第三章 混合策略纳什均衡(1)3-1 混合策略与期望支付3-2 反应函数法博弈实验分小组实验 每个小组选择两名同学（A和B）玩锤子
剪子布的游戏；另外4名同学负责以下工作：1名同学记录A分别出锤子剪子布的次数；1名同学记录A输和赢的次数；1名同学记录B分别出锤子
剪子布的次数；1名同学记录B输和赢的次数。 共进行30次 每个小组写下实验报告，内容包括：A和B选择不同策略的
次数；输赢的次数；怎么才能赢？秘诀在于——自己的策略选择不能预先被对方知道或者猜测到，在该博弈的多次重复中，博弈方一定要避免自己的
选择具有规律性；观察对手方策略选择是否具有规律或者偏好，预先猜测对手策略，从而采用针对性策略赢得这个博弈3-1混合策略与期望支付严
格竞争博弈和混合策略的引进无法用纳什均衡概念分析的博弈问题：取胜关键：不能让另一方猜到自己的策略 尽可能猜出对方策略两人博弈
。每人从自己的扑克牌中抽一张，一起翻开。如果颜色一样。甲输给乙一根火柴；如果颜色不一样，甲赢得乙的一根火柴。试分析该博弈纳什均衡的
情况。 每个局中人最合理的做法。是随机地出红牌或出黑牌。然后看能不能凭运气击败对手。局中人这种随机化自己可选策略的做法
，就是采取“混合策略”的思想。混合策略和纯策略纯策略是每个局中人具体明确了一个非随机性的行动计划。混合策略是局中人可以按照一定的概
率，随机地从纯策略集合中选择一种纯策略作为实际的行动。混合策略和纯策略例：从局中人甲的角度看，他有出红牌和出黑牌两种“纯策略”，还
有以p的概率出红牌和以1-p的概率出黑牌的“混合策略”。若p=0.4，则甲的混合策略是（p，1-p），即（0.4，0.6），甲以4
0%的概率出红牌，以60%的概率出黑牌。甲的混合策略(0，1) 就是纯策略（只出黑牌）。因此，混合策略概念是纯策略概念的推广。乙的
混合策略是(q，1-q)。就是说乙用q的概率出红牌，用1-q的概率出黑牌。图示：如果一个局中人有三个纯策略可供选择，选择三种策略的
机会加起来是100%。用两个字母q和r的组合(q,r,1-q-r)就可把所有可能的策略选择表达出来。 与混合策略相伴
随的一个问题是局中人支付的不确定性，这就需要期望支付的概念。 某数量指标的期望值定义：以发生概率作为权重的所有可能取值的加权
平均。补充：圣彼得堡悖论尼古拉斯.伯努利(1713) 赌博的参与人掷一个硬币，直到出现正面向上为止。如果第n次掷硬币才
出现正面向上，则参与人得到2^(n-1)美元。人们愿意出多少钱来参加一次这样的赌博？期望效用理论 对于圣彼得堡悖论的思
考，引导经济学家提出期望效用理论。期望效用理论认为： 人们并不直接关心得到多少钱，而是关心这些钱所能带来的效用。即人
们直接关心的不是不确定性收益的期望值，而是由不确定性收益产生的不确定性效用的期望值。数学语言表达 如果主体人对确定性收
益x的效用为u(x)，那么主体人对不确定性收益X的效用就为E(u(X))。E(u(X))称为X的期望效用，常记为EU(X)。将X看
作自变量， EU(X)称为期望效用函数。如果不确定性收益X退化成确定性收益x，则EU(X)= u(x)，所以EU(X)可以同时表达
主体人对确定性收益和不确定性收益的效用。 期望效用理论很好地解答了圣彼得堡悖论。如果一个主体人对确定性收益的效用函数u(x)
=ln(x)，那么这个主体人从赌博中得到的期望效用为： 回到扑克对色游戏 在博弈论中，当局中人并不
清楚其他局中人的实际策略选择时，他的支付便具有了不确定性，为此，他只能通过计算期望支付的方式来预测自己的得益情况，确定自己的策略选
择。 甲乙的混合策略如图：计算甲乙的期望支付。扩展：二人博弈标准型n人参与的策略式博弈混合策略定义 表示局中人
的混合策略空间 表示博弈的一个混合策
略组合 表示局中人 在混合策略组合
下
的期望支付，它是混合策略组合 的函数。简记为 πi(p)=πi(pi,p-i)。局中人i的期望支付可以具体定义为：ui(s
)是我们在纯策略情况中熟悉的当所有局中人采取s这个纯策略组合的时候局中人i的支付,而
正是所有局中人各自的策略选择正好组成纯策略组合s的概率。混合策略纳什均衡 如果p =(p1 ,p2 )是二
人博弈的一个纳什均衡,它必须满足:和 有n 个 局 中 人 参 与 的 同 时 决 策 博 弈的纳什均衡：寻找同时决策有限
博弈的混合策略纳什均衡3-2 反应函数法 B的混合策略设定为（q，1-q）时，A的最佳反应函数是： A
的混合策略设定为（p，1-p）时，B的最佳反应函数是： 纳什均衡是(p,q)=(1/2,1/2)，即A和B出红牌还是出黑牌的概率都是一半对一半。情侣博弈的混合纳什均衡试用反应函数法找出遗漏的纳什均衡。纳什均衡之间的取舍 纯策略纳什均衡比混合策略纳什均衡具有支付优势——帕累托优势。 |
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