中考数学总复习《二次函数的实际应用与几何问题》练习题(带答案)班级:___________姓名：___________考号：________
_____一、单选题1．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（ ） A．60m2B．63m
2C．64m2D．66m22．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起
，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm23．如图，一边靠墙（墙有足够
长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ） A．18m2B．12 m2C．16 m
2D．22 m24．若抛物线y=x2-4x-12与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为（ ）A．24B．36C．
48D．965．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距
底部 ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ） A．B．C．D．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝
b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（ ）A．S＝ B．S＝ C．S＝ D．S＝ 7．如图
，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2 ，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着A
B方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S.设AM＝x，则S关于x的函数图象
大致是（ ） A．B．C．D．8．小明发现鸡蛋的形状可以近似用抛物线与圆来刻画.于是他画了两只鸡蛋的示意图（如图，单位：cm）
，其中 AB 和 A''B''；上方为两条开口大小相同的抛物线，下方为两个圆的一部分.若第一个鸡蛋的高度 CD 为 8.4 cm，则第
二个鸡蛋的高度C''D''为（ ）A．7.29 cmB．7.34 cmC．7.39 cmD．7.44 cm9．为搞好环保，某公司准备
修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是（ ） A．600 m2B．625 m2C．650 m
2D．675 m210．如图，从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪
下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（ ）A．AD的中点B．AE：ED=（﹣1）：2 C．AE：ED=：1 D．AE：E
D=（﹣1）：211．已知：如图，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别以1个单位长度/秒和个单位长度/秒
的速度从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；过E点作EG∥OA交抛物线y=a（x﹣1）2+h（a＜0）于E、G两点，交
AB于点F，连结DE、BG．若抛物线的顶点M恰好在BG上且四边形ADEF是菱形，则a、h的值分别为（ ）A．-、B．-、C．-、
D．-、12．点 为线段 上的一个动点， ，分别以 和 为一边作等边三角形，用 表示这两个等边三角形的面积之和，下列判
断正确的是（ ）A．当 为 的三等分点时， 最小B．当 是 的中点时， 最大C．当 为 的三等分点时， 最大D
．当 是 的中点时， 最小二、填空题13．如图，抛物线 的图象与x轴交于点A，B，交y轴于点C，动点P从点A出发沿射线AB
运动，运动的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，作△BCP的外接圆⊙M，当圆心M落在该抛物线上时，则t= 秒.14．已知抛物
线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是 ．15．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长
）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最
大值是 m2.16．如图，小滕用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成了一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2m宽的小门（不
用铁栅栏），小滕共用了铁栅栏40米，则矩形ABCD的面积的最大值为 m2.17．如图，点A（0，1），平行于x轴的直线AC分别交抛
物线 与 （x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交 于点D，直线DE∥AC，交 于点E，则DE＝ ． 18．已知抛
物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m﹣1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记
为M，N，则四边形AMNB的周长为 ．三、综合题19．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A
出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，
可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）是否存在某一时刻，使△PCQ的面积等于△ABC面积的一半，并说明理由．（3）点P、Q在移动过
程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积达到最大值，并说明利理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、
D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线
成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣ ），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标
；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）
当△BDM为直角三角形时，求m的值．21．如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN和隔离带围成一个矩形隔离区，已知墙长
a米，AD≤MN，矩形隔离区的一边靠墙，另三边一共用了200米长的隔离带．（1）a=30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米
，求所利用旧墙的长；（2）若a=150．求矩形隔离区面积的最大值．22．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对
角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化.（1）请直接写出S与x
之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；（2）当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？23．如图1，已知抛物线
y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到
的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求
出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．24．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，
3）、B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为D，与x轴的另一交点为C，对称轴交x轴于点E，连
接BD，求cos∠DBE；（3）在直线BD上是否存在点F，使由B、C、F三点构成的三角形与△BDE相似？若存在，求出点F的坐标；若
不存在，请说明理由．参考答案1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】D8．
【答案】A9．【答案】B10．【答案】A11．【答案】A12．【答案】D13．【答案】614．【答案】315．【答案】30016．
【答案】24217．【答案】218．【答案】2219．【答案】（1）解：设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米由题意得： （
6﹣x）?2x=8x=2或x=4当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米（2）解：不存在．理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面
积的一半由题意得： （6﹣y）?2y= × ×6×8整理，得y2﹣6y+12=0△=36﹣4×12＜0．方程无解，所以不存在
（3）解：设△PCQ的面积为w则w=（6﹣x）×2x× =﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9∵a=﹣1＜0∴w有最大值，最大值为9
cm220．【答案】（1）解： ∵m≠0∴当y=0时∴A(?1，0)，B(3，0)（2）解：设 ，将A. B. C三点的坐标代入
得： 解得 故 如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q由B.C的坐标可得直线BC的解析式为： 设 则 当 时， 有最大值（
3）解： 顶点M坐标(1，?4m)当x=0时，y=?3m∴D(0，?3m)，B(3，0)当△BDM为Rt△时有： 或 时有：
解得m=?1(∵m<0，∴m=1舍去)； 时有： 解得 ( 舍去).综上，m=?1或 时， 为直角三角形.21．【答案】（
1）解：设，则根据题意得：解得当时，，不符合题意舍去当时答：的长为；（2）解：设AB=xm，矩形的面积为y则y= x（200-2x
）=-2= -2= -2当x=50时，y的最大值为5000答：当AB=50m时，矩形隔离区面积最大为5000．22．【答案】（1）
解：已知其中一条对角线的长x，则另一对角线=60-x． 所以S= x(60-x)整理得 ．（2）解：由（1）知菱形风筝面积S图
像为关于x的一个二次函数图象，开口向下的抛物线S最大值为顶点坐标时．根据当x=- 时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最
小（大）值 所以 时 ．23．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）∴将A与B两点
坐标代入得： 解得： ∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x（2）解：设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4）得：4=4k1
，解得：k1=1∴直线OB的解析式为y=x∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m∵点D在抛物线y=x2﹣3x上∴可
设D（x，x2﹣3x）又∵点D在直线y=x﹣m上∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0∵抛物线与直线只有一个公共点∴△=16﹣
4m=0解得：m=4此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2∴D点的坐标为（2，﹣2）（3）解：∵直线OB的解析式为y=x，且A（
3，0）∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3）根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO设直线A′B的解析式为
y=k2x+3，过点（4，4）∴4k2+3=4，解得：k2= ∴直线A′B的解析式是y= ∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠
ABO∴BA′和BN重合即点N在直线A′B上∴设点N（n， ），又点N在抛物线y=x2﹣3x上∴ =n2﹣3n解得：n1=﹣
，n2=4（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣ ， ）．方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1则N1（- ，
- ），B1（4，﹣4）∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1∴△P1OD∽△N1OB
1∴ ∴点P1的坐标为（- ，- ）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（ ， ）综上所述，点P的
坐标是（- ，- ）或（ ， ）．方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2则N2（ ， ），
B2（4，﹣4）∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N2OB2∴△P1OD∽△N2OB2∴ ∴点
P1的坐标为（ ， ）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（- ，- ）综上所述，点P的坐标是（-
，- ）或（ ， ）．方法三：∵直线OB：y=x是一三象限平分线∴A（3，0）关于直线OB的对称点为A′（0，3）∴ 得
：x1=4（舍），x2=﹣ ∴N（﹣ ， ）∵D（2，﹣2），∴lOD：y=﹣x∵lOD：y=x∴OD⊥OB∵△POD∽△N
OB∴N（﹣ ， ）旋转90°后N1（ ， ）或N关于x轴对称点N2（﹣ ，﹣ ）∵OB=4 ，OD=2 ∴ ∵P
为ON1或ON2中点∴P1（ ， ），P2（- ，- ）．24．【答案】（1）解：将A（0，3）、B（﹣1，0）代入y=a
x2+2x+c可得：c=3，a=﹣1抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3（2）解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4∴D（
1，4）∴BE=2，DE=4∴BD= =2 ∴cos∠DBE= = （3）解：∵B（﹣1，0），D（1，4）∴直线BD的解析式为y=2x+2∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣3）（x+1）∴C（3，0）∴BC=4①若△BED∽△BFC，如图1则∠BED=∠BFC=90°作FG⊥BC于G∵cos∠CBF= ∴BF= ∴BG= = ∴OG= ，GF= ∴F（﹣ ， ）；②若△BED∽△BCF，如图2则∠BCF=90°∴F点横坐标为3将3代入BD解析式得：y=8∴F（3，8）；综上所述，满足要求的F点的坐标为：（﹣ ， ）、（3，8）。 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 17 页 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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