贵州省届高考数学模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则?U（A∪B）=( )
A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4}
2．已知为虚数单位，复数z=i（2﹣i），则|z|=( )
A． B． C．1 D．3
3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( )
A． B．y=e﹣x C．y=lg|x| D．y=﹣x2+1
4．下列命题正确的是( )
A．?x0∈R，x02+2x0+3=0
B．?x∈N，x3＞x2
C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件
D．若a＞b，则a2＞b2
5．对任意实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心
6．已知sin2α=，则cos2（）=( )
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图，则输出的b=( )
A．7 B．9 C．11 D．13
8．如图三棱锥V﹣ABC，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=30°，若侧面VAC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为( )
A．4： B．4： C．： D．：
9．在等比数例{an}中，2a4，a6，48成等差数列，且a3?a5=64，则{an}的前8项和为( )
A．255 B．85 C．255或﹣85 D．255或85
10．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y﹣ax去的最大值时的唯一最优解为（1，3），则实数a的取值范围为( )
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（0，1） D．（﹣∞，﹣1）
11．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=( )
A． B． C． D．
12．定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（x）=f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，则当2＜m＜4时，有( )
A．f（2）＞f（2m）＞f（log2m） B．f（log2m）＞f（2m）＞f（2）
C．f（2m）＞f（log2m）＞f（2） D．f（2m）＞＞f（2）＞f（log2m）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知向量，夹角为45°，且||=1，||=3，则|2﹣|=__________．
14．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8﹣S3=20，则S11的值为__________．
15．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为__________．
16．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴是直径为0.2cm的球）正好落人孔中的概率是__________．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）
17．若向量=（sinωx，cosωx），b=（cosωx，cosωx），ω＞0，x∈R，f（x）=a?b﹣，且f（x）的周期是π，设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若c=，f（C）=，sinB=3sinA，求a，b的值．
18．某校研究性学习小组，为了分析2014年某小国的宏观经济形势，查阅了有关材料，得到了2013年和2014年1～5月CPI同比（即当年某月与前一年同月相比）的增长数据（见下表），但2014年3，4，5个月数据（分别为x，y，z）没有查到，有的同学清楚的记得2014年的5个CPI数据成等差数列
（Ⅰ）求x，y，z的值和2014年1～5月该国CPI数据的方差
（Ⅱ）一般认为，某月的CPI数据达到或超过3个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过5个百分点为严重通货膨胀，先随机从2013年5个月和2014年5个月的数据中各抽取一个数据，求抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的概率．
该国2013年和2014年1～5月份的CPI数据（单位：百分点，1个百分点=1%）
年份 一月 二月 三月 四月 五月
2013 2.7 2.4 2.8 3.1 3.9
2014 4.9 5.0 x y z
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PNB；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．
20．已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．
21．已知函数f（x）=﹣lnx，x∈[1，3]
（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值
（Ⅱ）若任意x∈[1，3]，t∈[0，2]，有f（x）＜4﹣at恒成立，求实数a的取值范围．
四、选修4-1：几何证明选讲
22．AB是⊙O的一条切线，切点为B，过⊙O外一点C作直线CE交⊙O于G，E，连接AE交⊙O于D，连接CD交⊙O于F，连接AC，FG，已知AC=AB
（1）证明：AD?AE=AC2；
（2）证明：FG∥AC．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．
（1）求直线l与圆C的公共点个数；
（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．
六、选修4-5：不等式选讲
24．（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数．证明：≥4；
（Ⅱ）若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，求实数k的取值范围．
贵州省届高考数学模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则?U（A∪B）=( )
A．{2} B．{3} C．{1，2，4} D．{1，4}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：根据并集的含义先求A∪B，注意2只能写一个，再根据补集的含义求解．
解答： 解：集合A∪B={1，2，4}，则CU（A∪B）={3}，
故选B．
点评：本题考查集合的基本运算，较简单．
2．已知为虚数单位，复数z=i（2﹣i），则|z|=( )
A． B． C．1 D．3
考点：复数求模．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
解答： 解：复数z=i（2﹣i）=2i+1，
则|z|=．
故选：A．
点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( )
A． B．y=e﹣x C．y=lg|x| D．y=﹣x2+1
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．
解答： 解：A中，y=为奇函数，故排除A；
B中，y=e﹣x为非奇非偶函数，故排除B；
C中，y=lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，
所以y=lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C；
D中，y=﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，
故选D．
点评：本题考查函数的奇偶i性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，熟记基本函数的有关性质可简化问题的解决．
4．下列命题正确的是( )
A．?x0∈R，x02+2x0+3=0
B．?x∈N，x3＞x2
C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件
D．若a＞b，则a2＞b2
考点：特称命题；充要条件；全称命题．
专题：计算题．
分析：A和B选项按全称命题和特称命题的真假判断来看；C选项看从条件能否推出推结论，再看结论能否推出条件，从而做出最后的判断；D选项看从条件能否推出推结论．
解答： 解：A错，∵方程的根的判别式△=4﹣4×3＜0，此方程没有实数解：
B错，∵当x=1时，x3=x2；
C对，∵x2＞1?（x﹣1）（x﹣1）＞0?x＜﹣1或x＞1
∴x＞1?x2＞1成立，但x2＞1?x＞1不成立，∴x＞1是x2＞1的充分不必要条件；
D错，∵若a＞b，则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）不一定大于0．
故选C．
点评：本题主要考查了命题、条件、特称命题等的有关知识，与其它部分的知识联系密切，所以综合性较强．
5．对任意实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心
考点：直线与圆的位置关系．
专题：计算题；直线与圆．
分析：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=4内，故可得结论
解答： 解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在
∵（0，1）在圆x2+y2=4内
∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是相交但直线不过圆心．
故选：C．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在．
6．已知sin2α=，则cos2（）=( )
A． B． C． D．
考点：二倍角的余弦；三角函数的化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：利用二倍角的余弦公式化简后，由诱导公式化简即可求值．
解答： 解：∵sin2α=，
∴cos2（）====．
故选：B．
点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式，诱导公式的应用，属于基本知识的考查．
7．执行如图所示的程序框图，则输出的b=( )
A．7 B．9 C．11 D．13
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=5时，不满足条件a≤4，退出循环，输出b的值为9．
解答： 解：模拟执行程序框图，可得
a=1，b=1
满足条件a≤4，b=3，a=2
满足条件a≤4，b=5，a=3
满足条件a≤4，b=7，a=4
满足条件a≤4，b=9，a=5
不满足条件a≤4，退出循环，输出b的值为9．
故选：B．
点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
8．如图三棱锥V﹣ABC，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=30°，若侧面VAC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为( )
A．4： B．4： C．： D．：
考点：简单空间图形的三视图．
专题：常规题型；空间位置关系与距离．
分析：主视图为Rt△VAC，左视图为以△VAC中AC的高为一条直角边，△ABC中AC的高为另一条直角边的直角三角形．
解答： 解：主视图为Rt△VAC，左视图为以△VAC中AC的高VD为一条直角边，△ABC中AC的高BE为另一条直角边的直角三角形．
设AC=X，则VA=x，VC=，VD=x，BE=x，
则S主视图：S左视图==4：．
故选：A．
点评：由直观图到三视图，要注意图形的变化和量的转化．属于基础题．
9．在等比数例{an}中，2a4，a6，48成等差数列，且a3?a5=64，则{an}的前8项和为( )
A．255 B．85 C．255或﹣85 D．255或85
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等比数列的性质求出a4，然后求出a6，求出公比，即可求解{an}的前8项和．
解答： 解：在等比数例{an}中，a3?a5=64，可得a42=64，解得a4=±8．
当a4=8时，2a4，a6，48成等差数列，即16，a6，48成等差数列，可得a6=32．
q2==4，解得q=±2，q=2时解得a1==1，q=﹣2时，q=﹣1
q=2，a1=1时，S8===255．
q=﹣2时解得a1=﹣1，S8===85．
当a4=﹣8时，2a4，a6，48成等差数列，即﹣16，a6，48成等差数列，可得a6=16．
q2=无解．
故选：D．
点评：本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，考查计算能力．
10．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y﹣ax去的最大值时的唯一最优解为（1，3），则实数a的取值范围为( )
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（0，1） D．（﹣∞，﹣1）
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由目标函数z=y﹣ax取得最大值时的唯一最优解为（1，3）可得a的取值范围．
解答： 解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=y﹣ax为y=ax+z，
联立，解得A（1，3），
∵使目标函数z=y﹣ax取得最大值时的唯一最优解为（1，3），
由图可知a＞1，
∴实数a的取值范围为（1，+∞）．
故选：A．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
11．已知抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=( )
A． B． C． D．
考点：抛物线的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．
解答： 解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．
由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，
即①．
设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．
由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）
把M点代入①得：．
解得p=．
故选：D．
点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．
12．定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（x）=f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，则当2＜m＜4时，有( )
A．f（2）＞f（2m）＞f（log2m） B．f（log2m）＞f（2m）＞f（2）
C．f（2m）＞f（log2m）＞f（2） D．f（2m）＞＞f（2）＞f（log2m）
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：先根据条件求出函数的对称轴，再求出函数的单调区间，然后判定2、log2m、2m的大小关系，根据单调性比较f（2）、f（log2m）、f（2m）的大小即可．
解答： 解：∵函数f（x）对任意x都有f（x）=f（4﹣x），
∴函数f（x）的对称轴为x=2
∵导函数f′（x）满足 （x﹣2）f′（x）＞0，∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，（﹣∞，2）上单调递减
∵2＜m＜4
∴2＜log2m＜2m
∴f（2m）＞f（log2m）＞f（2）．
故选：C．
点评：本题主要考查了导数的运算，以及奇偶函数图象的对称性和比较大小，同时考查了数形结合的思想，该题有一定的思维量，是中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知向量，夹角为45°，且||=1，||=3，则|2﹣|=．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据平面向量的数量积运算，求出模长即可．
解答： 解：根据题意，得；
|2﹣|=
=
=
=．
故答案为：．
点评：本题考查了平面向量的数量积的应用问题，应用平面向量的数量积求出向量的模长，是计算题．
14．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8﹣S3=20，则S11的值为44．
考点：等差数列的前n项和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由于S8﹣S3=a4+a5+a6+a7+a8，结合等差数列的性质a4+a8=a5+a7=2a6可求a6，由等差数列的求和公式，S11=，即可求解．
解答： 解：∵S8﹣S3=a4+a5+a6+a7+a8=20
由等差数列的性质可得，5a6=20
∴a6=4
由等差数列的求和公式可得s11==11a6=44
故答案为：44．
点评：本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．
15．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为36π．
考点：球的体积和表面积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式解之即可．
解答： 解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则
在直角三角形ABC中，AC=×AB=6，
∴AO=CO=3，
在直角三角形PAO中，PO===3，
∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，
∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=3，
球的表面积S=4πr2=36π
故答案为：36π
点评：本题主要考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．
16．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴是直径为0.2cm的球）正好落人孔中的概率是．
考点：几何概型．
专题：计算题；概率与统计．
分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．
解答： 解：∵铜钱的面积S=π?（2﹣0.1）2，能够滴入油的图形为边长为1﹣2×=的正方形，面积，∴P=，
故答案为：
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）
17．若向量=（sinωx，cosωx），b=（cosωx，cosωx），ω＞0，x∈R，f（x）=a?b﹣，且f（x）的周期是π，设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若c=，f（C）=，sinB=3sinA，求a，b的值．
考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的图像与性质；解三角形．
分析：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+），由T===π即可解得ω．
（Ⅱ）由f（C）=sin（2C+）=，可得C=，由余弦定理可得a2+b2﹣ab=7①，由已知及正弦定理可得：b=3a②，联立即可解得a，b的值．
解答： 解：（Ⅰ）f（x）=a?b﹣=sinωxcosωx+cos2ωx﹣
=sin2ωx+cos2ωx
=sin（2ωx+）
由T===π
解得：ω=1
（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C+）=，
∴2C+=（舍去）或2C+=，
∴C=
由余弦定理可得：7=a2+b2﹣2abcos
即有：a2+b2﹣ab=7①
∵sinB=3sinA
∴由正弦定理可得：b=3a②
由①②即可解得：a=1，b=3
点评：此题考查了正弦定理、余弦定理，平面向量数量积的运算以及特殊角的三角函数值的应用，考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，熟练掌握公式及相关定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．
18．某校研究性学习小组，为了分析2014年某小国的宏观经济形势，查阅了有关材料，得到了2013年和2014年1～5月CPI同比（即当年某月与前一年同月相比）的增长数据（见下表），但2014年3，4，5个月数据（分别为x，y，z）没有查到，有的同学清楚的记得2014年的5个CPI数据成等差数列
（Ⅰ）求x，y，z的值和2014年1～5月该国CPI数据的方差
（Ⅱ）一般认为，某月的CPI数据达到或超过3个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过5个百分点为严重通货膨胀，先随机从2013年5个月和2014年5个月的数据中各抽取一个数据，求抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的概率．
该国2013年和2014年1～5月份的CPI数据（单位：百分点，1个百分点=1%）
年份 一月 二月 三月 四月 五月
2013 2.7 2.4 2.8 3.1 3.9
2014 4.9 5.0 x y z
考点：古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．
专题：概率与统计．
分析：由公差d=5﹣4.9=0.1，能求出x=5.1，y=5.2，z=5.3，从而能求出2014年1～5月该国CPI数据的平均值，进而能求出2014年1～5月该国CPI数据的方差．
（2）先随机从2013年5个月和2014年5个月的数据中各抽取一个数据，基本事件总数n=5×5=25，抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀，包含的基本事件个数m=2，由此能求出抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的概率．
解答： 解：（1）∵2014年的5个CPI数据4.9，5.0，x，y，z成等差数列
∴公差d=5﹣4.9=0.1，
∴x=5.1，y=5.2，z=5.3，
∴2014年1～5月该国CPI数据的平均值为：
==5.1，
S2=[（4.9﹣5.1）2+（5.0﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.2﹣5.1）2+（5.3﹣5.1）2]=0.02．
（2）先随机从2013年5个月和2014年5个月的数据中各抽取一个数据，
基本事件总数n=5×5=25，
抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀，包含的基本事件个数m=2，
∴抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的概率P==．
点评：本题考相数据的方差和概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PNB；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）先证明PN⊥AD，再证明BN⊥AD，即有AD⊥平面PNB，又AD∥BC，从而可证BC⊥平面PNB．
（Ⅱ）可证PN⊥平面ABCD，PN⊥NB，由PA=PD=AD=2，可得PN=NA=，S△PNB=，又BC⊥平面PNB，PM=2MC，即可由VP﹣NBM=VM﹣PNB=VC﹣PNB可得三菱锥P﹣NBM的体积．
解答： 证明：（Ⅰ）∵PA=AD，N为AD的中点，
∴PN⊥AD，
又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，又因为N为AD的中点，
∴BN⊥AD，又PN∩BN=N
∴AD⊥平面PNB，
∵AD∥BC
∴BC⊥平面PNB…6分
（Ⅱ）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD
∴PN⊥平面ABCD，
∴PN⊥NB，
∵PA=PD=AD=2，
∴PN=NA=，
∴S△PNB=
又BC⊥平面PNB，PM=2MC，
∴VP﹣NBM=VM﹣PNB=VC﹣PNB==…12分
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，三菱锥体积的求法，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．
20．已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（Ⅰ）运用椭圆的定义可得a=2，又c=1，再由a，b，c的关系，解得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，运用判别式为0，讨论k≠0，k=0，运用直角梯形面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．
解答： 解：（Ⅰ）由椭圆定义可得2a=|PF1|+|PF2|=4．即a=2，
又c=1，b==，
则椭圆方程为+y2=1；
（Ⅱ）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，
得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．
由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，
化简得：m2=4k2+3．
设d1=|F1M|=，d2=|F2N|=，
当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，
则|d1﹣d2|=|MN|?|tanθ|
∴|MN|=||，S=||（d1+d2）=||===，
∵m2=4k2+3，∴当k≠0时，|m|＞，|m|+＞+，S＜2．
当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，S=2．
所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．
点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查化归与转化思想．
21．已知函数f（x）=﹣lnx，x∈[1，3]
（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值
（Ⅱ）若任意x∈[1，3]，t∈[0，2]，有f（x）＜4﹣at恒成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：（1）只需要求出函数在该区间上的极值、端点值，然后即可比较得到函数的最值；
（2）问题转化为f（x）max＜（4﹣at）min即可，然后借助于导数先研究函数的单调性研究最．
解答： 解：（1）因为函数，
所以，令f′（x）=0得x=±2．
因为x∈[1，3]，所以当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，当x∈[2，3]时，f′（x）＞0．
故f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增．
所以．
又f（1）=，且f（1）﹣f（3）=ln3﹣1＞0．
所以f（1）＞f（3）．所以x=1时，f（x）max=，f（x）min=f（2）=．
（2）由（1）知当x∈[1，3]时，，
故对任意x∈[1，3]，t∈[0，2]，有f（x）＜4﹣at恒成立，
只需对于t∈[0，2]，有＜4﹣at恒成立，即恒成立．
令g（t）=at，t∈[0，2]．
所以，解得．
所以实数a的取值范围是．
点评：本题考查了利用导数研究函数在连续的闭区间上的最值问题以及不等式恒成立问题的基本思路，属于常规题，难度不大．
四、选修4-1：几何证明选讲
22．AB是⊙O的一条切线，切点为B，过⊙O外一点C作直线CE交⊙O于G，E，连接AE交⊙O于D，连接CD交⊙O于F，连接AC，FG，已知AC=AB
（1）证明：AD?AE=AC2；
（2）证明：FG∥AC．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：直线与圆．
分析：（1）由切割线定理得AB2=AD?AE，由此能证明AC2=AD?AE．
（2）由，∠EAC=∠DAC，得△ADC∽△ACE，从而得到∠EGF=∠ACE，由此能证明GF∥AC．
解答： 证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，AE为割线，
∴AB2=AD?AE，
又∵AB=AC，
∴AC2=AD?AE．
（2）由（1）得，
∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，
∴∠ADC=∠ACE，
∵∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴GF∥AC．
点评：本题考查AD?AE=AC2的证明，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理和相似三角形的性质的合理运用．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．
（1）求直线l与圆C的公共点个数；
（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．
考点：参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（Ⅰ）把直线l的参数方程、圆C的极坐标方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离d与圆半径r的关系，判定直线l与圆C的公共点个数；
（Ⅱ）由圆C的参数方程求出曲线C′的参数方程，代入4x2+xy+y2中，求出4x2+xy+y2取得最大值时对应的M点的坐标．
解答： 解：（Ⅰ）直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y﹣=0，
圆C的极坐标方程ρ=1化为普通方程是x2+y2=1；
∵圆心（0，0）到直线l的距离为d==1，等于圆的半径r，
∴直线l与圆C的公共点的个数是1；
（Ⅱ）圆C的参数方程是，（0≤θ＜2π）；
∴曲线C′的参数方程是，（0≤θ＜2π）；
∴4x2+xy+y2=4cos2θ+cosθ?2sinθ+4sin2θ=4+sin2θ；
当θ=或θ=时，4x2+xy+y2取得最大值5，
此时M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．
点评：本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时可以把参数方程、极坐标方程化为普通方程，以便正确解答问题，是基础题．
六、选修4-5：不等式选讲
24．（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数．证明：≥4；
（Ⅱ）若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，求实数k的取值范围．
考点：函数恒成立问题．
专题：函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）利用双绝对值不等式的性质|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|=4|a|即可证得结论成立；
（Ⅱ）构造函数h（x）=|2x+1|﹣|x+1|=，作出y=h（x）与过定点（1，﹣）的直线y=k（x﹣1）﹣的图象，数形结合即可求得实数k的取值范围．
解答： 证明：（Ⅰ）|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|=4|a|
∴．
（Ⅱ）记h（x）=|2x+1|﹣|x+1|=
若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，
则函数h（x）的图象在直线y=k（x﹣1）﹣的上方，
∵y=k（x﹣1）﹣经过定点（1，﹣），当x=﹣时，y=h（x）取得最小值﹣，
显然，当y=k（x﹣1）﹣经过定点P（1，﹣）与M（﹣，﹣）时，kPM==，即k＞；
当y=k（x﹣1）﹣经过定点P（1，﹣）与直线y=x平行时，k得到最大值1，
∴．
点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查绝对值不等式的性质，突出构造函数思想与数形结合思想的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
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