【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题14平行线之子弹模型 【例1】（2022春?长沙期中）问题情境我们知道，“两条平行
线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板
ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．问题初探（1）如图（1），若将三角板ABC的
顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从
而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 30° ，∠E
MC的度数为 60° ．类比再探（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的
数量关系，并说明理由．（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．【分析
】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数；（2
）过C作CH∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）
过B作BK∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．【解答】
解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；故答案为：3
0°，60°；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：证明：如图，过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF
，∴CH∥DE，∴∠EMC＝∠HCM，∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°
，理由：证明：如图，过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD＝∠KBM，∴∠BA
G﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．【例2】（2022春?莆田期末）李想是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，
他将一块含有60°的直角三角板摆放在一组平行线上展开探究．已知直线EF∥GH，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60
°，点C为直线EF上一定点．将直角三角板ABC绕点C转动，当点A在直线GH上时，点B也恰好在直线GH上．（1）如图1，求∠ECB的
度数；（2）如图2，若点A在直线EF上方，点B在GH下方，BC与GH交于点Q，作∠ACE的角平分线并反向延长与∠CQH的角平分线交
于点O．在直角三角板ABC绕点C转动的过程中，∠O的度数是否保持不变？若不变，求出∠O的度数；否则，请说明理由；（3）如图3，直角
三角板ABC绕点C转动，若点A在直线EF，GH之间（不含EF，GH上），点B在GH下方，AB，BC分别与GH交于点P，Q．设∠FC
B＝n°，是否存在正整数m和n，使得∠APH＝m∠FCB，若存在，请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据两直线
平行内错角相等，求得∠ECA，然后求得∠ECB．（2）过点O作EF的平行线，利用平行线的性质、角平分线的定义，得出∠O始终为∠AC
B的一半，即45°，从而得出∠O的度数始终不变．（3）根据四边形的内角和360°及平行线的性质得出关于m和n的关系式，根据题意得出
m的范围，在范围内找到m和n都是正整数的所有可能的情况．【解答】解：（1）∵EF∥GH，∴∠ECA＝∠CAB＝60°，∴∠ECB＝
∠ACB+∠ECA＝90°+60°＝150°．（2）∠O 的度数保持不变．理由如下：过点O作OP∥EF，∵EF∥GH，∴EF∥OP
∥GH，∴∠COP＝∠FCO，∠POQ＝∠OQH，∠ECQ＝∠CQH，∵CD 平分∠ACE，OQ平分∠CQH，∴∠DCE＝∠ACE
，∠OQH＝∠CQH＝∠ECB，∴∠POQ＝∠ECB，∵∠DCE＝∠FCO，∴∠COP＝∠DCE＝∠ACE，∴∠COQ＝∠COP+
∠POQ＝∠ACE+∠ECB＝（∠ACE+∠ECB）＝∠ACB＝×90°＝45°．∴∠O的度数保持不变，始终是45°．（3）存在．
理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠APQ+∠CQP＝360°﹣∠ACB﹣∠A＝360°﹣90°﹣60°＝210°，∵
EF∥GH，∴∠FCB＝∠CQP＝n°，∴∠APQ+∠CQP＝∠APQ+n°＝210°，∵∠APH＝m∠FCB，∴∠APH＝mn°
，∴mn°+n°＝210°，由此得出，n＝，∵点A在直线EF，GH之间（不含EF，GH上），点B在GH下方，∴30°＜n°＜90°
，即mn°＜180°，m，n是正整数，∴当m＝1时，n＝＝105，不符合题意，舍去；当m＝2时，n＝＝70，符合题意；当m＝3时，
n＝不是正整数，舍去；当m＝4时，n＝＝42，符合题意；当m＝5时，n＝35，符合题意；当m＝6时，n＝＝30，不符合题意，舍去．
综上所得，m＝2，n＝70，或m＝4，n＝42，或m＝5，n＝35．【例3】（2022春?宜春期末）问题：已知线段AB∥CD，在A
B、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．（1）端点A、C同向：如图1，点P
在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 0 度；如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝ 360 度；（2）
端点A、C反向：如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；如图4，点P在直线AC左侧时，
∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ 180 度．【分析】（1）过点P作PE∥AB，分别利用猪脚模型，铅笔模型即可解答；（2）过点P作PE∥
CD，利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：（1）如图：过点P作PE∥AB，∴∠A＝∠APE，∵AB∥C
D，∴PE∥CD，∴∠C＝∠EPC，∵∠APC＝∠APE+∠EPC，∴∠APC＝∠A+∠C，∴∠APC﹣（∠A+∠C）＝0度，故答
案为：0；如图：过点P作PE∥AB，∴∠A+∠APE＝180°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C+∠EPC＝180°，∴∠A+∠
APE+∠C+∠EPC＝360°，∴∠APC+∠A+∠C＝360°，∴∠APC+（∠A+∠C）＝360度，故答案为：360；（2）
∠APC+∠A﹣∠C＝180°，证明：过点P作PE∥CD，∴∠C＝∠EPC，∵AB∥CD，∴PE∥AB，∴∠A+∠APE＝180°
，∴∠A+∠APC﹣∠EPC＝180°，∴∠A+∠APC﹣∠C＝180°，∴∠APC+∠A﹣∠C＝180°；如图：过点P作PE∥A
B，∴∠A＝∠APE，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C+∠EPC＝180°，∴∠C+∠APC﹣∠APE＝180°，∴∠C+∠AP
C﹣∠A＝180°，∴∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°，故答案为：180．【例4】（2022春?佛山月考）问题情境：（1）如图1
，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：（2）如图3，
AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说
明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的
数量关系．（提示：三角形内角和为180°）【分析】（1）过P作作PE∥AB，然后利用平行线的性质可以解决问题；（2）过P作作PE∥
AB，然后利用平行线的性质可以解决问题；（3）有两种情况：当P在AB延长线和当P在OA延长线，都是通过作平行线利用平行线的性质解决
问题．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝18
0°，∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°，∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°
＝110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠
DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；②当P在AB
延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC
，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；②当P在AB延长线时，∠CPD
＝∠α﹣∠β，理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠C
PD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．一．选择题1．（2022春?交口县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右
图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升
（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（ ）度A．360B．180C．250D．270【分析】
过点B作BG∥AE，利用平行线的性质可得∠BAE+∠ABG＝180°，∠C+∠CBG＝180°，从而可得∠BAE+∠ABC+∠BC
D＝360°，然后根据垂直定义可得∠BAE＝90°，最后进行计算即可解答．【解答】解：过点B作BG∥AE，∴∠BAE+∠ABG＝1
80°，∵AE∥CD，∴BG∥CD，∴∠C+∠CBG＝180°，∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°，∴∠BAE+∠AB
C+∠BCD＝360°，∵BA⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°，故选：D．2．（20
22春?陆河县期末）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠A＝∠P+∠C；③如图3，AB∥
CD，则∠A+∠E＝180°+∠1；④如图4，AB∥CD∥EF，则∠α+∠r＝180°+∠β以上结论正确的是（ ）A．①③④B．
①②④C．②③④D．①②③【分析】①过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，从
而可得∠A+∠AEC+∠C＝360°，即可判断；②设CD与AP交于点G，先利用三角形的外角可得∠DGP＝∠C+∠P，再利用平行线的
性质可得∠A＝∠DGP，然后根据等量代换即可判断；③延长AE交CD于点H，根据平行线的性质可得∠A+∠EHC＝180°，然后利用三
角形的外角可得∠EHC＝∠AEC﹣∠1，然后进行计算即可判断；④利用平行线的性质可得∠COE＝∠γ，从而可得∠BOE＝∠γ﹣∠β，
再利用平行线的性质可得∠α+∠BOE＝180°，然后进行计算即可解答．【解答】解：①如图：过点E作EF∥AB，∴∠A+∠AEF＝1
80°，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠C+∠CEF＝180°，∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C
＝360°，故①不正确；②如图：设CD与AP交于点G，∵∠DGP是△CPG的一个外角，∴∠DGP＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A
＝∠DGP，∴∠A＝∠C+∠P，故②正确；③如图：延长AE交CD于点H，∵AB∥CD，∴∠A+∠EHC＝180°，∵∠AEC是△E
HC的一个外角，∴∠EHC＝∠AEC﹣∠1，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，∴∠A+∠AEC＝180°+∠1，故③正确；④∵CD
∥EF，∴∠COE＝∠γ，∵∠BOE＝∠COE﹣∠β，∴∠BOE＝∠γ﹣∠β，∵AB∥EF，∴∠α+∠BOE＝180°，∴∠α+∠
γ﹣∠β＝180°，∴∠α+∠r＝180°+∠β，故④正确；所以，以上结论正确的是②③④，故选：C．3．（2022春?西湖区校级期
中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数
为（ ）A．140°B．150°C．130°D．160°【分析】过G作GM∥AB，根据平行线的性质可得∠2＝∠5，∠6＝∠4，进
而可得∠FGH＝∠2+∠4，再利用平行线的性质进行等量代换可得3∠1＝210°，求出∠1的度数，然后可得答案．【解答】解：过G作G
M∥AB，∴∠2＝∠5，∵AB∥CD，∴MG∥CD，∴∠6＝∠4，∴∠G＝∠5+∠6＝∠2+∠4，∵FB、CG分别为∠EFG，∠E
CD的角平分线，∴∠1＝∠2＝∠EFG，∠3＝∠4＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ECD＝210°，∵AB∥CD，∴∠ENB＝∠E
CD，∴∠E+∠EFG+∠ENB＝210°，∵∠1＝∠E+∠ENB，∴∠1+∠EFG＝∠1+∠1+∠2＝210°，∴3∠1＝210
°，∴∠1＝70°，∴∠EFG＝2×70°＝140°．故选：A．4．（2022春?林州市期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α
、β和γ的关系是（ ）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°【分析】此题可以构造辅
助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中
，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．5
．（2021春?硚口区月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB
，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝
180°．其中正确的结论是（ ）A．①②③B．②④C．①②④D．①④【分析】过点F作FP∥AB，HQ∥AB，设∠NEB＝x，∠H
GC＝y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案．【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC∴AB∥CD∴①正确；过
点F作FP∥AB，HQ∥AB，∵AB∥CD，∴FP∥AB∥HQ∥CD，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2
y∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG
＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，∴∠
EHG≠2∠EFM∴②错误；∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，∴③错误；∴3∠EH
G﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，∴④正确．综上所述，正确答案为①④．故选：D．6．（2022春?左
权县期中）为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造
特色突出、切实可行的体育锻炼内容．晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小丽把它抽
象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是 30° ．【分析】延长DC交AE于点F
，根据两直线平行，同位角相等可得∠EFC＝80°，再根据三角形外角的性质可得∠E的度数．【解答】解：延长DC交AE于点F，∵AB∥
CD，∴∠EFC＝∠A＝80°，由外角的性质得，∠DCE＝∠E+∠EFC，∴∠E＝110°﹣80°＝30°．故答案为：30°．7．
（2022春?九江期末）为了提醒司机不要疲劳驾驶，高速公路上安装了如图1所示的激光灯，图2是激光位于初始位置时的平面示意图，其中P
，Q是直线MN上的两个发射点，∠APQ＝∠BQP＝60°，现激光PA绕点P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光QB绕点Q以每秒2度
的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤40），当PA∥QB时，t的值为 12 ．【分析】根据当PA∥QB时，∠APQ+∠B
QP＝180°建立等式即可求解．【解答】解：设旋转时间为t秒后，PA∥QB，由题意得：60°+3°×t+60°+2°×t＝180°
，5°×t＝60°，解得：t＝12．故答案为：12．8．（2017春?南岸区期末）如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝50°，∠
3＝60°，则∠4＝ 140° ．【分析】过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，求出AB∥EM∥FN∥CD，根据平行线的性质得出∠1
＝∠AEM，∠MEF＝∠EFN，∠4+∠NFC＝180°，再求出答案即可．【解答】解：过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∵AB∥
CD，∴AB∥EM∥FN∥CD，∴∠1＝∠AEM，∠MEF＝∠EFN，∠4+∠NFC＝180°，∵∠1＝30°，∠AEF＝50°，
∠EFC＝60°，∴∠AEM＝30°，∴∠EFN＝∠MEF＝50°﹣30°＝20°，∴∠NFC＝60°﹣20°＝40°，∴∠4＝1
80°﹣40°＝140°，故答案为：140°．9．（2022?南京模拟）如图，AB∥CD，AF平分∠CAB，CF平分∠ACD．（1
）∠B+∠E+∠D＝ 360° ；（2）∠AFC＝ 90° ．【分析】（1）由两直线平行同旁内角互补可得：∠CAB+∠ACD＝18
0°，再由五边形内角和540°，进行计算即可解答；（2）由角平分线的性质，解得，根据两直线平行同旁内角互补解得∠CAB+∠ACD＝
180°，最后由三角形内角和180°解答．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵五边形的内角和为（5﹣
2）×180°＝540°，∴∠B+∠E+∠D＝540°﹣（∠CAB+∠ACD）＝360°，故答案为：360°；（2）∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵AF平分∠CAB，CF平分∠ACD，∴，∴，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝90°
，故答案为：90°．10．（2022春?临沭县期中）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45
°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是 ①②③④ ．【分析】①
由题意得∠G＝∠MPN＝∠MPG＝90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；②由题意得∠EFG＝30°，利用邻补角即可
求出∠EFN的度数；③过点F作FH⊥AB，可得FH∥CD，从而得到∠HFN＝∠MNP＝45°，可求得∠EFN＝105°，再利用平行
线的性质即可求出∠BEF；④利用角的计算可求出∠AEG＝45°，从而可判断．【解答】解：①∵∠G＝∠MPN＝∠MPG＝90°，∴G
E∥MP，故①正确；②∵∠EFG＝30°，∴∠EFN＝180°﹣30°＝150°，故②正确；③过点F作FH∥AB，如图，∵AB∥C
D，∴FH∥CD，∴∠HFN＝∠MNP＝45°，∴∠EFN＝150°﹣45°＝105°，∵FH∥AB，∴∠BEF＝180°﹣105
°＝75°；故③正确；④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，∴∠AEG＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∴∠AEG＝∠PMN＝
45°，故④正确．故答案为：①②③④．11．（2022春?大安市期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC
，∠1＝∠2．求证：AF∥BC．【分析】根据平行线的性质得出∠1＝∠C，求出∠C＝∠2，根据平行线的判定得出即可．【解答】证明：∵
DE∥AC，∴∠1＝∠C，∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠2，∴AF∥BC．12．（2022春?随州期末）已知AB∥CD，点M在射线AB，
CD之间．（1）如图1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聪同学过点M作MH∥AB，利用平行线的性质，求得∠MCD＝ 12
0 度；（2）如图2，请写出你发现的∠BAM，∠AMC，∠MCD之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，MN平分∠AMC交A
B于点N，CE平分∠MCD交AB于点E，MF∥CE交AB于点F，试猜想∠FMN与∠BAM的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据
平行线的性质可得∠A+∠AMH＝180°，∠C+∠CMH＝180°，从而可得∠A+∠C+∠AMC＝360°，然后进行计算即可解答；
（2）过点M作MH∥AB，然后利用平行线中的铅笔模型，即可解答．（3）根据角平分线的定义可得∠NMC＝∠AMC，∠MCE＝∠MCD
，再利用平行线的性质可得∠FMC180°﹣∠MCD，然后利用（2）的结论可得∠AMC+∠MCD＝360°﹣∠A，最后根据角的和差关
系，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵MH∥AB，∴∠A+∠AMH＝180°，∵AB∥CD，∴MH∥CD，∴∠C+∠CMH＝1
80°，∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，∴∠A+∠C+∠AMC＝360°，∵∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，∴∠
MCD＝360°﹣∠BAM﹣∠AMC＝120°，故答案为：120；（2）∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，证明：过点M作MH
∥AB，MH∥AB，∴∠A+∠AMH＝180°，∵AB∥CD，∴MH∥CD，∴∠C+∠CMH＝180°，∴∠A+∠AMH+∠C+∠
CMH＝360°，∴∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°；（3）∠FMN＝∠BAM，理由：∵MN平分∠AMC，CE平分∠MCD，
∴∠NMC＝∠AMC，∠MCE＝∠MCD，∵MF∥CE，∴∠FMC＝180°﹣∠MCE＝180°﹣∠MCD，由（2）得：∠BAM+
∠AMC+∠MCD＝360°，∴∠AMC+∠MCD＝360°﹣∠A，∵∠FMN＝∠FMC﹣∠NMC，∴∠FMN＝180°﹣∠MCD
﹣∠AMC＝180°﹣（∠MCD+∠AMC）＝180°﹣（360°﹣∠A）＝180°﹣180°+∠A，＝∠A，∴∠FMN＝∠BAM
．13．（2022春?甘井子区期末）已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．（1）如图1
，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）
的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是
∠M＝∠N+∠FGN （直接写答案）．【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；（2）过点M作MR∥AB，可得AB∥CD
∥MR．进而可以求解；（3）令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，可得∠FGN＝2β，进而可得结论．【解答
】（1）证明：∵∠AGE＝∠BGF，∠CHF＝∠EHD，又∠AGE+∠CHF＝180°，∴∠BGF+∠EHD＝180°，∴AB∥C
D；（2）证明：过点M作MK∥CD，则∠KMH＝∠CHM，又AB∥CD；∴AB∥MK；∴∠AGM＝∠GMK，∵∠GMH＝∠AGM+
∠KMH∴∠GMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射线GF
是∠BGM的平分线，∴∠FGM＝∠BGM＝ （180°?∠AGM）＝90°?α，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝
90°+α，∵∠GMH＝∠N+∠FGN，∴2α+β＝2α+∠FGN，∴∠FGN＝2β，∴∠M＝2α+β＝∠N+∠FGN，即：∠M＝
∠N+∠FGN．14．（2022春?宾阳县期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EF
G，∠CED＝∠GHD．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠EHF＝70°，∠D＝50°，求∠AEM的度数．【分析】（1）根据同位角
相等两直线平行，可证CE∥GF，进而利用平行线的性质和判定证明；（2）根据对顶角相等可求∠DHG，根据三角形外角的性质可求∠CGF
，根据平行线的性质可得∠C，∠AEC，再根据邻补角的定义可求∠AEM的度数．【解答】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF
，∴∠CEF+∠EFG＝180°，∵∠C＝∠EFG，∴∠CEF+∠C＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∵∠DHG＝∠EHF＝70
°，∠D＝50°，∴∠CGF＝70°+50°＝120°，∵CE∥GF，∴∠C+∠CGF＝180°，∴∠C＝180°﹣120°＝60
°，∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C＝60°，∴∠AEM＝180°﹣∠AEC＝180°﹣60°＝120°．15．（2022春?江岸区
期中）如图1，直线GH分别交直线AB、CD于点E、F（点F在点E左侧），动点M、N不在AB、CD、GH上，若∠1＝∠2，EM平分∠
AEF，∠HFN＝2∠DFN，连MN．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2所示，点M、N停在图2位置，且∠M＝∠N+70°，求∠A
EM度数；（3）如图3，点M在GH左侧，点N在CD下方运动，请直接写出∠M、∠N、∠AEF三个角之间存在的数量关系 ∠M﹣∠N＝
∠AEF+60°或∠M+∠N＝∠AEF+60° ．（M、F、N三点不共线）【分析】（1）根据同位角相等两直线平行，即可证明．（2）
设MN与GH交于点K，在△FNK和□EMK中，根据三角形内角和为180°，可得∠M+∠MEK＝∠N+∠NFK，令∠AEM＝a，由已
知条件及平行线的性质，可得∠M+a＝∠N+60°﹣+2a，进而可得a的值．（3）根据点M在直线CD上方与下方进行分类讨论，再利用角
的和差关系以及三角形的外角即可得出三个角之间的数量关系．【解答】解：（1）证明：∵AB与GH相交，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠
2＝∠3，∴AB∥CD．（2）设MN与GH交于点K，在△FNK和△EMK中，∵∠M+∠MEK+∠MKE＝180°，∠N+∠NFK+
∠NKF＝180°，∠MKE＝∠NKF，∴∠M+∠MEK＝∠N+∠NFK，∵EM平分∠AEF，∴∠AEM＝∠MEF，∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠DFG，令∠AEM＝a，则∠DFG＝2a，∴∠HFD＝180°﹣2a，即∠HFN+∠DFN＝180°﹣2a，∵∠HF
N＝2∠DFN，∴∠DFN＝60°﹣，∴∠M+a＝∠N+60°﹣+2a，∵∠M＝∠N+70°，∴可得a＝30°，∴∠AEM＝30°
．（3）①如图2，∠AEF＝2a，∠M＝a+60°+∠N，∴∠M﹣∠N＝∠AEF+60°．②如图3．∵∠AEF＝∠EFD＝2a，∠
MEF＝∠AEM＝a，∠DFN＝60°﹣，根据三角形外角的定义，可得∠EFD+∠DFN＝∠M+∠N+∠MEF，即2a+60°﹣＝∠
M+∠N+a，∴∠M+∠N＝a+60°，∴∠M+∠N＝∠AEF+60°．故答案为：∠M﹣∠N＝∠AEF+60°或∠M+∠N＝∠AE
F+60°．16．（2022春?宁阳县期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝
20°，则∠AEC＝ 55° ；（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如图3，若∠BAE的平分线与
∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠
FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．【分析】（1）过点E作平行线，利用平行的性质求解；（2）过点E作平行线，利用平行的
性质求解；（3）利用（1）（2）中的结论进行等量代换求解．【解答】解：（1）55°如图所示，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD∴AB
∥CD∥EF，∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，故答案为55°
．（2）如图所示，过点E作EG∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，∴∠A+∠1+
∠2+∠C＝360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：由（1）可得，∠
AFC＝∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BAE+∠DC
E＝2∠AFC，由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，∴2∠AFC+∠AEC＝360°．②由①知∠F+∠FAE+∠
E+∠FCE＝360°，∵∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），∴∠F
AE+∠FCE＝n∠F，∴∠F+∠E+n∠F＝360°，∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，∴∠F＝．17．（2021
秋?香坊区期末）已知：直线AB、CR被直线UV所截，直线UV交直线AB于点B，交直线CR于点D，∠ABU+∠CDV＝180°．（1
）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，BE∥DF，∠MEB＝∠ABE+5°，∠FDR＝35°，求∠MEB的度数；（3）如图3，
在（2）的条件下，点N在直线AB上，分别连接EN、ED，MG∥EN，连接ME，∠GME＝∠GEM，∠EBD＝2∠NEG，EB平分∠
DEN，MH⊥UV于点H，若∠EDC＝∠CDB，求∠GMH的度数．【分析】（1）利用平行线的判定定理即可证得结论；（2）利用平行线
的性质及角的和差关系即可得出答案；（3）设∠MEN＝α，可得出：∠NEG＝2α，∠BEN＝2α+40°，∠EBD＝2∠NEG＝4α
，∠ABD＝35°+4α，由EB平分∠DEN，可得：∠BED＝∠BEN＝α+40°，∠DEM＝α+80°，再根据AB∥CD，∠ED
C＝∠CDB，可得：∠BDE＝（145°﹣4α），再根据三角形内角和定理建立方程可求得：α＝10°，进而可得出答案．【解答】（1）
证明：如图1，∵∠ABU+∠CDV＝180°，∠ABU+∠ABV＝180°，∴∠ABV＝∠CDV，∴AB∥CD；（2）解：如图2，
由（1）知：AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDR，∵BE∥DF，∴∠EBD＝∠DBF，∴∠ABD﹣∠EBD＝∠BDR﹣∠DBF，∴∠A
BE＝∠FDR＝35°，∴∠MEB＝∠ABE+5°＝40°；（3）如图3，设∠MEN＝α，∵MG∥EN，∴∠GME＝∠MEN＝α，
∵∠GME＝∠GEM＝α，∴∠NEG＝2α，∠BEN＝2α+40°，∴∠EBD＝2∠NEG＝4α，∴∠ABD＝∠ABE+∠EBD＝
35°+4α，∵EB平分∠DEN，∴∠BED＝∠BEN＝α+40°，∴∠DEM＝α+80°，∵AB∥CD，∴∠CDB＝180°﹣∠
ABD＝180°﹣（35°+4α）＝145°﹣4α，∵∠EDC＝∠CDB，∴∠BDE＝∠CDB＝（145°﹣4α），∵∠EBD+∠
BED+∠BDE＝180°，∴4α+（α+40°）+（145°﹣4α）＝180°，解得：α＝10°，∴∠BDE＝（145°﹣4α）
＝（145°﹣4×10°）＝90°，∠DEM＝α+80°＝10°+80°＝90°，∵MH⊥UV，∴∠MHD＝90°，∴∠EMH＝3
60°﹣∠MHD﹣∠BDE﹣∠DEM＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∴∠GMH＝∠EMH﹣∠GME＝90°﹣10°＝8
0°．18．（2021春?白云区期末）在四边形ABCD中，AB∥CD，CF平分∠DCE．（1）如图1，点E在四边形ABCD内部，B
F平分∠ABE，若∠BEC＝150°，求∠BFC的度数；（2）如图2，点E在四边形ABCD外部，BF平分∠ABE，∠BEC和∠BF
C有怎样的等量关系？请证明你的结论；（3）如图3，点E在四边形ABCD内部，点M在AB的延长线上，∠MBE的平分线交CF反向延长线
于点N，∠BEC和∠BNC有怎样的等量关系？请直接写出你的结论．【分析】本题需要平行线的性质及对顶角相等，还要有多边形的内角和定理
．（1）属于平行线里的锯齿模型：∠BFC＝∠ABF+∠DCF．（2）属于平行线里的外凸模型：∠ABE+∠DCE+∠BEC＝360°
．（3）利用平行线的性质和三角形的外角定理求解．【解答】解：（1）由平行线的性质可知：∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝150°①①÷
2及角平分线的定义得：∠ABF+∠DCF＝75°∴∠BFC＝∠ABF+∠DCF＝75°．（2）由平行线的性质可知：∠ABE+∠DC
E+∠BEC＝360°①①÷2及角平分线的性质得：∠ABF+∠DCF+∠BEC＝180°．∵∠ABF+∠DCF＝∠BFC．∴∠BF
C+∠BEC＝180°．（3）延长DC交BN于G，则∠BEC＝180°﹣2∠MBN+2∠FCD①而∠MBN＝∠BGC＝∠BNC+∠
FCD②由①②及角平分线的定义可得：2∠BNC+∠BEC＝180°．19．（2022春?凤泉区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、
F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图
1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 45° ；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的
度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请
直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．【分析】（1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；（2）过点O作OT∥AB，则
OT∥CD，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，根据平行线的性质求得α
+β＝80°，进而根据3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2a）＝2β+2α﹣160°即可求解．【解答】解：（1）①如图，分别过点G
，P作GN∥AB，PM∥AB，∴∠BEG＝∠EGN，∵AB∥CD，∴∠NGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，同理可得∠
EPF＝∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝
GFD，∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，故答案为：45°；②如图，过点Q作QR∥CD，∵∠BEG＝40°，∵E
G恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，设∠GFD＝∠QFD＝α，∵QR∥CD，
AB∥CD，∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，∵CD∥QR，∴∠DFQ+∠FQR＝180°，∴α+∠
FQR＝180°，∴α+∠FQE＝80°，∴∠FQE＝80°﹣α，由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，∴∠FQE
+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；（2）3∠OEA﹣∠OFC＝160°．∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段
GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OE
H＝∠HEA＝α，如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，∴∠EOF＝β﹣2α
，∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，∵∠EOF+∠EG
F＝100°，∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，∴α+β＝80°，∵∠óFC＝β﹣2a，∠OEA＝β，∴3∠OEA﹣∠OF
C＝3β﹣（β﹣2α）＝2β+2α＝160°，即3∠OEA﹣∠OFC＝160°．20．（2022?南京模拟）已知AB∥CD，直线E
F与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点．（1）如图1，点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交
点，则∠EGF＝ 90° ；（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF一定为钝角；②∠EGF可能为
60°；③若∠EGF为直角，则EF⊥CD．其中正确结论的序号为 ②③ ．（3）进一步探索，若EF⊥CD，且点G不在线段EF上，记
∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2）．直线EM、FN交
于点Pn，是否存在某一正整数n，使得∠EPnF＝90°？说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及
三角形内角和定理来完成．（2）根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理，另外角的等分来判断．（3）按题意
添加辅助线，画出相应的EM、FN、点Pn，再根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理、角的n等分，通过分
类别讨论推测出n是否存在，存在的值．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵点G恰为∠BEF和∠DFE的
角平分线的交点，∴∠FEG+∠EFG＝×180°＝90°，∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°．故答案为：90°．（2）若点G恰为
∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，∴∠FEG+∠EFG＝×180°或者∠FEG+∠EFG＝×180°，∠FEG+∠EFG＝60°
或∠FEG+∠EFG＝120°，∴∠EGF＝180°﹣60°＝120°或∠EGF＝180°﹣120°＝60°，∴①错误，②正确，当
∠EGF为直角，只有∠BEF+∠DFE＝90°或∠BEF+∠DFE＝90°，不妨假设∠BEF+∠DFE＝90°，∴∠BEF+∠DF
E＝90°，∴（∠BEF﹣∠DFE）+（∠DFE﹣∠BEF）＝0，∴∠BEF＝∠DFE，∵∠BEF+∠DFE＝180°，∴∠BEF
＝∠DFE＝90°，∴EF⊥CD，故③正确．故答案为：②③．（3）不存在某一整数n，使得∠EPnF＝90°，理由如下：∵EM为∠A
EG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2），∴∠AEM＝α，∠CFM＝β．①当点G在EF的左侧，此
时α＜90°，β＜90°，Pn必在EF的左侧，如图2所示，过点Pn作PnQ∥AB，∵AB∥CD，∴PnQ∥CD，∴∠EPnF＝∠EPnQ+∠FPnQ＝∠AEM+∠CFN＝α+β＜×90°+×90°＜90°，②当点G在右侧，此时α＞90°，β＞90°．若α＜90°，则Pn在EF的左侧，如图3中，同理可得∠EPnF＝α+β＞90°．若α＝90°，则Pn与F重合，不存在∠EPnF，舍弃．若α＞90°，则Pn在EF的右侧，如图4中，过点Pn作PnQ∥AB，∵AB∥CD，∴PnQ∥CD，∴∠EPnF＝∠EPnQ﹣∠FPnQ＝∠BEM+∠CFN＝（180°﹣α）﹣β，∵α＞90°，β＞0，∴（180°﹣α）﹣β＜90°，即∠EPnF＜90°，综上所述，不存在某一整数n，使得∠EPnF＝90°．21．（2022春?坪山区校级期中）【问题情境】：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC的度数．（1）按小明的思路，求∠APC的度数；（2）【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（3）【问题应用】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．【分析】（1）利用平行线的性质，分别同得∠APE，∠CPE的度数，相加即可；（2）利用平行线的性质，和（1）辅导线的作法，推理即可；（3）利用平行线的性质，分情况直接写出数量关系即可．【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+∠CPE＝180°，∴∠BAP+∠APE+∠DCP+∠CPE＝360°，即∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°，∵∠BAP＝130°，∠DCP＝120°，∴∠APC＝360°﹣130°﹣120°＝110°；故答案为：110°．（2）如图，过P点作PE∥CD∥AB，∴∠CPE＝∠PCD，∠EPA＝∠PAB，∴∠APC＝∠CPE+∠EPA＝∠PCD+∠PAB，∵∠PAB＝α，∠PCD＝β∴∠APC＝α+β故答案为：∠APC＝α+β．（3）如图所示，①过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴∠PCD＝∠EPC，∠EPA＝∠PAB，∴∠PCD＝∠EPC＝∠APC+∠EPA＝∠APC+∠PAB，∵∠PAB＝α，∠PCD＝β，∴∠APC＝β﹣α．②如图所示，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴∠PAB＝∠EPA，∠EPC＝∠PCD，∴∠APC＝∠EPA﹣∠EPC＝∠PAB﹣∠PCD，又∵∠PAB＝α，∠PCD＝β，∴∠APC＝α﹣β故答案为：①∠APC＝β﹣α，②∠APC＝α﹣β． |
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