重难点10四种解析几何数学思想（核心考点讲与练）能力拓展题型一：函数与方程思想一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）抛物线上的一动点
M到直线距离的最小值是（?）A．B．C．D．【答案】A【分析】对求导可求与直线平行且与抛物线相切的切线方程，再利用两平行线的距离公
式可得所求的最小距离．【详解】因为，所以，令，得，所以与直线平行且与抛物线相切的切点，切线方程为，即，由两平行线的距离公式可得所求
的最小距离.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）点到直线的距离的取值范围为（?）A．B．C．D．【答案】C【分析】由点到
距离公式把距离表示成的三角函数，根据三角函数性质求得距离的取值范围.【详解】由点到直线距离公式有：P到直线的距离为，其中，由三角函
数性质易知，，故，故选：C.3．（2020·全国·高三专题练习）已知是椭圆上任一点，是坐标原点，则中点的轨迹方程为（?）A．B．C
．D．【答案】A【解析】先设点和中点，再根据中点坐标公式得到中点的轨迹方程即可.【详解】解：设点，中点，因为点是中点，所以，则又因
为点满足椭圆方程，所以,所以，化简得：所以满足，所以中点的轨迹方程为故选：A【点睛】本题考查代入法求点的轨迹方程，是基础题.二、填
空题4．（2020·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，设过右焦点且与轴垂直的直线与双曲线的
两条渐近线分别交于，两点，若是正三角形，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】不妨设点在轴上方，先求出点坐标，再
由题得，化简即得双曲线的离心率.【详解】不妨设点在轴上方，联立得.因为是正三角形，所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线
的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．（2020·江苏·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0)的
一条渐近线方程为，则a＝_______．【答案】3【解析】双曲线的焦点在轴上，渐近线为，结合渐近线方程为可求.【详解】因为双曲线(
a＞0)的渐近线为，且一条渐近线方程为，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线，明确双曲线的焦点位置，写出双曲线的渐
近线方程的对应形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.6．（2022·全国·高三专题练习）若过点且斜率为k的直线与双曲线只有
一个公共点，则___________.【答案】或【分析】设直线方程，与双曲线联立，转化为方程只有一个根，此时要考虑到二次项系数为0
的情况，分别解得k的值即可.【详解】由题意可得，代入双曲线方程得.当，即时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点
；当时，，解得.综上，当或时，直线与双曲线只有一个公共点.故答案为：或三、解答题7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与轴交
于点，与轴交于点（1）若，，求的值；（2）若，求直线的倾斜角的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）根据题意，由的值分
析直线的倾斜角，即可得直线的斜率，分析可得，解可得的值，即可得答案;（2）根据题意，直线的斜率，分与两种情况讨论的范围，分析可得倾
斜角的范围，综合可得答案．【详解】（1）根据题意，直线，其斜率，在轴上的截距为，若，则,，则直线的倾斜角为，则有变形可得，解可得：
或，故或.（2）根据题意，直线的斜率，设直线的倾斜角为，当时，，直线的倾斜角为0，当时，，又由，当且仅当时等号成立，必有，则有，又
由，则，综合可得：，故的取值范围为．8．（2022·四川凉山·三模（理））已知椭圆经过点，过其焦点且垂直于x轴的弦长为1．(1)求
椭圆的标准方程；(2)已知曲线，在点P处的切线l交于M，N两点，且，求l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据题意可得，
，解得（2）设切点，根据导数可求切线方程，由可得，结合韦达定理求解．（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得：椭圆过即?解得：∴椭圆方程
为(2)设由即得，∴切线l的切点坐标为斜率为切线l的方程为：即，联立方程消去得 则可得：………①………②∵ 即则，即………③由①③
可得：………④把④代入②：整理得：∵则经检验符合题意∴直线l得方程为或9．（2022·全国·高三专题练习）设函数其图象与轴交于，，
，两点，且.(1)求的单调区间和极值点；(2)证明：是的导函数）；(3)证明：.【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；极
小值点是，无极大值点，且【分析】（1）对函数求导,然后结合导数与单调性的关系即可求解函数单调区间,即可求解极值；（2）由题意可知，
两式相减可得，， 构造函数，然后结合导数判断单调性，即可证明；（3）由题意可得，构造函数，结合单调性，利用分析法可证.(1)设函数
其图象与轴交于，，，两点，所以函数不单调，有实数解，所以，解得，当时，，单调递减，时，，单调递增，且是极小值点；，由题意得，，所以
，所以函数的单调递增区间，单调递减区间，极小值点是，无极大值点，且.(2)证明：，两式相减可得，，令，则，，令，则，所以单调递减，
，而，，又，；(3)证明：由，可得，，令，，则，，设，则，，，，，，要证明：，等价于证明：，即证，即证，即证，即证，令，，，在上单
调递减，，故，，，从而有：.【点睛】关键点点睛：证明函数不等式，关键在于合理变形，适时转化，转化后利用导数求函数的极值、单调性，建
立不等关系即可得证，本题中要证，转化为证，换元后即证，再换元转化为证明，即证即证，构造函数，求导得单调性可知即可证明.题型二：数形
结合思想一、单选题1．（2020·山西临汾·高三阶段练习（理））已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为45°的直线与的右支有且仅有
一个交点，则的离心率的取值范围为（?）A．B．C．D．【答案】A【解析】若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交
点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【详解】双曲线C：1（a＞0，b＞0）
的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点．则该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率，所以e2
∴e故选：A．【点睛】本题主要考查双曲线的性质及应用，考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．2．（2022·河南·开封高中
模拟预测（理））若直线与圆交于不同的两点A、B，且，则（?）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意分析可得，则，根据垂径定理和
点到直线的距离公式计算求解．【详解】设圆心O到直线l的距离为d，∵，则以为邻边的平行四边为菱形，即由，即，则又由垂径定理可知，即解
得则，解得．故选：A．3．（2022·全国·模拟预测）已知点为圆上一点，点，，，若对任意的点，总存在点，，使得，则的取值范围为（?
）A．B．C．D．【答案】A【分析】易求直线的方程，可求圆心到直线的距离，进而可求圆上的点到直线的距离的范围，因为对任意的点，总存
在点，，使得，则以为直径的圆包含圆，故，化简即得所求.【详解】由题可得点，在直线上，圆的方程为，则圆心到直线的距离，所以圆上的点到
直线的距离的范围为.因为对任意的点，总存在点，，使得，所以以为直径的圆包含圆，故，所以，得，故选：A.二、多选题4．（2022·全
国·高三专题练习）在同一平面直角坐标系中，表示直线l1：y＝ax+b与l2：y＝bx﹣a的图象可能是（?）A．B．C．D．【答案】
AC【分析】由图观察两直线的斜率的正负号、两直线在轴上的截距的正负号，从而得出结论．【详解】解：由图A可得直线的斜率，在轴上的截距
；而的斜率，在轴上的截距，即，故A能成立．由图B可得直线的斜率，在轴上的截距；而的斜率，在轴上的截距，即，矛盾，故B不能成立．由图
C可得直线的斜率，在轴上的截距；而的斜率，在轴上的截距，即，故C能成立．由图D可得直线的斜率，在轴上的截距；而的斜率，在轴上的截距
，即，矛盾，故D不能成立．故选：AC5．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直线与圆交于A?B两点，且（其中O为坐标原点），则实数
b的值可以是（?）A．B．C．D．4【答案】AD【分析】根据可得，分析圆心O到直线的距离．【详解】圆的圆心,半径∵则∴O到直线的距
离，则故选：A D．三、填空题6．（2022·山西吕梁·三模（文））已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与交于两点（点在轴上方）
，过分别作的垂线，垂足分别为，连接.若，则直线的斜率为__________.【答案】【分析】根据题意得，再得到，，分析即可得，，从
而得到直线的倾斜角，即可求解.【详解】如图，由题意得，所以，，因为，所以，所以，又，所以，所以，故，所以直线的斜率为.故答案为：.
四、解答题7．（2022·山西太原·三模（文））已知抛物线C开口向右，顶点为坐标原点，且经过点(1)求抛物线C的方程；(2)过点的
直线交抛物线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求的值.【答案】(1)(2)1【分析】（1）设抛物线C的方程为，代入
点坐标可得答案；（2）设直线MN为，，求出直线AM方程、直线AN方程令得、，由可得答案.(1)设抛物线C的方程为，则，解得，所以抛
物线C的方程为.(2)由题意，直线MN斜存在，设直线MN为，由得，∵∴，，则直线AM方程为，直线AN方程为，令，得，，.8．（20
22·山西吕梁·三模（理））已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点
，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【答案】(1)(2)点在定直线上.【分析】（1）解方程
组可得答案；（2）设， 的方程与椭圆方程联立利用韦达定理代入，可得直线的方程、直线的方程，联立两直线方程得，由化简可得答案.(1)
由题意得，解得，所以椭圆的方程是.(2)点是在定直线上，理由如下，由（1）知，设，，将的方程与联立消，得，则，得且，且，因为，所以
直线的方程为，即，直线的方程为，即，联立直线与直线的方程，得，得，所以所以点在定直线上.题型三：分类与整合思想一、单选题1．（20
20·湖南·高三学业考试）已知直线l过点，圆C：，则直线l与圆C的位置关系是（?）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【答案】D
【解析】经过计算得点在圆C：上，所以直线l与圆C的位置关系是相交或相切.【详解】由题：所以点在圆C：上，所以直线l与圆C的位置关系
是相交或相切.故选：D【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的辨析，关键在于根据直线经过的定点的位置分析动直线与圆可能的位置关系.2．
（2020·浙江·高三专题练习）点到抛物线准线的距离为2，则a的值为A．1B．1或3C．或D．或【答案】C【分析】对分成和两种情况
进行分类讨论，结合抛物线的定义求得的值.【详解】依题意可知，抛物线的标准方程为当时，抛物线的准线方程为，点到的距离为，解得.当时，
抛物线的准线方程为，点到的距离为，解得.所以的值为或.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和准线方程，属于基础题.3．（20
22·全国·高三专题练习（理））设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意和椭圆性质可
得当时，；当时，.解不等式后即可得解.【详解】由，，可得：当时，，由条件知，解得；当时，，由条件知，解得.故选：B.【点睛】本题考
查了椭圆的性质，考查了分类讨论思想，属于基础题.二、多选题4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥曲线，则下列说法可能正确的有
（?）A．圆锥曲线的离心率为B．圆锥曲线的离心率为C．圆锥曲线的离心率为D．圆锥曲线的离心率为【答案】BC【分析】讨论、、，结合三
种情况下圆锥曲线的方程，可判断相关性质，进而确定其离心率.【详解】当时，，圆锥曲线是焦点在轴上的椭圆，其离心率，故C符合题意；当时
，，圆锥曲线是焦点在轴上的椭圆，其离心率，故B符合题意；当时，圆锥曲线是焦点在轴上的双曲线，其离心率，故C符合题意.故选：BC.5
．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点（5，0）作直线交该双曲线于A和B两点，则下列结论中正确
的有（?）A．或B．该双曲线的离心率为C．满足的直线有且仅有一条D．若A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线的斜率的取值范围是【答
案】BD【分析】根据双曲线的渐近线方程可得，从而可判断A；求出双曲线方程，从而可得离心率，即可判断B；分当两点都在双曲线的右支上和
再双曲线的左右两支上两种情况讨论，即可判断C；求出双曲线的渐近线方程，从而可判断D.【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以
，解得，故A错误；双曲线方程为，故，所以该双曲线的离心率，故B正确；点（5，0）为双曲线的右焦点，当时，，当两点都在双曲线的右支上
时，，因为，所以这种情况的直线只有一条，且与轴垂直，当再双曲线的左右两支上时，可得，而，可得这样的直线有两条，综上所述，满足的直线
有3条，故C错误；双曲线的渐近线方程为，要使A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线的斜率的取值范围是，故D正确.故选：BD.6．（
2022·全国·高三专题练习）已知、两点的坐标分别是，，直线、相交于点，且两直线的斜率之积为，则下列结论正确的是（?）A．当时，点
的轨迹圆（除去与轴的交点）B．当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（除去与轴的交点）C．当时，点的轨迹为焦点在轴上的抛物线D．当时，点
的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去与轴的交点）【答案】ABD【分析】设出P点的坐标，根据直线AP的斜率与直线BP的斜率之积为，可得出
含有参数的点P轨迹方程，然后对进行讨论，分析轨迹方程表示哪种曲线，最后确定正确选项.【详解】设点P的坐标为，直线AP，BP的斜率为
，由已知得，化简得点P的轨迹方程为当时，点的轨迹圆（除去与轴的交点）所以正确；当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（除去与轴的交点），
所以B正确；当时，点的轨迹为焦点在轴上的抛物线，不正确，应该是双曲线，所以C不正确；当时，点P的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去与轴
的交点），所以D正确；故选：ABD三、解答题7．（2020·全国·高三专题练习（理））求满足下列条件的直线方程：（1）经过点，且在
x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；（2）经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.【答案】（1）或.（2）或.【解析】（1）当
直线不过原点时，设所求直线方程为，将代入，求得，当直线过原点时，设直线方程为，将将代入，取得，进而求得所求直线的方程； (2)根据
所求直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，得到所求直线的斜率为，结合点斜式，即可求解.【详解】（1）由题意，当直线不过原点时，设所
求直线方程为，将代入，可得，解得，所以直线方程为；当直线过原点时，设直线方程为，将代入，可得，解得，所以直线方程为，即，综上可得，
所求直线方程为或.(2)由题意，所求直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，可得所求直线的斜率为，又过点，由点斜式得，所求直线的方程
为或.8．（2022·全国·高三专题练习）已知圆经过点和点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)若过点的直线与圆相交于，两
点，且，求直线的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）求得线段的垂直平分线方程，联立方程组，求得圆心，根据，求得圆的半径，即
可求得圆的方程；（2）根据题意，得到圆心到直线的距离为，①当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；②当直线的斜率存在时，设直线
的方程为，根据点到直线的距离公式，列出方程，求得，进而得出直线的方程.(1)解：设的中点为，因为点和点，所以，即，又由，所以的垂直
平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，联立方程组，解得，即圆心坐标，又由，即圆的半径为，所以圆的方程为.(2)解：过点的直线
与圆相交于两点，且，所以圆心到直线的距离为，①当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，则圆心到直线的距离为，符合题意；②当直线的斜率
存在时，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，综上可得，直线的方程为或.题型四：转化与划归思想一、单选
题1．（2020·全国·高三（文））双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（?）A．B．C．D．【答案】C【分析】由双曲线的离心率为，
可渐近方程.【详解】由题因为,所以，所以渐近方程为.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的应用，属于
基础题.2．（2020·云南德宏·高三期末（理））已知点是抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切，且与轴的两个交点的
横坐标之和为，则此圆的半径为（?）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意得两个交点的坐标，进而可求出点的横坐标，求解即可.【详
解】由抛物线定义得与轴的两个交点必有一个为焦点，又因为与轴的两个交点的横坐标之和为，所以另一个交点为，所以点的横坐标即为两个交点的
中点，所以，所以圆的半径.故选：C.二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）[多选题]已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，
则下列结论正确的是（?）A．点的坐标为B．若直线过点，则C．若，则的最小值为D．若，则线段的中点到轴的距离为【答案】BCD【分析】
根据抛物线方程的标准形式求出焦点可判断A；由抛物线的性质可判断B、C；利用抛物线的焦半径公式可判断D.【详解】易知点的坐标为，选项
A错误；根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；若，则过点，则的最小值即抛物线通径的长，为，即，选项C正确，抛物线的焦点为，准
线方程为，过点，，分别作准线的垂线，，垂足分别为，，，所以，．所以，所以线段，所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确．故选：BCD
三、填空题4．（2022·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上的一动点，点的坐标为，点满足，且，则的最大值是 __．【答案】【分析】
根据题意可知在以为圆心，以1为半径的圆上，画出图形，求出的最大值，即可求得的最大值.【详解】解：如图，在椭圆上，在以为圆心，以1为
半径的圆上，由椭圆，得点为椭圆的下焦点，要使最大，则最大，，．故答案为：．5．（2022·全国·高三专题练习）圆：与圆：的公切线有
___________条.【答案】3【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，可得两圆相外切，由此可确定两圆的公切线的条数
.【详解】圆：化为标准方程为：，则圆心坐标为，半径为2，圆：化为标准方程为：，则圆心坐标为，半径为3，∴圆心距，即两圆的圆心距等于
两圆的半径的和，∴两圆相外切，∴两圆的公切线有3条.故答案为：3.四、解答题6．（2021·海南·模拟预测）已知抛物线的顶点为坐标
原点，焦点为圆：的圆心，轴负半轴上有一点，直线被截得的弦长为5．（1）求点的坐标；（2）过点作不过原点的直线，分别与抛物线和圆相切
，，为切点，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先对圆的方程标准化，得到焦点坐标，得出抛物线方程，由已知设直线为，
联立后，利用弦长公式计算即可求得结果；（2）由条件可设直线的方程为，与抛物线方程联立，因为与抛物线相切，由，求得得，进而解得的坐标
，设，由题意可知点与坐标原点关于直线对称，解得点坐标，进而可求得直线的方程．【详解】（1）圆的方程可化成，所以，所以抛物线的方程为
．设，则直线的方程为，由消去，得，设直线与的交点横坐标分别为和，由题意知，即，解得，故．（2）由条件可设直线的方程为，由消去，整理
得，因为与抛物线相切，所以，解得．代入原方程组解得．设，由题意可知点与坐标原点关于直线：对称，所以解得．所以直线的方程为，即．巩固
提升一、单选题1．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若
，则（?）A．B．C．D．【答案】A【分析】由抛物线定义可知为正三角形，根据可知，由此可求得，由此可得.【详解】由抛物线定义可知：
，，为正三角形.设准线与轴交于点，由抛物线方程可知：，，，，.故选：A.2．（2022·贵州毕节·三模（文））曲线与直线有两个交点
，则实数的取值范围为（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据方程作出对应的曲线图象，结合图象求实数的取值范围.【详解】方程可化
为且，所以曲线的轨迹为以为圆心，1为半径的圆上纵坐标大于等于1的点的集合，直线表示过点且斜率存在的直线，作图可得因为曲线与直线有两
个交点观察图象可得，又，，所以，所以实数的取值范围为，故选：B.3．（2022·贵州毕节·三模（理））曲线与直线有两个交点，则实数
的取值范围为（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据直线过定点的求法可求得直线恒过；由曲线方程可确定图形，采用数形结合的方式可
确定直线斜率的取值范围，由此可构造不等式求得的取值范围.【详解】由得：，令，解得：，直线恒过定点；由得：，由此可得曲线的图形如下图
所示，由图形可知：当直线过点时，直线斜率为，若直线与曲线有两个不同交点，则直线斜率的取值范围为，即，解得：，即实数的取值范围为.故
选：D.4．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则（?）A．2
B．4C．6D．【答案】B【分析】由抛物线定义可知，结合可得△PQF为正三角形，设准线l与x轴交于点A，由可得，利用，可得答案.【
详解】由抛物线定义可知，∴，△PQF为正三角形，设准线l与x轴交于点A，由抛物线可知：，∵，∴，∴，∴.故选：B．5．（2022·
全国·高三专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家
Germinaldandelin（）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面?截面相切，两
个球分别与截面相切于，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是.由的产生方
法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以为焦点的椭圆.如图②，一个半径为的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则
球在桌面上的投影是椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的焦距为（?）A．B．C．D．【答案】C【分析】设球与相切
与点，可得，利用二倍角正切公式可得，由此可得，由可求得焦距.【详解】设球与相切与点，作出轴截面如下图所示，由题意知：，，，，又，，
，又，，椭圆的焦距为.故选：C.6．（2020·全国·高三专题练习（文））已知双曲线的左?右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则
离心率的取值范围是（?）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据双曲线的性质可得,双曲线上存在点P使,可知,再由即可求解【详解】根据
双曲线的性质可得,双曲线上存在点P使,则渐近线的斜率,即,因为离心率，所以,因为，所以离心率的取值范围为，故选:B【点睛】本题考查
双曲线离心率的相关问题;其中由双曲线性质得到是求解本题的关键;属于中档题.7．（2021·江西南昌·高三开学考试（理））已知函数，
若，若点不可能在曲线C上，则曲线C的方程可以是（?）A．B．C．D．【答案】C【分析】将函数变形在R上单调递增，并且关于点对称，结
合已知条件可知，说明曲线C的图像恒在直线的区域，再判断直线与圆的位置关系即可得解.【详解】函数，显然函数在R上单调递增，又，即所以
关于点成中心对称，且故，则，点不可能在曲线C上，说明曲线C的图像恒在直线的区域，对于A，表示圆心，半径的圆，圆心在直线上，即直线与
圆相交，不符合题意；对于B，表示圆心，半径的圆，圆心到直线的距离，即直线与圆相交，不符合题意；对于C，表示圆心，半径的圆，圆心到直
线的距离，即直线与圆相切，并且圆的图像恒在直线下方，符合题意；对于D，表示圆心，半径的圆，圆心到直线的距离，即直线与圆相交，不符合
题意；故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性，对称性的应用，及直线与圆的位置关系，解题的关键是利用函数的对称性，推出，说
明曲线C的图像恒在直线的区域，考查学生的逻辑推理能力，属于难题.二、多选题8．（2022·山东泰安·三模）已知实数x，y满足方程，
则下列说法正确的是（?）A．的最大值为B．的最小值为0C．的最大值为D．的最大值为【答案】ABD【分析】根据的几何意义，结合图形可
求得的最值，由此判断A，B，根据的几何意义求其最值，判断C，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.【详解】由实数x，y满足方程可
得点在圆上，作其图象如下，因为表示点与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，，，，A，B正确；表示圆上的
点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，所以最大值为，又，所以的最大值为，C错，因为可化为，故可设，，所以，
所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，故选：ABD.9．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）椭圆:的左、右焦点分别为，
点在椭圆上，点在以为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（?）A．椭圆的离心率为B．的最大值为C．过点的直线与椭圆只有一
个公共点，此时直线方程为D．的最小值为【答案】BD【分析】利用椭圆标准方程直接求离心率即可判断A；根据椭圆定义以及基本不等式即可判
断B；直接考虑直线斜率不存在的情况即可判断C；利用椭圆的定义将转化成，进而根据几何关系求其最值即可判断D.【详解】对于选项，由椭圆
的方程知，所以离心率，故选项不正确；对于选项B， 由椭圆的定义可得， 所以，即当且仅当时，的最大值为，故选项B正确；对于选项C，
当直线的斜率不存在时，所求直线为，满足条件，故选项C错误；对于选项D， 圆：，所以，故选项D正确；故选：BD.三、填空题10．（2
022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））直线过定点，过点作的垂线，垂足为，已知点，则的最大值为______．【答案】【分析】设，应用坐
标表示出、，利用向量垂直的坐标表示列方程求得M的轨迹为圆，问题转化为定点到圆上点距离最大.【详解】设，若，则，，所以，故M的轨迹为
.轨迹是圆心为，半径为的圆，则最大.故答案为：11．（2022·河南商丘·三模（理））已知是抛物线：（）的焦点，的准线与轴交于点，
过点作曲线的一条切线，若切点在第一象限内，为上第四象限内的一点，且，则______．【答案】【分析】设切点的坐标为，根据题意，得到
切线方程，将代入得的坐标，设，，利用向量求出的坐标，代入抛物线求出即可.【详解】由题意可知，，．设切点的坐标为（，），因为切点在第
一象限内，所以取第一象限内抛物线，求导计算切线方程，则，所以切线的斜率为：，所以的方程为，将代入得，，解得，则，即．由，当在第四象
限内时，设（），（），又，，则，解得，将点代入：得，解得（负值舍去），所以．故答案为：.12．（2022·河北·模拟预测）已知，是
抛物线上的两个动点，过，的两条切线交于点，若，则点的纵坐标为___________.【答案】【分析】设切点，，设的直线方程为：，与
抛物线联立消去得：，根据题意得，求出，得到的直线方程，同理求出的直线方程，联立求出，再根据，即可求解.【详解】设切点，，不妨设在第
一象限，设的直线方程为：，与抛物线联立消去得：，因为相切，所以，解得，所以的直线方程为：，同理得的直线方程为：，联立和的直线方程，
解得，因为，所以，解得，即点的纵坐标为：.故答案为：.【点睛】本题主要考察抛物线方程和性质，考察直线和抛物线位置关系，直线方程的求
法和运用，同时考察化简能力，属于难题.13．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围是__________
_.【答案】【分析】设为圆上一点，直线为，过点作，连接，再分别求出和，则，再根据条件求出范围即可.【详解】设为圆上一点，直线为，过
点作，连接，作出如下示意图：则到直线的距离，由图可知圆在直线的上方，所以，即，所以，，所以，所以只需求出取值范围即可，设直线与圆相
切，所以，解得，所以两条切线方程为：和，设两切点分别为，，分别过作，垂足为，过作，垂足为，所以，因为直线的斜率为：，所以，所以，，
又因为，所以，所以，，所以所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合思想的应用，注意临界位置的转化
.14．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡
照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终
于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示
，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面
的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N
、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率.【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为 设
,由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）则，又设直线PN的方程为由到直线PN的距离为1，得，整理得则，又，故则直线PN的方程为
，故，由，解得，故椭圆的离心率故答案为：【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、
生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。15．
（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部
，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），
滚动过程中点形成的轨迹记为星形线.有如下结论：① 曲线上任意两点间距离的最大值为；② 曲线的周长大于曲线的周长； ③ 曲线与圆有且
仅有个公共点.其中正确的序号为________________.【答案】①③【分析】由题意知星形线任意点满足，为参数，其中，即，，
从而可判断①；分析曲线的图像，与星形线图像对比可知②；求出星形线与直线的交点，知曲线与圆相切，可判断③；【详解】由已知可知小圆与大
圆是内切的关系，设小圆的圆心为，则小圆的圆心轨迹为以为圆心，半径为3的圆，即设星形线任意点，则，为参数，其中可知星形线任意点，满足
，对于①，星形线上左右两个端点，或上下两个端点，的距离最远，等于8，故①正确；对于②，曲线为过点，，，的正方形，而星形线与坐标轴的
交点也是这四个点，由两点之间线段最短，可知曲线的周长小于曲线的周长，故②错误；对于③，星形线与直线的交点为，即它们到原点的距离为与
圆的半径相等，所以曲线与圆相切，即有且仅有个公共点，故③正确；故答案为：①③【点睛】关键点点睛：本题考查两个圆的内切关系求轨迹，解
题的关键是理解星形线的定义，求出对应点满足的条件，再分析选项，考查学生的分析审题能力，属于难题.四、解答题16．（2022·浙江金
华·三模）如图，已知点P在直线l：上，A，B为抛物线C：上任意两点，PA，PB均与抛物线C相切，直线AB与直线l交于点Q，过抛物线
C的焦点F作AB的垂线交直线l于点K．(1)若点A到F的距离比到直线l的距离小1，求抛物线C的方程；(2)在（1）的条件下，当最小
时，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线定义可得答案；（2）设，过P点的切线方程为， 利用直线PA、直线PB方程得
到，，，由A，B在直线PA、直线PB上得，，可得直线AB方程为：，得直线AB方程过定点，直线KF方程，利用坐标得，联立直线KF和抛
物线方程可得，再利用弦长公式得，根据可得答案．(1)因为点A到F的距离比到直线l：的距离小1，所以等于点A到直线的距离，∴为抛物线
的准线．且，∴C：.(2)抛物线C：的焦点，设，设P点抛物线C：的切线方程为：，消去x得：，∴即，，，直线PA：，直线PB：，则，
，，，由A，B分别在直线PA：、直线PB：上，得：，，即，，则直线AB方程为：，得直线AB方程过定点，则直线KF方程为：，则，，，
当且仅当时，时取等号，，得，，∴．17．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为.且与圆上点的距离的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）若点在圆上，，是的两条切线.，是切点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）最大值.【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值，求出抛物线方程；（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.【详解】（1）抛物线的焦点为，，所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；所以抛物线的方程为.（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，设点，，，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，，所以点到直线的距离为，所以，，，由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．18．（2021·全国·高三专题练习）（1）试求函数的最小值；（2）设a、b都是实数，试求：的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1），构造动点，则P的轨迹方程为，设，，则，由抛物线的知识即可求解；（2）设，，则S为A、B两点间距离的平方，转化为而圆的x轴上部分的点与双曲线的x轴下部分的点的距离的最值问题，数形结合即可求解【详解】（1），构造动点，则P的轨迹方程为，设，，则F正好为抛物线的焦点，抛物线准线方程为l：.（如图所示）过点P作于H，过点A作于，交抛物线于点，故有，当且仅当点P在点处时，取得最小值.（2）设，，则S为A、B两点间距离的平方，而点A在圆的x轴上部分，点B在双曲线的x轴下部分，如图1-55所示，要使最小，则点A、B分别位于点、或点、，即当，（或，）时.【点睛】本题（1）粗看似乎无从入手，关键是构造出抛物线方程，使问题转化为抛物线上的动点到两个定点的距离之和；本题（2）的关键是把S看作两点间距离的平方，并搞清楚这两个动点在何种曲线上，数形结合即可求解. |
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