第3讲 均值不等式及其应用学校____________ 姓名____________ 班级_______
_____ 一、知识梳理1.均值不等式如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立.数称为a，b的算术平均值；数称为a，
b的几何平均值.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当
且仅当a＝b时取等号.3.利用均值不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.考点和典型例题1、利用均值不等式求最值【典例
1-1】（2022·辽宁鞍山·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值是（?）A．B．C．5D．9【典例1-2】（（2022·山东潍
坊·二模）已知正实数a，b满足，则的最大值为（?）A．B．C．D．2【典例1-3】（（2022·天津红桥·一模）设，，若，则的最小
值为（?）A．6B．9C．D．18【典例1-4】（（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知，，，则的最小值为__．【典
例1-5】（（2022·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．2、均值不等式的综合应用【典例2-1】（2022·江苏
·涟水县第一中学高三期中）已知分别为双曲线的左?右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（?）A．19B．23C．25D．85【典
例2-2】（2022·陕西渭南·二模（理））若对x，都有成立，则实数a的最小值是（?）A．B．C．D．【典例2-3】（2022·河
北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（?）A．8B．6C．4D．2【典例2-4】（2022·安徽黄山·二模（理）
）设的内角的对边分别为，且满足，其中，若，则面积的取值范围为______________.【典例2-5】（2022·浙江·高三开学
考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为_______________．3、均值不等式的实际应用【典例3-1】两直立矮墙成二面角
，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为的直角梯形菜园墙足够长，则所用篱笆总长度的最小值为（?）A．16mB．18mC．D．【典例3
-2】如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对
江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A与湖对岸B，F点，设宝塔底部E点和这三
个点在同一直线上，无人机从A点沿AD直线飞行200米到达宝塔顶部D点后，然后再飞到F点的正上方，对山脚的江天禅寺EB区域进行拍照.
现测得从A处看宝塔顶部D的仰角为60°，，米.若无人机在C点处获得最佳拍照角度时（即最大），该无人机离地面的高度为（?） A．米B
．米C．米D．200米【典例3-3】某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩
形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为___________.【典例
3-4】蕲春县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为，交通部门
利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间T（秒）＝路段长×，那么在车流量最大时，路段A的红灯设置时
间为___________秒.【典例3-5】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，建筑物的外墙需要建造隔热层，现某建筑物要建造可
使用20年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足
关系，若不建隔热层，则该建筑物每年的能源消耗费为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)请写出的表达式；(2)隔热层建多厚时，达到最小，并求出最小值．zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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