知
x2 ? 2 3x ? m ? 0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．11．（4 分）甲、乙、丙三人参加活动，两个
人一组，则分到甲和乙的概率为 ．12．（4 分）某公司 5 月份的营业额为 25 万，7 月份的营业额为 36 万，已知 5、6
月的增长率相同，则增长率为 ．13．（4 分）为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分
布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值） (0 ?1 小时 4 人，1 ? 2 小时 10 人， 2 ? 3 小时 1
4 人， 3 ? 4 小时 16 人， 4 ? 5 小时 6 人），若共有 200 名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于 3
小时的人数是 ．14．（4 分）已知直线 y ? kx ? b 过第一象限且函数值随着 x 的增大而减小，请列举出来这样的一条直
线： ．15．（4 分）如图所示，在 ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，BO ? a ，BC ? b ，则 DC ? ．1
6．（4 分）如图所示，小区内有个圆形花坛O ，点C 在弦 AB 上，AC ?11 ，BC ? 21 ，OC ?13 ，则这个花坛
的面积为 （结果保留? )17．（4 分）如图，在?ABC 中， ?A ? 30? ， ?B ? 90? ， D 为 AB 中点
， E 在线段 AC 上，AD ? DE ，则 AE ? ．ABBCAC18．（4 分）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各
有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为 2 的等腰直角三角形，当等弦圆最大时， 这个圆的半径
为 ．三.解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）1 ? 12119．（10 分）计算： | ?3 | ?( ) 2 ??122
．3 ?13?3x ? x ? 4?20．（10 分）解关于 x 的不等式组： ? 4 ? x．x ? 2?? 321．（10
分）一个一次函数的截距为?1 ，且经过点 A(2,3) ．求这个一次函数的解析式；点 A ，B 在某个反比例函数上，点 B 横坐
标为 6，将点 B 向上平移 2 个单位得到点C ，求cos?ABC 的值．22．（10 分）我们经常会采用不同方法对某物体进行测
量，请测量下列灯杆 AB 的长．如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆 AB 底部a 米的点 D 处，测角仪高为b米，从C 点
测得 A 点的仰角为? ，求灯杆 AB 的高度．（用含a ， b ， ? 的代数式表示）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的
方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为 2 米的木杆CG 放在灯杆 AB 前，测得其影长CH 为 1 米，再将木杆
沿着 BC 方向移动 1.8 米至 DE 的位置，此时测得其影长 DF 为 3 米，求灯杆 AB 的高度．23．（12 分）如图所
示，在等腰三角形 ABC 中， AB ? AC ，点 E ， F 在线段 BC 上，点Q 在线段 AB 上，且CF ? BE ，
AE2 ? AQ ? AB ．求证：（1） ?CAE ? ?BAF ；（2） CF ? FQ ? AF ? BQ ．24．（12
分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ? 1 x2 ? bx ? c 过点 A(?2, ?1) ， B(0, ?3) ．2
求抛物线的解析式；平移抛物线，平移后的顶点为 P(m ， n)(m ? 0) ．ⅰ．如果 S?OBP ? 3 ，设直线 x ? k
，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势， 求 k 的取值范围；ⅱ．点 P 在原抛物线上，新抛物线交 y 轴于点Q ，且
?BPQ ? 120? ，求点 P 的坐标．25．（14 分）如图，在 ABCD 中， P 是线段 BC 中点，联结 BD 交 A
P 于点 E ，联结CE ．如果 AE? CE ． ⅰ．求证： ABCD 为菱形；ⅱ．若 AB ? 5 ， CE ? 3 ，求线段
BD 的长；分别以 AE ， BE 为半径，点 A ， B 为圆心作圆，两圆交于点 E ， F ，点 F 恰好在射线CE 上，如
果CE ?2 AE ，求 AB 的值．BC2022 年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 题，每题 4
分，满分 24 分）BDBDAC二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．a8． 3?x ? 2?9． ?
y ? ?1 ．10． m ? 3 ．11． 1 312． 20%13．8814． y ? ?x ?1 （答案不唯一）．15．
?2a ? b ．16． 400?17． 1 或 12418． 2 ? 2 ．三.解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）1
? 121【解答】解： | ?3 | ?( ) 2 ??1223 ?1331132( 3 ?1)( 3 ?1)( 3 ?1)1
2????3333???? 1 ? 23? 1 ?．?3x ? x ? 4①? 4 ? x【解答】解： ?，x ? 2②?? 3
由①得， 3x ? x ? ?4 ，2x ? ?4 ， 解得 x ? ?2 ，由②得， 4 ? x ? 3x ? 6 ，x ?
3x ? 6 ? 4 ，?2x ? 2 ， 解得 x ? ?1，所以不等式组的解集为： ?2 ? x ? ?1．【解答】解：（1
）设一次函数的解析式为： y ? kx ?1，?2k ?1? 3 ， 解得： k ? 2 ，一次函数的解析式为： y ? 2x ?
1．（2） 点 A ， B 在某个反比例函数上，点 B 横坐标为 6，? B(6,1) ，?C(6,3) ，??ABC 是直角三角
形，且 BC ? 2 ， AC ? 4 ， 根据勾股定理得： AB ? 2 5 ，22 5?cos?ABC ? BC ?? 5
．AB5【解答】解：（1）如图：由题意得：BE ? CD ? b 米， EC ? BD ? a 米， ?AEC ? 90? ， ?
ACE ? ? ， 在Rt?AEC 中， AE ? CE ? tan? ? a tan? （米) ，? AB ? AE ? BE
? (b ? a tan? ) 米，?灯杆 AB 的高度为(a tan? ? b) 米；（2）由题意得：GC ? DE ? 2 米
， CD ?1.8 米， ?ABC ? ?GCD ? ?EDF ? 90? ，?AHB ? ?GHC ，??ABH∽?GCH ，?
CG ? CH ，ABBH? 2 ?AB1，1 ? BC?F ? ?F ，??ABF∽?EDF ，? DE ? DF ，ABBF
? 2 ?AB3，33 ?1.8 ? BC?11? BC? 3 ?1.8 ? BC ，?BC ? 0.9米，? 2 ?AB1，1
? 0.9?AB ? 3.8 米，?灯杆 AB 的高度为 3.8 米．【解答】证明：（1） AB ? AC ，??B ? ?C ，
CF ? BE ，?CF ? EF ? BE ? EF ， 即CE ? BF ，在?ACE 和?ABF 中，? AC ? AB??
?C ? ?B，??CE ? BF??ACE ? ?ABF (SAS) ，??CAE ? ?BAF ；（2） ?ACE ? ?AB
F ，? AE ? AF ， ?CAE ? ?BAF ，AE2 ? AQ ? AB ， AC ? AB ，? AE ? AC ，A
QAF??ACE∽?AFQ ，??AEC ? ?AQF ，??AEF ? ?BQF ，AE ? AF ，??AEF ? ?AFE
，??BQF ? ?AFE ，?B ? ?C ，??CAF∽?BFQ ，? CF ? AF ，BQFQ即CF ? FQ ? AF
? BQ ．24．【解答】解：（1）将 A(?2, ?1) ， B(0, ?3) 代入 y ? 1 x2 ? bx ? c ，得：
2??1 ? 2 ? 2b ? c???3 ? c，?b ? 0?解得： ?c ? ?3 ，?抛物线的解析式为 y ? 1 x2
? 3 ．2（2） i ．y ? 1 x2 ? 3， 2?抛物线的顶点坐标为(0, ?3) ， 即点 B 是原抛物线的顶点，平移后
的抛物线顶点为 P(m, n) ，?抛物线平移了| m | 个单位，?S?OPB? 1 ? 3 | m |? 3 ，2m ? 0
，?m ? 2 ，即平移后的抛物线的对称轴为直线 x ? 2 ，在 x ? k 的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为 y 轴
，开口向上，?k 2 ；ii ．把 P(m, n) 代入 y ? 1 x2 ? 3 ，2?n ? 1 m2 ? 3 ，2? P
(m, 12m2 ? 3) ，由题意得，新抛物线的解析式为 y ? 1 (x ? m)2 ? n ? 1 x2 ? mx ? m2
? 3，22?Q(0, m2 ? 3) ，B(0, ?3) ，?BQ ? m2，BP2 ? m2 ? (1 m2 ? 3 ? 3
)2 ? m2 ? 1 m4，24PQ2 ? m2 ?[(1 m2 ? 3) ? (m2 ? 3)]2 ? m2 ? 1 m4 ，
24? BP ? PQ ，如图，过点 P 作 PC ? y 轴于C ，则 PC ?| m | ，PB ? PQ ， PC ? BQ
，? BC ? 1 BQ ? 1 m2 ， ?BPC ? 1 ?BPQ ? 1 ?120? ? 60?，22221 m2?tan
?BPC ? tan 60? ? BC ? 2? 3 ，PC| m |3? m ? 2 3 或 m ? ?2，?n ? 1 m2
? 3 ? 3 ，2? P 点的坐标为(2 3 ， 3) 或(?2 3 ， 3) ．25．【解答】（1） i ．证明：如图，连接
AC 交 BD 于点O ，四边形 ABCD 是平行四边形，?OA ? OC ，AE ? CE ， OE ? OE ，??AOE
? ?COE(SSS) ，??AOE ? ?COE ，?AOE ? ?COE ?180? ，??COE ? 90? ，? AC ?
BD，四边形 ABCD 是平行四边形，? ABCD 为菱形；ii ．解： OA ? OC ，?OB 是?ABC 的中线，P 为
BC 的中点，? AP 是?ABC 的中线，?点 E 是?ABC 的重心，?BE ? 2OE ，设OE ? x ，则 BE ? 2
x ，在Rt?AOE 中，由勾股定理得， OA2 ? AE2 ? OE2 ? 32 ? x2 ? 9 ? x2 ，在Rt?AOB中
，由勾股定理得， OA2 ? AB2 ? OB2 ? 52 ? (3x)2 ? 25 ? 9x2 ，?9 ? x2 ? 25 ?
9x2 ，2解得 x ?（负值舍去），?OB ? 3x ? 3 2 ，? BD ? 2OB ? 6 2 ；（2）解：如图，A与 B
相交于 E ， F ，? AB ? EF ，由（1）②知点 E 是?ABC 的重心，F又在直线CE 上，?CG 是?ABC 的中
线，? AG ? BG ? 1 AB ， EG ? 1 CE ，22CE ? 2 AE ，?GE ?2 AE ， CG ? CE
? EG ? 3 2 AE ，2? AG2 ? AE2 ? EG2 ? AE2 ? (22 AE)2 ? 1 AE2 ，22?
AG ?2 AE ，2? AB ? 2 AG ?2 AE ，? BC2 ? BG2 ? CG2 ? 1 AE2 ? (3 2 AE
)2 ? 5AE 2 ，22? BC ?5AE ，2AE5AE? AB ??BC10 ．52022 年天津市初中学业水平考试试卷
数 学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷为第 1 页至第 3 页，第Ⅱ卷为第 4 页至第 8 页。试卷满
分 120 分。考试时间 100 分钟。 答卷前， 请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“” 上，并在规定位置
粘贴考试用条形码。答题时， 务必将答案涂写在“”上， 。考试结束后，将本试卷和“ ”一并交回。 祝你考试顺利！ 每题选出答案后，
用 2B 铅笔把“”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。 2．本卷共 12
题，共 36 分。 12 3 36 . (1)计算(?3) +(? 2) 的结果等于 (A) ?5(B
) ? 1(C) 5(D) 1tan 45° 的值等于 (A) 2(B) 1(C)(D) 将 290 000 用科学记数法表示应为
(A) 0.29 × 106(B) 2.9 × 105(C) 29 × 104(D) 290 × 103在一些美术字中，有的汉字
是轴对称图形． 下面 4 个汉字中， 可以看作是轴对称 图形的是 (A) (B)
(C) (D) (5)右图是一个由5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是 (A) (
B) 第( 5 ) 题( C) 估计 的值在 3 和4 之间(C) 5 和 6 之间 (7)计算 a + 1 + 1
的结果是 a + 2 a + 2( D) 4 和5 之间(D) 6 和 7 之间(A) 1(B) (C) a + 2(D) (8
)若点 A( x1 ，2) ，B( x2 ，? 1) ，C( x3 ，4)都在反比例函数y = 的图象上， 则x1 ，x2 ，
x3 的大小关系是 (A) x1 < x2 < x3(B) x2 < x3 < x1(C) x1 < x3 < x2(D) x2
< x1 < x3(9)方程 x2 + 4x + 3 = 0 的两个根为 (A) x1 = 1 ，x2 = 3(B) x1 =
? 1 ，x2 = 3(C) x1 = 1 ，x2 = ?3(D) x1 = ? 1 ，x2 = ?3如图，△OAB 的顶点O
(0 ，0)，顶点A，B 分别在第一、四 yA象限， 且 AB⊥ x 轴，若 AB = 6 ， OA = OB = 5 ，则点 A
的坐标是 Ox(A) (5，4) (B) (3，4) B(C) (5，3)(D) (4 ，3)第(10)题 CM如图， 在 △A
BC 中， AB = AC ，若 M是BC 边上任意一点， N将 △ABM 绕点 A 逆时针旋转得到 △ACN ，点 M 的对应
点 为点N ，连接MN ，则下列结论一定正确的是 (A) AB = AN(B) AB // NC( C) ∠ AMN = ∠ AC
N(D) MN ⊥ ACAB第( 11 ) 题 (12) 已知抛物线y = ax2 + bx + c (a，b，c 是常数， 0＜
a ＜c ) 经过点(1，0) ，有下列结论： ① 2a + b＜0 ； ② 当x＞1时，y 随x 的增大而增大； ③ 关于x 的
方程ax2 + bx +(b + c )= 0 有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是 (A) 0(B) 1(C) 2(D
) 32022 年天津市初中学业水平考试试卷 数 学 用黑色字迹的签字笔将答案写在“ ”上(作图可用2B 铅笔)。 2．本卷共 1
3 题，共 84 分。 6 3 18 (13)计算 m .m7 的结果等于 ． (14)计算( 19 + 1)(
19 ? 1)的结果等于 ． (15) 不透明袋子中装有 9 个球，其中有 7 个绿球、 2 个白球，这些球除颜色外无其他差别．从
袋子中随机取出1 个球，则它是绿球的概率是 ． (16) 若一次函数y = x + b (b 是常数) 的图象经过第一、二、 三象
限， 则b 的值可以是 (写出一．个．即可)． DC如图，已知菱形 ABCD 的边长为2 ， ∠DAB = 60° ，E 为 GF
AB 的中点， F 为 CE 的中点， AF 与DE 相交于点 G ， AEB则 GF 的长等于 ．第(17)
题 DABPEFC如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点 A ，B ， C 及 ∠DPF 的一边上的点E ，F 均在格点
上． (Ⅰ)线段 EF 的长等于 ； (Ⅱ) 若点M ，N 分别在射线PD ，PF 上， 满足 ∠MBN = 90° 且BM =
BN ．请用无．刻．度．的直尺， 在如图所示的网格中， 画出点 M ，N ，并简要 说明点 M ， N 的位置是如何找到的(不要求
证明) ．第( 18 ) 题 7 66 (19) (本小题 8 分) (2x ≥ x ? 1， ① 解不等式组〈 x
+ 1≤3．② 请结合题意填空，完成本题的解答． (Ⅰ)解不等式①，得 ； (Ⅱ)解不等式②，得 ； (Ⅲ)把不等式①和②的解集在
数轴上表示出来： ?2? 10123(Ⅳ)原不等式组的解集为 ． (20) (本小题 8 分) 在读书节活动中，某校为了解学生参加
活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 人数 2 项45%1 项 32.5
%4 项m %3 项 181816141312108654420图① 1234项数 图② 第( 20 ) 题 请根据相关信息，解答
下列问题： (Ⅰ)本次接受调查的学生人数为 ，图①中m 的值为 ； (Ⅱ)求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数． (21)
(本小题 10 分) 已知 AB 为⊙ O 的直径， AB = 6 ， C 为⊙ O 上一点，连接 CA ， CB ． (Ⅰ)如图
①，若 C 为 的中点，求 ∠CAB 的大小和 AC 的长； (Ⅱ) 如图②，若 AC = 2 ， OD 为⊙ O 的半径， 且
OD⊥ CB ，垂足为 E ，过点 D 作 ⊙ O 的切线，与 AC 的延长线相交于点F ，求 FD的长． OFDCEOCABAB
图① 第( 21 ) 题 图② (22) (本小题 10 分) 如图，某座山 AB 的顶部有一座通讯塔 BC ，且点 A，B，C
在同一条直线上．从地面 P 处测得塔顶 C 的仰角为 42° ，测得塔底 B 的仰角为 35° ．已知通讯塔BC 的高度为32 m
，求这座山 AB 的高度(结果取整数)． 参考数据： tan 35°≈ 0.70 ，tan 42°≈ 0.90 ． CB35°
42°PA第( 22 ) 题 (23) (本小题 10 分) 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． y
/ km21.2O128292112 120 x / min第( 23 ) 题 已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览
室离学生公寓1.2 km ，超市离学生公寓 2km ．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12 min 到阅览室；在阅览室停留70 mi
n 后，匀速步行了10 min 到超市；在超市停留 20 min 后，匀速骑行了8min 返回学生公寓． 给出的图象反映了这个过程
中小琪离学生公寓的距离ykm 与离开学生公寓的时间x min 之间的对应关系． 离开学生公寓的时间∕min585087112离学生
公寓的距离∕km0.51.6请根据相关信息，解答下列问题： ( Ⅰ) 填表： ( Ⅱ) 填空： ① 阅览室到超市的距离为 k
m ； ② 小琪从超市返回学生公寓的速度为 km / min ； ③ 当小琪离学生公寓的距离为1km 时，他离开学生公寓的时间为
min ． (Ⅲ)当 0≤x ≤92 时，请直接写出y 关于x 的函数解析式． (24) (本小题 10 分) 将一个矩形纸片
OABC放置在平面直角坐标系中， 点 O(0，0)，点 A(3，0)，点 C(0，6) ， 点P 在边OC 上(点P 不与点O，C
重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与 x 轴的正半轴相交于点Q ，且 ∠OPQ = 30° ，点 O 的对应点
O′ 落在第一象限. 设 OQ = t ． (Ⅰ)如图①，当 t = 1 时，求 ∠O′QA的大小和点 O′ 的坐标； (Ⅱ) 如
图②， 若折叠后重合部分为四边形， O′Q ，O′P 分别与边 AB 相交于点E，F， 试用含有t 的式子表示O′E 的长，并直接
写出t 的取值范围； (Ⅲ) 若折叠后重合部分的面积为 3 3 ，则 t 的值可以是 (请直接写出 ．．．．两个不同的值即可)．
CBPFO′OEQ A xCBPOQAxO′yy图① 图②第( 24 ) 题 (25) (本小题 10 分) 已知抛物线y =
ax2+bx+ c (a，b，c 是常数，a＞0)的顶点为P，与x 轴相交于点A(?1，0) 和点B ． (Ⅰ)若 b = ?2
，c = ?3 ， ① 求点P 的坐标； ② 直线x = m (m 是常数，1＜m＜3)与抛物线相交于点M，与BP 相交于点G，
当MG 取得最大值时，求点M，G 的坐标； (Ⅱ) 若3b = 2c ，直线x = 2 与抛物线相交于点N ，E 是x 轴的正半轴
上的动点， F 是 y 轴的负半轴上的动点，当PF + FE + EN 的最小值为5 时，求点E，F 的坐标． 2022 年天津
市初中学业水平考试 数学参考答案 12 3 36 ( 1 ) A( 2 ) B( 3 ) B( 4 ) D( 5 ) A( 6
) C( 7 ) A( 8 ) B 6( 9 ) D 3( 10) D 18 ( 11) C( 12 ) C(13) m8(
14) 18(15) C NHFEOPGMBADQ(16) 1 (答案不唯一，满足b＞0 即可)(17) (18)(Ⅰ) 10 ；
(Ⅱ) 连接 AC ，与网格线相交于点 O ； 取格点Q ，连接EQ 与射线PD 相交于点M ；连接MB与 ⊙ O 相交于点 G
；连接 GO 并延长，与⊙ O 相交于点H ；连接BH 并延长， 与射线PF 相交于点N ，则点M ， N 即为所求． 7 6
6 (19)(本小题 8 分) (Ⅰ) x ≥ ?1 ； (Ⅱ) x ≤ 2 ； ( Ⅲ ) ?2? 1
0123(Ⅳ) ? 1≤ x ≤ 2 ． (20)(本小题 8 分) (Ⅰ) 40 ，10 ． ( Ⅱ)观察条形统计图， ，
∵ x = 1 × 13 + 2 × 18 + 3 × 5 + 4 × 4 = 2 13 + 18 + 5 + 4∴ 这组数据的平
均数是 2． ∵ 在这组数据中， 2 出现了18 次，出现的次数最多， ∴ 这组数据的众数是 2 ． ∵ 将这组数据按从小到大的顺
序排列，其中处于中间的两个数都是 2 ， 有= 2 ， ∴ 这组数据的中位数是 2 ． (21)(本小题 10 分) C (Ⅰ
)∵ AB 为⊙ O 的直径， ∴ ∠ACB = 90° ． 由 C 为 的中点，得 =C ． AOB∴ AC = BC ．得
∠ABC = ∠CAB ． 在Rt△ABC 中， ∠ABC + ∠CAB = 90° ， ∴ ∠CAB = 45° ． 根据勾股定
理，有 AC2 + BC2 = AB2 ． 又 AB = 6 ，得 2AC2 = 36 ． ∴ AC = 3 2 ． (Ⅱ)∵ F
D是⊙ O 的切线，FD∴ OD ⊥ FD ．即 ∠ ODF = 90° ．C∵ OD ⊥ CB ，垂足为 E ，E∴ ∠CED
= 90° ， CE = CBAB． O同(Ⅰ)可得 ∠ACB = 90° ，有 ∠FCE = 90° ． ∴ ∠FCE = ∠C
ED = ∠ODF = 90° ． ∴ 四边形ECFD 为矩形． ∴ FD = CE ．于是 FD = CB ． 在Rt△ABC
中，由 AB = 6 ，AC = 2 ，得 CB = = 4 2 ． ∴ FD = 2 2 ． (22)(本小题 10 分)
如图， 根据题意， BC = 32 ， 三APC = 42O ， 三APB= 35O ． 35O42O在Rt△PAC 中， tan
三APC = ，CACB∴ PA =tan 三APC ．在Rt△PAB 中， tan 三APB =， ∴ PA =AB． t
an 三APB PA∵ AC = AB + BC ， ∴ AB + BC =AB． tan 三APCtan 三APB BC . t
an 三APB32 人tan 35O 32 人 0.70 ∴ AB =tan 三APC 一tan 三APB = tan 4
2O 一tan 35O 如0.90 一0.70= 112(m ) ．答：这座山 AB 的高度约为112 m ． (23) (本小题
10 分) (Ⅰ) 0.8 ，1.2 ，2 ． (Ⅱ)① 0.8 ；② 0.25 ；③ 10 或116 ． (Ⅲ)当 0≤
x ≤12 时，y = 0.1x ； 当12＜x ≤82 时，y = 1.2 ； 当82＜x ≤92 时，y = 0.08x 一
5.36 ． (24) (本小题 10 分) (Ⅰ)在 Rt△POQ 中，由三OPQ = 30O ，得 三OQP = 90O
一三OPQ = 60O ． y根据折叠，知 △PO,Q ≌△ POQ ，CBPO,OQ H Ax ∴ O,Q = OQ ，三
O,QP = 三OQP = 60O ． ∵ 三O,QA = 180O 一三O,QP 一三OQP ， ∴ 三O,QA = 60O ．
如图，过点 O, 作 O,H 」OA ，垂足为 H ，则 三O,HQ = 90O ． ∴ 在Rt△O,HQ 中，得三QO,H =
90O 一三O,QA = 30O ． 由t = 1 ，得 OQ = 1 ，有 O′Q = 1． 由 QH = 1 O′Q = 1
， O′H2 + QH2 = O′Q2 ， 22得 OH = OQ + QH =， O′H ==． 33∴ 点O′ 的坐标为(
， ) ．22CBPFO′OEQ A x(Ⅱ)∵ 点A(3，0) ，y∴ OA = 3 ．又 OQ = t ， ∴ QA =
OA ? OQ = 3 ? t ． 同(Ⅰ)知， O′Q = t ， ∠O′QA = 60° ． ∵ 四边形 OABC 是矩形，
∴ ∠OAB = 90° ． 在Rt△EAQ 中， ∠QEA = 90 ° ? ∠EQA = 30° ，得 QA = QE ． ∴
QE = 2QA = 2(3 ? t) = 6 ? 2t ． 又 O′E = O′Q ? QE ， ∴ O′E = 3t ?6
，其中 t 的取值范围是2＜t＜3． (Ⅲ) 3 ， ．(答案不唯一，满足3≤t ＜2 3 即可) (25) (本小题 10 分
) (Ⅰ)① ∵ 抛物线y = ax2 + bx + c 与x 轴相交于点 A(? 1，0) ， ∴ a ? b + c =
0 ．又 b =?2 ，c =?3 ，得 a = 1． ∴ 抛物线的解析式为y = x2 ? 2x ? 3 ． ∵ y = x2
? 2x ? 3 = (x ? 1)2 ? 4 ， ∴ 点P 的坐标为(1，? 4) ． ② 当y = 0 时，由x2 ? 2
x ? 3 = 0 ，解得x1 = ? 1 ，x2 = 3 ． ∴ 点B 的坐标为(3，0) ． 设经过B ，P 两点的直线的解析
式为y = kx + n ， 有〈解得〈∴ 直线BP 的解析式为y = 2x ? 6 ． ∵ 直线x = m ( m 是常数， 1
＜m＜3 )与抛物线 y = x2 ? 2x ? 3 相交于点M ， 与BP 相交于点 G ， ∴ 点M 的坐标为(m，m2 ?
2m ? 3) ，点 G 的坐标为(m，2m ? 6 ) ． ∴ MG= (2m ? 6)?(m2 ? 2m ? 3) = ?m2
+ 4m ? 3 = ? (m ? 2)2 + 1 ． ∴ 当m = 2 时， MG 有最大值 1 ． 此时，点M 的坐标为(2
，? 3)，点 G 的坐标为(2，? 2) ． (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b+ c = 0 ，又 3b = 2c ， ∴ b =?
2a ，c = ?3a ．( a＞0 ) ∴ 抛物线的解析式为y = ax2 ? 2ax ? 3a ． ∵ y = ax2 ? 2
ax ? 3a = a(x ? 1)2 ? 4a ， ∴ 顶点P 的坐标为(1，? 4a) ． ∵ 直线x = 2 与抛物线y =
ax2 ? 2ax ? 3a 相交于点N ， ∴ 点N 的坐标为(2，? 3a) ． 作点P 关于y 轴的对称点P′ ,作点N
关于x 轴的对称点N′ ， 得点P′ 的坐标为(? 1，? 4a)，点 N′ 的坐标为(2，3a) ． 当满足条件的点E，F 落在
直线P′N′ 上时， PF + FE + EN 取得最小值， 此时， PF + FE + EN = P′N′ = 5 ． 延长P′
P 与直线x = 2 相交于点H ，则 P′H⊥ N′H ． 在Rt△P′HN′ 中， P′H = 3 ，HN′ = 3a ?(?
4a) = 7a ． ∴ P′N′2 = P′H2 + HN′2 = 9 + 49a2 = 25 ． 解得a1 = ，a2 =
? (舍)． ∴ 点P′ 的坐标为(? 1，? )，点 N′ 的坐标为(2，) ． ′ ′420可得直线P N 的解析式为y
= x ?．321∴ 点E(，0)和点F(0，? )即为所求． 数学参考答案 第 5 页(共 5 页) 2022 年湖北省黄
冈市中考数学试卷一、精心选一选（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求
的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑）1．－5 的绝对值是（ ）A．5B．－5C．－ 1D． 155某几何体的三视图如图所示，则该
几何体是（ ）圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．四棱柱北京冬奥会开幕式的冰雪五环由我国航天科技建造，该五环由 21000 个 LED 灯
珠组成，夜色中就像闪闪发光的星星，把北京妆扮成了奥运之城，将数据 21000 用科学记数法表示为（ ）A．21×103B．2.1×
104C．2.1×105D．0.21×106下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）等边三角形B．矩形C．正方形D．圆下列计算正确的是
（ ）A．a2?a4＝a8B．（－2a2）3＝－6a6C．a4÷a＝a3D．2a＋3a＝5a2下列调查中，适宜采用全面调查方式的是
（ ）检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量B．检测一批 LED 灯的使用寿命C．检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量D．检测一批家用
汽车的抗撞击能力如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点 C 为圆心，CA 的长为半径画弧，交 AB
于点 D，则弧 AD 的长为（ ）πB． 4 πC． 5 πD．2π33如图，在矩形 ABCD 中，AB＜BC，连接 AC，分别以
点 A，C 为圆心，大于 1 AC 的长为半径画弧，两2弧交于点 M，N，直线 MN 分别交 AD，BC 于点 E，F．下列结论：
①四边形 AECF 是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若 AF 平分∠BAC，则 CF＝2BF． 其中正
确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1二、细心填一填（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．请把答案填在答题卡
相应题号的横线上）若分式2x ?1有意义，则 x 的取值范围是．如图，直线 a∥b，直线 c 与直线 a，b 相交，若∠1＝54°
，则∠3＝度．若一元二次方程 x2－4x＋3＝0 的两个根是 x1，x2，则 x1?x2 的值是．如图，已知 AB∥DE，AB＝D
E，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF．小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是．如图，有甲乙
两座建筑物，从甲建筑物 A 点处测得乙建筑物 D 点的俯角 α 为 45°，C 点的俯角 β 为 58°，BC 为两座建筑物的水平
距离．已知乙建筑物的高度CD 为6m，则甲建筑物的高度AB 为 m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°
≈1.60，结果保留整数）．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12
，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为 1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为 2 的一类勾股数，
如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为 2m（m≥3， m 为正整数），则其弦是 （结果用含 m 的式子表示）．
如图 1，在△ABC 中，∠B＝36°，动点 P 从点 A 出发，沿折线 A→B→C 匀速运动至点 C 停止．若点P 的运动速度为
1cm/s，设点 P 的运动时间为（t s），AP 的长度为 y（cm），y 与 t 的函数图象如图 2 所示．当AP 恰好平分
∠BAC 时 t 的值为．三、专心解一解（本大题共 8 小题，满分 72 分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）17．先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中 x＝2，y＝－1
．某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买 1 份甲种快餐和 2 份乙种快餐共需70 元，买 2 份甲种快餐和
3 份乙种快餐共需 120 元．买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？已知该班共买 55 份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过 12
80 元，问至少买乙种快餐多少份？为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的
时间 t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A 组“t≤45”，B 组“45＜t≤60”，C 组“60＜t≤75”，D 组“75
＜t≤90”，E 组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题：这次调查的样本容
量是，请补全条形统计图；在扇形统计图中，B 组的圆心角是度，本次调查数据的中位数落在组内；若该校有 1800 名学生，请你估计该校
每天完成书面作业不超过 90 分钟的学生人数．如图，已知一次函数 y1＝kx＋b 的图象与函数 y2＝ m （x＞0）的图象交于
A（6，－ 1 ），B（ 1 ，n）x22两点，与 y 轴交于点C，将直线 AB 沿 y 轴向上平移t 个单位长度得到直线 DE，
DE 与 y 轴交于点 F．求 y1 与 y2 的解析式；观察图象，直接写出 y1＜y2 时 x 的取值范围；连接 AD，CD，若
△ACD 的面积为 6，则 t 的值为．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，BC 与过点 A 的切线 EF 平
行，BC，AD 相交于点G．求证：AB＝AC；若 DG＝BC＝16，求 AB 的长．为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改
造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2 的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用 y（元/m2）与
种植面积 x（m2） 之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为 15 元/m2．当 x≤100 时，求 y 与 x 的函数关系式
，并写出 x 的取值范围；当甲种花卉种植面积不少于 30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的 3 倍时．①如何分配甲乙
两种花卉的种植面积才能使种植的总费用 w（元）最少？最少是多少元？②受投入资金的限制，种植总费用不超过 6000 元，请直接写出甲
种花卉种植面积 x 的取值范围．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图 1，已知
AD 是△ABC 的角平分线，可证 ABAC＝ BD ．小慧的证明思路是：如图 2，过点 C 作 CE∥AB，交 AD 的延长CD
线于点 E，构造相似三角形来证明 AB ＝ BD ．ACCD尝试证明：ABBD请参照小慧提供的思路，利用图 2 证明＝；ACCD应
用拓展：如图 3，在 Rt?? ABC 中，∠BAC＝90°，D 是边 BC 上一点．连接 AD，将?? ACD 沿 AD 所在直
线折叠，点 C 恰好落在边 AB 上的 E 点处．①若 AC＝1，AB＝2，求 DE 的长；②若 BC＝m，∠AED＝α，求 DE
的长（用含 m，α 的式子表示）．抛物线 y＝x2－4x 与直线 y＝x 交于原点 O 和点 B，与 x 轴交于另一点 A，顶点
为 D．直接写出点 B 和点 D 的坐标；如图 1，连接 OD，P 为 x 轴上的动点，当tan∠PDO＝ 1 时，求点 P 的坐
标；2如图 2，M 是点 B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横坐标为 m（0＜m＜5），S2连接 MQ，BQ
，MQ 与直线 OB 交于点 E．设△BEQ 和△BEM 的面积分别为 S1 和 S ，求 1 的最大S2值．说明：咸宁市 202
2 年初中学业水平考试数学参考答案及评分说明如果考生的解答正确，思路与本参考答案不同，可参照本评分说明制定相应的评分细则评 分，不
得放弃评阅，简单判错．每题都要评阅完毕，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答 在某一步出现错误，影响了后继
部分时，如果该步以后的解答未改变这道题的内容和难度， 则可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这
一 步以后的解答有较严重的错误，就不给分．为阅卷方便，解答题的解题步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理地省略非 关键性的
步骤．其它解法，只要思路清晰，解法正确，都应按步骤给予相应分数．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．每题评分时
只给整数分数．一、精心选一选（每小题 3 分，本大题满分 24 分）题号12345678答案ACBDCABB二、细心填一填（每小题
3 分，本大题满分 24 分）9．x≠110．12611．312．BC=EF（答案不唯一）13． 1314．1615．m2+11
6． 2 5+2三、专心解一解（本大题满分 72 分）解：原式＝ 4xy ? 2xy ? 3xy2 分＝5xy．3 分当 x=2
，y= ?1时，4 分原式＝ 5 ? 2 ?（-1)=-106 分解：（1）设买一份甲种快餐需 x 元，一份乙种快餐需 y 元，依
题意，得?x ? 2 y ? 70，??2x ? 3y ? 1202 分?x ? 30，?解得? y ? 20.·········
·································································
·· 3 分答：买一份甲种快餐需 30 元，一份乙种快餐需 20 元.4 分（2）设买乙种快餐 m 份，依题意，得30 ? (5
5 ? m) ? 20m ≤1280，6 分解得 m≥37.7 分答：至少买乙种快餐 37 份.8 分19．解：（1）100. 1
分如图所示.···························· 3 分（2）725 分C.6 分（3）1800 ? 10
? 20 ? 25 ? 40 ? 1710 （人）． 7 分100答：估计该校每天完成书面作业不超过 90 分钟的学生有 1710
人．8 分20．解：（1）把 A（6,- 1) 代入 y ? m ，得? 1 ? m ．22x26∴ m ? ?3 ．1 分∴
y2? ? 3 ．2 分x把 B 1 n) 代入 y? ? 3 ，得 1 n ? ?3 ，（ ,2∴ n ? ?6 ．2x2∴ B
( 1 , ?6) ．3 分2把 A（6,- 1) ， B( 1 , ?6) 代入 y1＝kx＋b，得22?6k ? b ? ?
1 ，?k ? 1，解得?2?? 1?b ? ? 13 .??? 2k ? b ? ?6.??2∴ y1? x ? 13 .5 分
2（2） 1 ? x ? 6 .7 分2（3）2.9 分21．解：（1）证明：∵AD 是⊙O 的直径，EF 是⊙O 的切线，∴AD
⊥EF．1 分∵BC∥EF，∴AD⊥BC．2 分∴ = ．3 分∴AB=AC．4 分（2）如图，连接 OB．∵AD⊥BC，BC=1
6，∴ BG ? 1 BC ? 8 ．5 分2设⊙O 的半径为 r，则 OB=r， OG ? DG ? OD ? 16 ? r ．
在 Rt△OBG 中， OG2 ? BG2 ? OB2 ，即（16 ? r)2 ? 82 ? r 2 ．∴r=10．7 分BG 2
? AG 282 ? 425∴ AG ? AD ? DG ? 48 分在 Rt△ABG 中， AB ??? 4．9 分22．解：
（1）当 0 ? x ? 40 时， y ? 30 ． 1 分当40≤x≤100 时，设 y=kx+b， 依题意，得ì30 = 4
0k + b，ìk = - 1??í解得í4???15 = 100k + b.?b = 40.∴ y ? ? 1 x ? 403
分4?30, 0 ? x ? 40，? 1∴ y ? ??x ? 40, 40≤x≤100.···················
···························· 4 分?? 4（2）①由题意可知： 360 ? x≥3x ，解得 x≤
90.又 x≥30，∴30≤x≤90．5 分当 30≤x＜40 时，w=30x＋15(360 ? x)=15x＋5400，∵15>
0，∴w 随 x 的增大而增大，∴当 x=30 时，w 最小值=15×30＋5400=5850．6 分当 40≤x≤90 时，w
? (? 1 x ? 40)x ? 15 ? (360 ? x) ? ? 1 x 2 ? 25x ? 5400 ? ? 1 (x
? 50) 2 ? 6025 ．444∵ ? 1 ? 0 ，对称轴为直线 x=50，4当 x＜50 时，w 随 x 的增大而增大，
∴当 x=40，w 最小值=6000．当 x＞50 时，w 随 x 的增大而减小，∴当 x=90，w 最小值=5625.7 分∵5
625<5850<6000，∴w 的最小值为 5625．此时甲种花卉种植面积为 90 m2，乙种花卉种植面积为360 ? 90 ?
270 m2.答：甲种花卉种植面积为 90m2，乙种花卉种植面积为 270m2，总费用最少， 最少是 5625 元．8 分②30
≤x≤40 或 60≤x≤90．10 分23．解：（1）∵CE∥AB，∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED，∴△ABD∽△EC
D．∴ AB ? BD ．1 分ECCD∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAE． 又∠BAD=∠CEA，∴∠CAE=∠CEA，
∴AC=CE，2 分∴ AB ? BD .3 分ACCDAB 2 ? AC 25（2）①在 Rt△ABC 中，AC＝1，AB＝2，
则 BC ??．4 分∴ BD ? BC ? CD ?5 ? CD .由折叠可知，∠BAD=∠CAD，DE=CD，∴AD 平分∠B
AC，由（1）可得AB ? BD ，即 2 ?5 ? CDACCD1CD．6 分∴ CD ?5 ，即 DE ?35 ．7 分3②∵
BC=m，∴ BD ? BC ? CD ? m ? CD .∵∠AED＝α，由折叠可知∠C =∠AED＝α，DE=CD，在 Rt△
ABC 中，tanα= AB8 分AC又 AB ? BD ，∴tanα= BD .9 分ACCDCD∴ BD ? CD ? tan
?,即 m ? CD ? CD ? tan?，∴ CD ?即 DE ?m1 ? tan?m1 ? tan?..··········
··························································· 10 分2
4．解：（1）B（5，5） 2 分D（2， ?4 ）4 分当点 P 在 x 轴的正半轴时，如图 1，过点 D 作 DP1⊥x 轴，
垂足为点 P1． 由点 D（2， ?4 ）可得 O P1=2，P1D=4，即 tan∠P1DO= 1 .此时点 P1 的坐标为（2
，0）.6 分2当点 P 在 x 轴的负半轴时，连接 P2D 交 y 轴于点 F. 过点 D 作 DG⊥y 轴，垂足为点 G.∵t
an∠P2DO= tan∠GOD = 1 ，2∴∠P2DO=∠GOD，∴OF= DF．在 Rt△FGD 中， DG2 ? GF 2
? DF 2 ，即22 +（4 ? OF)2 ? OF 2 ，∴ OF ? 5 ， FG ? 3 .7 分22∵tan∠P2FO
=tan∠DFG，∴ P2O ? DG ，OFFG即OP ? 3 ? 5 ? 2 ，∴ OP ? 10 ．22223∴点 P (?
10，0) ．23综上所述，点 P 的坐标为（2，0）或(? 10，0) ．8 分3由题意可知， S1 ? QE ．9 分S2M
E如图 2，过点 Q 作 QN∥BM 交 BO 于点 N， 则△NEQ∽△BEM．∴ QE ? NQ ．MEBM由题意可知，点 M
(?1，5) ，BM=6． 设点 Q 的坐标为(m，m2 ? 4m) ，∴点 N 的坐标为(m2 ? 4m，m2 ? 4m) .
∴QN=m－(m2－4m)=5m－m2． 10 分S5m ? m215 225∴ 1 ?? ? (m ? ) ?．11 分S266
224∵0＜m＜5，故当 m= 5 时， S1 的最大值为 25 ．12 分2S2242022 年浙江省杭州市中考数学试卷一．选择
题：本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．（3 分）圆圆
想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为?6? C ，最高气温为2? C ，则该地这天的温差（最高气温与最
低气温的差）为( )A． ?8? CB． ?4? C C． 4? C D． 8? C 2．（3 分）国家统计局网站公布我国 20
21 年年末总人口约 1412600000 人，数据 1412600000用科学记数法可以表示为( )A．14.126 ?108
B．1.4126 ?109C．1.4126 ?108D． 0.14126 ?10103．（3 分）如图，已知 AB / /CD ，
点 E 在线段 AD 上（不与点 A ，点 D 重合），连接CE ．若?C ? 20? ， ?AEC ? 50? ，则?A ? (
)A．10?B． 20?C． 30?D． 40?4．（3 分）已知a ， b ， c ， d 是实数，若a ? b ， c ?
d ，则( )a ? c ? b ? da ? b ? c ? da ? c ? b ? da ? b ? c ? d5．（3
分）如图， CD ? AB 于点 D ，已知?ABC 是钝角，则( )线段CD 是?ABC 的 AC 边上的高线线段CD 是
?ABC 的 AB 边上的高线线段 AD 是?ABC 的 BC 边上的高线线段 AD 是?ABC 的 AC 边上的高线6．（3
分）照相机成像应用了一个重要原理，用公式 1 ? 1 ? 1 (v ? f ) 表示，其中 f 表示照fuv相机镜头的焦距，u 表
示物体到镜头的距离， v 表示胶片（像) 到镜头的距离．已知 f ， v ，则u ? ( )fvf ? vf ? vfv v ?
fv ? ffv7．（3 分）某体育比赛的门票分 A 票和 B 票两种， A 票每张 x 元， B 票每张 y 元．已知 10张
A 票的总价与 19 张 B 票的总价相差 320 元，则( )A． | 10x |? 320 19 yB． | 10y |?
320 19xC． |10x ?19 y |? 320D． |19x ?10 y |? 3208．（3 分）如图，在平面直角坐标
系中，已知点 P(0, 2) ，点 A(4, 2) ．以点 P 为旋转中心，把点 A 按逆时针方向旋转60? ，得点 B ．在 M
(? 3 ，0) ，M (?3 ，?1) ，M(1, 4) ，11132四个点中，直线 PB 经过的点是( )3M4 (2,
2 )M1M 2M 3M 49．（3 分）已知二次函数 y ? x2 ? ax ? b(a ，b 为常数）．命题①：该函数的图象经
过点(1, 0) ；命题②：该函数的图象经过点(3, 0) ；命题③：该函数的图象与 x 轴的交点位于 y 轴的两侧； 命题④：该
函数的图象的对称轴为直线 x ?1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题， 则这个假命题是( )A．命题①B．命题②C．命题③D
．命题④10．（3 分）如图，已知?ABC 内接于半径为 1 的 O ，?BAC ? ? (? 是锐角），则?ABC 的面积的最大
值为( )cos? (1 ? cos? )cos? (1 ? sin? )sin? (1 ? sin? )sin? (1 ? c
os? )二．填空题：本大题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．411．（4 分）计算：? ； (?2)2 ?
．12．（4 分）有 5 张仅有编号不同的卡片，编号分别是 1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于 ．13．
（4 分）已知一次函数 y ? 3x ?1 与 y ? kx(k 是常数， k ? 0) 的图象的交点坐标是(1, 2) ，?3
x ? y ? 1?则方程组?kx ? y ? 0 的解是 ．14．（4 分）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆 AB
的高度，把标杆 DE 直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是 BC ? 8.72m ， EF
? 2.18m ．已知 B ， C ， E ， F 在同一直线上， AB ? BC ， DE ? EF ， DE ? 2.47m
， 则 AB ? m ．15．（4 分）某网络学习平台 2019 年的新注册用户数为 100 万，2021 年的新注册用户数为
169 万，设新注册用户数的年平均增长率为 x(x ? 0) ，则 x ? （用百分数表示）．16．（4 分）如图是以点O 为圆心
， AB 为直径的圆形纸片，点C 在 O 上，将该圆形纸片沿直线CO 对折，点 B 落在 O 上的点 D 处（不与点 A 重合），
连接CB ，CD ， AD ．设CD 与直径 AB 交于点 E ．若 AD ? ED ，则?B ? 度； BC 的值等于．AD三
．解答题：本大题有 7 个小题，共 66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6 分）计算： (?6) ? (2
? ■ ) ? 23 ．3圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．（1）如果被污染的数字是 1 ，请计算(?6) ? (
2 ? 1) ? 23 ．232（2）如果计算结果等于 6，求被污染的数字．候选人文化水平艺术水平组织能力甲80 分87 分82
分乙80 分96 分76 分18．（8 分）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平
、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分 100 分）如下表所示：如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该
录取谁？如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20% ， 20% ， 60% 的比例计
入综合成绩，应该录取谁？19．（8 分）如图，在?ABC 中，点 D ，E ，F 分别在边 AB ，AC ，BC 上，连接 DE
，EF ．已知四边形 BFED 是平行四边形， DE ? 1 ．BC4若 AB ? 8 ，求线段 AD 的长．若?ADE 的面积为
1，求平行四边形 BFED 的面积．20．（10 分）设函数 y ? k1 ，函数 y ? k x ? b(k ， k ， b
是常数， k ? 0 ， k ? 0) ．1x221212若函数 y1 和函数 y2 的图象交于点 A(1, m) ，点 B(3,
1) ，①求函数 y1 ， y2 的表达式；②当2 ? x ? 3 时，比较 y1 与 y2 的大小（直接写出结果）．若点C(2,
n) 在函数 y1 的图象上，点C 先向下平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位， 得点 D ，点 D 恰好落在函数 y1 的
图象上，求n 的值．21．（10 分）如图，在Rt?ACB中，?ACB ? 90? ，点 M 为边 AB 的中点，点 E 在线段
AM 上，EF ? AC 于点 F ，连接CM ， CE ．已知?A ? 50? ， ?ACE ? 30? ．求证： CE ? C
M ．若 AB ? 4 ，求线段 FC 的长．22．（12 分）设二次函数 y1 ? 2x ? bx ? c(b ， c 是常数）
的图象与 x 轴交于 A ， B 两点．2若 A ， B 两点的坐标分别为(1, 0) ， (2, 0) ，求函数 y1 的表达式
及其图象的对称轴．若函数 y 的表达式可以写成 y? 2(x ? h)2 ? 2(h 是常数）的形式，求b ? c 的最小值．11
（ 3 ）设一次函数 y2 ? x ? m(m是 常 数 ）， 若 函 数y1 的表达式还可以写 成y1 ? 2(x ? m)(x
? m ? 2) 的形式，当函数 y ? y1 ? y2 的图象经过点(x0 ， 0) 时，求 x0 ? m 的值．23．（12
分）在正方形 ABCD 中，点 M 是边 AB 的中点，点 E 在线段 AM 上（不与点 A 重合），点 F 在边 BC 上，且
AE ? 2BF ，连接 EF ，以 EF 为边在正方形 ABCD 内作正方形 EFGH ．如图 1，若 AB ? 4 ，当点
E 与点 M 重合时，求正方形 EFGH 的面积．如图 2，已知直线 HG 分别与边 AD ，BC 交于点 I ，J ，射线 EH
与射线 AD 交于点 K ．①求证： EK ? 2EH ；②设?AEK ? ? ， ?FGJ 和四边形 AEHI 的面积分别为
S ， S ．求证： S2 ? 4sin2 ? ?1 ．S1212022 年浙江省杭州市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：
本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．DBCABCCBD二．
填空题：本大题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．11． 2，412． 2513．?x ? 1?? y ? 2 ．14．
9.8815． 30%16． 36， 3 ? 52三．解答题：本大题有 7 个小题，共 66 分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．17． 【解答】解：（1） (?6) ? ( 2 ? 1) ? 2332? (?6) ? 1 ? 86? ?1? 8?
?9 ；（2）设被污染的数字为 x ，根据题意得： (?6) ? ( 2 ? x) ? 23 ? 6 ，3解得： x ? 3，答：
被污染的数字是 3．18． 【解答】解：（1）甲的平均成绩为 80 ? 87 ? 82 ? 83 （分) ；3乙的平均成绩为 80
? 96 ? 76 ? 84 （分) ，3因为乙的平均成绩高于甲的平均成绩， 所以乙被录用；（2）根据题意，甲的平均成绩为80?
20% ? 87? 20% ? 82? 60% ? 82.6 （分) ， 乙的平均成绩为80? 20% ? 96? 20% ?
76? 60% ? 80.8（分) ，因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩， 所以甲被录用．【解答】解：（1）四边形 BFED 是平行
四边形，?DE / /BF ，?DE / /BC ，??ADE∽?ABC ，? AD ? DE ? 1 ，ABBC4AB ? 8
，? AD ? 2 ；1 21?ADE∽?ABC ，? S?ADE ? ( DE )2 ?( ) ?，S?ABCBC416
?ADE 的面积为 1，??ABC 的面积是 16，四边形 BFED 是平行四边形，?EF / / AB ，3 2??EFC∽?A
BC ，? S?EFC ?( ) ? 9 ，S?ABC416??EFC 的面积? 9 ，?平行四边形 BFED 的面积?1
6 ? 9 ?1? 6 ．【解答】解：（1）把点 B(3,1) 代入 y1? k1 ，x3 ? k1 ，1解得： k1 ? 3 ，
?函数 y 的表达式为 y? 3 ，11x把点 A(1, m) 代入 y1? 3 ，解得m ? 3 ，x把点 A(1,3) ，点
B(3,1) 代入 y2 ? k2 x ? b ，??3 ? k2 ? b ，?1 ? 3k2 ? b?b ? 4解得?k2 ?
?1，??函数 y2 的表达式为 y2 ? ?x ? 4 ；（2）如图，当2 ? x ? 3 时， y1 ? y2 ；由平移，可得
点 D 坐标为(?2, n ? 2) ，??2(n ? 2) ? 2n ， 解得： n ?1，?n 的值为 1．【解答】（1）证明
：?MC ? MA ? MB ，?ACB ? 90? ，点 M 为边 AB 的中点，??MCA ? ?A ， ?MCB ? ?B
，?A ? 50? ，??MCA ? 50? ， ?MCB ? ?B ? 40? ，??EMC ? ?MCB ??B ? 80?
，?ACE ? 30?，??MEC ? ?A ? ?ACE ? 80? ，??MEC ? ?EMC ，?CE ? CM ；（2）解
： AB ? 4 ，?CE ? CM ? 1 AB ? 2 ，2EF ? AC ， ?ACE ? 30? ，? FC ? CE ?
cos 30? ? 3 ．22． 【解答】解：（1） 二次函数 y1 ? 2x ? bx ? c 过点 A(1, 0) 、 B
(2, 0) ，2? y1? 2(x ? 1)(x ? 2) ，即 y1? 2x2 ? 6x ? 4 ．?抛物线的对称轴为直线 x
? ? b2a? 3 ．2把 y1 ? 2(x ? h) ? 2 化成一般式得，21y ? 2x2 ? 4hx ? 2h2 ?
2 ．?b ? ?4h ， c ? 2h2 ? 2 ．?b ? c ? 2h2 ? 4h ? 2? 2(h ?1)2 ? 4 ．把
b ? c 的值看作是h 的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，?当 h ?1时， b ? c 的最小值是?4 ．由题意得，
y ? y1 ? y2? 2(x ? m)(x ? m ? 2) ? (x ? m)? (x ? m)[2(x ? m) ? 5
] ．函数 y 的图象经过点(x0 ， 0) ，?(x0 ? m)[2(x0 ? m) ? 5] ? 0 ．? x0 ? m ?
0 ，或2(x0 ? m) ? 5 ? 0 ．即 x0m ? 0 或 x0? m ? 5 ．223． 【解答】（1）解：如图 1，
点 M 是边 AB 的中点，若 AB ? 4 ，当点 E 与点 M 重合，? AE ? BE ? 2 ，AE ? 2BF ，? B
F ? 1，在Rt?EBF中， EF 2 ? EB2 ? BF 2 ? 22 ? 12 ? 5 ，?正方形 EFGH 的面积? E
F 2 ? 5 ；（2）如图 2，①证明：四边形 ABCD 是正方形，??A ? ?B ? 90?，??K ? ?AEK ? 90
? ，四边形 EFGH 是正方形，??KEF ? 90? ， EH ? EF ，??AEK ??BEF ? 90? ，??AKE
? ?BEF ，??AKE∽?BEF ，? EK ? AE ，EFBFAE ? 2BF ，? EK ? 2BF ? 2 ，EFBF
? EK ? 2EF ，? EK ? 2EH ；②证明： 四边形 ABCD 是正方形，? AD / /BC ，??KIH ? ?G
JF ，四边形 EFGH 是正方形，??IHK ? ?EHG ? ?HGF ? ?FGJ ? 90? ， EH ? FG ，KE
? 2EH ，? EH ? KH ，?KH ? FG ，在?KHI 和?FGJ 中，??KIH ? ?FJG???KHI ? ?F
GJ ，??KH ? FG??KHI ? ?FGJ ( AAS) ，? S?KHI ? S?FGJ ? S1 ，?K ? ?K
， ?A ? ?IHK ? 90?，??KAE∽?KHI ，? S?KAE ? ( KA )2 ? ( KA )2 ? 4( K
A )2 ，S?KHIKH1 KEKEsin? ? KA2，KE?sin2 ? ? ( KA)2 ，KE? S1 ? S2 ? 4
sin2 ? ，S1? S2 ? 4sin2 ? ?1 ．S12022 年浙江省嘉兴市中考数学试卷一、选择题（本题有 10 小题，
每题 3 分，共 30 分．）1．（3 分）若收入 3 元记为+3，则支出 2 元记为（ ）A．﹣2B．﹣1C．1D．22．（3
分）如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）B．C． D． 3．（3 分）计算 a2?a＝（ ）A．a
B．3aC．2a2D．a34．（3 分）如图，在⊙O 中，∠BOC＝130°，点 A 在上，则∠BAC 的度数为（ ）A．55°B
．65°C．75°D．130°5．（3 分）不等式 3x+1＜2x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B． C． D
． 6．（3 分）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为 2cm 的正
方形 ABCD 沿对角线 BD 方向平移 1cm 得到正方形 A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点 D，B′之间的距离为（
）A．1cmB．2cmC．（﹣1）cmD．（2﹣1）cm7．（3 分）A，B 两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射
击成绩的平均数和方差的描述中，能说明 A 成绩较好且更稳定的是（ ）ABABA．＞且 S 2＞S 2B． ＜且 S 2＞S 2BA
C． ＞且 SA2＜S 2D． ＜且 S 2＜SB28．（3 分）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得 3 分，平一
场得 1 分，负一场得 0 分．某校足球队在第一轮比赛中赛了 9 场，只负了 2 场，共得 17 分．那么该队胜了几场，平了几场？
设该队胜了 x 场，平了 y 场，根据题意可列方程组为（ ）A．B．C．D．9．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝8，点
E，F，G 分别在边 AB，BC，AC 上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形 AEFG 的周长是（ ）A．8B．16C．24D．
3210．（3 分）已知点 A（a，b），B（4，c）在直线 y＝kx+3（k 为常数，k≠0）上，若 ab 的最大值为 9，则
c 的值为（ ）A．1B． C．2D． 二、填空题（本题有 6 小题，每题 4 分，共 24 分）11．（4 分）分解因式：m
2﹣1＝ ．12．（4 分）不透明的袋子中装有 5 个球，其中有 3 个红球和 2 个黑球，它们除颜色外都相同．从袋子中随机取出
1 个球，它是黑球的概率是．13．（4 分）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件．14．
（4 分）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与 BC 重合，另一边分别交 AB，AC 于点 D，E．
点 B，C，D，E 处的读数分别为 15，12，0，1，则直尺宽 BD 的长为 ．15．（4 分）某动物园利用杠杆原理称象：如图，
在点 P 处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点 A，B 处
，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为 k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使 BP扩大到原来的 n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧
秤读数为 （N）（用含 n，k 的代数式表示）．16．（4 分）如图，在扇形 AOB 中，点 C，D 在上，将沿弦 CD 折叠后
恰好与 OA，OB相切于点 E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为，折痕 CD 的长为．三、解答题（本题有 8 小题
，第 17～19 题每题 6 分，第 20、21 题每题 8 分，第 22、23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 6
6 分）17．（6 分）（1）计算：（1﹣ ）0﹣．（2）解方程： ＝1．小惠：小洁：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC 垂直
平分 BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四边形 ABCD 是菱形．这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．18．（6 分）小
惠自编一题：“如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AC⊥ BD，OB＝OD．求证：四边形 ABCD 是菱
形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．，
19．（6 分）设是一个两位数，其中 a 是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当 a＝4 时 表示的两位数是 45．（1）尝试：
①当 a＝1 时，152＝225＝1×2×100+25；②当 a＝2 时，252＝625＝2×3×100+25；③当 a＝3 时，
352＝1225＝；……归纳：与 100a（a+1）+25 有怎样的大小关系？试说明理由．运用：若 与 100a 的差为 2525
，求 a 的值．x（h）…1112131415161718…y（cm）…18913710380101133202260…20．（8
分）6 月 13 日，某港口的潮水高度 y（cm）和时间 x（h）的部分数据及函数图象如下：（数据来自某海洋研究所）数学活动：①
根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．②观察函数图象，当 x＝4 时，y 的值为多少？当 y 的值最大时
，x 的值为多少？数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．数学应用：根据研究，当潮水高度超过 260cm 时，货轮能
够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？21．（8 分）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图 1，纸飞机机尾的横截面
是一个轴对称图形，其示意图如图 2，已知 AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．连结
DE，求线段 DE 的长．求点 A，B 之间的距离．（结果精确到 0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0
.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）22．（10 分）某教育部
门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区调查问卷（部分）1．你每周参加家庭劳动时间大约是h．如果你每周参加家庭
劳动时间不足 2h，请回答第 2 个问题： 2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是 （单选）． A．没时间B．家长不舍得C．不喜欢
D．其它1200 名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：中小学生每周参加家庭劳动时间 x（h） 分为 5 组
：第一组（0≤x＜0.5），第二组（0.5≤x＜1），第三组（1≤x＜1.5），第四组（1.5≤x＜2），第五组（x≥2）．根据以
上信息，解答下列问题：本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为
多少？该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于 2h．请结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作
出评价，并提出两条合理化建议．23．（10 分）已知抛物线 L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点 A（1，0）．求抛物线
L1 的函数表达式．将抛物线 L1 向上平移 m（m＞0）个单位得到抛物线 L2．若抛物线 L2 的顶点关于坐标原点 O 的对称点
在抛物线 L1 上，求 m 的值．把抛物线 L1 向右平移 n（n＞0）个单位得到抛物线 L3，若点B（1，y1），C（3，y2）
在抛物线 L3 上，且 y1＞y2，求 n 的取值范围．：24．（12 分）小东在做九上课本 123 页习题：“1 也是一个很
有趣的比．已知线段 AB（如图 1），用直尺和圆规作 AB 上的一点 P，使 AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图 2，以 AB
为斜边作等腰直角三角形 ABC，再以点 A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段 AB 于点 P，点 P 即为所求作的点．小东称点
P 为线段 AB 的“趣点”．你赞同他的作法吗？请说明理由．小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结 CP，点 D 为线段 AC
上的动点，点E 在 AB 的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图 3，当点 D 运动到点 A 时，求∠CPE 的度
数．②如图 4，DE 分别交 CP，CB 于点 M，N，当点 D 为线段 AC 的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点 N 是否为线
段 ME 的“趣点”？并说明理由．2022 年浙江省嘉兴市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有 10 小题，每题 3
分，共 30 分．）【解答】解：由题意知，收入 3 元记为+3，则支出 2 元记为﹣2，故选：A．【解答】解：由图可知主视图为：故
选：C．【解答】解：原式＝a1+2＝a3．故选：D．【解答】解：∵∠BOC＝130°，点 A 在上，∴∠BAC＝ ∠BOC＝
＝65°， 故选：B．【解答】解：3x+1＜2x， 移项，得：3x﹣2x＜﹣1， 合并同类项，得：x＜﹣1， 其解集在数轴上表示如
下：，故选：B．【解答】解：∵四边形 ABCD 为边长为 2cm 的正方形，∴BD＝＝2（cm），由平移的性质可知，BB′＝1cm
，∴B′D＝（2 ﹣1）cm， 故选：D．【解答】解：A，B 两名射击运动员进行了相同次数的射击，当 A 的平均数大于 B，且方差
比 B 小时，能说明 A 成绩较好且更稳定．故选：C．【解答】解：根据题意得：，即，故选：A．【解答】解：∵EF∥AC，GF∥AB
，∴四边形 AEFG 是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，
∴EB＝EF，FG＝GC，∵四边形 AEFG 的周长＝AE+EF+FG+AG，∴四边形 AEFG 的周长＝AE+EB+GC+AG＝
AB+AC，∵AB＝AC＝8，∴四边形 AEFG 的周长＝AB+AC＝8+8＝16， 故选：B．【解答】解：∵点 A（a，b），B
（4，c）在直线 y＝kx+3 上，∴ ，由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+ ）2﹣ ，∵ab 的最大值为 9
，∴k＜0，﹣ ＝9， 解得 k＝﹣，把 k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，∴c＝2，故选：C．二、填空题（本题有 6 小题，每
题 4 分，共 24 分）11．【解答】解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）．【解答】解：∵盒子中装有 3 个红球，2 个黑球，共有
5 个球，∴从中随机摸出一个小球，恰好是黑球的概率是； 故答案为：．【解答】解：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形，故答
案为：∠B＝60°．（答案不唯一）【解答】解：由题意得，DE＝1，BC＝3，在 Rt△ABC 中，∠A＝60°，则 AB＝＝＝，∵
DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即 ＝， 解得：BD＝ ，故答案为：．【解答】解：如图，设装有大象的铁笼重力为 aN，将弹
簧秤移动到 B′的位置时，弹簧秤的度数为 k′，由题意可得 BP?k＝PA?a，B′P?k′＝PA?a，∴BP?k＝B′P?k′，
又∵B′P＝nBP，∴k′＝ ＝， 故答案为：．【解答】解：如图，设翻折后的弧的圆心为 O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C
， OO′交 CD 于点 H，∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，∵将 沿弦 CD 折叠后恰好与 OA，OB 相切于点
E，F．∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠EO′F＝60°， 则的度数为 60°；∵∠AOB＝120°，
∴∠O′OF＝60°，∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6，∴OO′＝ ＝＝4，∴O′H＝2 ，∴CH＝ ＝＝2 ，∴CD＝
2CH＝4 ．故答案为：60°，4．三、解答题（本题有 8 小题，第 17～19 题每题 6 分，第 20、21 题每题 8 分，
第 22、23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 66 分）17．【解答】解：（1）原式＝1﹣2＝﹣1；（2）去分母得
x﹣3＝2x﹣1，∴﹣x＝3﹣1，∴x＝﹣2，经检验 x＝﹣2 是分式方程的解，∴原方程的解为：x＝﹣2．18．【解答】解：赞成
小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形 ABCD 是平行四边形， 又∵AC⊥BD，∴平行四
边形 ABCD 是菱形．19．【解答】解：（1）∵①当 a＝1 时，152＝225＝1×2×100+25；②当 a＝2 时，252
＝625＝2×3×100+25；∴③当 a＝3 时，352＝1225＝3×4×100+25， 故答案为：3×4×100+25；（2
）＝100a（a+1）+25，理由如下：＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；（3
）由题知， ﹣100a＝2525， 即 100a2+100a+25﹣100a＝2525，解得 a＝5 或﹣5（舍去），∴a 的值为
5．20．【解答】解：（1）①如图：②通过观察函数图象，当 x＝4 时，y＝200，当 y 值最大时，x＝21；（2）该函数的两
条性质如下（答案不唯一）：①当 2≤x≤7 时，y 随 x 的增大而增大；②当 x＝14 时，y 有最小值为 80；（3）由图象，
当 y＝260 时，x＝5 或 x＝10 或 x＝18 或 x＝23，∴当 5＜x＜10 或 18＜x＜23 时，y＞260，即当
5＜x＜10 或 18＜x＜23 时，货轮进出此港口．【解答】解：（1）如图，过点 C 作 CF⊥DE 于点 F，∵CD＝CE＝
5cm，∠DCE＝40°．∴∠DCF＝20°，∴DF＝CD?sin20°≈5×0.34≈1.7（cm），∴DE＝2DF≈3.4cm
，∴线段 DE 的长约为 3.4cm；∵横截面是一个轴对称图形，∴延长 CF 交 AD、BE 延长线于点 G， 连接 AB，∴DE
∥AB，∴∠A＝∠GDE，∵AD⊥CD，BE⊥CE，∴∠GDF+∠FDC＝90°，∵∠DCF+∠FDC＝90°，∴∠GDF＝∠DC
F＝20°，∴∠A＝20°，∴DG＝≈≈1.8（cm），∴AG＝AD+DG＝10+1.8＝11.8（cm），∴AB＝2AG?cos
20°≈2×11.8×0.94≈22.2（cm）．∴点 A，B 之间的距离 22.2cm．【解答】解：（1）由统计图可知，抽取的这
1200 名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为第 600 个和第 601 个数据的平均数， 故中位数落在第二组；（2）（1200
﹣200）×（1﹣8.7%﹣43.2%﹣30.6%）＝175（人），答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为 175
人；由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于 2h，建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯．（答案不唯一）．
23．【解答】解：（1）∵y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点 A（1，0），∴4a﹣4＝0，∴a＝1，∴抛物线 L1 的函数表
达式为 y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），将抛物线 L1 向上平移 m（m＞0）个单
位得到抛物线 L2．若抛物线 L2 的顶点（﹣1，﹣4+m），而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），把（1，4﹣m
）代入 y＝x2+2x﹣3 得到，1+2﹣3＝4﹣m，∴m＝4；（3）抛物线 L1 向右平移 n（n＞0）个单位得到抛物线 L3，
的解析式为 y＝（x﹣n+1）2﹣4，∵点 B（1，y1），C（3，y2）在抛物线 L3 上，∴y1＝（2﹣n）2﹣4，y2＝（4
﹣n）2﹣4，∵y1＞y2，∴（2﹣n）2﹣4＞（4﹣n）2﹣4， 解得 n＞3，∴n 的取值范围为 n＞3．24．【解答】解：（
1）赞同，理由如下：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，∴cos45°＝ ，∵AC＝AP，∴，∴点 P
为线段 AB 的“趣点”．（2）①由题意得：∠CAB＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，∴ ＝67.5°，∴∠B
CP＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，∵△DPE∽△CPB，D，A 重合，
∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°，∴∠CPE＝∠DPE+∠CPB﹣180°＝45°；②点 N 是线段 ME 的趣点，理由如下：
当点 D 为线段 AC 的趣点时（CD＜AD），∴，∵AC＝AP，∴，∵，∠A＝∠A，∴△ADP∽△ACB，∴∠ADP＝∠ACB＝
90°，∴∠APD＝45°，DP∥CB，∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE，∴DM＝PM，∴∠MDC＝∠MCD＝90°﹣2
2.5°＝67.5°，∴MD＝MC，同理可得 MC＝MN，∴MP＝MD＝MC＝MN，∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°，∠E＝∠B＝
45°，∴∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，∴＝，∴点 N 是线段 ME 的“趣点”．2022 年浙江省温州市中考数学试卷一、选
择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．（4 分）计算
9 ? (?3) 的结果是( )A．6B． ?6D． ?32．（4 分）某物体如图所示，它的主视图是( )A． B． C．
D．3．（4 分）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有 60 人，则劳动实践小组有( ) A．75 人
B．90 人C．108 人D．150 人4．（4 分）化简(?a)3 ? (?b) 的结果是( )?3ab3abC． ?a3b
D． a3b 5．（4 分）9 张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从 1 到 9 的一个自然数．现将卡片背面朝上，从中任意抽出一
张，正面的数是偶数的概率为( )192949596．（4 分）若关于 x 的方程 x2 ? 6x ? c ? 0 有两个相等的实
数根，则c 的值是( )A．36B． ?36C．9D． ?97．（4 分）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路
程为 s 米，所经过的时间为t 分钟．下列选项中的图象，能近似刻画 s 与t 之间关系的是( )A． B． C． D． 8．（4
分）如图，AB ，AC 是 O 的两条弦，OD ? AB 于点 D ，OE ? AC 于点 E ，连结OB ，OC ．若?DOE
?130? ，则?BOC 的度数为( )A． 95?B．100?C．105?D．130?9．（4 分）已知点 A(a, 2)
，B(b, 2) ，C(c, 7) 都在抛物线 y ? (x ?1)2 ? 2 上，点 A 在点 B 左侧，下列选项正确的是(
) A．若c ? 0 ，则a ? c ? b C．若c ? 0 ，则a ? c ? bB．若c ? 0 ，则a ?
b ? cD．若c ? 0 ，则a ? b ? c10．（4 分）如图，在Rt?ABC中， ?ACB ? 90? ，以其三边为边
向外作正方形，连结CF ，作GM ? CF 于点 M ，BJ ? GM 于点 J ，AK ? BJ 于点 K ，交CF 于点 L
．若正方形 ABGF102与正方形 JKLM 的面积之比为 5， CE ??，则CH 的长为( )5A．B． 3 ? 52C． 2
D．210二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11．（5 分）分解因式： m2 ? n2 ? ．12
．（5 分）某校 5 个小组在一次植树活动中植树株数的统计图如图所示，则平均每组植树 株．13．（5 分）计算：x2 ? xyx
y ? x2?? ．xyxy14．（5 分）若扇形的圆心角为120? ，半径为 3 ，则它的弧长为 ．215．（5 分）
如图，在菱形 ABCD 中， AB ? 1 ， ?BAD ? 60?．在其内部作形状、大小都相同的菱形 AENH 和菱形CGMF
，使点 E ， F ， G ， H 分别在边 AB ， BC ， CD ， DA 上，点M ， N 在对角线 AC 上．若 AE
? 3BE ，则 MN 的长为 ．16．（5 分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点 M 在旋转中心O
的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA ，OB ，此时各叶片影子在点 M 右侧成线段CD ，测得 MC ? 8.5m ，
CD ?13m ，垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为2: 3 ， 则点O ， M 之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离
地面的最大高度等于 米．三、解答题（本题有 8 小题，共 80 分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（10 分
）（1）计算：? (?3)2 ? 3?2 ? | ? 1 | ．99（2）解不等式9x ? 2 7x ? 3 ，并把解集表示在数轴
上．18．（8 分）如图，在2? 6 的方格纸中，已知格点 P ，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．在图 1 中画一个锐角三角
形，使 P 为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移 2 个单位后的图形．在图 2 中画一个以 P 为一个顶点的钝角三角形，使三边
长都不相等，再画出该三角形绕点 P 旋转180? 后的图形．分组信息A 组： 5 ? x 10 B 组：10 ? x 15 C 组
：15 ? x 20 D 组： 20 ? x 25E 组： 25 ? x 30注：x（分钟）为午餐时间！19．（8 分）为了解某校
400 名学生在校午餐所需的时间，抽查了 20 名学生在校午餐所花的时间，由图示分组信息得： A ，C ， B ， B ，C ，
C ，C ， A ， B ，C ，C ，C ，D ， B ， C ， C ， C ， E ， C ， C ．某校被抽查的 20 名
学生在校午餐所花时间的频数表组别划记频数A2B4C D E 合计20请填写频数表，并估计这 400 名学生午餐所花时间在
C 组的人数．在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在 15 分钟，20分钟，25 分钟，30 分钟中选择
一个作为午餐时间，你认为应选择几分钟为宜？说明理由．20．（8 分）如图， BD 是?ABC 的角平分线， DE / /BC ，交
AB 于点 E ．求证： ?EBD ? ?EDB ．当 AB ? AC 时，请判断CD 与 ED 的大小关系，并说明理由．21．
（10 分）已知反比例函数 y ? k (k ? 0) 的图象的一支如图所示，它经过点(3, ?2) ．x求这个反比例函数的表达式
，并补画该函数图象的另一支．求当 y5 ，且 y ? 0 时自变量 x 的取值范围．22．（10 分）如图，在?ABC 中， AD
? BC 于点 D ， E ， F 分别是 AC ， AB 的中点， O 是DF 的中点， EO 的延长线交线段 BD 于点G
，连结 DE ， EF ， FG ．求证：四边形 DEFG 是平行四边形．当 AD ? 5 ， tan ?EDC ? 5 时，求
FG 的长．223．（12 分）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材 1图 1 中有一座拱桥，图 2 是
其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 20m ，拱顶离水面5m ．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m 达到最高．素材 2为
迎佳节，拟在图 1 桥洞前面的桥拱上悬挂40cm 长的灯笼，如图 3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m ；为了实效，相邻两盏灯
笼悬挂点的水平间距均为1.6m ；为了美观， 要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务 1确定桥拱形状在图
2 中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务 2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的
最小值和横坐标的取值范围．任务 3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点
的横坐标．24．（14 分）如图 1， AB 为半圆O 的直径， C 为 BA 延长线上一点， CD 切半圆于点 D ，BE ?
CD ，交CD 延长线于点 E ，交半圆于点 F ，已知 BC ? 5 ， BE ? 3 ，点 P ， Q 分别在线段 AB ，
BE 上（不与端点重合），且满足 AP ? 5 ．设 BQ ? x ， CP ? y ．BQ4求半圆O 的半径．求 y 关于 x
的函数表达式．如图 2，过点 P 作 PR ? CE 于点 R ，连结 PQ ， RQ ．①当?PQR 为直角三角形时，求 x
的值．②作点 F 关于QR 的对称点 F ? ，当点 F ? 落在 BC 上时，求 CF? 的值．BF?2022 年浙江省温州市中
考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、
错选，均不给分）1．（4 分）计算9 ? (?3) 的结果是( )A．6B． ?6D． ?3【分析】根据有理数的加法法则计算即
可．【解答】解： 9 ? (?3)? ?(9 ? 3)? 6 ．故选： A ．【点评】本题考查了有理数的加法，掌握绝对值不相等的异
号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题的关键．2．（4 分）某物体如图所示，它的主视图是(
)A． B． C．D．【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．【解答】解：某物体如图所示，它的主视图是：故选： D ．【
点评】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．3．（4 分）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．
若信息技术小组有 60 人，则劳动实践小组有( )A．75 人B．90 人C．108 人D．150 人【分析】根据信息技术的人数
和所占的百分比可以计算出本次参加兴趣小组的总人数，然后根据劳动实践所占的百分比，即可计算出劳动实践小组的人数．【解答】解：本次参加
课外兴趣小组的人数为： 60 ? 20% ? 300 ， 劳动实践小组有： 300?30% ? 90 （人) ，故选： B ．【点
评】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，求出本次参加兴趣小组的总人数．4．（4 分）化简(?a)3 ? (?b) 的结果
是( )?3ab3abC． ?a3bD． a3b 【分析】先化简乘方，再根据单项式乘单项式的法则计算即可．【解答】解：原式?
?a3 ? (?b)? a3b ．故选： D ．【点评】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别
相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．5．（4 分）9 张背面相同的卡片，正面分别写有
不同的从 1 到 9 的一个自然数．现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为( )19294959【分析】让正面
的数字是偶数的情况数除以总情况数 9 即为所求的概率．【解答】解：因为 1 到 9 共 9 个自然数．是偶数的有 4 个，所以正面
的数是偶数的概率为 4 ．9故选： C ．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为： 概率
等于所求情况数与总情况数之比．6．（4 分）若关于 x 的方程 x2 ? 6x ? c ? 0 有两个相等的实数根，则c 的值是(
)A．36B． ?36C．9D． ?9【分析】方程 x2 ? 6x ? c ? 0 有两个相等的实数根，可知△ ? 62 ?
4c ? 0 ，然后即可计算出c的值．【解答】解： 方程 x2 ? 6x ? c ? 0 有两个相等的实数根，?△ ? 62 ?
4c ? 0 ， 解得c ? 9 ，故选： C ．【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根
时△ ? 0 ．7．（4 分）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为 s 米，所经过的时间为t 分钟．下列选项中
的图象，能近似刻画 s 与t 之间关系的是( )A． B． C． D． 【分析】根据函数图象可知，小聪从家出发，则图象从原点
开始，在10 ~ 20 分钟休息可解答．【解答】解：由题意可知：小聪某次从家出发， s 米表示他离家的路程，所以C ， D 错误；
小聪在凉亭休息 10 分钟，所以 A 正确， B 错误． 故选： A ．【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要
的信息是解决本题的关键． 8．（4 分）如图，AB ，AC 是 O 的两条弦，OD ? AB 于点 D ，OE ? AC 于点 E
，连结OB ， OC ．若?DOE ?130? ，则?BOC 的度数为( )A． 95?B．100?C．105?D．130?【分
析】根据四边形的内角和等于 360? 计算可得?BAC ? 50? ，再根据圆周角定理得到?BOC ? 2?BAC ，进而可以得到
答案．【解答】解： OD ? AB ， OE ? AC ，??ADO ? 90? ， ?AEO ? 90?，?DOE?130? ，
??BAC ? 360?? 90?? 90??130? ? 50?，??BOC ? 2?BAC ?100?， 故选： B ．【点评
】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．（4 分）已知点 A(a
, 2) ，B(b, 2) ，C(c, 7) 都在抛物线 y ? (x ?1)2 ? 2 上，点 A 在点 B 左侧，下列选项正确
的是( ) A．若c ? 0 ，则a ? c ? b C．若c ? 0 ，则a ? c ? bB．若c ? 0
，则a ? b ? cD．若c ? 0 ，则a ? b ? c【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断当c ? 0 时
， a 、b 、c 的大小关系或当c ? 0 时， a 、b 、c 的大小关系．【解答】解： 抛物线 y ? (x ?1)2 ?
2 ，?该抛物线的对称轴为直线 x ?1，抛物线开口向上，当 x ?1时， y 随 x 的增大而增大，当x ?1时， y 随 x
的增大而减小，点 A(a, 2) ， B(b, 2) ， C(c, 7) 都在抛物线 y ? (x ?1)2 ? 2 上，点 A
在点 B 左侧，?若c ? 0 ，则c ? a ? b ，故选项 A 、 B 均不符合题意；若c ? 0 ，则a ? b ? c
，故选项C 不符合题意，选项 D 符合题意； 故选： D ．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，
利用二次函数的性质解答．10．（4 分）如图，在Rt?ABC中，?ACB ? 90? ，以其三边为边向外作正方形，连结CF ，作1
02GM ? CF 于点 M ，BJ ? GM 于点 J ，AK ? BJ 于点 K ，交CF 于点 L ．若正方形 ABGF 与
正方形 JKLM 的面积之比为 5， CE ??，则CH 的长为( )5A．B． 3 ? 52C． 2D．210【分析】设CF 交
AB 于 P ，过C 作CN ? AB 于 N ，设正方形 JKLM 边长为m ，根据正方形ABGF 与正方形 JKLM 的面积
之比为 5，得 AF ? AB ? 5m ，证明?AFL ? ?FGM ( AAS) ，可得 AL ? FM ，设 AL ? FM
? x ，在Rt?AFL 中， x2 ? (x ? m)2 ? ( 5m)2 ，可解得 x ? m ，有AL ? FM ? m
，FL ? 2m ，从而可得 AP ?5m ，FP ? 5 m ，BP ? 5m ，即知 P 为 AB 中点，222CP ? AP
? BP ?5m ，由?CPN∽?FPA ，得CN ? m ， PN ? 1 m ，即得 AN ?5 ? 1 m ，而2tan
?BAC ? BC ? CN ?ACAN225 ? 1，又?AEC∽?BCH ，得 BC ? CH ，即ACCE225 ? 110
? 2?CH，2故CH ? 2．【解答】解：设CF 交 AB 于 P ，过C 作CN ? AB 于 N ，如图：设正方形 JK
LM 边长为m ，?正方形 JKLM 面积为m2 ，正方形 ABGF 与正方形 JKLM 的面积之比为 5，?正方形 ABGF 的
面积为5m2 ，? AF ? AB ?5m ，由已知可得： ?AFL ? 90? ??MFG ? ?MGF ， ?ALF ? 90
? ? ?FMG ， AF ? GF ，??AFL ? ?FGM ( AAS) ，? AL ? FM ，设 AL ? FM ? x
，则 FL ? FM ? ML ? x ? m ， 在Rt?AFL 中， AL2 ? FL2 ? AF2 ，? x2 ? (x
? m)2 ? ( 5m)2 ，解得 x ? m 或 x ? ?2m （舍去），?AL ? FM ? m ， FL ? 2m ，t
an?AFL ? AP ? AL ?AFFLm ? 1 ，2m25m? AP? 1 ，2? AP ?? FP ?5m ，2AP2
? AF 2?? 5 m ， BP ? AB ? AP ?5m ?5m ?5m ，( 5m )2 ? ( 5m)2 2222?
AP ? BP ，即 P 为 AB 中点，?ACB ? 90? ，?CP ? AP ? BP ?5m ，2?CPN ? ?APF
， ?CNP ? 90? ? ?FAP ，??CPN∽?FPA，? CP ? CN ? PN ，即FPAFAP5m5m2? CN
?5 mPN ，5m22?CN ? m ， PN ? 1 m ，2? AN ? AP ? PN ?5 ? 1 m ，2?tan
?BAC ? BC ? CN ?ACANm?，25 ? 1 5 ? 1 m2?AEC 和?BCH 是等腰直角三角形，??AEC
∽?BCH ，? BC ? CH ，ACCECE ? 102?，25 ? 110 ? 2??CH，?CH ? 2 2 ， 故选
： C ．【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m 的
代数式表示相关线段的长度． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11．（5 分）分解因式： m2 ? n2
? (m ? n)(m ? n) ．【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解： m2 ? n2 ? (m ?
n)(m ? n) ， 故答案为： (m ? n)(m ? n) ．【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式 a2 ?
b2 ? (a ? b)(a ? b) 是解题关键．12．（5 分）某校 5 个小组在一次植树活动中植树株数的统计图如图所示，则平
均每组植树 5 株．【分析】根据加权平均数公式即可解决问题．【解答】解：观察图形可知： x ? 1 (4 ? 3 ? 7 ? 4
? 7) ? 5 ，5?平均每组植树 5 株． 故答案为：5．【点评】本题考查了加权平均数，解决本题的关键是掌握加权平均数公式．
x2 ? xyxy ? x213．（5 分）计算：?? 2 ．xyxy【分析】将分式化简后再进行加法运算即可．【解答】解
：原式? x(x ? y) ? x( y ? x) ，xyxy? x ? y ? y ? x ，yy? 2 y ，y? 2 ．故答
案为：2．【点评】本题主要考查了分式的加法运算，熟记运算法则是解题的关键．14．（5 分）若扇形的圆心角为120? ，半径为 3
，则它的弧长为 ? ．2【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长．【解答】解： 扇形的圆心角为120? ，
半径为 3 ，2120? ? 3?它的弧长为：2 ? ? ，180故答案为： ? ．【点评】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式l ? n? r ．18015．（5 分）如图，在菱形 ABCD 中， AB ? 1 ， ?BAD ? 60?．在其内部作形状、大小都相同的菱形 AENH 和菱形CGMF ，使点 E ， F ， G ， H 分别在边 AB ， BC ， CD ， DA 上，点M ， N 在对角线 AC 上．若 AE ? 3BE ，则 MN 的长为3 ．2【分析】根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得 AC 、AM 和 MN 的长，然后即可计算出 MN 的长．【解答】解：连接 DB 交 AC 于点O ，作 MI ? AB 于点 I ，作 FJ ? AB 交 AB 的延长线于点 J ， 如图所示，四边形 ABCD 是菱形， ?BAD ? 60?， AB ? 1 ，?AB ? BC ? CD ? DA ?1， ?BAC ? 30? ， AC ? BD ，?ABD 是等边三角形，?OD ? 1 ，2AD2 ? DO212 ? (1)223? AO ???，2? AC ? 2 AO ? 3 ，AE ? 3BE ，? AE ? 3 ， BE ? 1 ，44菱形 AENH 和菱形CGMF 大小相同，? BE ? BF ? 1 ， ?FBJ ? 60? ，4? FJ ? BF ? sin 60? ? 1 ? 3 ?3 ，428? MI ? FJ ?3 ，8? AM ?MI?sin 30?38 ?3 ，142同理可得， CN ?3 ，43? MN ? AC ? AM ? CN ??3 ? 3 ?3 ，故答案为： 3 ．2442【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出 AC 、 AM 和 MN 的长．16．（5 分）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点 M 在旋转中心O 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA ， OB ，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ，测得 MC ? 8.5m ，CD ?13m ，垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为2: 3 ，则点O ， M 之间的距离等于 10 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．【分析】作辅助线，构建直角?CND ，证明?HMC∽?EFG ，根据垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为 2: 3 ，列比例式可得 HM 的长，由三角函数的定义可得CN 的长，从而得OA ? OB ?13 ，由此可解答．【解答】解：如图，设 AC 与OM 交于点 H ，过点C 作CN ? BD 于 N ，HC / /EG ，??HCM ? ?EGF ，?CMH? ?EFG ? 90? ，??HMC∽?EFG，? HM ? EF ? 2 ，即 HM ? 2 ，CMFG3? HM ? 17 ，3BD / /EG ，8.53??BDC ? ?EGF ，?tan?BDC ? tan?EGF ，? CN ? EF ? 2 ，DNFG3设CN ? 2x ， DN ? 3x ，则CD ?13x ，? 13x ? 13 ，13? x ?，13? AB ? CN ? 2，?OA ? OB ? 1 AB ?213 ，在Rt?AHO中， ?AHO ? ?CHM ，313?sin ?AHO ? AO ?，OH13313??，OH?OH ? 13 ，3?OM ? OH ? HM ? 13 ? 17 ? 10 ，33以点O 为圆心， OA 的长为半径作圆，当OB 与OM 共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于(10 ?13) 米．故答案为：10， (10 ?13) ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三、解答题（本题有 8 小题，共 80 分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（10 分）（1）计算：? (?3)2 ? 3?2 ? | ? 1 | ．99（2）解不等式9x ? 2 7x ? 3 ，并把解集表示在数轴上．【分析】（1）根据算术平方根、有理数的乘方、负整数指数幂和绝对值可以解答本题；（2）先解出不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可．【解答】解：（1）? 3 ? 9 ? 1 ? 199? (?3)2 ? 3?2 ? | ? 1 |99? 12 ；（2） 9x ? 2 7x ? 3 ，移项，得： 9x ? 7x 3 ? 2 ，合并同类项，得： 2x 5 ，系数化为 1，得： x 2.5 ，其解集在数轴上表示如下：．【点评】本题考查实数的运算、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确实数运算的运算法则和解一元一次不等式的方法．18．（8 分）如图，在2? 6 的方格纸中，已知格点 P ，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．在图 1 中画一个锐角三角形，使 P 为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移 2 个单位后的图形．在图 2 中画一个以 P 为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点 P 旋转180? 后的图形．【分析】（1）根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可；（2）根据题意画出合适的图形即可，注意本题答案不唯一，主要作出的图形符合题意即可．【解答】解：（1）如图 1 中?ABC 即为所求（答案不唯一）；（2）如图 2 中?ABC 即为所求（答案不唯一）．【点评】本题考查作图—旋转变换、作图—平移变换，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，注意不要忘记画出平移后或旋转后的图形．分组信息A 组： 5 ? x 10 B 组：10 ? x 15 C 组：15 ? x 20 D 组： 20 ? x 25E 组： 25 ? x 30注：x（分钟）为午餐时间！19．（8 分）为了解某校 400 名学生在校午餐所需的时间，抽查了 20 名学生在校午餐所花的时间，由图示分组信息得： A ，C ， B ， B ，C ，C ，C ， A ， B ，C ，C ，C ，D ， B ， C ， C ， C ， E ， C ， C ．某校被抽查的 20 名学生在校午餐所花时间的频数表组别划记频数A2B4C 12 D E 合计20请填写频数表，并估计这 400 名学生午餐所花时间在C 组的人数．在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在 15 分钟，20分钟，25 分钟，30 分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择几分钟为宜？说明理由．【分析】（1）根据数据收集 20 名学生用餐时间，可得C ， D 、E 组的频数，即可完成统计表，根据样本估计总体的方法进行计算即可得答案；（2）分析每组数据的频数即可得出答案．【解答】解：（1）频数表填写如图，12 ? 400 ? 240 （名) ．20答：这 400 名学生午餐所花时间在C 组的有 240 名．（2）①选择 25 分钟，有 19 人能按时完成用餐，占比95% ，可以鼓励最后一位同学适当加快用餐速度，有利于食堂提高运行效率，②选择 20 分钟，有 18 人能按时完成用餐，占比90% ，可以鼓励最后两位同学适当加快用餐速度或采用合理照顾如优先用餐等方式，以满足学生午餐用时需求，又提高食堂的运行效率．③选择 30 分钟，能说明所有学生都能完成用餐，但未考虑食堂的运行效率．【点评】本题主要考查了频数（率) 分布表，调查数据收集的过程与方法，用样本估计总体， 熟练掌握频数（率) 分布表，调查数据收集的过程与方法，用样本估计总体的计算方法进行求解是解决本题的关键．20．（8 分）如图， BD 是?ABC 的角平分线， DE / /BC ，交 AB 于点 E ．求证： ?EBD ? ?EDB ．当 AB ? AC 时，请判断CD 与 ED 的大小关系，并说明理由．【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；（2）利用平行线的性质可得?ADE ? ?AED ，则 AD ? AE ，从而有CD ? BE ，由（1）得，?EBD ? ?EDB ，可知 BE ? DE ，等量代换即可．【解答】（1）证明： BD 是?ABC 的角平分线，??CBD ? ?EBD ，DE / /BC ，??CBD ? ?EDB ，??EBD ? ?EDB ．（2）解： CD ? ED ，理由如下：AB ? AC ，??C ? ?ABC ，DE / /BC ，??ADE ? ?C ， ?AED ? ?ABC ，??ADE ? ?AED ，? AD ? AE ，?CD ? BE ，由（1）得， ?EBD ? ?EDB ，? BE ? DE ，?CD ? ED ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识， 熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．21．（10 分）已知反比例函数 y ? k (k ? 0) 的图象的一支如图所示，它经过点(3, ?2) ．x求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．求当 y5 ，且 y ? 0 时自变量 x 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，利用描点法补充函数图像；（2）利用数形结合思想确定关键点，从而求得相应的自变量的取值范围．【解答】解：（1）把点(3, ?2) 代入 y ? k (k ? 0)，x?2 ? k ，3解得： k ? ?6 ，?反比例函数的表达式为 y ?? 6 ，x补充其函数图像如下：（2）当 y ? 5 时， ? 6 ? 5 ，x解得： x ?? 6 ，5?当 y5 ，且 y ? 0 时， x ? 6 或 x ? 0 ．5【点评】本题考查反比例函数，掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的图像性质，利用数形结合思想解题是关键．22．（10 分）如图，在?ABC 中， AD ? BC 于点 D ， E ， F 分别是 AC ， AB 的中点， O 是DF 的中点， EO 的延长线交线段 BD 于点G ，连结 DE ， EF ， FG ．求证：四边形 DEFG 是平行四边形．当 AD ? 5 ， tan ?EDC ? 5 时，求 FG 的长．2【 分 析 】（ 1 ） 由 三 角 形 中 位 线 定 理 得EF / /BC ，则 ?EFO ? ?GDO，再证 ?OEF ? ?OGD( ASA) ，得 EF ? GD ，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线性质得 DE ? 1 AC ? CE ，则?C ? ?EDC ，再由锐角三角229函数定义得CD ? 2 ，然后由勾股定理得 AC ?，则 DE ? 1 AC ?29 ，进而由平行四边22形的性质即可得出结论．E【解答】（1）证明：， F 分别是 AC ， AB 的中点，? EF 是?ABC 的中位线，?EF / /BC ，??EFO ? ?GDO ，O 是 DF 的中点，?OF ? OD ，在?OEF 和?OGD 中，??EFO ? ?GDO??OF ? OD，???EOF ? ?GOD??OEF ? ?OGD(ASA) ，?EF ? GD ，?四边形 DEFG 是平行四边形．（2）解： AD ? BC ，E??ADC ? 90? ， 是 AC 的中点，? DE ? 1 AC ? CE ，2??C ? ?EDC ，?tan C ? AD ? tan?EDC ? 5 ，CD2即 5 ? 5 ，CD2?CD ? 2 ，AD2 ? CD2? AC ?52 ? 22? DE ? 1 AC ??29 ，? 29 ，22由（1）可知，四边形 DEFG 是平行四边形，? FG ? DE ?29 ．2【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．23．（12 分）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材 1图 1 中有一座拱桥，图 2 是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m ，拱顶离水面5m ．据调查， 该河段水位在此基础上再涨1.8m 达到最高．素材 2为迎佳节，拟在图 1 桥洞前面的桥拱上悬挂40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务 1确定桥拱形状在图 2 中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务 2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务 3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【分析】任务 1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；任务 2：根据该河段水位再涨1.8m 达到最高，灯笼底部距离水面至少1m ，灯笼长0.4m ，计算悬挂点的纵坐标的最小值是?1.8m ；任务 3：介绍两种方案：分别挂 7 盏和 8 盏．【解答】解：任务1:以拱顶为原点，建立如图 1 所示的直角坐标系，则顶点为(0, 0) ，且过点 B(10, ?5) ，设抛物线的解析式为： y ? ax2 ， 把点 B(10, ?5) 代入得：100a ? ?5 ，?a ? ? 1 ，20?抛物线的函数表达式为： y ?? 120x2 ；任务2: 该河段水位再涨1.8m 达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m ，灯笼长0.4m ，?当悬挂点的纵坐标 y ? 5 ? 1.8 ? 1 ? 0.4 ? ?1.8 ， 即悬挂点的纵坐标的最小值是?1.8m ，当 y ? ?1.8 时， ? 120x2 ? ?1.8 ，?x ? ?6 ，?悬挂点的横坐标的取值范围是： ?6x 6 ；任务3:方案一：如图 2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，?6 x 6 ，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ，?若顶点一侧悬挂 4 盏灯笼时，1.6? 4 ? 6 ，若顶点一侧悬挂 3 盏灯笼时，1.6?3 ? 6 ，?顶点一侧最多悬挂 3 盏灯笼，灯笼挂满后成轴对称分布，?共可挂 7 盏灯笼，?最左边一盏灯笼的横坐标为： ?1.6?3 ? ?4.8； 方案二：如图 3，若顶点一侧悬挂 5 盏灯笼时， 0.8 ?1.6 ? (5 ?1) ? 6 ，若顶点一侧悬挂 4 盏灯笼时， 0.8 ?1.6 ?(4 ?1) ? 6 ，?顶点一侧最多悬挂 4 盏灯笼，灯笼挂满后成轴对称分布，?共可挂 8 盏灯笼，?最左边一盏灯笼的横坐标为： ?0.8 ?1.6?3 ? ? ? 5.6 ．【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．24．（14 分）如图 1， AB 为半圆O 的直径， C 为 BA 延长线上一点， CD 切半圆于点 D ，BE ? CD ，交CD 延长线于点 E ，交半圆于点 F ，已知 BC ? 5 ， BE ? 3 ，点 P ， Q 分别在线段 AB ， BE 上（不与端点重合），且满足 AP ? 5 ．设 BQ ? x ， CP ? y ．BQ4求半圆O 的半径．求 y 关于 x 的函数表达式．如图 2，过点 P 作 PR ? CE 于点 R ，连结 PQ ， RQ ．①当?PQR 为直角三角形时，求 x 的值．②作点 F 关于QR 的对称点 F ? ，当点 F ? 落在 BC 上时，求 CF? 的值．BF?【分析】（1）连接OD ，设半径为r ，利用?COD∽?CBE ，得 OD ? CO ，代入计算即可；BECB根据CP ? AP ? AC ，用含 x 的代数式表示 AP 的长，再由（1）计算求 AC 的长即可；①显然?PRQ ? 90? ，所以分两种情形，当?RPQ ? 90? 时，则四边形 RPQE 是矩形，当?PQR ? 90? 时，过点 P 作 PH ? BE 于点 H ，则四边形 PHER 是矩形，分别根据图形可得答案；②连接 AF ，QF ? ，由对称可知QF ? QF ?，?F?QR ? ?EQR ? 45? ，利用三角函数表示出 BF ?和 BF 的长度，从而解决问题．【解答】解：（1）如图 1，连接OD ，设半径为r ，CD 切半圆于点 D ，?OD ? CD ，BE ? CD ，?OD / /BE ，??COD∽?CBE ，? OD ? CO ，BECB? r ? 5 ? r ，35解得r ? 15 ，8?半圆O 的半径为15 ；8（2）由（1）得， CA ? CB ? AB ? 5 ? 2 ? 15 ? 5 ，84AP ? 5 ， BQ ? x ，BQ4? AP ? 5 x ，4?CP ? AP ? AC ，? y ? 5 x ? 5 ；44（3）①显然?PRQ ? 90? ，所以分两种情形， 当?RPQ ? 90? 时，则四边形 RPQE 是矩形，? PR ? QE ，PR ? PC ?sin C ? 3 y ? 3 x ? 3 ，544? 3 x ? 3 ? 3 ? x ，44? x ? 9 ，7当?PQR ? 90? 时，过点 P 作 PH ? BE 于点 H ，如图，则四边形 PHER 是矩形，? PH ? RE ， EH ? PR ，CR ? CP ? cosC ? 4 y ? x ?1 ，5? PH ? RE ? 3 ? x ? EQ ，??EQR ? ?ERQ ? 45? ，??PQH ? 45? ? ?QPH ，? HQ ? HP ? 3 ? x ，由 EH ? PR 得： (3 ? x) ? (3 ? x) ? 3 x ? 3 ，44? x ? 21 ，11综上， x 的值为 9 或 21 ；711②如图，连接 AF ， QF ? ，由对称可知QF ? QF ?， ?F?QR ? ?EQR ? 45? ，??BQF ? ? 90? ，?QF ? QF? ? BQ ? tan B ? 4 x ，3AB 是半圆O 的直径，??AFB ? 90?，?BF ? AB ? cos B ? 9 ，4? 4 x ? x ? 9 ，34? x ? 27 ，28? CF? ? BC ? BF? ? BC ?1 ? 3 ?1 ? 19 ． BF?BF?BF?x9【点评】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．3第 7 页（共 9 页）第 8 页（共 8 页）第 6 页（共 9 页）B 顺时针旋转 60°得到线段 BP′，连接 PP′，CP′．当点 P′落在边 BC 上时，∠PP′10．（3 分）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第 1 个图形需要 6 根小木棒，拼第 2第 6 页（共 6 页）数学试卷 第 8 页(共 8 页) 3第 8 页（共 9 页）数学参考答案 第 4 页(共 5 页) 黄冈?数学参考答案 第 5 页（共 4 页）第 8 页（共 8 页）第 9 页（共 9 页）