2023年贵州省黔西南州兴义市重点学校高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目
的一项）1. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点在(????)A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.
已知集合，，则中元素的个数为(????)A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，，则(????)A. B. C. D.
4. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超
过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是(????)A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为，则实数的值为(?
???)A. B. C. D. 6. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且若的面积为，则(????)A. B.
C. D. 7. 在中，，，，则(????)A. B. C. D. 8. 如图，四边形为正方形，平面，，，则三棱锥的体积为(?
???)A. B. C. D. 9. 在正方体中，点为平面内的一动点，是点到平面的距离，是点到直线的距离，且为常数，则点的轨迹不
可能是(????)A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线10. 已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称若，则(????
)A. B. C. D. 11. 设，，，是同一个半径为的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为(????)A. B. C.
D. 12. 已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为(????)A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4
小题，共20.0分）13. 已知等差数列前项的和为，，则 ______ ．14. 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标
准差为______ ．15. 在直线：上取一点作抛物线：的切线，切点分别为，，直线与圆：交于，两点，当最小时，的横坐标是____
__ ．16. 已知函数，下述四个结论：若，且在有且仅有个零点，则在有且仅有个极大值点；若，且在有且仅有个零点，则在有且仅有个极
大值点；若，且在有且仅有个零点，则在上单调递增；若，且在有且仅有个零点和个极值点，则的范围是．其中所有正确结论的编号是______
．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 本小题分记为数列的前项和，已知，．
求的通项公式；证明：．18. 本小题分为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中，从男生中随机抽取了
人，从女生中随机抽取了人，男生中喜欢数学课程的占，女生中喜欢数学课程的占，得到如下列联表．喜欢数学课程不喜欢数学课程合计男生女生合
计请将列联表补充完整；试判断能否有的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关；从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取人，现
从人中随机抽取人，若所选名学生中的女生人数为，求的分布列及数学期望．附：，其中．19. 本小题分如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的
圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，．证明：平面平面；求二面角的余弦值．20. 本小题分已知双曲线的离心率是，点在
双曲线上．求双曲线的方程；设，为上一点，为圆上一点均不在轴上直线，的斜率分别记为，，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的
坐标；若不过定点，请说明理由．21. 本小题分已知函数其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线方程是，．求，；若在上恒成立，求的取
值范围．22. 本小题分在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数且，与坐标轴交于，两点．求；以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立
极坐标系，求直线的极坐标方程．23. 本小题分设，，均为正数，且，证明：；．答案和解析1.【答案】?【解析】解：复数满足，，化为
，则复数在复平面内对应的点在第四象限，故选：．利用复数的四则运算法则进行化简，再利用几何意义即可得出结论．本题考查了复数的四则运算
法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】?【解析】【分析】本题考查了集合中元素的个数问题，属于中档题．根
据题意，进行求解即可．【解答】解：由解得：或的元素的个数是个，故选B．?3.【答案】?【解析】解：由题意得，即，即，，故．故选：．
将两边平方，求得，根据数量积的运算律，即可求得答案．本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．4.【答案】?【解析】解：不超过
的素数有，，，，，，在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，基本事件总数有，其和等于包含的基本事件有，，共个，其和等于的概率是．故
选：．在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，基本事件总数有，其和等于包含的基本事件有个，由此能求出其和等于的概率．本题考查古典概
型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】?【解析】解：展开式的通项公式，则其展开式中的系数为，的系数为，又的展开式中
的系数为，故，则．故选：．根据二项式展开式的通项公式，求出展开式的项以及项的系数，根据两个多项式相乘的方法，即可求得答案．本题主要
考查二项式定理，属于基础题．6.【答案】?【解析】解：，，设，，由椭圆的定义可得，，，，的面积为，，即，，即，解得，，．故选：．根
据已知条件，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解．本题主要考查了椭圆的定义，离心率以及勾股定理的应用，考查计算能力，属于中
档题．7.【答案】?【解析】解：，，，则，故AB，即，所以，，，．故选：．根据已知条件，结合余弦定理，求出，再结合二倍角公式，即可
求解．本题主要考查余弦定理，以及二倍角公式，属于基础题．8.【答案】?【解析】解：连接交于，连接，则，，，，得，则有，由四边形为正
方形，得，又平面，平面，则有，，平面，平面，则有平面，又平面，，又，平面，平面，平面，而，三棱锥的体积．故选：．根据线线垂直可得平
面，进而根据等体积法即可求解．本题考查锥体的体积计算，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】?【解析】解：由条件作出正方体，并以
为原点，直线、和分别为、和轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方体的棱长为，点，所以得，，由，得，所以，即，当时，式化得：，此时
，点的轨迹是抛物线；当时，式化得：，即，，，当时，，则式是双曲线的方程，即点的轨迹为双曲线；当时，，则式是椭圆的方程，即点的轨迹为
椭圆．故选：．根据条件作出正方体，再以为原点，直线、和分别为、和轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，再设点，根据题目条件得到，
分类讨论，、时，结合圆锥曲线的方程特征，即可求解．本题考查轨迹方程的求解，是中档题．10.【答案】?【解析】解：因为函数是定义在上
的奇函数，所以，且，又的图象关于对称，则，即，则，．在中，，则，所以函数的周期为，即则有，所以 故选：．根据奇函数的性质得到和，
再结合函数对称性得到，赋值求出、；推导出函数，的周期为，即可求解．本题考查抽象函数的性质，函数的周期性，奇偶性，属于中档题．11.
【答案】?【解析】解：如图，设是的外心，即所在截面圆圆心，圆的半径为，是球心，，，由余弦定理得：，，得，则，，，平面，平面，，得，
当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积最大，此时棱锥的高为，，棱锥体积的最大值为．故选：．是外心，是球心，求出，当是的延长线与球面交
点时，三棱锥体积最大，由此求得最大体积即可．本题考查棱锥的体积计算，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】?【解析】解：当时，
，若，必有，解得，所以，若，满足，所以；当时，，即，令，，由得，得，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，即．综上，的取值范围是
故选：．分成，两段讨论，分别利用二次函数性质求最值和分离参数，再构造函数利用导数求最值的方法即可求解．本题主要考查函数恒成立问题，
考查分段函数及其应用，导数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】?【解析】解：等差数列前项的和为，，，，解得，，．故
答案为：．利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
14.【答案】?【解析】解：因为样本数据，，，的标准差为，故样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为，故数据，，，的标准差为，
故答案为：．根据数据加减一个数以及都乘一个数，对方差的影响规律，即可求得答案．本题主要考查了标准差的计算，属于基础题．15.【答案
】?【解析】解：设，，，，且直线的方程为，联立抛物线，消去可得：，根据韦达定理可得：，，由抛物线，求导可得：，过的切线方程为，过的
切线方程为，联立上式，整理可得：，两式相减整理可得：，因为，所以，且，根据题意，可得，即，则直线的方程为，由此该直线过定点，由圆：
，可得，可得，则圆心到直线的距离，当时，，当时，，则，综合，当且仅当时取最小值，时取最大值；由于直线与圆相交弦长，则取最大值时，弦
长取最小，可得直线的方程为，所以的横坐标．故答案为：．联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理，根据切线联立求交点，可得直线方程中的
截距，可得直线过定点，根据圆中弦最小的情况，得到直线的斜率，可得最后答案．本题考查直线方程与抛物线方程，直线过定点问题，属中档题．
16.【答案】?【解析】解：对于，若，则，在有且仅有个零点，如图， 其图象的右端点的横坐标在上，此时在有且仅有个极大值点，故正确；
对于，若，则，有且仅有个零点，如图， 其图象的右端点的横坐标在上，则在有个或个极大值点，故不正确；对于，若，令，，，且，在上有且仅
有个零点，在上有且仅有个零点，，，当时，，又，，，，在上单调递增．在上单调递增，故正确．对于，若，令，，，，且，因为在有且仅有个零
点和个极值点，在上有且仅有个零点和个极值点，，，故错误．故答案为：．对可以通过作图判别，对于令，，根据题意得到不等式，解出范围．对
于令，根据题意解不等式即可．本题考查三角函数的图象和性质，函数零点问题，属于中档题．17.【答案】解：由已知，所以当时，，得，整理
可得，则，，，等式左右分别相乘得，所以；证明：由得，则，所以，所以，又，所以，所以，即．?【解析】由与的关系结合题意可得，再由累乘
法即可得解；易知，求和可得，由此容易得证．本题考查数列通项以及前项和的求法，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：根据题
意，男生喜欢数学的人数为，不喜欢数学的为；女生喜欢数学的人数为，不喜欢数学的人数为，得到如下列联表．喜欢数学课程不喜欢数学课程合计
男生女生合计，所以没有的把握认为喜欢数学课程与性别有关；抽样比为：：，所以抽取的男生人数为人，抽取的女生人数为人；的取值为，，则；
；；所以的分布列为???．?【解析】利用男生总人数，男生喜欢数学占比；女生总人数，女生喜欢数学占比可将表格填写，再利用独立性检验公
式可以计算出，进而可以判断；根据抽样比算出抽的男生人数和女生人数，再算出取值，进而算出对应的概率，然后写出分布列，计算期望，进而求
出结果．本题考查了统计与概率，独立性检验，期望的基本运算，属于基础题．19.【答案】证明：由题意知是圆锥底面的圆心，，则平面，为正
三角形，则，设，由题设可得，是底面的内接正三角形，故，，因此，从而，又，故，因为，，平面，所以平面，又平面，故平面平面；解：如图，
以为原点，在平面内过点作的垂线作为轴，以，为，轴建立空间直角坐标系，由结论，不妨取，则，可得，，，则，，设平面的法向量为，则，即，
令，可得平面的法向量，，，设平面的法向量为，则，即，令，可得平面的法向量，则，由图知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．?【
解析】先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论；建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面以及平面的法向量，根据向量的夹
角公式即可求得答案．本题主要考查平面与平面垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：根据题意可得，
解得，，所以双曲线的方程为．由题意可得，，直线的方程为，联立，得，，，设，由题意可得方程有一个根为，所以，所以，则，直线的方程为，
联立，得， ，设，，由题意可得方程有一个根为，所以，所以，则，由，可得，因为，所以，所以，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即
，即，因为，所以，所以直线过点．?【解析】根据题意可得，解得，，即可得出答案．写出直线，的方程，分别联立双曲线和圆的方程，求出点，
的坐标，即可得出直线的斜率，进而可得其方程，即可判断直线经过定点．本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要理清思路
，属于中档题．21.【答案】解：因为函数，所以，求，所以，所以曲线在点处的切线方程是，化简得，对比，得，解得，所以；因为，所以不等
式可化为，即在上恒成立；设，，则，因为，设，，则恒成立，所以在上单调递增，又因为，，由零点的存在性定理知，存在唯一的，使，当时，，
即，单调递减；当时，，即，单调递增；所以，由，得，所以，即，所以，即，且，所以，即，解得，所以的取值范围是?【解析】求出函数在点处
的切点坐标和切线斜率，写出切线方程，结合题意求出、的值；把不等式化为在上恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可求出的取值
范围．本题考查了利用导数求函数曲线在某一点处的切线方程问题，也考查了不等式恒成立问题，是难题．22.【答案】解：曲线的参数方程为，
为参数且，令，整理得，解得或舍去，故，即；令，整理得，解得或舍去，故，即．故．由于，，所以，所以直线的方程为；根据，转换为极坐标方程为．?【解析】直接利用参数方程的关系式求出和的坐标，进一步求出的长；利用的结论，进一步求出直线的斜率，再求出直线的方程，最后把直线的方程转换为极坐标方程．本题考查的知识要点：参数方程的应用，直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．23.【答案】证明：由，得，又，，，当且仅当时，不等式等号成立，，即，即，当且仅当时等号成立；，，均为正数，若证，即证，又，，，当且仅当时，不等式等号成立，则，即，当且仅当时，等号成立，．?【解析】由，得，再结合基本不等式即可得证；若证，即证，再结合基本不等式证明．本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查化归与转化思想，是中档题．第1页，共1页 |
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