考点12 等式与不等式（核心考点讲与练）一、等式与不等式的性质1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2.等式的性质(1)对称性：
若a＝b，则b＝a.(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，则
ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.3.不等式的性质(1)对称性：a＞b?b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；(
3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac
＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0?＞(
n∈N，n≥2).二、均值不等式及其应用1.均值不等式：≤(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅
当a＝b时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(
a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥
0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且
仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式1.一元二次不等式只含有一个未知数
，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数
y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等
实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集Rax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集ab(x－a)·(x－b)>0{x|x
b}{x|x≠a}{x|xa}(x－a)·(x－b)<0{x|a 整式不等式(1)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0).(2)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.1
.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等
式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.均值不等式
具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等
式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等
，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式
的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.6.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当
二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常
有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单. 不等式的性质1
.（2021新疆乌鲁木齐市第四中学检测）下列命题正确的是（ ）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【分析】
利用特殊值法和不等式的性质来判断各选项的正误.【详解】对于A选项，当时，，A选项错误；对于B选项，取，，，，则，，不成立，B选项错
误；对于C选项，取，，，，则，，不成立，C选项错误；对于D选项，当时，则，由于，所以，，D选项正确.故选：D. 不等式的解法2.（
2021陕西省西安中学检测）不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】将不等式的解代入不等式对应方
程，得到的关系，判断为负数，将的关系代入后一个不等式，解得答案.【详解】由题意知：是方程的两个解，代入方程得到，，不等式可化为：，
即解得.故选B. 基本不等式以及应用3.（2021辽宁省葫芦岛市模拟）已知向量，若则的最小值为（ ）A．12 B． C．15
D．【答案】D【分析】因为，所以3a+2b=1，再利用基本不等式求最小值.【详解】因为，所以3a+2b=1，所以.当且仅当
时取到最小值.故选：D【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示和利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础
题.4.（2021吉林省实验中学检测）若函数在处取最小值，则等于（ ）A. 3B. C. D. 4【答案】A【分析】将函数的解析式
配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.【详解】当时，，则 ，当且仅当时，即当时，等号成
立，因此，，故选A.【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条
件的应用，考查计算能力，属于中等题.1.（2020?新全国1山东）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）A. B
. C. D. 【答案】ABD【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确
；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：
ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.2.（2019（
新课标Ⅱ））若a>b，则A. ln(a?b)>0B. 3a<3bC. a3?b3>0D. │a│>│b│【答案】C【分析】本题也可
用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．【详解
】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．【点睛】本题主
要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．3.（2020?江
苏卷）已知，则的最小值是_______．【答案】【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.【详解】∵∴且∴，当且仅当
，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握
“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是
，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.一、单选题1.（2022
·广东·模拟预测）已知，，，则的最小值为（ ）A. 13B. 19C. 21D. 27【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的妙用
求最小值.【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27故选：D2.（2022·福建宁德·模拟预测）已知，且，则的最
小值为（ ）A. B. 8C. D. 10【答案】D【分析】对方程变形，再利用基本不等式进行求解.【详解】整理为：，由基本不等式得
：，即，解得：或，由于，所以舍去，从而的最小值是10故选：D3.（2022·重庆·一模）已知，且，则的最小值为（ ）A. B. C
. D. 【答案】D【分析】先利用消元，再利用基本不等式求得的最小值即可【详解】将代入，可得：（当且仅当时，取得等号）故选：D二、
多选题4.（2022·全国·模拟预测）已知实数x，y满足，，且，则（ ）A. xy的最大值为B. 的最小值为C. 的最小值为1D.
的最小值为【答案】ABD【分析】利用基本不等式及其变形逐项分析A，B，D；由条件得，，从而由二次函数的图象与性质分析C.【详解】
对于A，，当且仅当时等号成立，所以A正确；对于B，，当且仅当时等号成立，所以B正确；对于C，因为，，且，所以，，（根据x，y的关系
得到x的取值范围）则，所以C错误；对于D，，当且仅当，即，时等号成立，所以，所以D正确.故选：ABD.5.（2022·广东汕头·一
模）已知正实数a，b满足，则以下不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【分析】对于A，对两边同除以进行判断，对于
B，利用基本不等式分析判断，对于C，由可得，产生矛盾，对于D，由已知可得，所以，化简后利用基本不等式求解【详解】对于A，因为正实数
a，b满足，所以，即，所以A错误，对于B，因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，所以B正确，对于C，
若，则，所以，所以，而由选项B可知，所以不成立，所以C错误，对于D，因为正实数a，b满足，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所
以D正确，故选：BD6.（2022·江苏泰州·一模）下列函数中最小值为6的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【分析】根据
基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故A不正确.对于B选项，，当且仅当
，即时取“”，故B正确.对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.对于D选项，，当且仅当，即无解，故D不正确.故选：BC.三、
填空题7.（2022·全国·模拟预测（文））已知正数、满足，则的最小值是___________.【答案】##【分析】利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为、为正数，由基本不等式可得，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.8.（2022·江西九江·一模（理））若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为______．【答案】##0.5【分析】根据两直线垂直的a、b关系，再用基本不等式可解.【详解】由两直线垂直得，即，，当且仅当，时，等号成立，故的最大值为．故答案为： |
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