2021年山东省潍坊市中考数学真题及答案
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题四个选项只有一项正确．）
1. 下列各数的相反数中，最大的是（ ）
A. 2 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣2
【答案】D
2. 如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
【答案】B
3. 第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将101 527 000用科学记数法（精确到十万位）（ ）
A 1.02×108 B. 0.102×109 C. 1.015×108 D. 0.1015×109
【答案】C
4. 若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A. B. 4 C. 25 D. 5
【答案】A
5. 如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不存在
【答案】C
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
7. 如图为2021年第一季度中国工程机械出口额TOP10国家的相关数据（同比增速是指相对于2020年第一季度出口额的增长率），下列说法正确的是（ ）
A. 对10个国家出口额的中位数是26201万美元
B. 对印度尼西亚的出口额比去年同期减少
C. 去年同期对日本的出口额小于对俄罗斯联邦的出口额
D. 出口额同比增速中，对美国的增速最快
【答案】A
8. 记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min|x1，x2，…，xn|＝﹣1，则函数y＝min|2x﹣1，x，4﹣x|的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
二、多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分．每小题四个选项有多项正确，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的即得0分．）
9. 下列运算正确的是 ．
A. B. C. D.
【答案】A
10. 如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象上的动点，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值可能为_______．
A. 3 B. C. 5 D.
【答案】BD
11. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B，BO为半径作圆孤分别交⊙O于C，D两点，DO并延长分交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，FA，AE，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，交于点G，则下列结论错误的是 ．
A. △AOE的内心与外心都是点G B. ∠FGA＝∠FOA
C. 点G是线段EF的三等分点 D. EF＝AF
【答案】D
12. 在直角坐标系中,若三点A（1,﹣2）,B（2,﹣2）,C（2,0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a,b均为常数）的图象上,则下列结论正确是（ ）．
A. 抛物线的对称轴是直线
B. 抛物线与x轴的交点坐标是（﹣,0）和（2,0）
C. 当t＞时,关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D. 若P（m,n）和Q（m+4,h）都是抛物线上的点且n＜0,则 ．
【答案】ACD
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只填写最后结果．）
13. 甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，1）；
乙：y随x的增大而减小；
丙：函数的图象不经过第三象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 _______．
【答案】y=-x+1（答案不唯一）．
14. 若x＜2，且，则x＝_______．
【答案】1
15. 在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 _______．
【答案】2022
16. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点与（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝_______．（结果用a，b表示）
【答案】a
四、解答题（共7小题，共68分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：（x，y）是函数y＝2x与的图象的交点坐标．
【答案】
解：（1）原式=1+9+（1-×18）
=1+9-1=9；
（2）由已知可得：
，
解之可得：或，
∵原式=
=
=y-x，
∴当时，原式=2-1=1；
当时，原式=-2-（-1）=-1；
∴原式的值为1或-1．
18. 如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度．（结果用v表示．参考数据：≈1.4，≈1.7）
【答案】
解：过点C作CD⊥AM，垂足为D， 由题意得，∠CAD=75°-45°=30°，∠CBD=75°-30°=45°， 设CD=a，则BD=a，BC=a，AC=2CD=2a， ∵两船同时到达C处海岛， ∴t甲=t乙， 即， ∴， ∴V甲=≈1.4v．
19. 从甲、乙两班各随机抽取10名学生（共20人）参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的5组（满分为100分）：A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．
（1）根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩（取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩）；
（2）参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试；用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；
（3）若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：
甲班：62，64，66，76，76，77，82，83，83，91；
乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100．
则可计算得两班学生的样本平均成绩为x甲＝76，x乙＝76；样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4．请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．
【答案】
解：（1）D组人数为：20×25%＝5（人），C组人数为：20﹣（2+4+5+3）＝6（人），
补充完整频数分布直方图如下：
估算参加测试的学生的平均成绩为：76.5（分）；
（2）把4个不同的考场分别记为：1、2、3、4，
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，
∴小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率为；
（3）∵样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4，
∴s甲2＜s乙2，
∴甲班的成绩稳定，
∴甲班的数学素养总体水平好．
20. 某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年度纯收入（万元） 1.5 2.5 4.5 7.5 11.3 若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，15），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示（m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求.
【答案】
解：（1）不能选用函数（m＞0）进行模拟，理由如下：
∵1×1.5=1.5，2×2.5=5，…
∴1.5≠5
∴不能选用函数（m＞0）进行模拟；
（2）选用y=ax2-0.5x+c（a>0），理由如下：
由（1）可知不能选用函数（m＞0），由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知x每增大1个单位，y的变化不均匀，则不能选用函数y=x+b（k>0），
故只能选用函数y=ax2-0.5x+c（a>0）进行模拟；
（3）由点（1，1.5），（2，2.5）在y=ax2-0.5x+c（a>0）上
则 ，解得：
∴y=0.5x2-0.5x+1.5
当x=6时，y=0.5×36-0.5×6+1.5=16.5，
∵16.5 > 16，
∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
21. 如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，作DH⊥AB，交半圆、BC于点E，F，连接OC，∠ABC=θ，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，B重合时，求证：AC=BC；
（2）当θ＜45°时，求证：BH?AH＝DH?FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．
【答案】
（1）如图，当点H，B重合时，∵DH⊥AB
∴△ADB是直角三角形，
∵AC＝CD，
∴BC是△ADB的中线
∴BC=
∴AC=BC
（2）当θ＜45°时，DH交半圆、BC于点E，F，
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵DH⊥AB
∴∠B+∠A=∠A+∠D=90°
∴∠B=∠D
∵∠BHF=∠DHA=90°
∴△BFH∽△DAH，
∴
∴BH?AH＝DH?FH；
（3）∵∠ABC=θ=45°
∴∠AOC=2∠ABC=90°
∵直径AB＝8，
∴半径OA=4，
设扇形OAC卷成圆锥的底面半径为r
∴
解得r=1
∴圆锥的高为．
22. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线顶点为M（2，﹣），抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，），点C（-2，）
（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（2）顺次连接AB，BC，CO，求四边形AOCB的面积；
（3）设点P是抛物线上AC间的动点，连接PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化；当S的值为2时，求点P的横坐标的值．
【答案】
（1）∵抛物线顶点为M（2，﹣），
可设抛物线为y=a（x-2）2-
代入A（4，0）得0=a（4-2）2-
解得a=
∴抛物线为y=（x-2）2-=x2-x
当x=-2时，y=×（-2）2-×（-2）=
∴点C（-2，）在抛物线上；
（2）如图，连接AB，BC，CO，
∵B（2，），C（-2，）
∴BCAO，BC=2-(-2)=4=OA
∴BC=AO
∴四边形AOCB是平行四边形
∴四边形AOCB的面积为4×=
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b
把A（4，0），C（-2，）代入得
解得
∴直线AC的解析式为y=x+
过P点作y轴的平行线交AC于Q点，
设P（x，x2-x），则Q（x，x+）
∵△PAC的面积S=
∴
解得x1=-+1，x2=+1
∴点P的横坐标为-+1或+1．
23. 如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．
（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE最小值为 ；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
【答案】
解：（1）证明：∵∠DBF=∠ABE=60°，
∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，
∴∠ABD=∠EBF，
在△BDA与△BFE中，
，
∴△BDA≌△BFE（SAS）；
（2）①∵两点之间，线段最短，
即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴CD+DF+FE最小值为CE，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴BE=AB=2，BC=，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，
∴CE=，
故答案为：；
②证明：∵BD=BF，∠DBF=60°，
∴△BDF为等边三角形，
即∠BFD=60°，
∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴∠BFE=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴∠BDA=120°，
∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，
∴∠ADF=∠BFD，
∴AD∥BF；
（3）∠MPN的大小是为定值，理由如下：
如图，连接MN，
∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，
∴MN∥AD且PN∥EF，
∵AB=BE且∠ABE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，
则∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，
∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，
∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴MN=AD=FE=PN，
∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°．
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