厦门市2023届高三毕业班第四次质量检测
数 学 试 题
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.全集，能表示集合和关系的Venn图是（ ）
A. B.
C. D.
2.等差数列的前项和为，，则（ ）
A. 9 B. C. 12 D.
3.平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态.已知，，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
4.如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案，其画法是：取正六边形各边的三等分点，，，，，，作第2个正六边形，然后再取正六边形各边的三等分点，、、，，，作第3个正六边形，依此方法，如果这个作图过程可以一直继续下去，由，，...构成如图阴影部分所示的螺旋线型图案，则该螺旋线型图案的面积与正六边形的面积的比值趋近于（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A.0 B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”，对乙说：“你不是最后一名”，从这两个回答分析，5人名次的不同排列情况共有（ ）
A.72种 B.78种 C. 96种 D.102种
7.函数定义域均为，且，.若为偶函数，，则（ ）
A. 10 B. 13 C. 14 D. 39
8.一封闭圆台上、下底面半径分别为1，4，母线长为6.该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.已知函数，则（ ）
A. 曲线关于轴对称 B.曲线关于原点对称
C. 在上单调递减 D. 在上单调递增
10.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则（ ）
A.参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B.从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
C.依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D.假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05
附：，
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
11.在四面体中，，，，同时平行于的平面分别与棱交于四点，则（ ）
A. B.
C.四边形的周长为定值 D.四边形的面积最大值是3
12.抛物线：，是上的点，直线与交于两点，过的焦点作的垂线，垂足为，则（ ）
A.的最小值为1 B. 的最小值为1
C. 为钝角 D.若，直线与的斜率之积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.若，则____________.
14.写出同时满足下列条件的一条直线的方程_______________.
①直线在轴上的截距为；
②直线与双曲线只有一个公共点.
15.已知，将图象向左平移个单位后得到的图象，若与的图象关于轴对称，则_____________.
16.函数，当时，的零点个数为_____________；若恰有4个零点，则的取值范围是______________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，是上一点，为角的平分线，求.
18.（12分）
数列中，，记，是公差为1的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
19.（12分）
如图，在中，，，是的中点，在上，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且二面角的大小为60°.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）
已知分别为椭圆的上顶点和右顶点，，为的左焦点，.
（1）求的方程；
（2）设直线与的另一个交点分别为，.为坐标原点，判断面积是否可能大于1，并说明理由.
21.（12分）
甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：
第一轮
甲VS乙
丙VS丁
第二轮
甲VS丙
乙VS丁
第三轮
甲VS丁
乙VS丙
规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立.
（1）求丁的总分为7分的概率；判断此时丁能否出线，并说明理由；
（2）若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率.
22.（12分）
已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若有三个极值点，，，，且，求的最小值.
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数学参考答案
一、选择题：
1-4：DACB 5-8：ABCA
二、多选题：
9. AD 10. ABD 11. ACD 12. ACD
8. 提示：圆台得高，将圆台补成圆锥，由相似比1：4知轴截面是边长为8的等边三角形，此时该圆锥内切球半径，此时，所以该球半径最大时，对应情形为：与下底面和侧面相切，不与上底面相切，其表面积为.
12. 提示：A.设所以，因为，所以，A正确；
B. 设，所以点轨迹为，设，
设，，又因为
，所以，B错误；
C. 设，又因为，所以，
，所以，又因为
所以为钝角，C正确（或者由）
D. 设，因为，所以，
所以，
所以
所以
所以，又因为，
所以，即，即，D正确.
三、填空题：
13. 0
14.（写出其中一条直线方程）
15.
16. 1；
16.提示：第一空：当时，当时，，解得；
当时，，无零点，
故此时的零点个数是1；
第二空：显然，至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；
①
若恰有2个零点，则，此时恰有两个零点，所以，解得，
此时；
②
若恰有3个零点，则，此时，所以恰有1个零点，符合要求；
③当时，，所以恰有1个零点，
而至少有4个零点，
此时至少有5个零点，不符合要求，舍去.
综上，或.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识：考查运算求解、推理论证能力：考查数形结合、化归与转化思想等。本题满分10分
解：（1）由题意得
所以
即
所以
因为，所以，所以，所以
（2）中，，，
所以，所以，
又因为为角的平分线，
所以
所以.
18. 本题考查数列递推关系、数列通项，数列求和等基础知识；考查运算求解、推理论证能力：考查函数与方程思想、化归与转化思想等。本题满分12分.
解：（1）当时，
所以
所以
当时，
所以
又符合
所以
（2）由（1）得
所以 ①
所以 ②
①-②得
所以.
19. 本题考查直线与平面的位置关系、空间角、空间向量等基础知识：考查空间想象、运算求解、推理论证能力：考查数形结合思想、化归与转化思想等。本题满分12分.
解：（1）依题，所以平面，
则为二面角的平面角，即，
因为，所以为等边三角形，
取中点，连接，，，则，
因为，所以，
又，所以平面，
又平面，
所以；
（2）因为，
所以面，从而
因为，所以，所以，
所以两两垂直，
以为原点，以的方向分别为轴的正方向，
建立空间坐标系，如图所示：
则，
所以，，
设平面的法向量，则
，所以，
令，则平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
则直线与平面所成角的正弦值为.
20. 本题考查椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识：考查运算求解、逻辑思维能力：考查数形结合思想、化归与转化思想等。本题满分12分.
解：（1）依题，，结合
得，所以；
（2）的面积不可能大于1，理由如下：
依题设直线，
设，
由，得，所以，
从而
由，得，所以，
从而，
记面积为，，
则
所以，
所以的面积不可能大于1.
21. 本题考查相互独立事件的概率等基础知识：考查推理论证能力、运算求解能力：考查分类与整合、概率统计等思想。本题满分12分.
解：（1）记第轮比赛丁胜、平、负的事件分别为，每场比赛结果相互独立.
丁总分为7分，则丁三场比赛两胜一平，记丁三轮比赛两胜一平的事件为，
丁总分7分一定出线
理由如下：丁三场比赛中赢两场，这两场丁的对手比分最多6分.
小组赛两队出线，所以丁一定出线.
（2）第一轮比赛，甲胜乙，丙胜丁，又丁总分为6分，则丁对战甲、乙都获胜，此时，乙队总分最多3分，少于丁队总分，
①第二轮中若甲负于丙或平丙时，甲总分最多4分，少于丁队总分，此时甲、乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率
②第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙平乙或负于乙时，丙总分最多4分，此时丙、乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率
③第二轮中若甲胜丙时、第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分，此时由抽签确定出线，三队中有两队出线，每队出线概率为，
丁队出线的概率
综上，丁以6分出线的概率为.
22. 本题考查函数及用导数研究函数的单调性、极值、最值等基础知识：考查运算求解、逻辑思维能力：考查分类与整合、化归与转化等数学思想.本题满分12分.
解：（1）依题意，时，
所以，
记，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，当且仅当取等号，即，
所以变化情况如下：
1
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
所以的极小值为，无极大值.
（2），
①当时，由（1）可知，，当且仅当取等号，
所以当时，，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
所以有三个极值点，舍去.
②当时，
记，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
，
由零点存在性定理知存在唯一，使得，即，
由（1）有，所以当时，有，所以，
取，则，
由零点存在性定理知存在唯一，使得
由以上推理知，且有
当或时，；当时，，
所以变化情况如下：
1
-
0
+
0
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以有三个极值点（其中）
此时，两式相除得①
设，②
由①②可得，所以，
记
则
设，则
所以，从而，
所以在上单调递减，又因为，
即，所以
此时，记，
由（1）有，所以当时有，，所以
所以，在单调递减，
所以，故
此时，记，，
所以，
故的最小值为
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