贵州省届高考数学模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则?U（A∪B）=( )
A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4}
2．已知为虚数单位，复数z=i（2﹣i），则|z|=( )
A． B． C．1 D．3
3．对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
4．下列命题正确的是( )
A．?x0∈R，x02+2x0+3=0
B．?x∈N，x3＞x2
C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件
D．若a＞b，则a2＞b2
5．已知sin2α=，则cos2（）=( )
A． B． C． D．
6．若等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=4，S4=10则数列{}的前2015项和为( )
A． B． C． D．
7．航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )
A．12种 B．16种 C．24种 D．36种
8．如图三棱锥V﹣ABC，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=30°，若侧面VAC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为( )
A．4： B．4： C．： D．：
9．已知函数：f（x）=x2+bx+c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f（x）满足条件：的事件为A，则事件A发生的概率为( )
A． B． C． D．
10．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项式( )
A．﹣20 B．﹣540 C．20 D．540
11．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=( )
A． B． C． D．
12．对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣4）=f（x），且当0≤x≤2时，f（x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f（x）﹣mx=0恰有4个零点，则m的取值范围是( )
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（，） D．（﹣.）∪（，）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．若点（a，25）在函数y=5x的图象上，则tan的值为__________．
14．若正项数列{an}满足a2=，a6=，且=（n≥2，n∈N），则log2a4=__________．
15．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为__________．
16．如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的最大值是__________．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）
17．已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．
（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；
（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．
18．甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A、B、C、D、E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B、C、D、E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可．
（Ⅰ）求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率；
（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列及数学期望．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD
=2，点M在线段PC上，且=λ（0≤λ≤1），N为AD的中点
（1）求证：BC⊥平面PNB
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且二面角M﹣BN﹣D为60°，求λ的值．
20．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的． 如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，
（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；
（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．
21．已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的极值
（2）设g（x）=[xf（x）﹣1]，若对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜﹣2求实数a的取值范围．
四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）
22．AB是⊙O的一条切线，切点为B，过⊙O外一点C作直线CE交⊙O于G，E，连接AE交⊙O于D，连接CD交⊙O于F，连接AC，FG，已知AC=AB
（1）证明：AD?AE=AC2；
（2）证明：FG∥AC．
23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．
（1）求直线l与圆C的公共点个数；
（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．
24．（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数．证明：≥4；
（Ⅱ）若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，求实数k的取值范围．
贵州省届高考数学模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则?U（A∪B）=( )
A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：根据并集的含义先求A∪B，注意2只能写一个，再根据补集的含义求解．
解答： 解：集合A∪B={1，2，4}，则CU（A∪B）={3}，
故选B．
点评：本题考查集合的基本运算，较简单．
2．已知为虚数单位，复数z=i（2﹣i），则|z|=( )
A． B． C．1 D．3
考点：复数求模．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
解答： 解：复数z=i（2﹣i）=2i+1，
则|z|=．
故选：A．
点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
3．对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
考点：直线与圆的位置关系．
专题：探究型．
分析：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=2内，故可得结论．
解答： 解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在
∵（0，1）在圆x2+y2=2内
∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心
故选C．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在．
4．下列命题正确的是( )
A．?x0∈R，x02+2x0+3=0
B．?x∈N，x3＞x2
C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件
D．若a＞b，则a2＞b2
考点：特称命题；充要条件；全称命题．
专题：计算题．
分析：A和B选项按全称命题和特称命题的真假判断来看；C选项看从条件能否推出推结论，再看结论能否推出条件，从而做出最后的判断；D选项看从条件能否推出推结论．
解答： 解：A错，∵方程的根的判别式△=4﹣4×3＜0，此方程没有实数解：
B错，∵当x=1时，x3=x2；
C对，∵x2＞1?（x﹣1）（x﹣1）＞0?x＜﹣1或x＞1
∴x＞1?x2＞1成立，但x2＞1?x＞1不成立，∴x＞1是x2＞1的充分不必要条件；
D错，∵若a＞b，则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）不一定大于0．
故选C．
点评：本题主要考查了命题、条件、特称命题等的有关知识，与其它部分的知识联系密切，所以综合性较强．
5．已知sin2α=，则cos2（）=( )
A． B． C． D．
考点：二倍角的余弦；三角函数的化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：利用二倍角的余弦公式化简后，由诱导公式化简即可求值．
解答： 解：∵sin2α=，
∴cos2（）====．
故选：B．
点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式，诱导公式的应用，属于基本知识的考查．
6．若等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=4，S4=10则数列{}的前2015项和为( )
A． B． C． D．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等差数列通项公式与前n项和公式可得：an=n．再利用“裂项求和”即可得出．
解答： 解：设等差数列{an}的公差为d，∵a4=4，S4=10，
∴a1+3d=4，=10，
解得a1=d=1，
∴an=1+（n﹣1）×1=n．
∴==，
∴数列{}的前n项和Sn=+…+=1﹣=．
∴数列{}的前2015项和=．
故选：B．
点评：本题考查了等差数列通项公式与前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )
A．12种 B．16种 C．24种 D．36种
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：计算题；排列组合．
分析：先考虑甲、乙两机是12、23、34、45位置，再考虑甲、乙两机，位置交换，即可得出结论．
解答： 解：先考虑甲、乙两机，若甲、乙两机是12位置，则其余3架飞机有=6种方法；
甲、乙两机是23位置，则丁有，其余2架飞机有种方法，共有=4种方法；
同理，甲、乙两机是34、45位置，均分别有4种方法，
若乙、甲两机是12位置，则其余3架飞机有=4种方法；
乙、甲两机是23位置，则丁有，其余2架飞机有种方法，共有=4种方法；
同理，乙、甲两机是34位置，有4种方法
乙、甲是45位置，则其余3架飞机有=6种方法
故共有2（6+4+4+4）=36种不同的着舰方法．
故选：D．
点评：本题考查排列、组合知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．如图三棱锥V﹣ABC，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=30°，若侧面VAC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为( )
A．4： B．4： C．： D．：
考点：简单空间图形的三视图．
专题：常规题型；空间位置关系与距离．
分析：主视图为Rt△VAC，左视图为以△VAC中AC的高为一条直角边，△ABC中AC的高为另一条直角边的直角三角形．
解答： 解：主视图为Rt△VAC，左视图为以△VAC中AC的高VD为一条直角边，△ABC中AC的高BE为另一条直角边的直角三角形．
设AC=X，则VA=x，VC=，VD=x，BE=x，
则S主视图：S左视图==4：．
故选：A．
点评：由直观图到三视图，要注意图形的变化和量的转化．属于基础题．
9．已知函数：f（x）=x2+bx+c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f（x）满足条件：的事件为A，则事件A发生的概率为( )
A． B． C． D．
考点：几何概型．
专题：计算题；概率与统计．
分析：根据二次函数解析式，可得事件A对应的不等式为，因此在同一坐标系内作出不等式组和对应的平面区域，分别得到正方形ODEF和四边形OHGF，如图所示．最后算出四边形OHGF与正方形ODEF的面积之比，即可得到事件A发生的概率．
解答： 解：∵f（x）=x2+bx+c，
∴不等式，即，化简得
以b为横坐标、a为纵坐标建立直角坐标系，
将不等式组和对应的平面区域作出，如图所示
不等式组对应图中的正方形ODEF，其中
D（0.4），E（4，4），F（4，0），O为坐标原点，可得S正方形ODEF=4×4=16
不等式组对应图中的四边形OHGF，
可得S四边形OHGF=S正方形ODEF﹣S△DHG﹣S△EFG=16﹣2﹣4=10
∵事件A=，
∴事件A发生的概率为P（A）===
故选：A
点评：本题以二次函数与不等式的运算为载体，求事件A发生的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型计算公式等知识，属于中档题．
10．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项式( )
A．﹣20 B．﹣540 C．20 D．540
考点：二项式定理．
专题：综合题；二项式定理．
分析：首先，根据程序框图的运算结果，得到参数b的值，然后根据二项式展开式，写出通项公式，然后，确定其展开式的常数项．
解答： 解：根据程序框图，得
初始值：a=1，b=1，
第一次循环：b=3，a=2
第二次循环：b=5，a=3，
第三次循环：b=7，a=4
第四次循环：b=9，a=5，
∵a=5＞4，
跳出循环，
输出b=9，
∴二项式（﹣）6的通项：Tr+1=36﹣r（﹣1）r?x3﹣r
令3﹣r=0，得r=3，
∴展开式中的常数项是33??（﹣1）3=﹣540，
故选：B．
点评：本题重点考查了程序框图，二项式定理及其展开式等知识，属于中档题．解题关键是循环结构的程序框图的识图能力．
11．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=( )
A． B． C． D．
考点：抛物线的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．
解答： 解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．
由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，
即①．
设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．
由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）
把M点代入①得：．
解得p=．
故选：D．
点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．
12．对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣4）=f（x），且当0≤x≤2时，f（x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f（x）﹣mx=0恰有4个零点，则m的取值范围是( )
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（，） D．（﹣.）∪（，）
考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．
专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；直线与圆．
分析：由题意可得函数f（x）是周期函数，从而作出函数f（x）与y=mx的图象，再结合图象求出四个临界点所形成的直线的斜率，从而得到答案．
解答： 解：∵f（x﹣4）=f（x），
∴f（x）的周期T=4，
方程f（x）﹣mx=0恰有4个零点可化为
函数f（x）与y=mx有4个不同的交点，
作函数f（x）与y=mx的图象如下，
kOA=﹣，kOB=﹣，kOC=，kOD=，
综合函数的图象可得，
﹣＜m＜﹣，或＜m＜；
故选D．
点评：本题考查了函数的图象的作法及方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了直线的斜率的求法与应用，属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．若点（a，25）在函数y=5x的图象上，则tan的值为．
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：利用指数函数的图象与性质求出a，然后求解三角函数的值即可．
解答： 解：点（a，25）在函数y=5x的图象上，
可得25=5a，解得a=2，
tan=tan=tan=．
故答案为：．
点评：本题考查指数函数的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．
14．若正项数列{an}满足a2=，a6=，且=（n≥2，n∈N），则log2a4=﹣3．
考点：等比关系的确定．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据数列的递推关系得到数列{an}为等比数列，结合等比数列的性质求出a4的值即可．
解答： 解：∵=（n≥2，n∈N），
∴数列{an}为等比数列，
∵a2=，a6=，
∴a42=a2a6=×=，
则a4=，
则log2a4=log2=﹣3，
故答案为：﹣3．
点评：本题主要考查等比数列的通项公式的应用，根据条件判断数列是等比数列是解决本题的关键．
15．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为36π．
考点：球的体积和表面积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式解之即可．
解答： 解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则
在直角三角形ABC中，AC=×AB=6，
∴AO=CO=3，
在直角三角形PAO中，PO===3，
∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，
∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=3，
球的表面积S=4πr2=36π
故答案为：36π
点评：本题主要考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．
16．如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的最大值是6．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意可得 =+．由 ME⊥MF，可得=0，从而 =．
求得 =6cos＜，＞，从而求得的最大值．
解答： 解：由题意可得=，∴==+．
∵ME⊥MF，∴=0，∴=．
由题意可得，圆M的半径为2，故正方形ABCD的边长为2，故ME=，
再由OM=3，可得 =?3?cos＜，＞=6cos＜，＞，
即=6cos＜，＞，故 的最大值是大为6，
故答案为 6．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，
属于中档题．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）
17．已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．
（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；
（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）由题意可得 a=c﹣4、b=c﹣2．又因，，可得 ，恒等变形得 c2﹣9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sinθ，．△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=．再由，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．
解答： 解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．
又∵，，
∴，∴，
恒等变形得 c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．
又∵c＞4，∴c=7．…
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 ，
∴，AC=2sinθ，．
∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=
==，…
又∵，∴，
∴当，即时，f（θ）取得最大值． …
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
18．甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A、B、C、D、E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B、C、D、E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可．
（Ⅰ）求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率；
（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）由已知条件分别求出甲同学选中E高校的概率和乙、两同学选取中E高校的概率，由此能求出甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率．
（Ⅱ）由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3，分另求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和EX．
解答： 解：（Ⅰ）由题意知：甲同学选中E高校的概率为，
乙、两同学选取中E高校的概率为p乙=p丙==，
∴甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率为：
P（1﹣p甲）?p乙?p丙=（1﹣）??=．
（Ⅱ）由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3，
P（X=0）=p甲?p乙?p丙==，
P（X=1）=（1﹣p甲）?p乙?p丙+p甲?（1﹣p乙）?p丙+p甲?p乙?（1﹣p丙）
=++=，
P（X=2）=（1﹣p甲）?（1﹣p乙）?p丙+（1﹣p甲）?p乙?（1﹣p丙）+p甲?（1﹣p乙）?（1﹣p丙）
=++=，
P（X=3）=（1﹣p甲）?（1﹣p乙）?（1﹣p丙）==，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴EX=0×+1×+2×+3×=．
点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD
=2，点M在线段PC上，且=λ（0≤λ≤1），N为AD的中点
（1）求证：BC⊥平面PNB
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且二面角M﹣BN﹣D为60°，求λ的值．
考点：用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）由已知得PN⊥AD，△ABD为等边三角形，BN⊥AD，从而AD⊥平面PNB，由AD∥BC，能证明BC⊥平面PNB．
（2）分别以NA，NB，NP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BMN的一个法向量和平面BCD的一个法向量，由此结合已知条件利用向量法能求出λ的值．
解答： 解：（1）证明：∵PA=AD，N为AD的中点，
∴PN⊥AD，
又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
又∴N为AD的中点，
∴BN⊥AD，又PN∩BN=N，
∴AD⊥平面PNB，
∵AD∥BC，∴BC⊥平面PNB．
（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，
如图，分别以NA，NB，NP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，，0），
C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），
设M（x，y，z），则=（x，y，z﹣），=（﹣2﹣x，，﹣z），
∴=（﹣2λ，，﹣λz），
由（0≤λ≤1），得，
解得，y=，z=，
∴M（，，），
∴=（，﹣，），=（0，，0），
设=（x，y，z）是平面BMN的一个法向量，
则，
取z=，得=（，0，），
又平面BCD的一个法向量为=（0，0，），
∵二面角M﹣BN﹣D为60°，
∴cos＜＞===cos60°，
解得．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，是中档题．
20．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的． 如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，
（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；
（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c''，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；
解答： 解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c''．由已知a=2，b=m，．
∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，
∴，即
∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，
∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；
（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．
联立：，得，即，
∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，∴，
△F2MN的高即为点F2到直线的距离．
∴△F2MN的面积，
∵，等号成立当且仅当，即时，
∴，即△F2MN的面积的最大值为．
点评：本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式求函数的最值，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力．
21．已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的极值
（2）设g（x）=[xf（x）﹣1]，若对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜﹣2求实数a的取值范围．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得原函数的极值；
（2）由题意可知，a≠0，且，又x∈（0，1），得到．然后分a＜0和a＞0讨论当a＞0时，构造函数，问题转化为hmax（x）＜0．然后根据a的范围利用导数分析其最大值是否小于0得答案．
解答： 解：（1）由f（x）=，得，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故f（x）在x=1处取得极大值，极大值为f（1）=；
（2）由题意可知，a≠0，且，
∵x∈（0，1），∴．
当a＜0时，g（x）＞0，不合题意；
当a＞0时，由g（x）＜﹣2，可得恒成立．
设，则hmax（x）＜0．
求导得：．
设t（x）=x2+（2﹣4a）x+1，△=（2﹣4a）2﹣4=16a（a﹣1）．
①当0＜a≤1时，△≤0，此时t（x）≥0，h′（x）≥0，∴h（x）在（0，1）内单调递增，
又h（1）=0，∴h（x）＜h（1）=0，此时0＜a≤1符合条件；
②当a＞1时，△＞0，注意到t（0）=1＞0，t（1）=4（1﹣a）＜0，
∴存在x0∈（0，1），使得t（x0）=0，于是对任意x∈（x0，1），t（x）＜0，h′（x）＜0，
则h（x）在（x0，1）内单调递减，又h（1）=0，∴当x∈（x0，1）时，h（x）＞0，不合要求．
综①②可得0＜a≤1．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求解函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是对a＞1时的分析，要求考生有敏锐的洞察力．
四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】
22．AB是⊙O的一条切线，切点为B，过⊙O外一点C作直线CE交⊙O于G，E，连接AE交⊙O于D，连接CD交⊙O于F，连接AC，FG，已知AC=AB
（1）证明：AD?AE=AC2；
（2）证明：FG∥AC．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：直线与圆．
分析：（1）由切割线定理得AB2=AD?AE，由此能证明AC2=AD?AE．
（2）由，∠EAC=∠DAC，得△ADC∽△ACE，从而得到∠EGF=∠ACE，由此能证明GF∥AC．
解答： 证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，AE为割线，
∴AB2=AD?AE，
又∵AB=AC，
∴AC2=AD?AE．
（2）由（1）得，
∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，
∴∠ADC=∠ACE，
∵∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴GF∥AC．
点评：本题考查AD?AE=AC2的证明，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理和相似三角形的性质的合理运用．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．
（1）求直线l与圆C的公共点个数；
（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．
考点：参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（Ⅰ）把直线l的参数方程、圆C的极坐标方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离d与圆半径r的关系，判定直线l与圆C的公共点个数；
（Ⅱ）由圆C的参数方程求出曲线C′的参数方程，代入4x2+xy+y2中，求出4x2+xy+y2取得最大值时对应的M点的坐标．
解答： 解：（Ⅰ）直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y﹣=0，
圆C的极坐标方程ρ=1化为普通方程是x2+y2=1；
∵圆心（0，0）到直线l的距离为d==1，等于圆的半径r，
∴直线l与圆C的公共点的个数是1；
（Ⅱ）圆C的参数方程是，（0≤θ＜2π）；
∴曲线C′的参数方程是，（0≤θ＜2π）；
∴4x2+xy+y2=4cos2θ+cosθ?2sinθ+4sin2θ=4+sin2θ；
当θ=或θ=时，4x2+xy+y2取得最大值5，
此时M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．
点评：本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时可以把参数方程、极坐标方程化为普通方程，以便正确解答问题，是基础题．
【选修4-5：不等式选讲】
24．（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数．证明：≥4；
（Ⅱ）若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，求实数k的取值范围．
考点：函数恒成立问题．
专题：函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）利用双绝对值不等式的性质|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|=4|a|即可证得结论成立；
（Ⅱ）构造函数h（x）=|2x+1|﹣|x+1|=，作出y=h（x）与过定点（1，﹣）的直线y=k（x﹣1）﹣的图象，数形结合即可求得实数k的取值范围．
解答： 证明：（Ⅰ）|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|=4|a|
∴．
（Ⅱ）记h（x）=|2x+1|﹣|x+1|=
若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，
则函数h（x）的图象在直线y=k（x﹣1）﹣的上方，
∵y=k（x﹣1）﹣经过定点（1，﹣），当x=﹣时，y=h（x）取得最小值﹣，
显然，当y=k（x﹣1）﹣经过定点P（1，﹣）与M（﹣，﹣）时，kPM==，即k＞；
当y=k（x﹣1）﹣经过定点P（1，﹣）与直线y=x平行时，k得到最大值1，
∴．
点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查绝对值不等式的性质，突出构造函数思想与数形结合思想的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
|
|
