中考数学压轴题--二次函数--存在性问题
第11节 等腰直角三角形的存在性
方法点拨
第一步：易证ΔBAD∽ΔECB，如果再加一个条件BD=BE，此时ΔBAD≌ΔECB(AAS)所以，AB=CE，AD=CB
第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。
例题演练
1．如图所示，抛物线y＝a(x+1)(x﹣5)(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
(1)当a＝﹣时，
①求点A、B、C的坐标；
②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；
(2)点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a的值．
【解答】解：对于y＝a(x+1)(x﹣5)(a≠0)，令y＝a(x+1)(x﹣5)＝0，解得x＝5或﹣1，令x＝0，则y＝﹣5a，
故点A、B、C的坐标分别为(5，1)、(﹣1，0)、(0，﹣5a)，
当x＝2时，y＝a(x+1)(x﹣5)＝﹣9a，顶点的坐标为(2，﹣9a)．
(1)①当a＝﹣时，函数的表达式为y＝﹣(x+1)(x﹣5)，
则点A、B、C的坐标分别为(5，1)、(﹣1，0)、(0，2)；
②过点P作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点F，交x轴于点E，
设点P的坐标为(x，﹣(x+1)(x﹣5))，
∵∠MPO＝90°，
∴∠MPF+∠OPE＝90°，
∵∠OPE+∠POE＝90°，
∴∠POE＝∠MPF，
∵∠PFM＝∠OEP＝90°，PM＝PO，
∴△PFM≌△OEP(AAS)，
∴PE＝MF，
则﹣(x+1)(x﹣5)＝x﹣2，解得x＝﹣或4，
故点P的坐标为(﹣，﹣)或(4，2)；
(2)点B、C的坐标分别为(﹣1，0)、(0，﹣5a)，顶点D的坐标为(2，﹣9a)．
当四边形OBDC是圆的内接四边形时，则BC的中点为该圆的圆心，
设BC的中点为点Q，由中点坐标公式得，点Q(，﹣a)，
则OQ＝DQ，
即()2+(﹣)2＝(2﹣)2+(﹣9a+a)2，
解得a＝±．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，当△ABC的面积最大时，求点C的坐标；
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1(a1≠0)，
平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1)将A、B两点代入到解析式中，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+1；
(2)设直线AB为：y＝k1x+1，
代入点B，得，3k1+1＝4，
解得k1＝1，
∴直线AB为：y＝x+1，
设C(m，﹣m2+4m+1)，过C作CM∥y轴交AB于M，如图1，
则M(m，m+1)，
∴CM＝﹣m2+4m+1﹣m﹣1＝﹣m2+3m，
∴S△ABC＝S△ACM+S△BCM＝＝，
∵C为直线AB上方抛物线上一点，
∴0＜m＜3，
∴时，△ABC的面积最大值为，
此时C()；
(3)∵抛物线y＝﹣(x﹣2)2+5，
∴将抛物线向右平移2个单位后得到的抛物线为：y＝﹣x2+5，
联立，解得，
∴D(1，4)，
①如图2，当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点
∵∠DAN+∠NDA＝∠NDA+∠EDF＝90°
∴∠DAN＝∠EDF，
又∠DNA＝∠EFD＝90°，DA＝DE，
∴△DNA≌△EFD(AAS)，
∴DN＝EF＝1，AN＝DF＝3，
∴E(4，3)，
②当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD左侧，
同理可得，E(﹣2，5)，
③当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD左侧时，
同理可得，E(﹣3，2)，
④当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD右侧时，
同理可得，E(3，0)，
综上所述，E(4，3)或(﹣2，5)或(﹣3，2)或(3，0)．
3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(﹣1，0)，C(0，3)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似时，求点P的坐标；
(3)若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．
【解答】解：(1)把A(﹣1，0)，C(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
(2)联立直线AE和抛物线的函数关系式成方程组，
得：，
解得：，，
∴点E的坐标为(4，﹣5)，
∴AE＝＝5，
在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴点B的坐标为(3，0)，
∵C(0，3)，
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠CBO＝45°，BC＝3，
∵直线AE的函数表达式为y＝﹣x﹣1，
∴∠BAE＝45°＝∠CBO．
设点P的坐标为(m，0)，则PB＝3﹣m，
∵以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，
∴＝或＝，
∴＝或＝，
解得：m＝或m＝﹣，
∴点P的坐标为(，0)或(﹣，0)；
(3)∵∠CBO＝45°，
∴存在两种情况(如图2)．
①取点M1与点A重合，过点M1作M1F1∥y轴，交直线BC于点F1，
∵∠CBM1＝45°，∠BM1F1＝90°，
∴此时△BM1F1为等腰直角三角形，
∴点M1的坐标为(﹣1，0)；
②取点C′(0，﹣3)，连接BC′，延长BC′交抛物线于点M2，过点M2作M2F2∥y轴，交直线BC于点F2，
∵点C、C′关于x轴对称，∠OBC＝45°，
∴∠CBC′＝90°，BC＝BC′，
∴△CBC′为等腰直角三角形，
∵M2F2∥y轴，
∴△M2BF2为等腰直角三角形．
∵点B(3，0)，点C′(0，﹣3)，
∴直线BC′的函数关系式为y＝x﹣3，
联立直线BC′和抛物线的函数关系式成方程组，得：，
解得：，，
∴点M2的坐标为(﹣2，﹣5)，
综上所述：点M的坐标为(﹣1，0)或(﹣2，﹣5)．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3(a＞0)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，OB＝3，抛物线经过点(2，5)．
(1)求该抛物线解析式；
(2)如图1，该抛物线顶点D，连接BD、BC，点P是线段BD下方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴，分别交线段BD、BC于点F、E，过点P作PG⊥BD于点G，求2PG+EF的最大值，及此时点P的坐标；
(3)如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以AN为直角边的等腰直角三角形AMN？若存在，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：(1)∵OB＝3，
∴B(﹣3，0)
把C(﹣3，0)和点(2，5)，代入抛物线y＝ax2+bx﹣3，
得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
(2)延长PE与x轴交于点M，FM⊥x轴，
PG⊥BD，
如图所示，
∠FMB＝90°，∠PGF＝90°，
∵∠BFM＝∠PFG，
∴∠MBF＝∠GPF，
∴B(﹣3，0)，D(﹣1，﹣4)，
B、D两点的横坐标距离为2，纵坐标距离为4，由勾股定理得BD＝＝2，
∴cos∠MBF＝cos∠GPF＝，
∴2PG+EF＝EF+2FP，
∴C(0，﹣3)，
设直线BC解析式为lBC：y＝kx+b(b≠0)，
把B(﹣3，0)和C(0，﹣3)代入得，
，
解得，
∴lBC：y＝﹣x﹣3，
同理，直线BD得解析式为：y＝﹣2x﹣6，
设E(m，﹣m﹣3)，P(m，m2+2m﹣3)，F(m，﹣2m﹣6)，
∴EF+2FP＝[﹣m﹣3﹣(﹣2m﹣6)]+2[(﹣2m﹣6)﹣(m2+2m﹣3)]
＝﹣2(m+)2+，
∴当m＝﹣时，EF+2FP有最大值，
∵2PG+EF＝EF+2FP，
∴此时，P点坐标为P(﹣，﹣)；
(3)存在，
设N(0，y1)，M(x2，+2x2﹣3)，
当y＝0时，代入抛物线y＝x2+2x+3中，
解得两根为﹣3和1，A在y轴右侧，
∴A(1，0)，
∴AN2＝OA2+ON2＝1+y12，
AM2＝(x2﹣1)2+(+2x2﹣3)2，
MN2＝+(+2x2﹣3﹣y1)2，
①当AN⊥MN时，
此时由AN＝MN，等腰直角三角形各边比为1：1：，
∴M点横坐标为﹣﹣1或﹣3﹣1，
将M的横坐标为﹣﹣1或﹣3﹣1，代入y＝x2+2x﹣3中得，
∴M点坐标为(﹣﹣1，﹣2)或(﹣3﹣1，14)，
②由AN⊥MA得：
M点横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2，
将M点横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2代入y＝x2+2x+3中，
得M点坐标为(﹣2﹣2，17+8﹣4﹣4)或(﹣2﹣2，33+8﹣4﹣4)，
综上所述，M点坐标为(﹣﹣1，﹣2)或(﹣3﹣1，14)，(﹣2﹣2，17+8﹣4﹣4)或(﹣2﹣2，33+8﹣4﹣4)，
5．如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为(2，0)，将抛物线C1向右平移m(m＞0)个单位得到物度C2，C2交x轴于A、B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C．
(1)求抛物线C1的解析式及顶点坐标；
(2)以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式及D点坐标．
【解答】解：(1)∵抛物线C1经过原点，与x轴的另一个交点为(2，0)，
∴，
解得，
∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2x，
∴抛物线C1的顶点坐标(1，﹣1)．
(2)如图，
∵抛物线C1的向右平衡m(m＞0)个单位得到抛物线C2，
∴C2的解析式为y＝(x﹣m﹣1)2﹣1，
∴A(m，0)，B(m+2，0)，C(0，m2+2m)，
过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠CDH+∠ADE＝90°，
∴△HCD＝△ADE，
∵∠DEA＝90°，
∴△CHD≌△DEA，
∴AE＝HD＝1，CH＝DE＝m+1，
∴EH＝HD+DE＝1+m+1＝m+2，
由OC＝EH得m2+2m＝m+2，
解得m1＝1，m2＝﹣2(舍去)，
∴抛物线C2的解析式为：y＝(x﹣2)2﹣1，
∴D点坐标(2，2)．
6．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B(6，0)，C(﹣2，0)，与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
(1)如图，连接PA、PB．设△PAB的面积为S，点P的横坐标为m．请说明当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
(2)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B(6，0)，C(﹣2，0)，
∴可设抛物线的表达式为：y＝a(x+2)(x﹣6)，
∴﹣12a＝6，解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，
∴A(0，6)
∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，
点P的横坐标为m，则P(m，﹣m2+2m+6)，
过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，
则D(m，﹣m+6)，
∴S＝×OB×PD
＝×6×(﹣m2+2m+6+m﹣6)
＝
＝﹣(m﹣3)2+，
∴当m＝3时，S的值取最大，此时P(3，)；
(2)存在，理由如下：
由题意可知，PD⊥PE，若△PDE是等腰直角三角形，则PE＝PD，
由(1)可得，PD＝﹣m2+2m+6+m﹣6＝﹣m2+3m，
∵PE∥x轴，
∴E(4﹣m，﹣m2+2m+6)，
∴PE＝|2m﹣4|，
∴|2m﹣4|＝﹣m2+3m，
解得m1＝﹣2(舍)，m2＝4，m3＝5+(舍)，m4＝5﹣，
∴当△PDE是等腰直角三角形时，点P的坐标为(4，6)，(5﹣，3﹣5)．
7．如图1．二次函数y＝﹣x2+6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求出点A，B，C的坐标；
(2)连接AC，求直线AC的表达式；
(3)如图2，点D为线段AC上的一个动点，连接BD，以点D为直角顶点，BD为直角边，在x轴的上方作等腰直角三角形BDE，若点E在y轴上时，求点D的坐标；
(4)若点D在线段AC上，点D由A到C运动的过程中，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，当抛物线的顶点C在等腰直角三角形BDE的边上(包括三角形的顶点)时，请直接写出顶点E的坐标．
【解答】解：(1)当x＝0时，y＝6．
∴C点坐标为(0，6)．
当y＝0时，．
解得x1＝﹣4，x2＝4．
∵A点在B点左侧，
∴点A坐标为(﹣4，0)，点B坐标为(4，0)．
(2)设直线AC的表达式为：y＝kx+b．
∵点A坐标为(﹣4，0)，点C坐标为(6，0)．
∴．
解得．
∴直线AC的表达式为．
(3)如答图1，过点D分别作DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于G.
∴四边形DGOF为矩形，∠FDG＝90°．
∵△BDE为等腰直角三角形，BD为直角边．
∴BD＝ED，∠EDB＝90°．
∴∠EDB﹣∠GDB＝∠FDG﹣∠GDB．
即∠EDG＝∠BDF．
在△BDF和△EDG中，
．
∴△BDF≌△EDG(AAS)．
∴DF＝DG．
设点D的坐标为(m，)．
∴．
解得m＝，
∴点D的坐标为()．
(4)由(2)可得直线AC的表达式为．
∵点D在直线AC上，
∴设点D坐标为()．
设直线BC的解析式为：y＝kx+b．
将B(4，0)，C(0，6)代入得．
解得．
∴直线BC的解析式为．
①当C位于斜边BE上时，
∵点E在直线BC上，
∴设点E坐标为(b，)．
如答图2所示.
作EM⊥x轴于点M，DQ⊥x轴于点Q，DN⊥EM于点N．
易知四边形DQMN为矩形．
∴∠QDN＝90°．
∵△BDE为等腰直角三角形，BD为直角边．
∴BD＝ED，∠EDB＝90°．
∴∠EDB﹣∠NDB＝∠QDN﹣∠NDB．
即∠EDN＝∠BDQ．
在△BDQ和△EDN中，
．
∴△BDQ≌△EDN(AAS)．
∴DN＝DQ，EN＝BQ．
∵E坐标为(b，)，D坐标为()．
∴DN＝b﹣a，EN＝．
DQ＝，BQ＝4﹣a．
∴．
解得．
∴＝．
∴点E的坐标是()．
②当点D在直角边DE上时，BD交y轴于点F，如答图3所示．
∵∠CDF＝∠BOF＝90°，∠CFD＝∠BFO．
∴∠DCF＝∠OBF．
∴tan∠DCF＝tan∠OBF．
即．
亦即．
∴OF＝．
∴点F坐标为(0，)．
设直线BF解析式为y＝kx+b．
将B(4，0)，F(0，)代入得．
解得．
∴直线BF解析式为y＝．
∵B、F、D三点共线，
亦即直线BD解析式为y＝．
联立直线AC解析式得
解得．
故点D坐标为()．
∵BD⊥AC，BD＝DE，
∴BD2＝DE2．
∴．
解得b＝．
∴＝．
∴点E的坐标为()．
③当点D与点C重合时，即点C为直角顶点时．
如答图4所示.作EG⊥y轴于点G．
∵∠BCE＝90°．
∴∠ECG+∠BCO＝90°．
又∵∠ECG+∠GEC＝90°
∴∠BCO＝∠GEC．
在△GEC和△OCB中，
．
∴△GEC≌△OCB(AAS)．
∴GE＝OC＝6，GC＝OB＝4．
∴点E的坐标为(6，10)．
由图知点E关于点C对称的点E''亦满足题意．
则由中点坐标公式可得点E''的横坐标为2×0﹣6＝﹣6，
纵坐标为2×6﹣10＝2．
故点E''坐标为(﹣6，2)．
综上所述，点E的坐标为()或()或(6，10)或(﹣6，2)．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+5交x轴于A(﹣1，0)、B(5，0)两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是对称轴上一点，当PA+PC达到最小值时，求点P的坐标；
(3)M、N为线段BC上两点(N在M的右侧，且M、N不与B、C重合)，MN＝2，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△MNR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx+5交x轴于A(﹣1，0)，B(5，0)，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5；
(2)当x＝0时，y＝5，
∴C(0，5)，
∵A与B关于抛物线的对称轴对称，
∴直线BC与对称轴的交点就是点P，此时PA+PC达到最小值，
∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣(x﹣2)2+9，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b(k≠0)，
∵点B坐标为(5，0)，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，与对称轴的交点为(2，3)，
∴点P的坐标(2，3)；
(3)分三种情况：
①以点M为直角顶点，如图1，
∵MN＝2，
∴RN＝MN＝4，
∵C(0，5)，B(5，0)，
∴OC＝OB＝5，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵∠RNM＝45°＝∠BCO，
∴RN∥OC，
由(2)知：直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设R(m，﹣m2+4m+5)，则N(m，﹣m+5)，
则RN＝(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+5)＝4，
解得m1＝4，m2＝1，
∵点N在点M右侧，
∴m＝4，
∴R(4，5)；
②以点R为直角顶点，如图2，
∵MN＝2，
∴RN＝MN＝2，
设R(m，﹣m2+4m+5)，则Q(m，﹣m+5)，
∴RN＝(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+5)＝2，
解得m1＝，m2＝，
∵点N在点M右侧，
∴m＝，
∴R(，)；
③以点N为直角顶点，如图3，
∵MN＝2，
∴RM＝MN＝4，
∵∠RMN＝∠OBC＝45°，
∴MR∥OB，
设R(m，﹣m2+4m+5)，则M(m﹣4，﹣m2+4m+5)，
把M(m﹣4，﹣m2+4m+5)代入y＝﹣x+5，得﹣(m﹣4)+5＝﹣m2+4m+5，
解得m1＝4，m2＝1，
此时点M(0，5)，
因为点M在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以N为直角顶点的情况；
综上所述：当 R(4，5)或(，)时，△MNR为等腰直角三角形．
9．抛物线y＝ax2﹣6ax+4(a≠0)交y轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，且AB＝10．
(1)如图(1)，求抛物线的解析式；
(2)如图(2)，连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，设点P横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式(不用写出自变量t的取值范围)；
(3)如图(3)，在(2)的条件下，连接PA交y轴于点D，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F，连接DF，当∠APE+∠CFD＝90°时，在抛物线上是否存在点Q，使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1)如图1中，设A(m，0)，B(n，0)，
由题意：，
解得，
∴A(﹣2，0)，B(8，0)，
把A(﹣2，0)代入y＝ax2﹣6ax+4，得到a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
(2)如图2中，连接OP．设P(t，﹣t2+t+4)，
∵B(8，0)，C(0，4)，
∴OB＝8，OC＝4，
∴S＝S△POC+S△POB﹣S△OBC＝×4×t+×8×(﹣t2+t+4)﹣×4×8＝﹣t2+8t(0＜t＜8)．
(3)存在．
理由：如图3中，设P(t，﹣t2+t+4)，
∵A(﹣2，0)，B(8，0)，C(0，4)，
∴直线PA的解析式为y＝﹣(t﹣8)x﹣t+4，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∵PE⊥x轴，
∴F(t，﹣t+4)，
∵D(0，﹣t+4)，
∴FD∥AB，
∴∠CFD＝∠CBA，
∵∠APF+∠CFD＝90°，∠APF+∠PAE＝90°，
∴∠PAB＝∠CFD＝∠CBO，
∴tan∠CBO＝tan∠PAB＝＝，
∴＝，
∵OA＝2，
∴OD＝1，
∴﹣t+4＝1，
∴t＝6，
∴P(6，4)，E(6，0)，
∵PN＝NE，
∴N(6，2)，
∵C(0，4)，△CNQ是等腰直角三角形，CN是斜边，
当点Q在CN的上方时，如图3，过点Q作x轴的平行线交y轴于点G，交EP的延长线于点H，
设点Q(s，k)，
易证△QGC≌△NHQ(AAS)，
则GC＝QH，GQ＝HN，
即s＝k﹣2，k﹣4＝6﹣s，解得，
∴点Q的坐标为(4，6)，
∵当x＝4时，y＝﹣×42+×4+4＝6，
∴点Q在抛物线y＝﹣x2+x+4上，
∴满足条件的点Q的坐标为(4，6)．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
(1)求抛物线的表达式；
(2)直接写出点C的坐标和△ABC的面积．
(3)点P是抛物线对称轴上一点，且使得PA﹣PC最大，求点P的坐标．
(4)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx过A(4，0)，B(1，3)两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．
(2)如图1中，
∵y＝﹣x2+4x＝﹣(x﹣2)2+4，
∴对称轴x＝2，
∵B，C关于对称轴对称，B(1，3)，
∴C(3，3)，
∴S△ABC＝×2×3＝3．
(3)如图1中，∵A(4，0)，C(3，3)，
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+12，
∵PA﹣PC≤AC，
∴当点P在直线AC上时，PA﹣PC的值最大，此时P(2，6)．
(4)如图4﹣1中，如图，当∠CNM＝90°，NC＝NM时，可知N(4，0)，M(1，﹣1)，CN＝NM＝，
∴S△MNC＝×CN×MN＝5．
如图4﹣2中，当∠CMN＝90°，MN＝MC时，M(1，﹣2)，N(﹣4，0)，可知MN＝MC＝＝，
∴S△MNC＝．
如图4﹣3中，当∠CMN＝90°，MC＝MN时，可知M(1，2)，N(2，0)，MN＝CM＝＝，
∴S△MNC＝××＝，
如图4﹣4中，当∠CNM＝90°，CN＝MN时，N(﹣2，0)，M(1，﹣5)，可得S△MNC＝17．
综上所述，满足条件的△MNC的面积为5或或或17．
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