重难点03四种三角函数与解三角形数学思想（核心考点讲与练）能力拓展题型一：函数与方程思想一、单选题1．（2022·河南·汝州市第一高级中学模
拟预测（理））在中，角所对的边分别为，，，则面积的最大值是（?）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知
等式可得；利用余弦定理可构造等量关系求得，进而得到；利用三角形面积公式，将表示为以为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法
可求得所求最大值.【详解】由得：，即，由正弦定理得：；由余弦定理得：，，即，，，，，，，则当时，，.故选：A.二、多选题2．（20
21·重庆市凤鸣山中学高三阶段练习）已知函数,则下列命题正确的是（?）A．函数的单调递增区间是；B．函数的图象关于点对称；C．函数
的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是；D．若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则．【答案】AC
D【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项.【详解】由，得.对于A，当时，
，当即时，函数单调递增，所以函数单调递增区间为，故A正确；对于B，当时，，故B不正确；对于C，函数的图象向左平移个单位长度后，得到
所得的图象关于y轴对称，所以,解得，当时，m的最小值是，故C正确；对于D，如图所示，实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则必有
，或，此时，另一解为.所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意实数，，方程有
解，方程也有解，则的值的集合为______.【答案】【分析】根据题意，不妨设，分类讨论当，，三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的
图象和性质，从而求出和的值，即可得出的值的集合.【详解】解：由题可知，不妨设，对于，对任意实数，，方程有解，当时，方程可化为有解，
所以恒成立，所以；当时，同上；当时，方程可化为有解，所以，综上得：；对于，对任意实数，，方程也有解，当时，方程可化为有解，所以；当
时，同上；当时，方程可化为有解，所以恒成立，所以，所以的值的集合为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合问题，
考查余弦函数的图象和性质，通过设，以及分类讨论与的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和逻辑
分析能力.4．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是_________【答案】【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条
件，即可求得函数的定义域．【详解】由题意知，，即，所以的定义域为：故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，
根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．四、解答题5．（2021·全国·高三专题练习）已知，①，②求
证：.【分析】证法一：将与看作方程的两根，证明此方程的两根之差为零即可；.证法二：将①式看作以3为元的一元二次方程，②式的左端恰为
该方程的判别式求解.【详解】证法一：已知条件可变为，.视与为方程的两根，问题转化为证明此方程的两根之差为零.由于.因此，.证法二：
注意到已知条件中的数学关系，则①式就是以3为元的一元二次方程，而②式的左端恰为该方程的判别式，从而可得.则①式变为.（）当时，由
已知条件可得，从而；当时，由②式知方程（）有两个相等的实数根，，即，代入①式得.6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（）
.（1）若当时，的最大值为，最小值为，求实数a，b的值（2）若，设函数，且当时，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1），；（2
）.【分析】（1）配方得到，根据，，分，，讨论求解；（2）方法一：通过参变分离转化为恒成立求解；方法二：由恒成立，令，转化为在上恒
成立求解，【详解】（1），∵，，∴当时，，.解得或（舍去），∴，.当时，，.解得（舍去）.综上所述，，.（2）解法一：.当时，恒成
立，，令，则.，由对勾函数的性质得，所以.∴m的取值范围是.解法二：.当时，恒成立，令，则，则在上恒成立，则，即.∴m的取值范围是
.题型二：数形结合思想一、单选题1．（2022·四川绵阳·三模（文））函数的部分图象如图所示，则（?）A．B．1C．D．【答案】B
【分析】由图象可得、求出，五点法求，进而写出解析式，即可求.【详解】由图知：且，则，可得，又且，则，，由，可得，所以，则.故选：B
2．（2022·河南·高三阶段练习（文））勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（
又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如
将CA延长至D）得到图2．在图2中，若，，D，E两点间的距离为，则弦图中小正方形的边长为（?）A．B．C．1D．【答案】C【分析】
在中利用余弦定理可求出，则可得，再由锐角三角函数的定义可求出，由勾股定理求出，从而可求得答案【详解】连接，由条件可得，在中，由余弦
定理得，∴，∴，，∴，所以弦图中小正方形的边长为．故选：C二、多选题3．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数的部分图象如图
所示，其中，且的面积为，则下列函数值恰好等于的是（?）A．B．C．D．【答案】AC【分析】根据题意得到，根据条件可以求出，所以，根
据选项求值判断即可.【详解】根据题意得，，因为，所以，即，所以，又的面积为2，所以，所以，所以，所以，解得（舍去），.所以，即.所
以，故A正确；所以，故B不正确；所以，故C正确；所以，故D不正确.故选：AC.三、填空题4．（2022·上海市七宝中学高三期中）已
知函数（其中为常数，且）有且仅有个零点，则的最小值为_______【答案】2【分析】利用函数与方程的关系转化为两个图象交点个数问题
即可求解【详解】由得,,设,则作出与的图象如图则,得,即的最小值是,故答案为:.5．（2022·河南·模拟预测（文））蜚英塔俗称宝
塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级
重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，
，，，则蜚英塔的高度是_______米．【答案】35【分析】设米，则可得，然后在中利用余弦定理列方程可求出的值，从而可求出蜚英塔的
高度【详解】设米，因为，，，所以，在中，，，则由余弦定理得,，解得，所以蜚英塔的高度是35米，故答案为：35四、解答题6．（202
2·山东济宁·二模）如图，在梯形ABCD中，，.(1)求证：BC=2CD；(2)若AD=BC=2，∠ADC=120°，求梯形ABC
D的面积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在△ACD和△ABC中，分别利用正弦定理可得，，再由，可得∠ACD=∠CAB
，所以得，再结合已知条件可得，从而可证得结论，（2）在△ACD中，由余弦定理可求得，， 在△ABC中，再利用余弦定理可求出，从而可
求出梯形的面积(1)在△ACD中，由正弦定理得，即，因为，所以∠ACD=∠CAB，所以在△ABC中，由正弦定理得，即，所以.又，所
以，即BC=2CD.(2)由（1）知.在△ACD中，由余弦定理得，解得.所以.在△ABC中，，解得或3.又因为ABCD为梯形，所以
.又梯形ABCD的高为，所以梯形ABCD的面积为.题型三：分类与整合思想一、多选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则
（?）A．为周期函数B．在上单调递增C．的值域为D．的图像关于直线对称【答案】AD【分析】易求得，即可判断A；由，得，，结合正弦函
数的单调性即可判断B；分和两种情况讨论，求出函数的值域，即可判断C；判断是否相等即可判断D.【详解】对于A，因为，所以是函数的一个
周期，故A正确；当时，，此时，则，所以，当时，，此时，则，所以，所以函数的值域为，故C错误；对于B，当时，，则，所以函数在上单调递
减，故B错误.对于D，因为，，所以，所以的图像关于直线对称，故D正确.故选：AD.2．（2021·江苏省江都中学高三阶段练习）关于
函数，下列结论正确的是（?）A．是偶函数B．在区间单调递减C．在有4个零点D．的最小值为【答案】AC【分析】利用奇偶性的定义，即可
判断A选项； 当，时，，由复合函数单调性可知，即可判断B；当时，，令，即可判断C；分三种情况，当，时，当，时，当，时，确定最小值，
即可判断D．【详解】解：对于A，，是偶函数，故A正确；对于B，当，时，，则，当，，所以函数在，上不具有单调性，故B错误；对于C，当
时，，令，可得，，又是偶函数，所以在区间，上有4个零点，故C正确；对于D，，所以是函数的一个周期，当，时，，此时最小值为1，当，时
，，此时最小值为-1，当，时，，此时最小值为，所以最小值为-1，故D错误.故选：AC.二、双空题3．（2022·北京·人大附中高三
开学考试）已知，能够说明命题“若对任意实数都有成立，则必有，”为假命题的一组A，的值为________，________．【答案】
【分析】要使对任意实数都有成立，则，再分和两种情况讨论，结合诱导公式求出的值，即可得出答案.【详解】解：若对任意实数都有成立，则
，当时，则，所以，又，所以，当时，则，所以，又，所以，综上所述，对任意实数都有成立，则，或，，所以能够说明命题为假命题的一组A，的
值为，.故答案为：；.三、填空题4．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
若b是，2的等比中项，c是1，5的等差中项，则a的取值范围是________．【答案】【分析】根据等差中项和等比中项的性质求出，再
根据三角形三边的关系及余弦定理，分a为最大边和c为最大边两种情况讨论，即可得出答案.【详解】解：因为b是，2的等比中项，所以，所以
，又因c是1，5的等差中项，所以，所以，因为△ABC为锐角三角形，①当a为最大边时，有，解得；②当c为最大边时，有，解得，综上所述
，所以实数a的取值范围是.故答案为：.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则①在上的最小值是1；②的最小正周期是；③直线
是图象的对称轴；④直线与的图象恰有2个公共点.其中说法正确的是________________.【答案】①③④【分析】结合三角函数
的图像和性质，数形结合思想求解，求出即可判断②，分k为奇数，k为偶数，讨论即可判断③.【详解】解：对于①，当时，且，则当时，函数取
最小值，即，故①正确；对于②，∵，，，则：故函数的最小正周期不是，②错误；对于③，若k为奇数，则；若k为偶数，则.由上可知，当吋，
，所以，直线是图象的对称轴，③正确；対于④，因为∵，所以为函数的周期.当时，；当时，.综上可知，.当时，，，即函数与在上的图象无交
点：当时，，，所以，函数与在上的图象也无交点.作出函数与函数在上的图象如下图所示：由图像可知，直线与的图象恰有2个公共点，故④正确
.故答案为：①③④.四、解答题6．（2022·全国·高三专题练习）已知，设函数．(1)若，求函数f（x）的单调递增区间；(2)试讨
论函数f（x）在[－a，2a]上的值域．【分析】（1）由题设写出的分段函数形式，结合余弦函数的性质分别求出不同分段上的递增区间.（
2）由题设可得且，由正弦函数的性质，讨论端点的位置并求出对应的值域范围.(1)由题设，，所以，根据余弦函数的性质：当时，在上递增；
当时，在上递增；(2)由题设，，则，又，即，所以，当，即时，；当，即时，；当，即时，；当，即时，；7．（2021·山西朔州·高三期
中（文））在中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，时.(1)若，求c；(2)记，是直角三角形，求k的值.【答案】(1)8(2
)或【分析】（1）利用余弦定理即得；（2）分和讨论，结合条件即得.(1)在中，由余弦定理得，∴即，，所以.(2)是直角三角形，若，
则，，若，则，.故或.题型四：转化与划归思想一、单选题1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示
意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射
门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】先根据题意解出长度，设，得
到，再分析求值域，判断取等条件即可求解.【详解】设，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：，，所以，且，所以，又，所以，解得，即，
设，，则，，所以在中，有，令，所以，所以，因为，所以，则要使最大，即要取得最小值，即取得最大值，即在取得最大值，令， ，所以的对称
轴为：，所以在单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值，即最大，此时，即，所以，所以，即为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时
甲离上方端线的距离为：.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的值为（?）A．B．C．－D．【答案】B【分析】利用
诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.【详解】，故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题
：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把
地球表面抽象为平面，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平
面，直线l有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为，.设点C
的坐标为，当最大时，（?）A．2abB．abC．D．【答案】D【分析】根据题意可知，分别表示出，然后利用两角差的正切公式表示出，再
结合基本不等式，即可求得结果.【详解】由题意可知时锐角，且,而，所以，而 ，当且仅当 ，即时取等号，所以当时，，此时最大，故选：D
.4．（2022·浙江·高三专题练习）函数的最小正周期是（?）A．B．C．πD．2π【答案】C【分析】将函数解析式化简，利用正弦函
数的周期公式可得.【详解】因为所以最小正周期.故选：C二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）以下说法正确的有（?）A．B．
C．D．【答案】ACD【分析】根据诱导公式判断ABC，根据两角和的正切公式判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；对于D，，故D正确；故选：ACD6．（2022·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任
意，都有，则称函数是“元周期函数”，非零常数为函数的“元周期”现有下面四个关于“元周期函数”的命题：所有正确结论的选项是（?）A．
如果“元周期函数”的“元周期”为，那么它是周期为2的周期函数；B．函数是“元周期函数”C．常数函数是“元周期函数”D．如果函数是“
元周期函数”，那么“或”【答案】ACD【分析】根据题意，首先理解“元周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假.【详解】A选
项：∵“元周期函数”的“元周期”为，，，故它是周期为2的周期函数，故A正确；B选项：若函数是“元周期函数”，则存在非零常数，使，即
恒成立，故成立，但无解，故B错误；C选项：常数函数是“元周期函数”，则存在非零常数，使，即恒成立，时恒成立，故C正确；D选项：若函
数是“元周期函数”，则存在非零常数，则，即恒成立，故恒成立，即恒成立，故，可得或，故或，故D正确.故选：ACD7．（2020·江苏
省板浦高级中学高三期末）已知集合，若对于任意，存在，使得，则称集合是“垂直对点集”.则下列四个集合是“垂直对点集”的为（?）A．B
．C．D．【答案】AC【分析】利用数学结合判断A；利用方程无解判断B；利用数形结合判断C；利用特殊点判断D.【详解】对于A，表示的
几何意义是，即对曲线每一个点与原点构成的直线，与之垂直的直线与曲线都存在交点，如图所示，当点运动时，直线与曲线均有交点，故A正确；
对于B,若满足，则，在实数范围内无解，故B不正确；对于C，，画出的图象，如图所示，直角始终存在，即对于任意，存在，使得成立，故C正
确；对于D，，取点，若存在使得成立，则，则一定有，不满足函数的定义域，故不能满足题意中的任意一点这一条件，故D不正确.故选：AC.
【点睛】思路点睛：本题主要考查向量垂直的坐标表示、新定义问题及数形结合思想的应用，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念
，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实
现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐
条分析、验证、运算，使问题得以解决.三、填空题8．（2022·全国·高三专题练习）设，，，，若对任意实数都有，定义在区间，上的函数
的图象与的图象的交点横坐标为，则满足条件的有序实数组，，，的组数为___________．【答案】28【分析】根据结合、，可得出、
、的取值组合，求得方程在区间的解，可得出的可能取值，进而可求得符合条件的有序实数组的组数.【详解】解：对任意实数都有，，若，则方程
等价于，则函数的周期相同，若，此时；若，此时；若，则方程等价于，若，此时；若，此时．综上，满足条件的数组，，为，3，，，，，，，，
，3，共4组．而当时，，得或，或，又，，．满足条件的有序数组，，，共有．故答案为：28．9．（2022·全国·高三专题练习）声音是
物体振动产生的声波，其中包含着正、余弦函数．若一个声音的数学模型是函数，则下列结论正确的是________．(填序号)①是偶函数，
且周期是；②在上有4个零点；③的值域为；④在上是减函数．【答案】①③【分析】利用奇偶性、周期性的定义判定①正确；利用二倍角公式得到，再通过解方程结合余弦函数的值域判定②错误；利用二次函数的值域、余弦函数的最值判定③正确；利用二次函数的单调性、余弦函数的单调性及值域判定④错误.【详解】对于①：因为，即是偶函数，又对于，，且即的周期是，即①正确；对于②：因为，令，即，解得或（舍），则在上有2个零点，即②错误；对于③：因为，所以当时，；当时，；即的值域为，即③正确；对于④：令，则，且在单调递减，且，在上单调递减，在上单调递增，所以在上不是单调递减，即④错误.故答案为：①③.四、解答题10．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形中，，，，且为锐角．(1)求；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，分析可知BD是四边形外接圆的直径，再利用正弦定理可求解；（2）由面积公式即可得解.(1)由已知，∵是锐角，∴．由余弦定理可得，则．∵，∴BD是四边形外接圆的直径，∴BD是外接圆的直径，利用正弦定理知(2)由，，，，则,,又，则，因此，故的面积为． |
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