第15讲 解三角形及其应用学校____________ 姓名____________ 班级______
______ 一、知识梳理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦
定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C＝
＝＝2R常见变形cos A＝；cos B＝；cos C＝(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2
)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asin B＝bsi
n A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或
直角图形关系式a＝bsin Absin Aba≤b解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)S＝a
·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半
径).4.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1
).5.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).6.方向角正北或正南方向线
与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.7.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.考点和典型例题1、利用正、余弦
定理解三角形【典例1-1】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为（?）
A．B．C．D．【答案】C【详解】根据正弦定理得，得，所以.故选：C.【典例1-2】（2022·江西·模拟预测（理））在△ABC中
，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（?）A．4B．5C．6D．7【答案】C【详解】由已知及正弦定理得，所以，所
以＝.故选：C.【典例1-3】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．则的值为（
?）A．B．C．D．【答案】C【详解】在中，因为，，，由正弦定理得： ，解得：.因为，所以.所以.故选：C【典例1-4】（2022
·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的大小为（?）A．B．C．D．【答
案】B【详解】因为，则，整理得，所以即，则， ∵，所以.故选：B.【典例1-5】（2022·天津·耀华中学一模）在中，内角，，所对
的边分别为，，，，，.(1)求的值；(2)求；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由余弦定理可得：，解得或（舍去
），故(2)由正弦定理 ,故(3)由（2）知：，则，故,所以【典例1-6】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如
图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点，，，.(1)若，求的值；(2)若，求BE的长.【答案】(1)(2)【解析】(1)过B
作于F.∵，，∴，在直角中，，∴，∴.(2)连接BD.在中，，，，由余弦定理，得在中，，，由余弦定理，得.在中，，，由余弦定理，得
.∵，得∴，得，（负值舍去）.∴.【典例1-7】（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内
角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.(1)求B；(2)若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的
空格中进行求解.①△ABC的面积；②.【答案】(1)；(2)选①；选②.【解析】(1)因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所
以.(2)选①，因为的面积，所以，即，，由余弦定理得所以，所以，因为平分，所以，所以，选②，因为，在中，由余弦定理：，即，所以，因
为，所以，因为平分，所以，因为，，由正弦定理得，，所以 ，又，所以，所以是直角三角形，且，所以.2、判断三角形的形状【典例2-1】
（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，，，则（?）A．能制作一个锐角三角形B．
能制作一个直角三角形C．能制作一个钝角三角形D．不能制作这样的三角形【答案】C【详解】设三角形的三条边为a，b，c，设中点为D，，
则，∴同理，∴，∴，，∴可以构成三角形，∴，∴为钝角三角形，故选：C【典例2-2】（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）在
中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（?）A．若，则为锐角三角形B．若为钝角三角形，则C．若，则为等腰直角三角形D．若，
，，则符合条件的只有一个【答案】D【详解】，则，只能说明A为锐角，不能说明B和C的大小，故不能得到是锐角三角形，A错误；若为钝角三
角形，但不确定哪个角是钝角，若角A为锐角，则，若角A为钝角，则，B错误；，由正弦定理得：，即，所以或，故或，则为等腰三角形或直角三
角形，故C错误；由余弦定理得：，因为，所以，故符合条件的只有1个，D正确.故选：D【典例2-3】（2022·辽宁·铁岭市清河高级中
学高一期中）在中，已知，那么一定是（?）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】B【详解】因为，，
所以，所以由正余弦定理得，化简得，所以，所以为等腰三角形.故选：B.【典例2-4】（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在，则
三角形的形状一定是（?）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】B【详解】由以及余弦定理得，化简得，所
以三角形的形状一定是等腰三角形.故选：B【典例2-5】（2022·全国·高一单元测试）在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（?
）A．钝角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【详解】在中，由正弦定理得，而，∴ ，即，又∵、为的内角，
∴，又∵，∴，∴由余弦定理得：，∴，∴为等边三角形.故选：B.3、和三角形面积有关的问题【典例3-1】（2022·江西·二模（理）
）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为(?)A．1B．3C．2D．4【答案】C【详解】，，即，即，则
，整理得，∴，当且仅当时取等号，，则．故选：C．典例3-2】（2022·江西·模拟预测（文））在中，，则的面积为（?）A．B．C．
D．【答案】B【详解】由余弦定理得，即，解得，因为，所以，所以，故选：B．典例3-3】（2022·江西宜春·模拟预测（文））的内角
的对边分别为，若，，，则的面积为（?）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：由余弦定理，即，又，所以，，所以.故选：C典例3-4】
（2022·内蒙古赤峰·三模（文））的三个内角，，的对边分别为，，且(1)求；(2)若，，求的面积．【答案】(1)；(2).【解析
】(1)由及正弦定理，得，即，于是有，由余弦定理，得，(2)由（1）知，，及，，由余弦定理，得，即，化简整理，得，解得或（舍）.所
以.所以的面积为.典例3-5】（2022·湖南·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求证：；(2)若
，，，且，求的面积．【解析】(1)解：因为，由正弦定理可得：，所以；(2)由（1）得，由余弦定理得：，所以，即，将，代入，得，即，
解得或，∵，∴，∴舍去，∴，．从而，由可知，所以．所以的面积．4、解三角形的实际应用【典例4-1】（2022·吉林吉林·模拟预测（
文））位于灯塔A处正西方向相距n mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距n mile的C处的一艘乙船前
往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（?）A．30°B．60°C．75°D．45°【答案】B【详解】依
题意，过点作的延长线交于点，如图，则，，，在中，，在中，，， 又 ，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60°
.故选：B.【典例4-2】（2022·江西·模拟预测（文））翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔——玉虹
塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组在李
老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45；当他水平后退50米
后再次观测塔顶，仰角约为30，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（?）米？（参考数据：）A．68B．70C．72D．74【答案
】B【详解】如图所示，OP为塔体，AC,BD为李老师观察塔顶时的站位， Q为A,B在OP上的射影，由已知得为直角三角形，，，(米)
，(米),设PQ=x，则,.∴，∴,∴塔高(米),故选：B【典例4-3】（2022·全国·高三专题练习）设M，N为某海边相邻的两座
山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利
用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的距离为（?）A．米B．
米C．米D．米【答案】A【详解】如图，由题可知，∴，，又，∴，∴（米）．故选：A.【典例4-4】（2022·陕西·西安中学一模（理
））为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东
南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；(2)求隧道口间的距离.
【答案】(1)(2)1000米.【解析】(1)在中，由正弦定理得，即，所以，由题可知，，所以，即.(2)由（1）可知，，在中，由余
弦定理得，所以，故两隧道口间的距离为1000米.【典例4-5】（2022·广东湛江·二模）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.(1)求、两地之间的距离；(2)求.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：由余弦定理可得，所以，.(2)解：由余弦定理可得，所以，，则为锐角，故，因此，.zxxk.com学科网（北京）股份有限公司zxxk.com学科网（北京）股份有限公司zxxk.com学科网（北京）股份有限公司zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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