第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用第三章 3.3.2 抛物线的简单几何性质学习目标1.了解抛物线的简单应用.2.掌握直线与抛物线的位置
关系及相关问题.一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因
呢？直线与抛物线的位置关系 一问题1 类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系.提示 如图所示，抛物线与直线
有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点.设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整
理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当
时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 时，直线与抛物线相离，没有公共点.(2)若k＝
0，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.Δ>0Δ＝0Δ<0一个(1)直线与抛物线有一
个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况. 已知直线l：
y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.得k2x2＋(2k－4)x＋1
＝0. ()此时直线l平行于x轴.当k≠0时，()式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与
C相切；③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k<1，且k
≠0时，l与C有两个公共点；当k>1时，l与C没有公共点.判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时
，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点. 已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－
2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是___________.[－1，1]由题意知，直线l的斜率存在，设直线
l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k
≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0 1，1].弦长问题 二问题2 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线
段AB叫做焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？提示 1.利用弦长公式.2.根据抛物线的定义|AB|＝x1＋x2＋p.设AB是过抛物线
y2＝2px(p>0)焦点F的弦，称为焦点弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则抛物线的焦点弦有以下结论： 已知
抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝ p，求AB所在的直线方程.所以
直线AB的斜率存在，设为k，消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.解得k＝±2.所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x
＋y－p＝0. 已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点.(1)若|AB|＝10，求实数m的值；得x2＋
(2m－8)x＋m2＝0.由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋
x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.(2)若OA⊥OB，求实数m的值.因为OA⊥OB
，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8或m＝0(舍去).所以m＝－8，经检验符合题意.抛物线的轨迹问题 三∴x1
＋x2＝2k，x1x2＝－2.∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.求轨迹问题的两种方法(1)直接法：按照动
点适合条件直接代入求方程.(2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程.
若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已
知可得圆C的圆心为C(2，0)，半径r＝1.因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线
x＋1＝0的距离d＝R.所以|MC|＝d＋1.即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离.故动圆圆心M的轨迹方
程为y2＝8x.课堂小结1.知识清单： (1)直线和抛物线的位置关系. (2)抛物线中的弦长问题. (3)抛物线的轨迹问题.2.方法归纳：直接法、定义法、代数法.3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误. |
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